专题3.1 数列单调性专项训练——2026届高三数学一轮复习

专题3.1 数列单调性 目录 知识梳理 1 题型一：与等比等差相关的数列单调性 3 题型二：通项公式与单调性 16 题型三：递推公式与单调性 20 题型四：项的最大、最小值 30 知识梳理 数列的单调性是指数列的项随着序号的增加而呈现递增、递减或常数的规律. 1.定义 · 递增数列：对于任意的，都有. · 递减数列：对于任意的，都有. · 常数列：对于任意的，都有. 2.判断方法： · 做差法：计算的值. 若，则数列为递增数列； 若，则数列为递减数列； 若，则数列为常数列； · 做商法：当（或）时，计算的值. 若（且），或（且），则数列为递增数列； 若（且），或（且），则数列为递减数列； 若，则数列为常数列. · 函数法 将数列的通项视为函数，利用函数的单调性判断数列的单调性.需注意数列的定义域为正整数集，与连续函数的单调性可能不同. 题型一：与等比等差相关的数列单调性 1．对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设等比数列前项和为，，则“”是“数列是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 4．（多选）已知数列的前项和为，则（    ） A．若为等差数列，且，则单调递增 B．若为等比数列，且，则单调递增 C．若为等差数列，且，则单调递增 D．若为等比数列，且，则单调递增 5．（多选）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且是与的等比中项，则下列说法正确的有（ ） A． B． C．数列是递增数列 D．当时，的最大值为8 6．（多选）已知等差数列满足，，记为的前项和，则下列说法正确的是（   ） A． B．是递增数列 C． D．使得的的最小值为14 7．（多选）已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（   ） A．若，则数列是递减数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 8．（多选）已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 9．（多选）等比数列的前项和，前项积记为，则（    ） A．公比为2 B． C． D．有最小值 10．（多选）已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则 D．数列是等比数列 11．（多选）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 12．（多选）已知数列不是常数列，其前项和为，则下列选项正确的是（   ） A．若数列为等差数列，恒成立，则为递增数列 B．若数列为等差数列，，则的最大值在或时取得 C．若数列为等比数列，则恒成立 D．若数列为等比数列，则数列也为等比数列 13．（多选）已知为等比数列的前项和，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是递减数列 D．是递增数列 14．数列，记（且）．现有如下说法： ①若数列为等差数列，则； ②若数列为等比数列，且数列单调递增，则公比； ③若数列为等比数列，且，则公比； ④若对任意的且，都有，则数列单调递增． 其中所有正确说法的序号是 ． 15．已知等差数列与等比数列都是无穷递增数列，给出下列四个结论: ①不存在数列与，使得是递减数列； ②存在数列与，使得是递增数列； ③不存在数列与，使得同时有无穷个正项和无穷个负项； ④存在数列与，使得恰好出现三个为1的项. 其中正确结论的序号是 . 题型二：通项公式与单调性 1．已知数列满足，则“数列是递增数列”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 2．设函数，数列满足，且数列是递增数列，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知数列的通项公式为，则数列的最小项是 ． 6．数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为 . 7．已知，若数列为严格增数列，则实数q的取值范围是 . 题型三：递推公式与单调性 1．已知单调递增数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”．则下列正确的是（   ） A．若是“数列”，则 B．若是“数列”且是等差数列，则单调递增 C．若是“数列”且单调递减，则是等比数列 D．若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是 4．（多选）若数列的首项，且，则（    ） A．数列为等比数列 B． C．数列为递增数列 D．存在三个不相等正整数，使得 5．（多选）已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（   ） A．数列为等差数列 B． C．随的增大而减小 D．有最大值 6．（多选）已知正四面体中，在线段上，且，过点作平行于直线的平面，截面面积为，则下列说法正确的有（   ） A． B．为递减数列 C．存在常数，使为等差数列 D．设为数列的前项和，则时， 7．在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为 . 8．已知数列满足，，，若存在正整数m使得恒成立，则 ． 9．已知数列中，，且（n为正整数），则的最小值为 . 10．数列前n项和，，则数列的最小项为（用具体数字作答） ． 题型四：项的最大、最小值 1．数列的最大项的值为 . 2．数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 3．已知为数列的前项和，且. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求的表达式及最大值. 4．设数列的前项和.数列是等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若是数列的前项和，求满足的最小的正整数的值. 5．正项数列满足：，对一切，有其中为数列的前项和. (1)证明是等差数列，并求出的通项公式； (2)若数列前项和，求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求的最大值和最小值. 6．已知数列中，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前项和； (3)令，求数列的最大项. 7．已知数列中， (且)． (1)若，求数列中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的，都有成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 数列单调性 目录 知识梳理 1 题型一：与等比等差相关的数列单调性 3 题型二：通项公式与单调性 16 题型三：递推公式与单调性 20 题型四：项的最大、最小值 30 知识梳理 数列的单调性是指数列的项随着序号的增加而呈现递增、递减或常数的规律. 1.定义 · 递增数列：对于任意的，都有. · 递减数列：对于任意的，都有. · 常数列：对于任意的，都有. 2.判断方法： · 做差法：计算的值. 若，则数列为递增数列； 若，则数列为递减数列； 若，则数列为常数列； · 做商法：当（或）时，计算的值. 若（且），或（且），则数列为递增数列； 若（且），或（且），则数列为递减数列； 若，则数列为常数列. · 函数法 将数列的通项视为函数，利用函数的单调性判断数列的单调性.需注意数列的定义域为正整数集，与连续函数的单调性可能不同. 题型一：与等比等差相关的数列单调性 1．对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质，结合充分、必要条件的定义分析判断选项． 【详解】是等比数列，则， ， ，等价于， 当时，，数列为递增数列； 当时，，则数列不一定递增，如时，， 不能推出为单调递增数列，不满足充分性； 若为单调递增数列，则对于任意，有， 令，则， 为单调递增数列能推出，满足必要性， “”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件，故A正确． 故选：A． 2．设等比数列前项和为，，则“”是“数列是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别求出和为递增数列的充要条件，判断它们之间的关系，即得答案. 【详解】是等比数列，. 由，得，即， 所以，所以，所以或， 所以的充要条件为或. 又，所以数列为递增数列的充要条件为， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以“”是“为递增数列的必要不充分条件”. 故选：B. 3．已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 【答案】D 【分析】先根据题意用表示出公比，再根据选项讨论当的取值范围不同时数列的增减情况即可. 【详解】由等比数列，则公比， 对于选项A，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项A错误. 对于选项B，若，则公比，又，数列是递增数列，故选项B错误. 对于选项C，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项C错误. 对于选项D，若，则公比，故，又，数列是递增数列，故选项D正确. 故选：D. 4．（多选）已知数列的前项和为，则（    ） A．若为等差数列，且，则单调递增 B．若为等比数列，且，则单调递增 C．若为等差数列，且，则单调递增 D．若为等比数列，且，则单调递增 【答案】ABC 【分析】利用等差数列和等比数列的性质及数列单调性的概念直接判断各选项. 【详解】A选项，若为等差数列，且，设公差为，则，即，所以单调递增；故A正确； B选项，设公比为，，则， 当时，，则，此时单调递增； 当，，则的正负交替，则不恒成立，不满足条件； 当时，，则的正负交替，则不恒成立，不满足条件； 当，，则，此时单调递增. 综上若为等比数列，且，则单调递增，故B正确； C选项：若是等差数列，且，，则， 所以，则当时，，即，所以数列单调递增，C选项正确； D选项：若是等比数列，且，，则，则，所以数列为摆动数列，所以当为奇数时，，当为偶数时，，又， 所以数列不单调，D选项错误. 故选：ABC 5．（多选）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且是与的等比中项，则下列说法正确的有（ ） A． B． C．数列是递增数列 D．当时，的最大值为8 【答案】AD 【分析】根据已知条件求出，可判断AB；写出数列的前n项和公式，可判断CD. 【详解】设等差数列的公差为， 依题意可得，即，解得，故A正确，B错误； 则，，， 所以，又随的增大而减小，则数列是递减数列，故C错误； 当时，，所以的最大值为8，故D正确. 故选：AD 6．（多选）已知等差数列满足，，记为的前项和，则下列说法正确的是（   ） A． B．是递增数列 C． D．使得的的最小值为14 【答案】ACD 【分析】由题意可得，从而得出等差数列中前7项为正，从第8项起均为负，结合等差数列的性质和前项和的公式对选项进行判断即可. 【详解】由，，可得， 设等差数列的公差为，，所以是递减数列，B选项错误； 因为，所以，所以，A选项正确； 所以为正，从第8项起均为负，，故选项C正确； 所以， 所以的的最小值为14，故选项D正确. 故选：ACD. 7．（多选）已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（   ） A．若，则数列是递减数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 【答案】AD 【分析】先根据题意用表示出公比，再根据选项讨论当的取值范围不同时数列的增减情况即可. 【详解】由等比数列，则公比， 对于选项，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项正确. 对于选项，若，则公比，又，数列是递增数列，故选项错误. 对于选项，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项错误. 对于选项，若，则公比，故，又，数列是递增数列，故选项正确. 故选：. 8．（多选）已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据条件得出，可判断等差数列的增减性判断ABC选项；再利用等差数列的前项和公式和下标和性质判断D. 【详解】由题意可知，，， 则，故等差数列为递减数列， 故，，，故A正确，BC错误； ，故D错误. 故选：BCD 9．（多选）等比数列的前项和，前项积记为，则（    ） A．公比为2 B． C． D．有最小值 【答案】ABD 【分析】根据等比数列前项和公式，结合求出公比及通项，再逐项求解判断. 【详解】由等比数列的前项和，得， ， 对于A，等比数列的公比，A正确； 对于B，由，得，即，解得，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，， 当或时，取得最小值 又函数单调递增，因此当或时，取得最小值，D正确. 故选：ABD 10．（多选）已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则 D．数列是等比数列 【答案】AB 【分析】设出公比后，结合等比数列通项公式与定义计算可得A；分、，结合数列单调性讨论即可得B；由等比数列性质计算即可得C；举出反例可得D. 【详解】设数列公比为，则， 对A：，故数列是以为首项， 为公比的等比数列，故A正确； 对B：若，则， 若，则，解得， 则，此时数列是递减数列； 若，则，解得， 则，此时数列是递减数列； 故数列是递减数列，故B正确； 对C：，则，故（负值舍去）， 故，故C错误； 对D：若，则， 此时数列不是等比数列，故D错误. 故选：AB. 11．（多选）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 【答案】ACD 【分析】对于A，分，讨论可得；对于B、C，借助，得为递减数列，即，结合，得；对于D，由BC知当时，，当时，，即可得的最大项. 【详解】对于A，由等比数列性质可得， 若，因为，所以，不满足， 若，因为，所以，不满足， 所以，故A正确； 对于B、C，因为，为递减数列，所以， 又，所以，故B错误、C正确； 对于D，由B，C可得当时，，当时，， 所以的最大值为，故D正确． 故选：ACD. 12．（多选）已知数列不是常数列，其前项和为，则下列选项正确的是（   ） A．若数列为等差数列，恒成立，则为递增数列 B．若数列为等差数列，，则的最大值在或时取得 C．若数列为等比数列，则恒成立 D．若数列为等比数列，则数列也为等比数列 【答案】ABC 【分析】对A，根据条件可得，即可求解；对B，根据条件，利用等差数列的性质可得，，即可求解；对C，利用等比数列的前项和公式及通项公式，得，再对进行讨论，即可求解；对D，利用等比数列的定义，即可求解. 【详解】对于A，因为数列不是常数列，且数列为等差数列，恒成立， 则，所以为递增数列，故A正确， 对于B，因为，则，所以，且， 则，所以的最大值在或时取得，故B正确， 对于C，因为数列为等比数列，且，则， 因为恒成立，当时，，当时， 当时，，所以恒成立，故C正确， 对于D，因为数列为等比数列，设其首项为，公比为， 则不为常数，所以D错误， 故选：ABC. 13．（多选）已知为等比数列的前项和，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是递减数列 D．是递增数列 【答案】ACD 【分析】A选项，设出公比为，推出，由不等式性质得到，，得到A正确；B选项，举出反例得到B错误；C选项，先得到，则，故；D选项，作差得到，所以，D正确. 【详解】A选项，设公比为，则， 因为，所以，又，故， 因为，所以， 因为，所以，则，， 故，A正确； B选项，假设，，则，，，满足， 故，B错误； C选项，，则，故， 故是递减数列，C正确； D选项，相邻两项的差为， 由于，所以， 故，所以，为递增数列，D正确. 故选：ACD 14．数列，记（且）．现有如下说法： ①若数列为等差数列，则； ②若数列为等比数列，且数列单调递增，则公比； ③若数列为等比数列，且，则公比； ④若对任意的且，都有，则数列单调递增． 其中所有正确说法的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】利用等差数列的定义可判断①；计算得出，结合等比数列的单调性求出的范围，可判断②；利用绝对值的性质可判断③；利用绝对值的性质和数列的单调性可判断④. 【详解】对于①，若数列为等差数列，设其公差为， 则，①对； 对于②，若数列为等比数列，设其公比为， 则， 因为数列单调递增，则，故且， 所以，解得或，②错； 对于③， ， ， 而 ， 因为，则， 当且仅当时，等号成立，③对； 对于④，因为 ， 当且仅当，，，， 或，，，，， 即当或时， 又因为，即，故， 所以，当且仅当时，等号成立， 故数列是不减数列，但不一定是递增数列，④错. 故答案为：①③. 15．已知等差数列与等比数列都是无穷递增数列，给出下列四个结论: ①不存在数列与，使得是递减数列； ②存在数列与，使得是递增数列； ③不存在数列与，使得同时有无穷个正项和无穷个负项； ④存在数列与，使得恰好出现三个为1的项. 其中正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】由即可判断①；由可以成立即可判断②；由增数列性质结合一次函数和指数函数图像性质即可依次分析判断③④. 【详解】因为等差数列与等比数列都是无穷递增数列， 则， 则， 所以数列是递增数列，不存在数列与，使得是递减数列，①正确； 设等差数列公差为d，等比数列公比为q， 则， 显然可以成立， 如当时，即， 所以存在数列与，使得是递增数列，②正确； 由①数列是递增数列，所以最小项为， 由等差数列性质， 若恒成立，则由等比数列是无穷递增数列得， 则一定存在，使得，则当时，， 则有无穷个正项和有限个负项， 所以不存在数列与，使得同时有无穷个正项和无穷个负项，③正确； 因为为一次型函数增长模型，为指数型增长模型， 由一次函数与指数函数图像特征可知，一次函数与指数函数至多只有两个交点， 所以不存在数列与，使得恰好出现三个为1的项，④错误. 故答案为：①②③ 题型二：通项公式与单调性 1．已知数列满足，则“数列是递增数列”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将通项变形，通过作差法分析单调性，再结合充分不必要条件的定义得出结果. 【详解】将变形为. . 若数列递增，则，即. 因，故，即（此为充要条件）， 所以A选项符合，BCD选项不符合. 故选：A 2．设函数，数列满足，且数列是递增数列，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数列递增得到分段函数在两个区间上分别递增，得到对应的范围，然后由，求的范围，从而得到结果. 【详解】∵数列是递增数列， ∴当时，单调递增，即，则， 当时，单调递增，则， 又，即，则，则， ∴. 故选：B. 3．已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由数列单调性得恒成立，作差化简得到对任意恒成立，接着利用函数性质求出即可得解. 【详解】 由数列是递增数列可得恒成立，即， 整理可得，该式对任意恒成立， 又因为函数为上的单调递减函数， 所以，所以. 故选：C 4．已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得当时，；当时，递增，故只需，代入求解即可. 【详解】当时，递增，则； 当时，递增， 若为递增数列，则， 且， 即，解得； 综上，. 故选：B. 5．已知数列的通项公式为，则数列的最小项是 ． 【答案】 【分析】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性，进而可求解. 【详解】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在上都单调递减， 所以最小项为，即. 故答案为：. 6．数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意列不等式即可求解. 【详解】由题意若数列是严格增数列，则当且仅当，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 7．已知，若数列为严格增数列，则实数q的取值范围是 . 【答案】 【分析】对进行分类讨论，根据为严格增数列列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】若，则，所以， 由指数函数的性质可知，数列为严格增数列； 若，则，所以，为常数数列； 若，则，所以， 由指数函数的性质可知，数列为严格增数列： 若，则，所以， 此时， 所以数列一定不是严格增数列； 若，则，，所以， 由， 该式在时恒成立； 由. 当时，， 又，所以，此时：， 因为，，所以. 即在时成立. 综上可知，的取值范围为：. 题型三：递推公式与单调性 1．已知单调递增数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形得到、，讨论、时判断数列性质，即可得. 【详解】由于，即，整理得， 当时，单调递增，符合； 当时，则是首项为，公比为的等比数列， 所以，则， 当时，则，，不符， 当时，则，不符， 当时，则，，不符， 故选：A. 2．已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由递推公式结合等比数列定义可得数列的通项公式，则可计算出，再结合数列单调性计算即可得. 【详解】，所以， 所以是以为首项、2为公比的等比数列， 所以， 所以， 若数列是递增数列，则恒成立， 所以 恒成立， 所以恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 3．若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”．则下列正确的是（   ） A．若是“数列”，则 B．若是“数列”且是等差数列，则单调递增 C．若是“数列”且单调递减，则是等比数列 D．若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是 【答案】D 【分析】根据新定义数列，计算判断A，结合等差数列，单调性，周期数列计算判断BCD. 【详解】对于A，若是“数列”，当时，， ，若 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以，A错误. 对于B，若是“数列”且是等差数列，设公差为， 当时，，即， 当时，，则，，即， 此时，数列不单调递增，B错误. 对于C，若是“数列”且单调递减， 当时，，因为数列单调递减，所以. 当时，，因为数列单调递减，所以. 当时，，因为数列单调递减，所以. 可知数列不是等比数列，C错误. 对于D，若是“数列”且是周期数列，假设周期为， 当时，， 当时，，所以或 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 这样数列值会越来越大（非周期），所以 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 同理按此规律计算可得数列的取值可能是， 所以的元素个数最多是，D正确. 故选：D. 4．（多选）若数列的首项，且，则（    ） A．数列为等比数列 B． C．数列为递增数列 D．存在三个不相等正整数，使得 【答案】AC 【分析】通过取倒数变形判断数列类型，推导通项公式，分析数列单调性，假设存在性验证等式是否成立，逐一验证各选项. 【详解】选项A，由，取倒数得，变形得. 首项，故是以为首项、为公比的等比数列，A正确. 选项B，由的通项得，故，即. 选项B中表达式为，与推导结果不符，B错误. 选项C，，因随增大而递增，随增大而递减， 故随增大而递增，数列为递增数列，C正确. 选项D，假设存在不相等正整数，使得， 由C选项分析可知，数列为递增数列， 则对于任意不相等的正整数，有， 而，则， 所以等式无法成立，故不存在这样的，D错误. 故答案为：AC 5．（多选）已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（   ） A．数列为等差数列 B． C．随的增大而减小 D．有最大值 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的定义和性质以及通项公式进行逐项判断即可. 【详解】因为， 所以当时，， 两式相减得，即. 所以. 当时，则，则. 所以数列是以-1为公差，为首项的等差数列，所以A正确； 则，即，所以B正确； 又，则当时，，当时，. 所以当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，所以C错误； 故当或时，取得最大值，所以D正确. 故选：ABD. 6．（多选）已知正四面体中，在线段上，且，过点作平行于直线的平面，截面面积为，则下列说法正确的有（   ） A． B．为递减数列 C．存在常数，使为等差数列 D．设为数列的前项和，则时， 【答案】ABD 【分析】取的中点，连接先由线面垂直证明，对于A，过点作交于点，过点作交于点，过点作，交于点，连接，再由相似关系得到的通项，然后可判断A；利用可得B；由等差数列的性质可得C；结合裂项相消法可判断D. 【详解】由题意得， 取的中点，连接， 因为均为等边三角形，所以， 因为平面，所以平面． 因为平面，所以． 对于A，过点作交于点，过点作交于点，过点作，交于点，连接， 易得四边形为平行四边形，又，可得截面为矩形． 由相似知识可知， 故，所以，A正确； 对于B，因为，所以，故，故为递减数列，B正确； 对于C，，则， 不是常数，C错误； 对于D，， 则，令，解得，D正确． 故选：ABD． 7．在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由递推关系可得，求得，不等式恒成立等价于恒成立，讨论的奇偶即可求出. 【详解】由，得，即， 而，则，即，， 由数列为递增数列，得任意的恒成立， 则，得， 即恒成立， 当为奇数时，恒成立，数列单调递增，的最小值为，则， 当为偶数时，恒成立，数列单调递减，的最大值为，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 8．已知数列满足，，，若存在正整数m使得恒成立，则 ． 【答案】8 【分析】利用与的关系可得，进而可得，利用作差法找出数列的最大项即可求解. 【详解】，当时，， 当时，， 所以， 所以，时也适合， 所以，， 所以，， ，， 当时，，即， 当时，，即， 所以当时，最大， 即对任意，均有， 所以存在正整数，使得恒成立. 故答案为：8. 9．已知数列中，，且（n为正整数），则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用累加法得，进而得，利用单调性即可求解. 【详解】由题意有：，， 上式相加得， 所以，所以， 因为在单调递减，在单调递增， 所以， 故答案为：. 10．数列前n项和，，则数列的最小项为（用具体数字作答） ． 【答案】 【分析】利用先求，进而得，最后分类讨论即可求解. 【详解】由题意有：当时，， 当时，由有，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以， 当为奇数时，，随着增大而减小， 当为偶数时，，令，， 所以在单调递减，当时，， 所以当时，即时，， 故数列的最小项为. 故答案为：. 题型四：项的最大、最小值 1．数列的最大项的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，求得数列的最大项的值，得到答案. 【详解】由数列， 则， 当时，，即，且， 当时，，即； 当时，，即，且； 当时，，即； 当时，，即，所以. 综上可得，数列的最大项为. 故答案为：. 2．数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为， 则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：B 3．已知为数列的前项和，且. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求的表达式及最大值. 【答案】(1)； (2)，20. 【分析】（1）根据给定条件，利用，结合等比数列求出通项公式. （2）利用分组求和法及等比数列前项和公式求和，再探讨数列的单调性求出最大项. 【详解】（1）在数列中，，则，两式相减得， 而，，则，因此数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以的通项公式是. （2）由（1）得， 所以， ，当时，；当时，， 即，所以当时，取得最大值. 4．设数列的前项和.数列是等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若是数列的前项和，求满足的最小的正整数的值. 【答案】(1)； (2)11. 【分析】（1）由的关系可解得数列的通项公式，然后由等比数列的性质可求出的通项； （2）先用错位相减法求出，再令，求出其单调性后可解. 【详解】（1）因为，所以由得，所以， 所以， 时，， 又时，，所以的通项公式为； 设的公比为， 因为，所以， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，所以的前项和， 所以， 所以 ， 所以. 由得，令，则，所以， 因为，所以， 所以满足的最小的的值为11. 5．正项数列满足：，对一切，有其中为数列的前项和. (1)证明是等差数列，并求出的通项公式； (2)若数列前项和，求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)最大值为3，最小值为 【分析】（1）根据与的关系作差化简得出，再结合等差数列的定义和通项公式可求解； （2）利用计算； （3）利用裂项相消计算，再结合其增减性可得. 【详解】（1）因，则当时，， 两式作差得，即， 因，则， 当时，，又解得，则满足上式， 故数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 其通项公式为； （2）由（1）得， 当时，， 因，满足上式，所以其通项公式为； （3）， 则 ， 当为奇数时，，为递减数列， 又，则； 当为偶数时，，为递增数列， 又，则； 则的最大值为，最小值为. 6．已知数列中，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前项和； (3)令，求数列的最大项. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证； （2）利用等比数列的前项和公式，分组求和即可求解； （3）由（2）得，即，得，令，比较与1的大小来判断数列的单调性，进而求出最大项. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）得， 所以 ， 化简得； （3）由（2）得， 所以， 令， 易得，又单调递减，当时，即， 又当时，， 所以数列的最大项为. 7．已知数列中， (且)． (1)若，求数列中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1)最大项为，最小项为 (2) 【分析】（1）利用函数的单调性，分析数列的单调性，可求数列的最大、最小项. （2）分析函数的单调性，结合，可求的取值范围. 【详解】（1）∵，(，且). 又，∴ ()． 因为函数在和上单调递减， 可知，（）. ∴数列中的最大项为，最小项为. （2）， 已知对任意的，都有成立， 因为函数在和上单调递减， 可知，即. 故的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $