专题01 集合、常用逻辑用语（题型专练）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题01 集合、常用逻辑用语目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 集合的含义及其表示 题型02 集合间的基本关系 题型03 集合的交并补运算及图的应用 题型04 充分、必要条件的判断 题型05 根据充分必要条件求参数的取值范围 题型06 集合新定义问题 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 集合的含义及其表示 【例1-1】（2025·天津·一模）已知集合，，则 .（用列举法表示） 【答案】 【分析】由题意写出集合，根据集合交集，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故答案为：. 【例1-2】（2025·天津·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出，利用补集概念求出答案. 【详解】，故. 故选：A 解决与集合中的元素有关问题的一般思路 【变式1-1】（2024·天津·三模）已知全集，集合，集合，则 ， ． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得和，结合集合运算法则，即可求解. 【详解】由全集， 集合，集合， 可得，则，. 故答案为：；. 【变式1-2】（2023·天津河东·一模）已知集合，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设知，讨论、求a值，结合集合的性质确定a值即可. 【详解】由知：， 当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 当，即或， 若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 若，则，，满足要求. 综上，. 故选：A 【变式1-3】（2025·天津和平·一模）已知全集，则中元素个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】利用列举法表示全集，可得到，从而得到集合，即可得解； 【详解】因为，， ∴，， ∴，中元素个数为4个， 故选：B． 题型02 集合间的基本关系 【例2-1】（2024·天津和平·一模）已知集合，集合，则集合C的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据集合的交集运算求得集合C，然后可解. 【详解】因为， 所以， 所以集合C的子集个数为. 故选：D 【例2-2】（2025·天津·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，为的两个不相等的非空子集，且，知，再判断选项中的命题是否正确． 【详解】解：，， ，，，， 故选：． 判断集合关系的三种方法 【变式2-1】（2025·天津滨海新·三模）设集合，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的基本运算以及集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】已知集合，，则， 所以，，，，. 故选：A. 【变式2-2】（2025·天津滨海新·一模）设集合，，，则的取值范围为（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】 ，所以 ，选A. 点睛：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解. 【变式2-3】已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出，根据，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】因为， 所以， 又，且， 所以只需，即， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 题型03 集合的交并补运算及图的应用 【例3-1】（2025·天津红桥·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由交集定义求得结果. 【详解】由，， 则. 故选：A. 【例3-2】（2025·天津武清·模拟预测）全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的运算求解即可. 【详解】因为全集，集合，， 则， 所以， 故选：C 集合运算三步骤 【变式3-1】（2025·天津·二模）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解一元二次不等式及绝对值不等式，再由交集运算即可求解. 【详解】因为集合， ， 所以， 故选：C 【变式3-2】（2025·天津南开·模拟预测）设全集，集合，，则等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由并集、补集的概念即可得解. 【详解】集合，， 所以，， 故选：D. 【变式3-3】（2025·天津河北·模拟预测）已知全集，集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用集合的并补运算求集合. 【详解】由题设，又，则. 故选：C 题型04 充分、必要条件的判断 【例4-1】（2025·天津静海·三模）设，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合根式的意义和对数函数性质依次分析充分性和必要性即可求解. 【详解】若“”则， 所以当时，“”不成立，故充分性不成立； 若“”，因为是增函数， 所以，所以“”，故必要性成立， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【例4-2】（2025·天津武清·模拟预测）设且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，利用不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 判断充分、必要条件的几种方法 【变式4-1】（2025·天津北辰·三模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义、以及指数函数的性质判断即可. 【详解】取，满足，但得不出， 所以“”是“”的不充分条件； 由，可得，又因为在上单调递增， 所以，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式4-2】（2025·天津滨海新·三模）已知、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】由可得且， 因为“”“且”，“”“且”， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式4-3】（2025·天津·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据相关幂函数、对数函数的单调性判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】对于函数在R上单调递增，由，，知， 由函数在上单调递增，则，故充分性成立； 由上，有，进而有，故必要性也成立； 所以“”是“”的充要条件. 故选：A 题型05 根据充分必要条件求参数的取值范围 【例5-1】（2025·天津南开·一模）已知命题，命题，且的一个必要不充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解一元二次不等式化简命题，根据的一个必要不充分条件是列式可得结果. 【详解】命题，解之得：或， 命题，且的一个必要不充分条件是， 则，即的取值范围是. 故选：A 【例5-2】（2025·天津·模拟预测）已知条件，条件，且是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式得p，q，再根据p是q的必要不充分条件得集合包含关系，列出不等式，解得结果. 【详解】或， 当时，或，当时，， 因为是的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，所以. 从而或，即. 故选：C 1.充分、必要条件的探求方法(与范围有关) 先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件 2.利用充要条件求参数的两个关注点 (1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解 (2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍 【变式5-1】（2025·天津·一模）存在实数，使成立的一个必要不充分条件是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析： ．可得存在实数，使成立的充要条件是，进而得出答案． 详解： 存在实数，使成立的充要条件是， 存在实数，使成立的个必要不充分条件是. 故选D . 【变式5-2】（2025·天津·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解不等式，得到集合，再由“”是“”成立的充分不必要条件， 分析得到，再列出不等式组，求解即可. 【详解】由解得，故， 因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以，所以有，解得， 故选：A. 【变式5-3】（2025·天津·模拟预测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式，得或，依题意可得集合是集合或的真子集，即可求出参数的取值范围． 【详解】根据题意，解不等式，即， 解得或，即不等式的解集为或． 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合或的真子集，所以． 故选：C 题型06 集合新定义问题 【例6-1】（2025·天津·模拟预测）定义集合运算：.若集合， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出后可求得，故可得正确的选项 【详解】由题设可得，， 因为，，，， 故， 故选：D. 【例6-2】（2025·天津·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解. 【详解】集合，集合，则， 由韦恩图得或. 故选：D 解决与集合的新定义有关问题的一般思路 1.集合的新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化 2.集合的新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解 【变式6-1】（2024·天津·二模）对于数集，，定义， ，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的新定义求出和，即可求出元素之和. 【详解】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为． 故选：D 【变式6-2】（2025·天津·模拟预测）设D是边长为3的等边及其内部的点构成的集合，点是的中心，集合，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等边三角形的几何性质，结合向量的运算即可求解. 【详解】如图，设为各边三等分点， 根据等边三角形可知，相交于中心点， 根据等边三角形可知：四边形是菱形， 则由菱形的对角线互相垂直平分可得：是线段的垂直平分线， 所以当点时，动点一定在上， 同理可得：动点一定在上，动点一定在上， 所以当，时，结合点在三角形的内部， 可得集合S为正六边形及其内部区域， 所以当P与F重合时，，即可取到最小值， 当P与C重合时，， 即可取到最大值. 故选：B. 【变式6-3】（2025·天津·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【分析】由题列举出所有的集合A的三元素子集，求出最大值，求和即可. 【详解】由题知： ，， ，， ，，， 则 故选：C 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合三角函数的定义，充分、必要条件的知识讨论求解即可. 【详解】解：当时，； 当时，或，. 所以，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合基本不等式、不等式的性质，根据充分必要条件的定义判断． 【详解】，若， 则， 当且仅当时等号同时成立，充分性满足， 若，不一定成立，例如，时，， 但，必要性不满足， 故选：B． 3．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到，利用并集概念得到答案. 【详解】，， 则． 故选：D 4．（2025·天津和平·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式，得到，利用交集概念求出答案. 【详解】，故. 故选：C 5．已知全集，设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求补集，再根据交集定义求结果. 【详解】因为，所以， 因此. 故选：D 6．（2025·天津红桥·一模）已知命题，命题，则命题p是命题q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据对数以及指数的单调性化简，即可求解. 【详解】由可得， 由可得， 因此，但， 因此命题p是命题q的充分不必要条件， 故选：A 7．（2025·天津红桥·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】解不等式，得到，利用并集概念求出答案. 【详解】，又， 所以. 故选：B 8．（2025·天津和平·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为，，则. 故选：A. 9．（2025·天津和平·三模）设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合并集的定义以及补集的定义即可求解. 【详解】由，可得，，故， 故选：B 10．（2019·天津河西·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解以及，分别得出两个不等式的解集，根据两集合的关系，即可得出答案. 【详解】解可得，，设. 由可得，，解得或， 设或. 显然集合是集合的真子集， 所以，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 11．（2025·天津宁河·一模）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．则是（   ） A．充分不必要条 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系，结合必要不充分的定义即可判断. 【详解】若，则，又，可得; 反之，若，不一定有， 如图，，，但.    所以是的必要不充分条件. 故选：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合、常用逻辑用语目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 集合的含义及其表示 题型02 集合间的基本关系 题型03 集合的交并补运算及图的应用 题型04 充分、必要条件的判断 题型05 根据充分必要条件求参数的取值范围 题型06 集合新定义问题 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 集合的含义及其表示 【例1-1】（2025·天津·一模）已知集合，，则 .（用列举法表示） 【例1-2】（2025·天津·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 解决与集合中的元素有关问题的一般思路 【变式1-1】（2024·天津·三模）已知全集，集合，集合，则 ， ． 【变式1-2】（2023·天津河东·一模）已知集合，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·天津和平·一模）已知全集，则中元素个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型02 集合间的基本关系 【例2-1】（2024·天津和平·一模）已知集合，集合，则集合C的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2-2】（2025·天津·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 判断集合关系的三种方法 【变式2-1】（2025·天津滨海新·三模）设集合，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·天津滨海新·一模）设集合，，，则的取值范围为（   ） A．或 B． C． D．或 【变式2-3】已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 题型03 集合的交并补运算及图的应用 【例3-1】（2025·天津红桥·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（2025·天津武清·模拟预测）全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 集合运算三步骤 【变式3-1】（2025·天津·二模）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·天津南开·模拟预测）设全集，集合，，则等于（   ）． A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·天津河北·模拟预测）已知全集，集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 题型04 充分、必要条件的判断 【例4-1】（2025·天津静海·三模）设，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4-2】（2025·天津武清·模拟预测）设且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 判断充分、必要条件的几种方法 【变式4-1】（2025·天津北辰·三模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】（2025·天津滨海新·三模）已知、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-3】（2025·天津·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型05 根据充分必要条件求参数的取值范围 【例5-1】（2025·天津南开·一模）已知命题，命题，且的一个必要不充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（2025·天津·模拟预测）已知条件，条件，且是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.充分、必要条件的探求方法(与范围有关) 先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件 2.利用充要条件求参数的两个关注点 (1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解 (2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍 【变式5-1】（2025·天津·一模）存在实数，使成立的一个必要不充分条件是 A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·天津·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·天津·模拟预测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型06 集合新定义问题 【例6-1】（2025·天津·模拟预测）定义集合运算：.若集合， ，则（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（2025·天津·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 解决与集合的新定义有关问题的一般思路 1.集合的新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化 2.集合的新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解 【变式6-1】（2024·天津·二模）对于数集，，定义， ，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A．5 B． C． D． 【变式6-2】（2025·天津·模拟预测）设D是边长为3的等边及其内部的点构成的集合，点是的中心，集合，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·天津·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津和平·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知全集，设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·天津红桥·一模）已知命题，命题，则命题p是命题q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2025·天津红桥·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．或 8．（2025·天津和平·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·天津和平·三模）设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 10．（2019·天津河西·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2025·天津宁河·一模）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．则是（   ） A．充分不必要条 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $