专题03 一元二次方程13题型（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题03 一元二次方程 题型1 一元二次方程的定义 题型8 公式法解一元二次方程（常考点） 题型2 化成一元二次方程的一般式 题型9 因式分解解一元二次方程（难点） 题型3 判断是否是一元二次方程 题型10 换元法解一元二次方程 题型4 由一元二次方程的解求参数 题型11 一元二次方程的根与系数的关系（重点） 题型5 直接开平方法解方程 题型12 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型6 配方法解方程（常考点） 题型13 根据一元二次方程根的情况求参数（常考点） 题型7 配方法的应用（常考点） 题型1 一元二次方程的定义（共6题） 1．（2025·上海奉贤期末）若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】3或 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程，只有一个未知数，且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，可知，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，， 解得或． 故答案为：3或． 2．（2025·上海奉贤期末）下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、属于一元二次方程，故A选项符合题意； B、中若，不属于一元二次方程，故B选项不符合题意； C、中有含两个未知数、，不属于一元二次方程，故C选项不符合题意； D、不是整式方程，不属于一元二次方程，故D选项不符合题意； 故选：A． 3．（2025·上海期末）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据定义对每个方程进行分析，然后作出准确的判断．根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，运用定义对每个方程作出判断． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、含有分式，不是一元二次方程，故不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：B． 4．（2025·上海崇明期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，故符合题意； B、中含有两个未知数，故不是一元二次方程，故不符合题意； C、不是整式方程，故不是一元二次方程，故不符合题意； D、化简得，故不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：A． 5．（2025·上海杨浦期末）下列方程中，一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、是分式方程，不符合题意； C、，化简，得：，方程变为一元一次方程，不符合题意； D、，化简，得：，是一元二次方程，符合题意； 故选D． 6．（2025·上海期末）下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．整理方程得，所含未知数的项的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 题型2 化成一元二次方程的一般式（共4题） 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数 ． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为一般形式后，即可确定一次项系数． 【详解】解：， 展开得， 移项得，即， 所以一次项系数为； 故答案为：． 8．把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 【答案】B 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键． 将方程整理成一元二次方程的一般形式，确定各项系数、、的值． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项，得， 方程化简为， 可得，，， 故选：B． 9．（25-26八年级上·上海·阶段练习）将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（   ） A．5， B．2， C．， D．6，2 【答案】A 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，准确运算是解题的关键．一元二次方程的一般形式为，将方程化为一般形式后判断二次项系数和常数项的值即可． 【详解】解：， ， ∴二次项系数为5，常数项为， 故选：A． 10．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数是 ． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，形如为一元二次方程的一般式.通过移项合并即可求解． 【详解】解： 移项合并： 一次项系数为：． 故答案为：． 题型3 判断是否是一元二次方程（共4题） 11．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程是一元二次方程，符合题意； D、，方程是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 12．将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项，将方程化为的形式即可． 【详解】解：， ∴； 故选D． 13．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证． 【详解】A、若是一元二次方程，是常数，且，故此选项不符合题意； B、是分式方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：C 14．把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 将方程左边展开，然后移项，化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． 题型4 由一元二次方程的解求参数（共10题） 15．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的二次项的系数不为0，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选D． 16．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）关于的方程是一元二次方程，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 方程为一元二次方程，需满足最高次项为二次且二次项系数非零，据此计算求解即可． 【详解】解：由于方程是一元二次方程， 则最高次项次数：，且二次项系数， 方程，解得或， 不等式，解得， 因此， 故答案为：D． 17．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如果方程，是关于x的一元二次方程，那么m的值为（    ） A． B．3 C． D．0 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，即可求解． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得． 故选：C． 18．（25-26八年级上·上海金山·期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，知道一元二次方程的一般形式是解决本题的关键． 由常数项为0可得，再结合一元二次方程二次项系数不为0，确定m的值即可． 【详解】解： ， ∵常数项为且常数项为0， ∴ ， 解得， 又∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数， 即． ∴． 故答案为：． 19．（25-26八年级上·上海闵行·期中）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得出且，再求出k即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， ∴，， 因此， 故答案为：． 20．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知是方程的一个根，则 ． 【答案】2025 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则把代入，得，整理得，再把整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ， 即， ， 则 ， 故答案为：2025． 21．（25-26八年级上·上海崇明·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将根 代入方程，得到关于 的方程，解出 ，并检验是否满足一元二次方程的条件． 【详解】解：将 代入方程 ， 得 ， 即 ， 解得 或 ， ∵一元二次方程二次项系数 ， ∴， ∴． 故答案为：． 22．（25-26八年级上·上海松江·期中）请写出一个一元二次方程，使这个方程的一次项系数是，且它的一个根是1．这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的解，此题为开放性题目，答案不是唯一，答案只要满足题意即可．可设一元二次方程为 ，把代入，求出，然后令，则可求c的值，即可求解． 【详解】解：∵该方程的一次项系数是， ∴设一元二次方程为 ， ∵方程的一个根是1， ∴， ∴， 取，则， ∴方程为， 故答案为：（答案不唯一） 23．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知是方程的根，则代数式的值为 ． 【答案】25 【知识点】由一元二次方程的解求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义可得，而，据此代入数值计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ，即， ∴ ， 故答案为：25． 24．（25-26八年级上·上海·期中）如果m是方程的一个根，则 ； 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】该题考查了一元二次方程的解，由于是方程的一个根，代入方程可得，即．所求表达式可变形为，代入已知值计算即可． 【详解】解：因为是方程的一个根， 所以， 即． 则． 故答案为：． 题型5 直接开平方法解方程（共4题） 25．（2025·上海普陀期末）在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，分别求出每个方程的解，进行判断即可． 【详解】解：A、， ∴；不符合题意； B、， ∴；符合题意； C、，此方程无解；不符合题意； D、， ∴， ∴；不符合题意； 故选B． 26．（2025·上海青浦·期中）解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：由题意可得：或. ∴或 解得：或. ∴.原方程的解是：， 27．（2025·上海·期中）解方程： 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查解一元二次方程，运用直接开方法求解即可． 【详解】解：开方得：， 即或， 解得：，． 28．（2025·上海杨浦·期中）方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查直接开平方法解一元二二次方程，先把方程化简成，再直接开平方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 题型6 配方法解方程（共8题 29．（2025·上海奉贤期末）解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 首先将方程整理成一般式，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 解得，． 30．（2025·上海长宁期末）用配方法解方程：． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了运用配方法解一元二次方程，先把二次项系数化1，得，再把常数项移到等号的右边，即，再配方，最后开方，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴ ∴． 31．（2025·上海期末）用配方法解方程：． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 32．解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．利用配方法求解即可． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：， 33．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程，乐乐的解答过程如下： 解：①移项，得， ②将二次项系数化为1，得： ③配方，得 ④两边开平方，得或 ⑤所以， (1)乐乐的解答过程从第___________步开始出错的，其错误原因是_________________． (2)请写出正确的解答过程（全部）． 【答案】(1)③，配方出错； (2)见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键： （1）第③步，配方出错，方程两边应该加上一次项系数一半的平方； （2）根据配方法的步骤，进行作答即可． 【详解】（1）解：第③步，配方出错，方程两边应该加上一次项系数一半的平方； （2）解：， 移项，得， 将二次项系数化为1，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， 所以， 即． 34．（25-26八年级上·上海·期中）将一元二次方程配方成的形式，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过移项和配方，将方程化为完全平方形式，从而确定和的值，再计算它们的和．取一次项系数一半的平方，再添加到方程两边形成完全平方式即可．解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）化二次项系数为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；（2）在方程两边加上一次项系数一半的平方；（3）配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】解：， 移项，得：， 配方，得：， 即， ∴方程可配方成， 又∵一元二次方程可配方成的形式， ∴，， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 35．（25-26八年级上·上海·期中）用配方法解方程∶ 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤，一除，二移，三配，四变形，进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得，． 36．（25-26八年级上·上海·期中）解方程: 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，整体数学思想﹒把看作一个整体，直接利用配方法解方程即可求解﹒ 【详解】解： 配方得， 即， ∴， ∴﹒ 题型7 配方法的应用（共9题） 37．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、配方法的应用 【分析】本题考查因式分解，掌握配方法和平方差法因式分解是解题的关键．先配方再用平方差公式法，进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 38．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、配方法的应用 【分析】先利用配方法进行整理，再根据平方差公式进行因式分解即可。 【详解】解：， 根据平方差公式可得， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，注意在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止是解题的关键． 39．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、配方法的应用 【分析】根据配方法化为平方差的形式，进而因式分解，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数范围内因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键． 40．已知为实数，若，那么的值为 ． 【答案】2或3 【知识点】配方法的应用、因式分解法解一元二次方程 【分析】将原方程变形为，然后把看作一个整体运用因式分解法求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴, ∴, ∴， 解解，， 故答案为：2或3． 【点睛】本题主要考查了配方法，用因式分解法解一元二次方程，正确将原方程进行变形运用因式分解法求解是解答本题的关键． 41．的最大值为 ． 【答案】 【知识点】配方法的应用 【分析】将式子配方成完全平方式即可得出答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式取得最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解本题的关键． 42．（2025·上海松江期末）定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 【答案】 【知识点】配方法的应用 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 43．（2025·上海闵行·期中）多项式的最小值为 ． 【答案】 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了一元二次方程配方法的应用，运用配方法进行配方是解题的关键．根据配方法进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 当时，多项式的最小值为． 故答案为：． 44．（25-26八年级上·上海·阶段练习）将二次三项式写成的形式则 ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、配方法的应用 【分析】此题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：． 45．（2025·上海·期中）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为 ． 【答案】10 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查了配方法的应用，由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方． 【详解】解：由题意得 ， 即． ∴． 故答案为：10． 题型8 公式法解一元二次方程（共8题） 46．（2025·上海松江期末）解方程：． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 47．（2025·上海闵行期末）解方程：． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．本题可以利用配方法或公式法求解即可． 【详解】解：， 方程变形得：， ∵，，，， ∴， ∴，， 即，． 48．（2025·上海期末）解方程：． 【答案】，． 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程．首先把一元二次方程化为一般形式，然后再用公式法解方程． 【详解】解：， 方程化为一般式为， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 49．解方程：． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用公式法求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得． 50．（25-26八年级上·上海青浦·期中）解方程；． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】利用公式法求解即可． 本题考查了求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 51．（25-26八年级上·上海崇明·期中）若x、y为实数，且，则的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、公式法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的解法，换元法，平方的非负性，掌握相关知识是解决问题的关键．通过换元法，设 ，将原方程转化为二次方程求解，根据非负性确定 的值，再求表达式的平方根即可． 【详解】解：设 ，则原方程化为 ，即 ． ， 得 或 ． 由于 ，故 ． ∴，其平方根为 ． 故答案为：． 52．（25-26八年级上·上海松江·期中）解方程：． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，准确的计算是解决本题的关键． 根据公式法求解一元二次方程即可． 【详解】解：在中，， ∴ ， ∴ ， ∴． 53．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程时，小海同学解答如下： 解：原方程中，，，．第一步 ．第二步 ，第三步 即或．第四步 所以，原方程的根是，．第五步 (1)上述解题过程从第_____步开始出现错误？ (2)请写出完整的正确解题过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程的步骤和方法是解题的关键； （1）根据原方程没有变形为一般形式就进行求解即可进行判断； （2）先变形为方程的一般形式，再根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴上述解题过程从第一步开始出现错误； 故答案为：一； （2）解：原方程可变形为：， 方程中，，，，， ∴， ∴方程的解为, ． 题型9 因式分解解一元二次方程（共8题） 54．（2025·上海长宁期末）一元二次方程的根是 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程． 通过对给定的一元二次方程进行因式分解，将其转化为两个一次方程，进而求解方程的根． 【详解】解：， ， 则或， 所以， 故答案为：． 55．（2025·上海普陀期末）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，去分母将方程化为一般形式，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：去分母，得：． 即． ∴ ∴或． ∴，． 56．（2025·上海黄浦期末）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】此题考查了解一元二次方程，变形为，得到或，即可求出答案即可． 【详解】解： 则 ∴ 则或 解得， 57．（2025·上海松江期末）一元二次方程的根是 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得， 故答案为：． 58．（2025·上海浦东新期末）方程的解是 ． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先移项，再分解因式，即可得解． 【详解】解：， 移项，得：， 分解因式，得：， 或， 解得：，， 故答案为：，． 59．解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 60．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程： 【答案】 ， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，本题中分别把和看作一个整体，利用平方差公式分解因式，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，通过解一元一次方程求出一元二次方程的解． 【详解】解：， 分解因式可得：， 整理可得：， 可得：或， 解得：，． 61．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知是关于的方程的一个根，那么的值是 ． 【答案】2或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，因式分解法解一元二次方程．将代入方程，得到关于m的一元二次方程，再进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入方程， 得，即，整理得， ∴， 解得或． 故答案为：2或． 题型10 换元法解一元二次方程（共8题） 62．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 【答案】或或或 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 通过换元法，设，将原方程转化为关于y的二次方程求解，然后代回解关于x的方程． 【详解】解：设， 则， 因式分解，， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 综上，原方程的解为或或或． 63．（25-26八年级上·上海·期中）如果实数满足，则代数式 的值为 ． 【答案】2 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、公式法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解的应用，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 通过换元法，设，将原方程转化为关于的二次方程，解出的值．再将所求代数式用表示，代入的值求解．由于时对应方程无实数解，故只取，得到代数式的值为2． 【详解】解：设，则原方程化为． 解方程， 判别式， 所以， 得，． 所求代数式． 当 时，； 当时，． 但， 即，整理得， 判别式，无实数解． 故只有符合题意，代数式的值为2． 故答案为：2． 64．（25-26八年级上·上海·期中）关于 的一元二次方程 的两个根分别 ，则方程 的两个根分别是 【答案】， 【知识点】换元法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查根与系数的关系，换元法解一元二次方程，根据根与系数的关系得到，设，将方程 化为，再将方程两边同时除以，将方程化为，进行求解即可． 【详解】解：∵（）的两个根分别 ， ∴，即，，即． 设， 则方程化为 ． 两边除以（），得 ． 代入 ，， 得， 即． 解得，． 由，得， ∴，． ∴方程的两个根为，． 故答案为：，． 65．（25-26八年级上·上海·期中）方程的解为 ． 【答案】，， 【知识点】公式法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查高次方程的解法，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键．观察到方程系数对称，通过除以 （）进行代换，设 ，将原方程转化为关于 的二次方程，求解后再解关于 的方程． 【详解】解：原方程为 ， 由于 ，两边除以 ，得：， 整理得：． 设 ，则 ， 代入得：， 化简得：． 解该二次方程：判别式 ， ， 所以 ，． 当 时，即，两边乘以 得：， 即 ，判别式 ， ， 所以 或 ； 当 时，即，得：， 即 ，所以 ， 综上，原方程的解为 ，，． 66．（25-26八年级上·上海·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题：已知，求的值为 ． 【答案】，，， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；通过观察方程，发现含有重复表达式，因此采用换元法，设，将原方程转化为关于的一元二次方程，求解后再代回求解． 【详解】解：设，则原方程可化为． 展开得，即． 因式分解得，解得，． 当时，，即，解得，． 当时，，即，判别式，解得，即，． 经检验，所有解均满足原方程． 故答案为：，，，． 67．（25-26八年级上·上海金山·期中）降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． （2）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴可以将看成一个整体，设， 则，原方程可化为， ∴ 解得，． 当时，，解得 当时，，解得． （2）解：∵， ∴可以将看成一个整体，设， 原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得 当时，， ∴， ∴， 解得． 综上：． 68．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：（为正整数）． 【答案】当为偶数时，；当为奇数时，或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，设，则原方程可化为，利用因式分解法求出方程的解，进而分为偶数和奇数两种情况解答即可，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：设， 则原方程可化为， ∴， ∴或， ∴或， 即或， 当为偶数时，，此时仅有， ∴； 当为奇数时，或， ∴或； 综上，当为偶数时，；当为奇数时，或． 69．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料： 数学符号语言是数学特有的通用语言，是人类数学思维长期发展形成的一种语言表达形式，是数学语言的典型代表．它具有准确性、简约性、应用广泛性等特点，是表达数学思想、进行数学推理和解决问题的重要工具． 如：书本中用符号语言“”代替了二次根式的乘法的运算法则“两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变”． 根据所给材料，完成下列问题： (1)用文字描述符号语言“”的等式含义：________________； (2)①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值”可以用数学符号语言描述为________________； ②解方程：． 【答案】(1)的算术平方根等于 (2)①；②或 【知识点】求一个数的算术平方根、因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查算术平方根的定义，绝对值，解一元二次方程． （1）根据算术平方根的定义即可解答； （2）①将文字语言转化为数学语言即可；②利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：“”的等式含义为的算术平方根等于， 故答案为：的算术平方根等于； （2）解：①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值” 设这个数为， 则可以用数学符号语言描述为， 故答案为：； ②解：， 令， 由①得，， 则原方程为：，即， 或， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴或． 题型11 一元二次方程的根与系数的关系（共15题） 70．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别为，，且，，那么这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，根据已知条件和，可得和，逐一验证各选项的系数是否满足这些比例即可，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为，，且，， ∴，， A、中，，，则，故不满足条件，不符合题意； B、中，，，则， 且，故满足条件，符合题意； C、中，，，则，故不满足条件，不符合题意； D、中，，，则，但 ，故不满足条件，不符合题意； 故选：B． 71．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于的一元二次方程有实数根，那么下列说法不正确的是（） A．若，则方程的一个根为1 B．若，则方程的一个根为0 C．若，则方程的两根互为相反数 D．若，则方程的两个根互为倒数 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的根的情况，逐项分析判断即可． 【详解】解：对于A：∵当时，代入方程得， ∴当，方程的一个根为，但1不一定是方程的根，故错误． 对于B：∵时，方程化为，∴有一个根为0，正确． 对于C：∵时，方程化为，解得，两根互为相反数，正确． 对于D：∵时，两根之积为，∴两根互为倒数，正确． 综上，不正确的是A． 故选A． 72．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 73．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知三个不同的实数a、b、c满足，关于的方程和有一个相同的实数根，关于的方程和也有一个相同的实数根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查了一元二次方程的解，以及根与系数的关系；根据根相同列出方程组，用，，表示相同的根，从而得出方程根的关系进而求解．设方程和的一个相同实数根，设方程和有一个相同的实数根，将代入方程和组成方程组，把代入方程和组成方程组，解出，解出，得,方程的两根之积等于，所以是方程和的解，进而解得，再代入方程和，可得，，结合即可，即可解决问题． 【详解】解：设方程和的一个相同实数根，设方程和有一个相同的实数根， 则 ，则 ， 解得，， ∴， ∵方程的两根之积等于， ∴也是方程的根； ∵是方程和的解， 则， 解得(其中)， 把代入方程和， 得，， ∵， ∴,， ∴，，， ∴. 故答案为：． 74．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知为等腰三角形，一边长为3，它的另两条边的长度分别是方程的两个根，那么m的值是 ． 【答案】3或4 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系和三角形三边关系的应用，根据根与系数的关系，方程两根之和为4，两根之积为．分两种情况讨论：当3为底边时，两腰相等且为方程根，求；当3为腰时，另一腰为3，底边为方程另一根，求．并验证三角形三边存在条件． 【详解】解：设方程的两个根为和，则，． 由于是等腰三角形且一边长为3， ①若3为底边，则两腰和相等，即，此时，三边分别为2、2、3，满足三角形三边关系（两短边之和大于第三边）． ②若3为腰，则另一腰也为3，底边为方程的另一根，设，则，此时，三边分别为3、3、1，满足三角形三边关系． 故的值为3或4， 故答案为：3或4． 75．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）关于x的方程的两根之和是3，那么m的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系，二次方程的两根之和等于，由此建立关于的方程并求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 76．（25-26八年级上·上海虹口·期中）若关于方程的两根为，，且，则 ． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，再结合完全平方公式计算即可得解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵关于方程的两根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 77．（25-26八年级上·上海崇明·期中）设与为一元二次方程 的两根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，计算两根之和与两根之积，再代入表达式求值． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系，得，， ． 故答案为：． 78．（25-26八年级上·上海闵行·期中）2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率和（单位：赫兹）满足以下条件：①两个频率的和为8；②以这两个频率为根的一元二次方程，其一次项系数的2倍与常数项的和，等于两根的差的平方．设该一元二次方程为（其中b、c是实数），则可求得 ． 【答案】16 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程的性质，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，由两根之和为8，可得一次项系数的值；再根据条件“一次项系数的2倍与常数项的和等于两根差的平方”，结合两根之差与和积的关系，列出方程求解即可． 【详解】解：设方程的两根为和 由根与系数的关系得： 、 由题意得： 则，即 由“一次项系数的2倍与常数项的和等于两根差的平方”得： 代入得， 整理得： 其中， 代入上式得： 解得． 故答案为：16． 79．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）已知关于的方程的两个根分别为． (1)是这个方程的解吗？请说明理由； (2)与是正数还是负数？请说明理由． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)负数，理由见解析 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、一元二次方程的根与系数的关系、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程根的含义，根与系数的关系以及绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是理解方程根的含义以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据方程解的含义，将代入方程，验证是否成立即可； （2）根据根与系数的关系，得到，，判断它们的符号从而确定与的符号． 【详解】（1）解：不是，理由如下： 根据方根解的含义，将代入方程可得，， ∵，， ∴， 显然不成立， ∴不是这个方程的解； （2）解：与是负数，理由如下： 关于的方程的两个根分别为， 由根与系数的关系可得，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴与是负数． 80．（25-26八年级上·上海静安·期中）已知实数m满足， (1)如果实数n满足，且，求 的值； (2)如果实数s满足，且．求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解的应用、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系． （1）由题意得出是方程的两个不相等的实数根，据此知，将其代入计算即可； （2）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴是方程的两个不相等的实数根， ， ． （2）解：把两边同时除以， 得． 又 ∵， ∴实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ， ． 81．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知是方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)0 (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、分式化简求值、通过对完全平方公式变形求值、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、分式的化简求值、完全平方公式、平方根等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由根与系数的关系可得，又可得，然后将代入得到关于a的方程求解即可； （2）由（1）得：， ，则，再根据完全平方公式可得，然后再根据平方根求解即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． （2）解：由（1）得：， ，则， ∴， ∴． 82．（25-26八年级上·上海普陀·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． (1)当时，_____________； (2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） (3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【知识点】求一个数的平方根、实数与数轴、因式分解的应用、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式变形求值，因式分解的应用，求一个数的平方根等知识点． （1）根据数轴上中点坐标公式求解； （2）根据，即可表示；由题意得，再由代入化简即可； （3）当时，（为正整数），则当时，（为正整数，且），则 ，即，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：∵的中点表示的数是p， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； 由题意得， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，（为正整数）， 当时，（为正整数，且）， ∴ 两式相减得， 即． ∴ 或 解得或， ∴或 ∴ ，，，， 即的中点表示的数是或或或． 83．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： (1)填空：________；________； (2)； (3)． 【答案】(1) 2， (2) (3) 8 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，乘法公式的变形计算是关键． （1）确定一元二次方程二次项，一次项，常数项的值，根据根与系数的关系（）代入求值即可； （2）运用乘法公式变形计算即可求解； （3）根据分式的计算法则得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：关于的方程有两个实数根、， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴原式． 84．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）阅读材料并解决问题 材料1：我们学了一元二次方程的解法，其中最基本的方式，是利用因式分解进行降次．那么对于更高次的方程，我们也可以用类似方法进行求解．例如：解方程：，可将其左边通过拆项，试根等方式，因式分解为，则方程的根为，， 材料2：当我们知道一个方程两根之和与两根之积时，利用韦达定理，我们可以构建满足这样条件的方程 例如：设一元二次方程的两根为，，且已知，则满足这两个解的方程是： 材料3：我们知道若，，是方程的两个实数根，则我们可以把方程写为，展开后得，比较两个方程的对应系数，不难发现， 由此我们也能得到一元二次方程的根与系数关系： (1)利用材料推导一元三次方程的根与系数关系 即，若，，，是方程的三个实数解，试用，，，表示： ，， (2)根据材料求方程组的一组实数解（写出一组即可） 【答案】(1)；； (2)，，． 【知识点】因式分解的应用、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元三次方程根与系数的关系和整式乘法，解决此题的关键是熟练运用因式分解的方法解方程； （1）根据题意和因式分解方法解方程把方程变形，进而得到答案； （2）根据（1）中得到的关系，a，b，c可以看作一元三次方程的三个根，根据题目中试根的方法得到答案即可； 【详解】（1）解：∵，，是方程的三个实数解， 由材料可知方程可写成：， 化简得：， 而方程可化为：， ∴； （2）解：由（1）和题意可知a，b，c可以看作方程的三个根； 通过试根可知当时，方程左右两边相等，即是的根， 根据材料因式分解方程可化为：， ∴令或， ∴， 解一元二次方程得或， ∴，，． 题型12 根据判别式判断一元二次方程根的情况（共9题） 85．（2025·上海期末）下列关于x的方程中一定有实数解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程（a，b，c为常数，且）的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解． 【详解】解：A、，即， ∵ ∴方程没有实数根，故该选项不符合题意；     B、， ∵ ∴方程没有实数根，故该选项不符合题意；     C、， ∵， ∴方程没有实数根，故该选项不符合题意；     D.、， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意． 故选：D． 86．（2025·上海浦东新期末）下列关于的方程中，一定有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，一定有实数根，否则无实数根；分别计算出四个选项中方程的判别式，根据判别式的符号即可作出判断． 【详解】解：A、，故方程无实数根； B、，故方程有实数根； C、，故方程无实数根； D、，由于m的取值无法确定，故方程有或者无实数根取决于m的取值； 故选：B． 87．在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．用根的判别式判断即可，若方程有两个不相等的实数根，则需． 【详解】解：A、， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，本选项符合题意； B、， ∵， ∴方程无实数根，本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程无实数根，本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程实有两个相等的实数根，本选项不符合题意； 故选：A． 88．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列关于的方程中，有两个实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式．通过计算每个方程的判别式或直接求解，判断实数根的个数，只有选项A的判别式大于0，有两个实数根，即可作答． 【详解】解：A、方程化为，∴ ，有两个实数根； B、方程，∴ ，无实数根； C、方程化为 ，∴，无实数根； D、方程，得，∵，∴无实数根， 故选：A． 89．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，通过计算每个二次方程的判别式，判断实数根的情况；判别式大于0时有两个不相等的实数根，即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：A、中，，，故，无实数根，不符合题意； B、中，，，故，有两个相等的实数根，不符合题意； C、中，，，故，无实数根，不符合题意； D、中，，，故，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 90．（25-26八年级上·上海闵行·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式等知识，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；有两个不相等的实数根需判别式大于零，联立求解． 【详解】解：∵ 方程为一元二次方程， ∴ ， ∵ 有两个不相等的实数根， ∴ 判别式 ， ∴ ，即 ， 综上，且． 故选：D． 91．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）某数学兴趣小组在“探究关于x的方程的实数根”时发现需要先对a、b、c的取值作出分类讨论．他们把最终的探究结果整理成为如下的思维导图（如图，该思维导图不完整），请根据你所学的知识，在该思维导图中缺失的部分为 ． 【答案】方程有两个实数根 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的时，方程有2个实数根，进行作答即可． 【详解】解：当，时，方程有两个实数根； 故答案为：方程有两个实数根． 92．（25-26八年级上·上海·期中）已知是正实数，关于的一元二次方程：． (1)判断：方程根的情况． (2)若是方程的一个实数根，试比较代数式与的大小关系． 【答案】(1) 方程有两个不相等的实数根。 (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解， （1）计算一元二次方程的根的判别式求出方程的根的情况； （2）将方程的根代入，得到，计算，由此进行判断即可． 【详解】（1）解：， , ∵是正实数， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解:将代入方程， 得， ∴， ∵， ∴． 93．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知，是方程的两实数根，求 (1)判别式的值； (2)和的值． 【答案】(1)17 (2)； 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解答本题的关键． （1）把各项系数代入一元二次方程根的判别式进行计算即可； （2）求时，先提取公因式，再把和的值代入计算即可；求时，平方后变形为，把和的值代入计算，再开方求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，是方程的两实数根， ∴，， ∴ ； ； ∵ ∴． 题型13 根据一元二次方程根的情况求参数（共6题） 94．（2025·上海徐汇期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 要使有两个不相等的实数根，则必须，进而可以计算出的取值范围． 【详解】解：要使有两个不相等的实数根， 则， ， 故答案为：． 95．（2025·上海奉贤期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了一元二次方程（为常数且）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据题意得出，计算即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 的取值范围为且. 96．（2025·上海期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求自然数m的值并解方程． 【答案】，方程的解为， 【知识点】公式法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义及根的判别式求出自然数m的值，进而解方程即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且． ∵m为自然数， ∴． 当时，方程为， 解得，． 97．（2025·上海期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题还考查了一元二次方程的定义，容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且． 故答案为：且． 98．关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用根的判别式，建立关于m的方程求得m的值是解题的关键． 【详解】解：， 解得：， 故答案为：． 99．（2025·上海崇明期末）已知关于x的一元二次方程 (1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． (2)如果方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式结合题意可得，求解即可； （2）由题意可得且，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得：且， ∴且 ∴且， ∴m的取值范围是：且． 100．（25-26八年级上·上海青浦·期中）已知关于的方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围． (2)若、是方程的两个根，且，求的值 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）根据所给一元二次方程有实数根，得出关于m的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得． （2）解：是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得． 又， 故． 2 / 62 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程 题型1 一元二次方程的定义 题型8 公式法解一元二次方程（常考点） 题型2 化成一元二次方程的一般式 题型9 因式分解解一元二次方程（难点） 题型3 判断是否是一元二次方程 题型10 换元法解一元二次方程 题型4 由一元二次方程的解求参数 题型11 一元二次方程的根与系数的关系（重点） 题型5 直接开平方法解方程 题型12 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型6 配方法解方程（常考点） 题型13 根据一元二次方程根的情况求参数（常考点） 题型7 配方法的应用（常考点） 题型1 一元二次方程的定义（共6题） 1．（2025·上海奉贤期末）若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 2．（2025·上海奉贤期末）下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海期末）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·上海崇明期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·上海杨浦期末）下列方程中，一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·上海期末）下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 题型2 化成一元二次方程的一般式（共4题） 7．（2025·上海奉贤期中）一元二次方程的一次项系数 ． 8．把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 9．（2025·上海·阶段练习）将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（   ） A．5， B．2， C．， D．6，2 10．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数是 ． 题型3 判断是否是一元二次方程（共4题） 11．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 12．将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 13．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 14．把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 题型4 由一元二次方程的解求参数（共10题） 15．（2025·上海奉贤期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（2025·上海浦东新期中）关于的方程是一元二次方程，则（  ） A． B． C． D． 17．（2025·上海浦东新期中）如果方程，是关于x的一元二次方程，那么m的值为（    ） A． B．3 C． D．0 18．（2025·上海金山期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是 ． 19．（2025·上海闵行期中）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 20．（2025·上海闵行期中）已知是方程的一个根，则 ． 21．（2025·上海崇明期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为 ． 22．（2025·上海松江期中）请写出一个一元二次方程，使这个方程的一次项系数是，且它的一个根是1．这个方程可以是 ． 23．（2025·上海普陀期中）已知是方程的根，则代数式的值为 ． 24．（2025·上海期中）如果m是方程的一个根，则 ； 题型5 直接开平方法解方程（共4题） 25．（2025·上海普陀期末）在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 26．（2025·上海青浦期中）解方程：． 27．（2025·上海期中）解方程： 28．（2025·上海杨浦期中）方程的解是 ． 题型6 配方法解方程（共8题 29．（2025·上海奉贤期末）解方程：． 30．（2025·上海长宁期末）用配方法解方程：． 31．（2025·上海期末）用配方法解方程：． 32．解方程：． 33．（2025·上海奉贤期中）解方程，乐乐的解答过程如下： 解：①移项，得， ②将二次项系数化为1，得： ③配方，得 ④两边开平方，得或 ⑤所以， (1)乐乐的解答过程从第___________步开始出错的，其错误原因是_________________． (2)请写出正确的解答过程（全部）． 34．（2025·上海期中）将一元二次方程配方成的形式，则的值为 ． 35．（2025·上海期中）用配方法解方程∶ 36．（2025·上海期中）解方程: 题型7 配方法的应用（共9题） 37．在实数范围内分解因式： ． 38．在实数范围内分解因式： ． 39．在实数范围内因式分解： ． 40．已知为实数，若，那么的值为 ． 41．的最大值为 ． 42．（2025·上海松江期末）定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 43．（2025·上海闵行期中）多项式的最小值为 ． 44．（2025·上海·阶段练习）将二次三项式写成的形式则 ． 45．（2025·上海期中）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为 ． 题型8 公式法解一元二次方程（共8题） 46．（2025·上海松江期末）解方程：． 47．（2025·上海闵行期末）解方程：． 48．（2025·上海期末）解方程：． 49．解方程：． 50．（2025·上海青浦期中）解方程；． 51．（2025·上海崇明期中）若x、y为实数，且，则的平方根是 ． 52．（2025·上海松江期中）解方程：． 53．（2025·上海奉贤期中）解方程时，小海同学解答如下： 解：原方程中，，，．第一步 ．第二步 ，第三步 即或．第四步 所以，原方程的根是，．第五步 (1)上述解题过程从第_____步开始出现错误？ (2)请写出完整的正确解题过程． 题型9 因式分解解一元二次方程（共8题） 54．（2025·上海长宁期末）一元二次方程的根是 ． 55．（2025·上海普陀期末）解方程：． 56．（2025·上海黄浦期末）解方程：． 57．（2025·上海松江期末）一元二次方程的根是 ． 58．（2025·上海浦东新期末）方程的解是 ． 59．解方程：． 60．（2025·上海奉贤期中）解方程： 61．（2025·上海奉贤期中）已知是关于的方程的一个根，那么的值是 ． 题型10 换元法解一元二次方程（共8题） 62．（2025·上海浦东新期中）解方程： 63．（2025·上海期中）如果实数满足，则代数式 的值为 ． 64．（2025·上海期中）关于 的一元二次方程 的两个根分别 ，则方程 的两个根分别是 65．（2025·上海期中）方程的解为 ． 66．（2025·上海期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题：已知，求的值为 ． 67．（2025·上海金山期中）降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 68．（2025·上海期中）解方程：（为正整数）． 69．（2025·上海奉贤期中）阅读下列材料： 数学符号语言是数学特有的通用语言，是人类数学思维长期发展形成的一种语言表达形式，是数学语言的典型代表．它具有准确性、简约性、应用广泛性等特点，是表达数学思想、进行数学推理和解决问题的重要工具． 如：书本中用符号语言“”代替了二次根式的乘法的运算法则“两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变”． 根据所给材料，完成下列问题： (1)用文字描述符号语言“”的等式含义：________________； (2)①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值”可以用数学符号语言描述为________________； ②解方程：． 题型11 一元二次方程的根与系数的关系（共15题） 70．（2025·上海闵行期中）已知关于的一元二次方程的两根分别为，，且，，那么这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 71．（2025·上海奉贤期中）若关于的一元二次方程有实数根，那么下列说法不正确的是（） A．若，则方程的一个根为1 B．若，则方程的一个根为0 C．若，则方程的两根互为相反数 D．若，则方程的两个根互为倒数 72．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 73．（2025·上海闵行期中）已知三个不同的实数a、b、c满足，关于的方程和有一个相同的实数根，关于的方程和也有一个相同的实数根，则的值为 ． 74．（2025·上海嘉定期中）已知为等腰三角形，一边长为3，它的另两条边的长度分别是方程的两个根，那么m的值是 ． 75．（2025·上海嘉定期中）关于x的方程的两根之和是3，那么m的值为 ． 76．（2025·上海虹口期中）若关于方程的两根为，，且，则 ． 77．（2025·上海崇明期中）设与为一元二次方程 的两根，则的值为 ． 78．（2025·上海闵行期中）2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率和（单位：赫兹）满足以下条件：①两个频率的和为8；②以这两个频率为根的一元二次方程，其一次项系数的2倍与常数项的和，等于两根的差的平方．设该一元二次方程为（其中b、c是实数），则可求得 ． 79．（2025·上海杨浦期中）已知关于的方程的两个根分别为． (1)是这个方程的解吗？请说明理由； (2)与是正数还是负数？请说明理由． 80．（2025·上海静安期中）已知实数m满足， (1)如果实数n满足，且，求 的值； (2)如果实数s满足，且．求的值． 81．（2025·上海闵行期中）已知是方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 82．（2025·上海普陀期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． (1)当时，_____________； (2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） (3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 83．（2025·上海浦东新期中）关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： (1)填空：________；________； (2)； (3)． 84．（2025·上海徐汇期中）阅读材料并解决问题 材料1：我们学了一元二次方程的解法，其中最基本的方式，是利用因式分解进行降次．那么对于更高次的方程，我们也可以用类似方法进行求解．例如：解方程：，可将其左边通过拆项，试根等方式，因式分解为，则方程的根为，， 材料2：当我们知道一个方程两根之和与两根之积时，利用韦达定理，我们可以构建满足这样条件的方程 例如：设一元二次方程的两根为，，且已知，则满足这两个解的方程是： 材料3：我们知道若，，是方程的两个实数根，则我们可以把方程写为，展开后得，比较两个方程的对应系数，不难发现， 由此我们也能得到一元二次方程的根与系数关系： (1)利用材料推导一元三次方程的根与系数关系 即，若，，，是方程的三个实数解，试用，，，表示： ，， (2)根据材料求方程组的一组实数解（写出一组即可） 题型12 根据判别式判断一元二次方程根的情况（共9题） 85．（2025·上海期末）下列关于x的方程中一定有实数解的是（   ） A． B． C． D． 86．（2025·上海浦东新期末）下列关于的方程中，一定有实数根的是（   ） A． B． C． D． 87．在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 88．（2025·上海奉贤期中）下列关于的方程中，有两个实数根的是（    ） A． B． C． D． 89．（2025·上海虹口期中）下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 90．（2025·上海闵行期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 91．（2025·上海奉贤期中）某数学兴趣小组在“探究关于x的方程的实数根”时发现需要先对a、b、c的取值作出分类讨论．他们把最终的探究结果整理成为如下的思维导图（如图，该思维导图不完整），请根据你所学的知识，在该思维导图中缺失的部分为 ． 92．（2025·上海期中）已知是正实数，关于的一元二次方程：． (1)判断：方程根的情况． (2)若是方程的一个实数根，试比较代数式与的大小关系． 93．（2025·上海嘉定期中）已知，是方程的两实数根，求 (1)判别式的值； (2)和的值． 题型13 根据一元二次方程根的情况求参数（共6题） 94．（2025·上海徐汇期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 95．（2025·上海奉贤期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围． 96．（2025·上海期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求自然数m的值并解方程． 97．（2025·上海期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 98．关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ． 99．（2025·上海崇明期末）已知关于x的一元二次方程 (1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． (2)如果方程有实数根，求m的取值范围． 100．（2025·上海青浦期中）已知关于的方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围． (2)若、是方程的两个根，且，求的值 2 / 62 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $