专题05 直角三角形、角平分线与勾股定理全章复习17种题型（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题05 直角三角形、角平分线与勾股定理 题型1 直角三角形的两个锐角互余（常考点） 题型10 用勾股定理解三角形（常考点） 题型2 锐角互余的三角形是直角三角形 题型11 勾股定理与网格问题（难点） 题型3 斜边的中线等于斜边的一半 题型12 以直角三角形三边为边长的图形面积（重点） 题型4 含30度角的直角三角形 题型13 勾股定理与折叠问题（常考点） 题型5 直角三角形全等的判定定理（常考点） 题型14 勾股定理与无理数 题型6 三角形全等判定定理综合 题型15 判断三边能否构成直角三角形（常考点） 题型7 作角平分线（尺规作图） 题型16 利用勾股定理的逆定理求解（难点） 题型8 角平分线的性质定理 题型17 勾股定理的应用 题型9 角平分线的判定定理 题型1 直角三角形的两个锐角互余（共5题） 1．（25-26八年级上·上海·期中）在中，，，则的度数为 ． 【答案】/60度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质．根据直角三角形两个锐角互余得到，结合已知条件，不难求得的度数． 【详解】解：在中，，因此， 又， 将两式相加，得：， 即， 所以， 故答案为：． 2．如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形两锐角互余及全等三角形的判定与性质．先通过角平分线的定义及直角三角形两锐角互余得出的度数，再过点M作交于点E，证明得到，，由M是的中点得出，再证明，得出，，最终经过计算可求得结果． 【详解】解：∵平分，且， ∴， 又∵， ∴， 如图，过点M作交于点E， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵M是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．在中，，，和分别为的高线和角平分线，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用、与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直定义，由三角形内角和定理可得，通过角平分线定义可得，根据，，从而求得，最后通过角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是， 故选：． 4．如图，在中，，于，点关于直线的对称点是点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了直角三角形的性质，轴对称的性质，由直角三角形两锐角互余可得，进而由轴对称的性质可得，最后根据角的和差关系即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点关于直线的对称点是点， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个顶角等于(    ) A．或 B． C． D．或 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含度角的直角三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质与判定以及三角形外角的性质，正确的分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，为等腰三角形腰上的高，并且，取边中点E，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴顶角， 当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图， 为等腰三角形腰上的高，并且， 同理可得， ∴顶角， 故选：D． 题型2 锐角互余的三角形是直角三角形（共4题） 6．在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查三角形内角和定理及直角三角形的判定．根据每个条件，利用内角和为推导角的大小，判断是否有角． 【详解】解：①，且， ， 是直角三角形． ②，且， ， 代入得 ， ，且， 是钝角三角形，不是直角三角形． ③，设，，， 则 ， ， 是直角三角形． ④，设， 则，， ， ， 是直角三角形． 能确定是直角三角形的条件有①、③、④，共3个． 故选：C． 7．在下列条件中不能确定是直角三角形的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查直角三角形的判定，掌握三角形内角和是关键；通过三角形内角和为，分别验证各选项是否能推出一个角为；选项A、B、C均能推出直角三角形，选项D计算后无角，故不能确定． 【详解】解：选项A：∵ ，且 ， ∴， ∴，能确定直角三角形； 选项B：设，则， ∴， ∴，能确定直角三角形； 选项C：∵ ， ∴， 又， ∴ ，能确定直角三角形； 选项D：设，则，， ∴， ∴，，不能确定直角三角形； 故选：D． 8．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查三角形内角和的应用和直角三角形的判断．根据三角形内角和为，逐一分析各条件是否能推导出三角形中存在一个直角． 【详解】解：①： 由内角和得，解得，故为直角三角形． ②： 总份数为，最大角，故为直角三角形． ③： 变形得，则，故为直角三角形． ④： 设，则．由，解得，故为直角三角形． 综上，四个条件均成立， 故选：D． 9．如图，平分．求证：是直角三角形． 【答案】详见解析 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关键； 先通过三角形内角和定理求出，再通过角平分线求出，进而可求出，从而可得到，进而得证． 【详解】证明：， ． 平分， ． ， ， ， 是直角三角形． 题型3 斜边的中线等于斜边的一半（共4题） 10．（25-26八年级上·上海闵行·月考）在直角三角形中，斜边及其中线之和等于，那么斜边长是（    ）． A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形的性质，设斜边的长为，则斜边上的中线长度为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，熟练掌握直角三角形斜边上的中线为斜边的一半是解此题的关键． 【详解】解：设斜边的长为，则斜边上的中线长度为， ∵斜边及其中线之和等于， ∴， ∴， 即斜边长是. 故选：D． 11．（25-26八年级上·上海闵行·月考）在中，，是三角形的一条中线，若，的度数是 ． 【答案】/102度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 由直角三角形斜边中线的性质得到，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵在中，，是三角形的一条中线， ∴， ∴． 在中，， 即， ∴． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·上海·期中）将两块斜边长等于4的三角尺(与)的斜边重合，按图所示摆放，为中点，联结和，那么的面积等于 ． 【答案】 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、含30度角的直角三角形的性质；过点作于，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出、，求出，进而求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， 在中，，为中点，斜边， ，， 在中，，，为中点，斜边， ， ∴， 为等边三角形， ， ， ∴，． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·上海静安·月考）如图，四边形中，，相交于点，，、分别是、的中点，，，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】含30度角的直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半、三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，根据直角三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵，是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型4 含30度角的直角三角形（共7题） 14．如图，在中，，点D在上，，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，30度角的性质． 根据等边对等角得到，根据30度角的性质得到，根据等角对等边得到，进而可求的长． 【详解】∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 15．（25-26八年级上·上海·期中）中，，上的高为，，则顶角 ． 【答案】或 【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半,等边三角形的性质与判定；根据为锐角三角形和钝角三角形两种情况分类讨论解答即可． 【详解】解：当为锐角三角形时，如图1：取的中点，连接 ∴， ， ∴ ，， ， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ； 当为钝角三角形时，如图2：取的中点，连接 同理可得， ， 综上所述，或． 故答案为：或． 16．（25-26八年级上·上海宝山·期中）如图，在中，是边上的中线，，．将沿所在直线翻折，点落在平面上的点处，连接，若面积为12，那么的面积为 ． 【答案】9 【知识点】根据三角形中线求面积、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、折叠问题 【分析】本题主要考查折叠的性质，中线的性质以及等边三角形的性质，设，则，过点作于点，求出，，根据面积为12求出，由是中线得，证明是等边三角形，得，根据可得结论． 【详解】解：过点作于点， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵是边上的中线， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点作于点，则， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴． 故答案为：9． 17．如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则 ． 【答案】5 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形以及等边三角形的性质，解答本题的关键是掌握直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半．设，则，利用等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 设，则， ∵，． ∴， ∴，， ∴． 故答案为：5． 18．如图，在中，的垂直平分线交边于点E．若，，则 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含的直角三角形的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得，则可求得的度数，然后由含的直角三角形的性质，求得答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 19．如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长 【分析】先根据角平分线的定义得，从而利用含角的直角三角形的性质可得，然后根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，最后利用等量代换可得的周长为，即可解答． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴的周长 ， 则周长是． 故选：D． 【点睛】本题考查含角的直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握含角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 题型5 直角三角形全等的判定定理（共5题） 20．在下列条件中，不能判断两个直角三角形全等的是（    ） A．已知一条直角边和一个锐角对应相等 B．已知两条直角边对应相等 C．已知一条直角边和斜边对应相等 D．已知两个锐角对应相等 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、用SAS证明三角形全等（SAS）、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用HL证全等（HL） 【分析】本题考查直角三角形全等的判定方法，熟练掌握三角形全等的判定定理，是解题的关键．结合已知条件与三角形全等的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A．一条直角边和一个锐角对应相等，可结合直角，用或判定全等，故A不符合题意； B．两条直角边对应相等，且夹角为直角（相等），可用判定全等，故B不符合题意； C．一条直角边和斜边对应相等，可用判定全等，故C不符合题意； D．两个锐角对应相等，仅得角角角，但不能判定三角形全等，缺少边的关系，故D符合题意． 故选：D． 21．如图，，，，射线，点和分别在线段和射线上运动，且．当 时，与全等． 【答案】3或4 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．因为且，所以若使与全等，只需当时， 此时，或当时，此时，据此解答即可． 【详解】解：， ， ， 若使与全等， 只需①当时， 此时， ②当时，此时， 故答案为：3或4． 22．如图，在和中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、用HL证全等（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据的判定方法进行证明即可； （2）由（1）知，根据全等三角形的性质证得，根据余角的性质求解的度数即可． 【详解】（1）解：在和中， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ． 23．如图，为的平分线，且于D，于F，连接交AE于点O． (1)若，，求的度数； (2)试判断与的关系？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)垂直平分．理由见解析． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、用HL证全等（HL）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用角平分线的性质和全等三角形的判定证明线段相等． （1）先由三角形内角和求出，再根据角平分线性质得，结合，在中利用内角和求出． （2）先根据角平分线性质得，证明，得，再结合平分，根据等腰三角形三线合一性质，得出结论 【详解】（1）解：∵，， ∴中． ∵为的平分线， ∴平分． ∴， ∵于D， ∴， ∴在中 ∴， （2）垂直平分．理由如下： ∵为的平分线， ∴平分．． 又∵于D，于F， ∴． ∴， ∴在与中 ∴． ∴． 又∵AE平分∠BAC．． ∴根据等腰三角形三线合一的性质得 垂直平分． 24．在中，，于点，的平分线于点，交于点，是的中点，连接交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】用HL证全等（HL）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明是等腰直角三角形，得出，再证明即可； （2）连接，利用垂直平分线的性质得出，确定，再由等量代换及三角形外角的定义得出，再由等角对等边即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，， 又， ． ，， ∴． （2）解：连接， ∵，H为中点， ∴为的垂直平分线， ， ∴， ∵平分， ∴ ， ， ， ， ， ． 题型6 三角形全等判定定理综合（共7题） 25．如图，点D在上，于点E，交于点F，．若，则 ． 【答案】/55度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 26．如图，在中，平分于点，点在的延长线上，交延长线于点，若，则 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质． 由“”可证，可得，由角的数量关系可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴ (）， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 27．如图，，，点D是上一点，于E，于F，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，连接，先证明得出，再利用“”即可证明，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵于，于， ∴， 在和中， ， ∴． 28．如图1，在五边形中，，，连接，且，． (1)求证：； (2)如图2，若，为边上的中线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相关的性质定理，正确作出辅助线为解题关键 （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质证明； （2）延长交于点G，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，根据垂直的定义证明 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：延长交于点G， ， ，又， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， ， 29．如图，在中，，若，边和边相交于点P，边和边相交于点Q，假设，当为等腰三角形时，则 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，过B作于D，过B作于E，根据旋转的性质，表示出中三个内角，再进行分类即可． 【详解】解：如图，过B作于D，过B作于E， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴平分， 又∵，， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， 分三种情况： ①如图所示，当时，， ∵， ∴， 解得； ②如图所示，当时，， 即， 解得； ③当时，， 又∵， ∴（不符合题意）， 故答案为：或． 30．如图，在中，，将沿折叠至，，连接平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和HL综合（HL）、等边三角形的判定和性质、折叠问题 【分析】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F， 则， 由折叠可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴ 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 31．【模型探究】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)【探究发现】 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是______； (2)【反思感悟】 问题：如图，在四边形中，，是上一点，，．则与的数量关系是______；依据是______； (3)【拓展迁移】 问题：如图，在三角形中，，是上一点，，且．求的值． 【答案】(1) (2)，全等三角形的对应边相等 (3)1 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，，即可得证； （2）证明和都是直角三角形，再证明，即可得解； （3）过点作于点，由题意可得为直角三角形，证明为等腰直角三角形，得出，同（1）证明：，得出，，即可得解． 【详解】（1）解：，与之间满足的数量关系是：，理由如下： 于点，于点， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 故答案为：； （2）解：∵，， ， ， 和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， 与的数量关系是；依据是全等三角形的对应边相等， 故答案为：；全等三角形的对应边相等； （3）解：过点作于点，如图所示： 在中，， 是直角三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 在中，，且， 同（1）证明：， ∴，， ∴， ∴． 题型7 作角平分线（尺规作图）（共4题） 32．（25-26八年级上·上海闵行·月考）如图，已知有一个，角的内部有一点C，现在想要在图中找到一个点P，满足条件，并且点P到射线的距离和点P到射线的距离相等，请你在下图中作出点P（尺规作图） 【答案】见解析 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线和线段的垂直平分线，以及角平分线和线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握尺规作平分线和线段的垂直平分线的步骤． 根据得到点在线段的垂直平分线上，由点P到射线的距离和点P到射线的距离相等，得到点也在的平分线上，则交点即为点，再根据尺规作线段的垂直平分线和的平分线的步骤作图即可． 【详解】解：如图，点即为所求； 33．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若的面积是，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，三角形的面积，过点作于，由角平分线的性质可得，进而由三角形的面积可得，进而即可求解，掌握角平分线的作法和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， ∴， 又由作图可知是的角平分线， ∴， ∵的面积是， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 34．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是 ． 【答案】18 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 过点作于点，先根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式即可得答案． 【详解】解：过点作于点，如图， 由题中的作图过程可知，是的平分线， ，， ， ， ， 故答案为：18． 35．如图，在中，D为上一点，满足，以点B为圆心，适当长为半径作弧分别与和交于点E和F，再分别以点E和F为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点G，作射线交于点H．若，，则 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的作图以及三角形的外角的定义及性质，由题意得出平分，是解题关键，再根据即可求解； 【详解】解：由题意得：平分， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为： 题型8 角平分线的性质定理（共6题） 36．（25-26八年级上·上海闵行·月考）下列说法错误的是（    ） A．在角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等 B．到角两边所在直线距离相等的点在这个角的平分线上 C．在中，，D是边的中点，则有 D．在中，若，则 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、角平分线的性质定理、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查角平分线的性质、直角三角形的性质等，根据知识点逐一判断即可． 【详解】解：A、角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等，故A正确； B、到角两边所在直线距离相等的点可能不在角的内部，不一定在角平分线上，故B错误； C、在中，，D是中点，则是斜边中线，有，故C正确； D、在中，，则，故D正确． 故选：B． 37．（25-26八年级上·上海闵行·月考）如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．4 C．5 D． 【答案】A 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，过点作，利用三角形的面积公式求出的长，根据垂线段最短得到时，最短，此时，进行判断即可． 【详解】解：过点作， 则：， ∴， ∵点为直线上的一个动点， ∴当时，最短， ∵是的平分线， ∴当时，， ∴线段的长不可能是2． 故选：A． 38．（25-26八年级上·上海·期中）如图，是的角平分线，于点，，则边的长是 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质；作于点，由平分交于点，于点，得，根据，，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点， 是的角平分线， 平分交于点， 于点，于点， ， ∵，， 解得： 故答案为：． 39．（25-26八年级上·上海·期中）如图，中，，平分，． 求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定；根据角平分线的性质可得，进而证明得出，证明得出，根据线段关系，即可求解． 【详解】证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 40．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中，和的平分线、交于点，连接． (1)求证：平分； (2)？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和SAS综合（SAS）、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识； （1）过作于点，于点，于点，由角平分线的性质得，，则，再由角平分线的判定即可得出结论； （2）过作于点，于点，于点，由角平分线的性质得，再证明，然后证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，过作于点，于点，于点， 平分， ， 平分， ， ， 平分； （2）成立，证明如下： 设， 如图，过作于点，于点，于点， 则点在线段上，点在线段上， 和的平分线、交于点， ， ，， ， 、分别平分、， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 41．（25-26八年级上·上海闵行·月考）已知：的平分线与的垂直平分线相交于点D．，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了利用角平分线的性质和垂直平分线的性质证明三角形全等进行求解，准确计算是解题的关键． （1）连接，，根据角平分线的性质和垂直平分线的性质证明，即可得证； （2）根据已知条件证明，得到，设，则，根据代入计算即可得解． 【详解】（1）证明：连接，， 平分，，， ， 又垂直平分， ， 在和中，， ， ． （2）解：在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ． 题型9 角平分线的判定定理（共3题） 42．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连接．下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的判定定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定，平行线的判定与性质，根据作图得到，等边对等角，推出，进而得到，根据点在边上且到边和边的距离相等，得到平分，推出为等腰三角形，逐一进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在边上且到边和边的距离相等， ∴平分， ∴， ∴， ∴，；故选项A，C正确，不符合题意； ∵， ∴（平行线间的距离处处相等）；故选项D正确，不符合题意； 无法得到； 故选：B． 43．（24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为 ． 【答案】/29度 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和定理，求出的度数，证明平分，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，，， ∴平分， ∴； 故答案为：． 44．如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的判定定理、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．根据题意过点作，再利用已知条件得到平分，再利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：过点作， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型10 用勾股定理解三角形（共6题） 45．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了角平分线的性质应用，利用等面积法计算是解题的关键． 根据已知条件求出，过点作，，，根据等面积法计算即可； 【详解】过点作，，，连接， ，，， ， 平分，平分， ， ， ， , ， 点到边的距离为． 故选． 46．在三角形中，，，，那么 ．（结果保留根号） 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，分是锐角和钝角两种情况，分别画出图形，利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当是锐角时，如图，过点作于，则， ∵， ∴， ∴，， ∴； 当是钝角时，如图，过点作的延长线于，则， 同理可得，， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 47．（25-26八年级上·上海宝山·期中）若的三条边分别为，，，则斜边上的高的长为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及利用三角形面积公式求斜边上的高，首先根据勾股定理确定直角三角形的斜边为，直角边为和，然后利用面积公式（直角边乘积等于斜边乘以高）求解斜边上的高． 【详解】解：在中，，，， ∵， ∴斜边为，直角边为和， 设斜边上的高为h，由面积公式可得：，解得， 故答案为：． 48．（25-26八年级上·上海·期中）在中，，于，，，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，结合等面积法计算是解题的关键． 在中，由和，利用含角的直角三角形的性质求出和；再利用等面积法求出，再利用勾股定理求出即可； 【详解】解：在中，，， ， ，且是的对边， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：3． 49．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，于点，，． (1)求和的长； (2)求的长（提示：利用三角形面积公式）． 【答案】(1)的长为，的长为； (2)的长为． 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查含角的直角三角形，勾股定理，三角形的高相关的计算． （1）由角所对的直角边与斜边的关系，可得，根据勾股定理可得； （2）将和代入三角形的面积公式，可得，用表示，即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． ∴的长为，的长为． （2）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． ∴的长为． 50．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）（1）通过剪裁、拼接两个面积为1的正方形，可得到一个面积2的正方形．如图1，已知小正方形的边长为1，若点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合，则表示的数为_____； （2）下面我们来了解如何得到边长为的正方形，如图2，将五个面积为1的正方形，按图示虚线剪裁，拼接成右侧的图形．我们可以用已经学过的几何知识判断出四边形是正方形．已知直角与中，三点在同一条直线上，求证：且； （3）下面介绍如何获得边长为的正方形．利用面积为2的正方形以及一个面积为1的正方形剪裁、拼接．如图3，将面积为1的正方形与面积为2的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 请参考这一方法，仅利用面积为1的正方形（不限数量），以及上面小题（1）、（2）中已经获得的面积为2或5的正方形，尝试获得边长为的正方形，利用刻度尺画出图形．（图上适当标注数据，不需要写作图过程） 【答案】（1）或 （2）见解析 （3）见解析 【知识点】实数与数轴、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查勾股定理与全等三角形的应用，熟练掌握勾股定理与全等三角形是解题关键． （1）先由勾股定理得正方形边长，再结合点A表示的数，推出表示的数． （2）通过证明，利用全等三角形的对应边相等、对应角相等，推导得出结论． （3）利用勾股定理，结合面积为5、1的正方形，构造直角三角形得到斜边，再拼成正方形． 【详解】（1）解：由题可知， 点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合， 若在A的左侧，则表示的数为， 若在A的右侧，则表示的数为， 表示的数为或． 故答案为：或． （2）证明：在与中， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图所示，四边形即为所求， 将面积为1的正方形与面积为5的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 题型11 勾股定理与网格问题（共4题） 51．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了正方形网格，全等三角形的判定和性质，邻补角的性质，通过三角形全等求解是解题的关键．通过全等三角形的性质，邻补角的性质即可求解． 【详解】解：如图，在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． ， 52．如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得， 故选：C． 53．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如图、是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边叫做格线．请仅用一根无刻度直尺作图在网格图中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示（不要求说明理由，需保留必要的作图痕迹，写出结论） 例如：在图中，是格点，要作出线段的中点，可利用无刻度直尺，连接格点所得线段与线段交点就是线段中点，利用可说明． (1)在图中，是格点，请仅用一根无刻度直尺作出线段的垂直平分线； (2)在图中，是格点，请仅用一根无刻度直尺作出等腰直角三角形，点是格点； (3)在（2）的基础上，请仅用一根无刻度直尺作出线段的垂直平分线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【知识点】无刻度直尺作图、根据等角对等边证明边相等、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）取格点J，K，连接交网格线于点M，作直线即可； （2）根据等腰直角三角形的判定画出图形即可； （3）取与格线交点，即的中点M，与的交点为N，作直线即可，由图知则，即点都在的垂直平分线上，故为所求作． 【详解】（1）解：如图a中，直线即为所求； （2）解：如图b中，点或即为所求； （3）解：如图b中，直线即为所求． 54．（25-26八年级上·上海·阶段练习）教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图②，可以求出大正方形的边长为．现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图③，类比图①的方法，请你在图③中用实线把它们分割，然后在图④中拼接成一个新的大正方形． 要求：在图③中画出分割线，并在正方形网格图④中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 【答案】作图见详解 【知识点】勾股定理与网格问题、正方形性质理解、格点作图题 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题．利用勾股定理在网格中分别找到的长方形，依次连接顶点即可． 【详解】解：如图：排列形式如图③，画出分割线并在正方形网格图④中用实线画出拼接成的新正方形． 题型12 以直角三角形三边为边长的图形面积（共4题） 55．如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是，，，则它们之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的性质、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理和等边三角形的面积公式．根据等边三角形的性质，知等边三角形的面积等于其边长的平方的倍，结合勾股定理可知，以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积． 【详解】解：设直角三角形的三边从小到大是 ∴ 如图，过A作于H， ， 则； 同理 ， 又 则． 故选：B． 56．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）如图所示的三角形为直角三角形，那么字母所表示的正方形面积等于 ． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出正方形的边长即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，字母所表示的正方形的边长为， ∴字母所表示的正方形面积等于 故答案为：． 57．如图，在四边形ABCD中，AD=，AB=，BC=10，CD=8，∠BAD=90°，那么四边形ABCD的面积是 ． 【答案】+24 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积、判断三边能否构成直角三角形 【分析】连结BD，然后根据勾股定理求得BD的值和△BAD的面积，再根据勾股定理逆定理得到△BDC是直角三角形，所以可以得到△BDC的面积，从而得到四边形ABCD的面积． 【详解】解：如图，连结BD， ∵∠BAD=90°， ∴， ∵， ， ∴BD=6， ∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，BD2+CD2=BC2， ∴∠BDC=90°， ∴S△ABD=，S△BDC=， ∴四边形ABCD的面积是= S△ABD+ S△BDC=+24 故答案为： +24． 【点睛】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 58．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为边作正方形，面积分别记作S1、S2、S3．求证：S1+S2＝S3． 【答案】见解析 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC2+BC2的值，根据S1，S2分别表示正方形面积，求出S1+S2的值即可． 【详解】证明：由题意得S1＝AC2，S2＝BC2，S3＝AB2． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则由勾股定理，得AC2+BC2＝AB2， S1+S2＝S3． 【点睛】本题考查的是与勾股定理相关的图形面积问题，掌握“勾股定理”是解本题的关键. 题型13 勾股定理与折叠问题（共4题） 59．如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 由折叠知，设，则，在中，利用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：由折叠知，， ∵D是的中点，， ∴， 设， ∵， 则， 在中，， 由勾股定理，得， 解得， ∴． 故选：B． 60．在中，，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N，如果是直角三角形，那么的面积是 ． 【答案】4或 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题、折叠问题 【分析】分两种情况：当时，根据，，及将折叠，使点与点重合，可得，可得到的面积；当时，过作于，设，则，可得，，又，可得，，再利用勾股定理可得，可得到的面积． 【详解】解：当时，如图： ∵，，， ∴， ∵将折叠，使点与点重合， ∴， ∴的面积是：；    当时， 如图，过作于，      设， ∵，， ∴， ∴， ∵将折叠，使点与点重合， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴的面积是：． 综上所述，如果是直角三角形，那么的面积是4或． 故答案为：4或． 【点睛】本题是等腰三角形的折叠问题，考查了折叠的性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形面积等知识．解题的关键是分类画出图形，求出边上的高． 61．如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折痕为．已知该纸片宽，长，求的长．    【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据长方形的性质，折叠的性质，勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解∶∵四边形是长方形， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长是． 62．如图，在中，，点是边中点，将沿某直线翻折使得点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角、勾股定理与折叠问题 【分析】过点A作于点G，过点D作与点H，根据等边对等角得出，进而得出，分别根据勾股定理得出长度，设，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】过点A作于点G，过点D作与点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边中点， ∴， ∴， ∴， 设， ∵将沿某直线翻折使得点与点重合， ∴垂直平方， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． 题型14 勾股定理与无理数（共3题） 63．如图，在数轴上点表示的实数是 ． 【答案】 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 64．如图，数轴上点表示的数为 ． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】此题考查了勾股定理、实数与数轴的关系等知识，由勾股定理得：，，从而有，则得到数轴上点表示的数，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图， 由勾股定理得：，， ∴， ∴数轴上点表示的数为， 故答案为：． 65．（25-26八年级上·上海·期中）如图，数轴上点、点所表示的数分别为0和，以为边长作正方形．以点为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点，那么点表示的实数是 ． 【答案】 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了勾股定理和实数与数轴，根据勾股定理求出的长，即的长，从而求出点对应的数． 【详解】解：由勾股定理知：， ∴， ∴点对应的数是， 故答案为：． 题型15 判断三边能否构成直角三角形（共4题） 66．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴三角形不是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴三角形不是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵， ∴三角形不是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴三角形是直角三角形，故D选项符合题意； 故选：D． 67．下列条件中，能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】A 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 根据直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用进行判定即可． 【详解】解：A、设， ∵， ∴，能判定是直角三角形，符合题意； B、∵， ∴，不能判定是直角三角形，不符合题意； C、，不能判定是直角三角形，不符合题意； D、∵，即， ∴不能判定是直角三角形，不符合题意； 故选：A ． 68．（24-25八年级上·上海·期末）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（   ） A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2， 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴三边长为8，15，17的三角形可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴三边长为，，的三角形可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴三边长为，2，的三角形不可以组成直角三角形，故此选项符合题意； D、∵， ∴三边长为1，2，的三角形可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 69．下列条件中，不能判定是直角三角形的是   A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误． 【详解】解：A、，， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； B、∵ ∴设 ， 为直角三角形，故此选项不合题意； C、，即， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； D、∵， ∴设，，， ∵ ∴， 解得：， 则， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 题型16 利用勾股定理的逆定理求解（共4题） 70．如图，在四边形中，，，，且于点B，求的度数． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 连接，由题意知，，利用勾股定理可求，并可求，而，，得，可证是直角三角形，，从而求的度数； 【详解】解：如图所示，连接， ， ∴为等腰直角三角形， ，， 又， ， ， 是直角三角形， ， ． 故的度数为． 71．已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，先根据勾股定理求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，作差即可得到图形中的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴, ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴图形面积为． 72．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图：已知，在四边形中，于点，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理逆定理是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，且，再分别求和的面积即可． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ， ∴四边形的面积． 73．如图，在四边形中，，，．    (1)求证：： (2)如果平分，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）过点A作，垂足为E，先利用角平分线的性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，根据题目的逐一条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2）解：过点A作，垂足为E，，    ∵平分，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：， ∴的面积为． 题型17 勾股定理的应用（共11题） 74．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题．根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺， ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：， 故选：C． 75．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】B 【知识点】两点之间线段最短、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：B． 76．将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先理解题意，得，再结合勾股定理得，故，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】如图，连接． 依题意， ∵， ∵在中，， ∴， ∴． 故选：A． 77．如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯足将滑动（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴ ∴， ∴； 故选A． 78．如图是一个圆柱形画筒，其内径（底面直径）为，内侧高度为，现有一幅总长度为的画轴，任意放入画筒中，则画轴露在筒口外的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 画轴露出筒口外的长度最少，即在筒内最长，可用勾股定理解答． 【详解】解：底面直径为，高为， 画轴露出筒口外的长度最少为：． 故选：A． 79．已知在地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距10米．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少要飞行 米． 【答案】 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用，首先求出两棵树的高度差为（米），然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：两棵树的高度差为（米），间距为10米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离为（米）． 故答案为：． 80．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为 米． 【答案】2.7 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理，先根据勾股定理求出梯子的长，进而可得出结论． 【详解】解：由题意可得： ， 在中， ∵米， ， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴米， ∴小巷的宽度为（米）． 故答案为：2.7． 81．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为100元，则购买地毯需花费 元． 【答案】 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用. 先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， ∴购买地毯需花费（元）， 故答案为：． 82．如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离欲到达点F，结果他在水中实际划了，则该河流的宽度 m． 【答案】300 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】解：． 故答案为：300． 83．如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程 海里． 【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题、解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在中利用勾股定理求出的长是解题的关键． 先根据题意结合方位角的描述求出以及的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船， ∴海里， 在中，海里，海里， ∴海里， 答：我军巡逻艇的航行路程为海里． 故答案为15． 84．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【答案】(1) (2)大巴车超速了 【知识点】用勾股定理解三角形、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键． （1）在中，根据勾股定理即可求出的长； （2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， （2）由（1）得：大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 2 / 77 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 直角三角形、角平分线与勾股定理 题型1 直角三角形的两个锐角互余（常考点） 题型10 用勾股定理解三角形（常考点） 题型2 锐角互余的三角形是直角三角形 题型11 勾股定理与网格问题（难点） 题型3 斜边的中线等于斜边的一半 题型12 以直角三角形三边为边长的图形面积（重点） 题型4 含30度角的直角三角形 题型13 勾股定理与折叠问题（常考点） 题型5 直角三角形全等的判定定理（常考点） 题型14 勾股定理与无理数 题型6 三角形全等判定定理综合 题型15 判断三边能否构成直角三角形（常考点） 题型7 作角平分线（尺规作图） 题型16 利用勾股定理的逆定理求解（难点） 题型8 角平分线的性质定理 题型17 勾股定理的应用 题型9 角平分线的判定定理 题型1 直角三角形的两个锐角互余（共5题） 1．（25-26八年级上·上海·期中）在中，，，则的度数为 ． 2．如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．在中，，，和分别为的高线和角平分线，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，于，点关于直线的对称点是点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个顶角等于(    ) A．或 B． C． D．或 题型2 锐角互余的三角形是直角三角形（共4题） 6．在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在下列条件中不能确定是直角三角形的条件是（   ） A． B． C． D． 8．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，平分．求证：是直角三角形． 题型3 斜边的中线等于斜边的一半（共4题） 10．（25-26八年级上·上海闵行·月考）在直角三角形中，斜边及其中线之和等于，那么斜边长是（    ）． A．3 B．4 C．6 D．8 11．（25-26八年级上·上海闵行·月考）在中，，是三角形的一条中线，若，的度数是 ． 12．（25-26八年级上·上海·期中）将两块斜边长等于4的三角尺(与)的斜边重合，按图所示摆放，为中点，联结和，那么的面积等于 ． 13．（25-26八年级上·上海静安·月考）如图，四边形中，，相交于点，，、分别是、的中点，，，则的值为 ． 题型4 含30度角的直角三角形（共7题） 14．如图，在中，，点D在上，，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 15．（25-26八年级上·上海·期中）中，，上的高为，，则顶角 ． 16．（25-26八年级上·上海宝山·期中）如图，在中，是边上的中线，，．将沿所在直线翻折，点落在平面上的点处，连接，若面积为12，那么的面积为 ． 17．如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则 ． 18．如图，在中，的垂直平分线交边于点E．若，，则 ． 19．如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（    ） A． B． C． D． 题型5 直角三角形全等的判定定理（共5题） 20．在下列条件中，不能判断两个直角三角形全等的是（    ） A．已知一条直角边和一个锐角对应相等 B．已知两条直角边对应相等 C．已知一条直角边和斜边对应相等 D．已知两个锐角对应相等 21．如图，，，，射线，点和分别在线段和射线上运动，且．当 时，与全等． 22．如图，在和中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 23．如图，为的平分线，且于D，于F，连接交AE于点O． (1)若，，求的度数； (2)试判断与的关系？并证明你的结论． 24．在中，，于点，的平分线于点，交于点，是的中点，连接交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 题型6 三角形全等判定定理综合（共7题） 25．如图，点D在上，于点E，交于点F，．若，则 ． 26．如图，在中，平分于点，点在的延长线上，交延长线于点，若，则 ． 27．如图，，，点D是上一点，于E，于F，，求证：． 28．如图1，在五边形中，，，连接，且，． (1)求证：； (2)如图2，若，为边上的中线，求证：． 29．如图，在中，，若，边和边相交于点P，边和边相交于点Q，假设，当为等腰三角形时，则 ． 30．如图，在中，，将沿折叠至，，连接平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 31．【模型探究】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)【探究发现】 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是______； (2)【反思感悟】 问题：如图，在四边形中，，是上一点，，．则与的数量关系是______；依据是______； (3)【拓展迁移】 问题：如图，在三角形中，，是上一点，，且．求的值． 题型7 作角平分线（尺规作图）（共4题） 32．（25-26八年级上·上海闵行·月考）如图，已知有一个，角的内部有一点C，现在想要在图中找到一个点P，满足条件，并且点P到射线的距离和点P到射线的距离相等，请你在下图中作出点P（尺规作图） 33．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若的面积是，，则的长为 ． 34．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是 ． 35．如图，在中，D为上一点，满足，以点B为圆心，适当长为半径作弧分别与和交于点E和F，再分别以点E和F为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点G，作射线交于点H．若，，则 ． 题型8 角平分线的性质定理（共6题） 36．（25-26八年级上·上海闵行·月考）下列说法错误的是（    ） A．在角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等 B．到角两边所在直线距离相等的点在这个角的平分线上 C．在中，，D是边的中点，则有 D．在中，若，则 37．（25-26八年级上·上海闵行·月考）如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．4 C．5 D． 38．（25-26八年级上·上海·期中）如图，是的角平分线，于点，，则边的长是 ． 39．（25-26八年级上·上海·期中）如图，中，，平分，． 求证：． 40．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中，和的平分线、交于点，连接． (1)求证：平分； (2)？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 41．（25-26八年级上·上海闵行·月考）已知：的平分线与的垂直平分线相交于点D．，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型9 角平分线的判定定理（共3题） 42．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连接．下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 43．（24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为 ． 44．如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 题型10 用勾股定理解三角形（共6题） 45．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 46．在三角形中，，，，那么 ．（结果保留根号） 47．（25-26八年级上·上海宝山·期中）若的三条边分别为，，，则斜边上的高的长为 ． 48．（25-26八年级上·上海·期中）在中，，于，，，则的长为 ． 49．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，于点，，． (1)求和的长； (2)求的长（提示：利用三角形面积公式）． 50．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）（1）通过剪裁、拼接两个面积为1的正方形，可得到一个面积2的正方形．如图1，已知小正方形的边长为1，若点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合，则表示的数为_____； （2）下面我们来了解如何得到边长为的正方形，如图2，将五个面积为1的正方形，按图示虚线剪裁，拼接成右侧的图形．我们可以用已经学过的几何知识判断出四边形是正方形．已知直角与中，三点在同一条直线上，求证：且； （3）下面介绍如何获得边长为的正方形．利用面积为2的正方形以及一个面积为1的正方形剪裁、拼接．如图3，将面积为1的正方形与面积为2的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 请参考这一方法，仅利用面积为1的正方形（不限数量），以及上面小题（1）、（2）中已经获得的面积为2或5的正方形，尝试获得边长为的正方形，利用刻度尺画出图形．（图上适当标注数据，不需要写作图过程） 题型11 勾股定理与网格问题（共4题） 51．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（   ） A． B． C． D． 52．如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D．则的长为（    ） A． B． C． D． 53．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如图、是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边叫做格线．请仅用一根无刻度直尺作图在网格图中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示（不要求说明理由，需保留必要的作图痕迹，写出结论） 例如：在图中，是格点，要作出线段的中点，可利用无刻度直尺，连接格点所得线段与线段交点就是线段中点，利用可说明． (1)在图中，是格点，请仅用一根无刻度直尺作出线段的垂直平分线； (2)在图中，是格点，请仅用一根无刻度直尺作出等腰直角三角形，点是格点； (3)在（2）的基础上，请仅用一根无刻度直尺作出线段的垂直平分线． 54．（25-26八年级上·上海·阶段练习）教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图②，可以求出大正方形的边长为．现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图③，类比图①的方法，请你在图③中用实线把它们分割，然后在图④中拼接成一个新的大正方形． 要求：在图③中画出分割线，并在正方形网格图④中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 题型12 以直角三角形三边为边长的图形面积（共4题） 55．如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是，，，则它们之间的关系是（   ） A． B． C． D． 56．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）如图所示的三角形为直角三角形，那么字母所表示的正方形面积等于 ． 57．如图，在四边形ABCD中，AD=，AB=，BC=10，CD=8，∠BAD=90°，那么四边形ABCD的面积是 ． 58．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为边作正方形，面积分别记作S1、S2、S3．求证：S1+S2＝S3． 题型13 勾股定理与折叠问题（共4题） 59．如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 60．在中，，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N，如果是直角三角形，那么的面积是 ． 61．如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折痕为．已知该纸片宽，长，求的长．    62．如图，在中，，点是边中点，将沿某直线翻折使得点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的长为 ． 题型14 勾股定理与无理数（共3题） 63．如图，在数轴上点表示的实数是 ． 64．如图，数轴上点表示的数为 ． 65．（25-26八年级上·上海·期中）如图，数轴上点、点所表示的数分别为0和，以为边长作正方形．以点为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点，那么点表示的实数是 ． 题型15 判断三边能否构成直角三角形（共4题） 66．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 67．下列条件中，能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 68．（24-25八年级上·上海·期末）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（   ） A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2， 69．下列条件中，不能判定是直角三角形的是   A． B． C． D． 题型16 利用勾股定理的逆定理求解（共4题） 70．如图，在四边形中，，，，且于点B，求的度数． 71．已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 72．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图：已知，在四边形中，于点，，，，，求四边形的面积． 73．如图，在四边形中，，，．    (1)求证：： (2)如果平分，且，求的面积． 题型17 勾股定理的应用（共11题） 74．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（   ） A． B． C． D． 75．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 76．将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（   ） A． B． C． D． 77．如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯足将滑动（   ）． A． B． C． D． 78．如图是一个圆柱形画筒，其内径（底面直径）为，内侧高度为，现有一幅总长度为的画轴，任意放入画筒中，则画轴露在筒口外的长度至少为（    ） A． B． C． D． 79．已知在地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距10米．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少要飞行 米． 80．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为 米． 81．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为100元，则购买地毯需花费 元． 82．如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离欲到达点F，结果他在水中实际划了，则该河流的宽度 m． 83．如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程 海里． 84．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 2 / 77 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $