专题01 集合与复数（热点专练）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题01 集合与复数 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：1. 集合：三年均以第1题（选择题首题）形式考查，聚焦核心运算。2023年考查集合的交集运算；2024年转向集合的并集运算；2025年则涉及集合的并集与补集混合运算，题目均围绕基础集合运算展开，无复杂知识结合，侧重考查快速计算和概念理解能力。 2. 复数：近三年均在填空题第10题考查，核心聚焦运算与基础概念。2023年考查复数代数形式的乘除混合运算；2024年仅考查复数的乘法运算；2025年考点稍变，考查复数的模的计算，整体计算量小，只需掌握复数四则运算法则和模的计算公式就能轻松得分。 预测2026年：结合天津高考数学的命题稳定性及2025年试卷评析的风格导向 ，2026年天津高考数学中集合与复数大概率仍为基础送分题，题型、题号和难度不会有大幅波动，具体预测如下： 1. 集合 ：很大概率继续以选择题第1题形式考查，考点聚焦集合的基础运算。大概率会延续和不等式解集结合的模式，考查交、并、补中的单一运算或简单混合运算。题目核心还是检验对集合基本概念的理解和基础计算能力，不会出现复杂新定义或跨模块的难题，属于入手就能得分的题目。 2. 复数：预计仍固定在填空题第10题的位置。考查方向大概率回归复数的四则运算，也可能搭配共轭复数的概念综合考查，少数情况下或许会涉及复数模的计算。整体计算量小，解题思路常规，只需掌握复数运算的基本法则和基础概念，就能顺利得分，不会出现与几何意义等冷门知识点结合的复杂考题。． 题型01 集合的含义与表示 解｜题｜策｜略 与集合元素有关问题的解题策略 1、研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． 2、利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．． 例1（2026·天津河北·月考）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为 ． 例2（2026·天津河北·月考）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【变式1】（2026·天津·月考）下列集合的表示法正确的是（   ） A．自然数集可表示为 B．由、、、、构成的集合是 C．满足的构成的集合是 D．二次函数上的所有点的坐标构成的集合是 【变式2】（2026·天津和平·月考）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型02 集合与集合间的关系 解｜题｜策｜略 利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若， 且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围. 常采用数形结合的思想，借助数轴解答.[ 例1（2026·天津河北·月考）已知集合，集合，若为的真子集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2（2026·天津河北·月考）已知集合，，若，则实数的取值所组成的集合是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·天津红桥·联考）已知集合，，，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式2】（2026·天津滨海新·月考）已知集合，集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型03 有限集合的子集个数问题 解｜题｜策｜略 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个[ 例1（2026·天津河北·月考）当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”．集合的全部非空子集的厚度之和为（   ） A．800 B．625 C．1550 D．750 例2（2026·天津·月考）已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．20 【变式1】（2026·天津·月考）已知集合有且仅有1个子集，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（2026·天津滨海新·月考）已知集合，，，则集合C的非空真子集个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．8 题型04 集合的交并补运算 解｜题｜策｜略 集合运算的常用方法 ①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解； ②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况. 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； ②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解. 例1（2026·天津·月考）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 例2（2026·天津河北·月考）已知全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·天津西青·月考）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·天津·开学考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 题型05 韦恩图在集合中的应用 解｜题｜策｜略 1、对于离散型数集或抽象几何的运算，常借助Venn图求解，数形结合思想的应用； 2、解决集合交、并、补运算的技巧：如果所给集合是有限集，则先把集合中的运算意义列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义求解。在解答过程中常常借助Venn图来求解，这样处理起来，相对来说比较直观、形象切解答时不易出错。 例1（2026·天津·月考）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 例2（2026·天津·开学考试）已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C．或 D． 【变式1】已知集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式2】（2025·天津·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（    ） A． B． C． D． 题型06 集合的新定义问题 解｜题｜策｜略 正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.[ 例1（2025·天津·月考）设，是两个非空集合，规定且，根据这一规定，等于（    ） A． B． C． D． 例2（2024·天津·模拟预测）对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．记非空数集的元素个数为，若是两个非空数集，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】（2024·天津·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 【变式2】（2025·天津南开·联考）已知有限集，，定义集合且，表示集合中的元素个数．若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型07 复数的基本运算 解｜题｜策｜略 1、复数运算 （1）（2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．[ 例1（2024·天津和平·二模）已知为虚数单位，复数，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 例2（2025·天津河北·模拟预测）i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（2025·天津·一模）若（是虚数单位，a，b是实数），则复数在复平面内对应的点是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（2025·天津静海·三模）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为 . 题型08 与复数有关的最值问题 解｜题｜策｜略 解决复数最值问题的核心方法之一是 几何意义法，将复数问题转化为平面几何中的距离、斜率等最值问题，直观且高效。 例1（2025·天津·二模）如果复数z满足，那么的最大值是 ． 例2（2026·天津·联考）复数满足，则的最大值为 ． 【变式1】（2025·天津·三模）若复数的实部为，则的最大值为 . 【变式2】（2024·天津·模拟预测）已知复数，满足，，则的最大值为 . （建议用时：20分钟） 1．（2025·天津红桥·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津武清·模拟预测）全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·二模）集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津南开·模拟预测）设全集，集合，，则等于（   ）． A． B． C． D． 5．（2025·天津北辰·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·天津·二模）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·天津·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·天津红桥·二模）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·天津河西·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·天津红桥·模拟预测）若i是虚数单位，则复数 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与复数 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：1. 集合：三年均以第1题（选择题首题）形式考查，聚焦核心运算。2023年考查集合的交集运算；2024年转向集合的并集运算；2025年则涉及集合的并集与补集混合运算，题目均围绕基础集合运算展开，无复杂知识结合，侧重考查快速计算和概念理解能力。 2. 复数：近三年均在填空题第10题考查，核心聚焦运算与基础概念。2023年考查复数代数形式的乘除混合运算；2024年仅考查复数的乘法运算；2025年考点稍变，考查复数的模的计算，整体计算量小，只需掌握复数四则运算法则和模的计算公式就能轻松得分。 预测2026年：结合天津高考数学的命题稳定性及2025年试卷评析的风格导向 ，2026年天津高考数学中集合与复数大概率仍为基础送分题，题型、题号和难度不会有大幅波动，具体预测如下： 1. 集合 ：很大概率继续以选择题第1题形式考查，考点聚焦集合的基础运算。大概率会延续和不等式解集结合的模式，考查交、并、补中的单一运算或简单混合运算。题目核心还是检验对集合基本概念的理解和基础计算能力，不会出现复杂新定义或跨模块的难题，属于入手就能得分的题目。 2. 复数：预计仍固定在填空题第10题的位置。考查方向大概率回归复数的四则运算，也可能搭配共轭复数的概念综合考查，少数情况下或许会涉及复数模的计算。整体计算量小，解题思路常规，只需掌握复数运算的基本法则和基础概念，就能顺利得分，不会出现与几何意义等冷门知识点结合的复杂考题。． 题型01 集合的含义与表示 解｜题｜策｜略 与集合元素有关问题的解题策略 1、研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． 2、利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．． 例1（2026·天津河北·月考）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】由题意得，或，或，进而分别求解，结合集合元素的互异性可得结论. 【详解】因为，， 所以，或，或， 若，则，所以，解得或， 当时，，符合题意，当时，，不符合题意； 若，则，又，方程无解； 若，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意； 综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为. 故答案为：. 例2（2026·天津河北·月考）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【答案】A 【分析】根据集合的子集的定义即可求解. 【详解】由，因为，所以， 又，所以， 故选：A. 【变式1】（2026·天津·月考）下列集合的表示法正确的是（   ） A．自然数集可表示为 B．由、、、、构成的集合是 C．满足的构成的集合是 D．二次函数上的所有点的坐标构成的集合是 【答案】A 【分析】利用常用数集的表示可判断A选项；利用集合元素的互异性可判断B选项；利用集合的表示法可判断CD选项. 【详解】对于A选项，自然数集可表示为，A对； 对于B选项，由、、、、构成的集合是，B错； 对于C选项，满足的构成的集合是，C错； 对于D选项，二次函数上的所有点的坐标构成的集合是，D错. 故选：A. 【变式2】（2026·天津和平·月考）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】因为是实数，所以，①正确； 因为是整数，所以，②正确； 因为是正整数，所以，③错误； 因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B 题型02 集合与集合间的关系 解｜题｜策｜略 利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若， 且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围. 常采用数形结合的思想，借助数轴解答.[ 例1（2026·天津河北·月考）已知集合，集合，若为的真子集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则,而后面两不等式等号不会同时成立，故解得. 综上，，即的取值范围是. 故选：C. 例2（2026·天津河北·月考）已知集合，，若，则实数的取值所组成的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，则， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值所组成的集合是. 故选：D. 【变式1】（2026·天津红桥·联考）已知集合，，，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据，求的值. 【详解】因为，所以， 所以，解得. 故选：D 【变式2】（2026·天津滨海新·月考）已知集合，集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据子集的定义即可求解. 【详解】， 由于，故， 故选：B 题型03 有限集合的子集个数问题 解｜题｜策｜略 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个[ 例1（2026·天津河北·月考）当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”．集合的全部非空子集的厚度之和为（   ） A．800 B．625 C．1550 D．750 【答案】A 【分析】对于集合中每个元素，计算它在所有非空子集中出现的次数，再乘以该元素的值，最后求和即可. 【详解】解：根据题意，任意一个元素在非空子集中的出现次数为：， 集合的元素之和为， 所以集合的全部非空子集的厚度之和为：. 故选：A 例2（2026·天津·月考）已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．20 【答案】C 【分析】根据集合中元素性质判断出符合两个性质的所有元素，在求出其个数即可. 【详解】由题意可知， 结合两个性质可知若，则，若，则； 若，则，若，则； 因此可知1和3不能同时出现也不能同时不出现，2和6不能同时出现也不能同时不出现，而4和5没有限制， 所以符合题意的集合有, 共16个. 故选：C 【变式1】（2026·天津·月考）已知集合有且仅有1个子集，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】结合集合子集的个数和方程根的情况可得. 【详解】方程的判别式， 因为集合仅有一个子集，所以集合为空集， 故. 故选：A. 【变式2】（2026·天津滨海新·月考）已知集合，，，则集合C的非空真子集个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的定义求出集合，再根据非空真子集个数的公式即可求解. 【详解】由题意可知， 所以集合的非空真子集的个数为个. 故选：C 题型04 集合的交并补运算 解｜题｜策｜略 集合运算的常用方法 ①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解； ②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况. 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； ②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解. 例1（2026·天津·月考）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集、补集的定义求解即可. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：B. 例2（2026·天津河北·月考）已知全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先运用补集的运算，求集合在全集中的补集；再运用交集运算，求即可. 【详解】因为，， 因此， 又因为，所以. 故选：B. 【变式1】（2026·天津西青·月考）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先明确集合，再利用集合的混合运算求. 【详解】由，所以. 所以，. 故选：A 【变式2】（2026·天津·开学考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的交、补运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D 题型05 韦恩图在集合中的应用 解｜题｜策｜略 1、对于离散型数集或抽象几何的运算，常借助Venn图求解，数形结合思想的应用； 2、解决集合交、并、补运算的技巧：如果所给集合是有限集，则先把集合中的运算意义列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义求解。在解答过程中常常借助Venn图来求解，这样处理起来，相对来说比较直观、形象切解答时不易出错。 例1（2026·天津·月考）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图示分析阴影部分与集合A,B的关系，再根据集合的运算可得结果. 【详解】由图可知，阴影部分包含于集合，与集合的交集为空集， 所以阴影部分表示的集合是集合与集合的交集. 因为全集，集合，所以或. 因为集合，所以. 故选：D. 例2（2026·天津·开学考试）已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】利用集合的交集、补集运算得到答案. 【详解】阴影部分表示的集合为， 因为或，所以， 因为，所以， 故选：B. 【变式1】已知集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据图象可知，阴影部分表示的是，由此求得的取值范围. 【详解】或， 根据图象可知阴影部分表示的是， 因为，， 所以或. 故选：A 【变式2】（2025·天津·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用韦恩图法即可判断. 【详解】如图，对于A：，所以A错误； 对于B：，所以B错误； 对于D：，所以D错误， 对于C：由图观察显然，故C正确． 故选：C 题型06 集合的新定义问题 解｜题｜策｜略 正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.[ 例1（2025·天津·月考）设，是两个非空集合，规定且，根据这一规定，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意且，然后用图表示集合，由图形即可得出答案． 【详解】由题意，且， 用图表示集合的关系如下图： 阴影部分表示， 所以． 故选：D． 例2（2024·天津·模拟预测）对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．记非空数集的元素个数为，若是两个非空数集，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据、的定义对进行分析，利用基本不等式确定正确答案. 【详解】设，， 则， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值是. 故选：B 【变式1】（2024·天津·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 【答案】B 【分析】根据各个选项确定相应的集合，然后由集合与子集定义得结论． 【详解】，，集合无公共元素， 选项A中，集合为空集，没有真子集，A错； 选项B中，由得，由得，因此中元素个数为，B正确； 选项C中，中元素个数为166，非空真子集个数为，C错； 选项D中，，而，因此其中元素个数为331个，D错． 故选：B． 【变式2】（2025·天津南开·联考）已知有限集，，定义集合且，表示集合中的元素个数．若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据所给定义求出，，即可求出，从而得解. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 则. 故选：A 题型07 复数的基本运算 解｜题｜策｜略 1、复数运算 （1）（2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．[ 例1（2024·天津和平·二模）已知为虚数单位，复数，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的乘法及除法运算化简复数，再根据共轭复数定义判断即可. 【详解】因为. 所以. 故选：C. 例2（2025·天津河北·模拟预测）i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数对应点判断其所在的象限. 【详解】由对应点为，即位于第一象限. 故选：A 【变式1】（2025·天津·一模）若（是虚数单位，a，b是实数），则复数在复平面内对应的点是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的乘法，结合复数相等，可得参数的值，结合复数的几何意义，可得答案. 【详解】由，则， 所以复数在复平面上的对应点为. 故选：D. 【变式2】（2025·天津静海·三模）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为 . 【答案】 【分析】利用复数的除法法则化简，结合已知可得，求解即可. 【详解】， 因为为实数，所以，解得. 故答案为：. 题型08 与复数有关的最值问题 解｜题｜策｜略 解决复数最值问题的核心方法之一是 几何意义法，将复数问题转化为平面几何中的距离、斜率等最值问题，直观且高效。 例1（2025·天津·二模）如果复数z满足，那么的最大值是 ． 【答案】2＃＃＋2 【分析】根据复数的几何意义表示，两点间距离，结合图形理解运算． 【详解】设复数z在复平面中对应的点为 ∵，则点到点的距离为2，即点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆 表示点到点的距离，结合图形可得 故答案为：． 例2（2026·天津·联考）复数满足，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】由复数的模的几何意义确定复数对应点的轨迹，问题转化为圆上一点到点的距离最大值，即可得结果. 【详解】设复数. 由复数的模的几何意义可知， 表示复数对应的点到点的距离. 因为，所以，即， 这表示点在以原点为圆心，半径的圆上. 因为，所以由圆的性质可知， 点到点的距离的最大值为， 即的最大值为6. 故答案为：6 【变式1】（2025·天津·三模）若复数的实部为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先利用复数乘法化简复数，再由题意列式得，即可求解的最大值. 【详解】， 因为的实部为，所以，故的最大值为. 故答案为： 【变式2】（2024·天津·模拟预测）已知复数，满足，，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】设，根据题意求得，根据复数的几何意义求得对应点的轨迹，再根据几何意义求目标式的最大值. 【详解】令复数，，，则， 所以，所以，，即. 又因为，即在复平面内，复数所对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 又点到点的距离为， 所以的最大值为. 故答案为：. （建议用时：20分钟） 1．（2025·天津红桥·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由交集定义求得结果. 【详解】由，， 则. 故选：A. 2．（2025·天津武清·模拟预测）全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的运算求解即可. 【详解】因为全集，集合，， 则， 所以， 故选：C 3．（2025·天津·二模）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解一元二次不等式及绝对值不等式，再由交集运算即可求解. 【详解】因为集合， ， 所以， 故选：C 4．（2025·天津南开·模拟预测）设全集，集合，，则等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由并集、补集的概念即可得解. 【详解】集合，， 所以，， 故选：D. 5．（2025·天津北辰·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据并集的定义求出，再根据补集的定义求出. 【详解】已知，，则. 已知，，所以. 故选：A. 6．（2025·天津·二模）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何的交补运算即可求解. 【详解】，，所以， 故选：A. 7．（2025·天津·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的交，补运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 8．（2025·天津红桥·二模）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集、并集的运算直接可得出结果. 【详解】易知，又， 所以. 故选：D 9．（2025·天津河西·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集定义计算求解. 【详解】集合，，则. 故选：B. 10．（2025·天津红桥·模拟预测）若i是虚数单位，则复数 . 【答案】 【分析】由即可直接求解. 【详解】， 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $