第二十三章 二次根式（复习课件）数学人教版五四制八年级上册

该初中数学单元复习清单全面涵盖“二次根式”核心内容，包括概念、性质、乘除加减及混合运算，以“概念-性质-运算”逻辑链条搭建从基础定义到综合应用的递进式学习支架。 清单通过考点对比表格（如√a²与(√a)²异同）、题型变式训练（如性质应用例2变式题）呈现知识体系，培养运算能力与推理意识。设计规律探究题型（分母有理化规律）和针对训练，助力学生分层掌握，教师可精准教学，提升复习效率。

单元复习课件 第二十三章 二次根式 人教版五四制·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解掌握二次根式的概念和性质，二次根式的乘除运算、加减运算及混合运算，能够熟练的掌握运算规律并能进行简便运算. 3.求二次根式中字母的被开方数的取值范围；综合运用二次根式的性质进行二次根式的化简；利用二次根式的性质和运算法则进行运算. 2. 二次根式的概念和性质，二次根式乘除法则及加减法则. 单元学习目标 二次根式 运算 概念 二次根式的性质 二次根式的乘除 二次根式的加减 最简二次根式 分母有理化 单元知识图谱 二次根式的定义 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.二次根式中的被开方数既可以是一个 ，也可以是一个 .二次根式 a 表示非负数 a 的算术平方根，因此 ， . ( a ≥ 0) 数 含有字母的式子 a ≥ 0 ≥ 0 应满足的两个条件： (1)含有二次根号“”； (2) 被开方数是正数或 0. 特别地：形如的式子也是二次根式，它表示 b 与 的乘积，当是带分数时，要写成假分数的形式. 考点一、二次根式的定义 考点串讲 1. 二次根式的性质 性质 1： ≥ 0(a ≥ 0)，即一个非负数的算术平方根是一个 . 性质 2： ( ) 2=a(a ≥ 0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于 ； 性质 3： =|a|=即一个数的平方的算术平方根等于它的 . 非负数 它本身 绝对值 1. 正用公式：若，则，如：， 2.逆用公式：若 ，则 ，如：. 注意：无论是正用，还是逆用，都要注意前提： a ≥ 0. 考点二、二次根式的性质 考点串讲 3. 与( ) 2( a ≥ 0) 的异同点 表达式 ( ) 2 不同点 取值范围 a 为 . . 运算顺序 先平方后开方 先开方后平方 运算结果 =|a|= ( ) 2=a(a ≥ 0) 相同点 与( ) 2均为 ，当 a ≥ 0 时， = ( ) 2 a ≥ 0 非负数 全体实数 考点二、二次根式的性质 考点串讲 考点三、最简二次根式 1.最简二次根式 一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是 ，因式是 ； （2）被开方数中不含能开得尽方的 或 . 整数 整式 因数 因式 考点串讲 考点三、最简二次根式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数(式)进行开方 = =2 == 化去根号里的分母 若被开方数中含有带分数，则应先将带分数化成 . = == 若被开方数中含有小数，则应先将小数化成 . === 被开方数是多项式的要先进行因式分解 = == 假分数 分数 考点串讲 考点四、二次根式的乘除运算 1. 二次根式的乘法法则   两个二次根式相乘，把被开方数 ，根指数 ，即·= (a≥0，b≥0) . 相乘 不变 注意事项： 1.法则中的被开方数既可以是数，也可以是式子，但都是非负的. 2.二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因式时要开方. 3.几个二次根式相乘，可利用乘法运算律使运算简便 . 4.二次根式相乘的结果是一个最简二次根式或一个有理式. 考点串讲 2. 二次根式的除法法则  两个二次根式相除，把被开方数 ，根指数 ， 即 (或÷ = ) ( a ≥ 0， b>0). 相除 不变 注意事项： 1.若两个被开方数可以整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算；若两个被开方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再相除. 2.二次根式的除法不能直接使用交换律、结合律等，要转化为乘法运算后才可以使用 . 考点四、二次根式的乘除运算 考点串讲 3.分母有理化  将 中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子，叫做分母有理化 .具体步骤为 一移，即将分子、分母中 (或因式)移到根号外面；二乘，即将分子、分母同时 (或因式)； 三化，即化简计算 . 分母 能开得尽方的因数 分母的有理化因数 1.分母有理化的依据是分式的基本性质. 2.当分母是 或 的形式时，分子与分母同乘 . 考点四、二次根式的乘除运算 考点串讲 考点五、二次根式的加减运算 1.合并二次根式  将某些二次根式化成最简二次根式，如果 相同，那么这样的二次根式称为可以合并的二次根式 合并二次根式与整式 类似，将根号外的因数或因式相加减， 和 不变.a ± b =(a±b) ( m ≥ 0) . 被开方数 合并同类项 根指数 被开方数 注意事项： 1. 合并二次根式时要合并的是二次根式的系数，而不是根号内的被开方数. 2.可以合并的二次根式必须同时满足最简二次根式和被开方数相同这两个条件，它与根号前面的因数(式)无关. 考点串讲 2.二次根式的加减法法则  二次根式加减时，先将每个二次根式化成 ，再将 相同的最简二次根式的项进行合并 . 最简二次根式 被开方数 注意事项： 1. 化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分. 2. 根号外的因数就是这个二次根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式. 3. 整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式加减运算中仍然适用. 考点五、二次根式的加减运算 考点串讲 考点六、二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算顺序 与整式的混合运算顺序相同，先算 ，再算 ，最后算 ，如果有括号就先算括号里面的.实数运算中的运算律( 、 、 )和整式乘法中的乘法公式( 和 )在二次根式的运算中仍然适用 . 乘方、开方 乘除 加减 交换律 结合律 分配律 平方差公式 完全平方公式 1.二次根式的混合运算的结果应写成最简二次根式(或整式)的形式. 2.进行二次根式的开方运算时，应使开出的因数(式)是非负数(式). 3.在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理运用运算律 . 考点串讲 考点六、二次根式的混合运算 2.二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法 (1) (+ ) = + ； (2)( + ) ( + ) = + + + ； (3)( + )( － ) =( ) 2－ ( ) 2=a－b； (4)( ± ) 2=( ) 2± +( ) 2=a± +b； (5)( + ) ÷ = =； (6)( + ) ÷( － ) ===. 2 2 考点串讲 题型一、二次根式有意义的条件及其应用 例1.当 x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) +( x+5) 0； (2) － ； (3) ； (4) . 解：欲使 +( x+5) 0有意义， 则∴ x ≤ － 3 且 x ≠ － 5. 欲使 －有意义，则∴ 2 ≤ x ≤ 5. 欲使有意义，则必有，∴ x> － . 欲使 有意义，则必有∴ x ≥ － 4 且 x ≠ 2 . 题型剖析 题型一、二次根式有意义的条件及其应用 求使代数式有意义的字母取值范围的类型 (1)二次根式型:被开方数大于或等于; (2)分式型:分母不等于; (3)复合型:对于分式、二次根式组成的复合型代数式，应取其各部分字母取值范围的公共部分. 题型剖析 题型一、二次根式有意义的条件及其应用 变式.求使下列式子有意义的 的取值范围： （1） ；（2） ；（3） ；（4） . 解：（1）， 是任意实数. （2）由题意得， . （3）由题意得， ，且 . （4）由题意得，，且 . 题型剖析 题型二、二次根式性质的应用 例2.已知三角形的一边长为5，另两边长 a， b 足 +|b － 4|=0，则这个三角形的周长为___________ . 解：根据二次根式的双重非负性以及绝对值的非负性可得 即 三角形的周长为 题型剖析 二次根式的性质 ，且 2. 的运算结果是的运算结果与的取值有关. 即=|a|= 3.若，则；若 ，则 注意前提：. 题型二、二次根式性质的应用 题型剖析 变式.若= － a － 1， 则a 的值可以是(     ) A.4 B.2 C.0 D. － 2 D 解：根据题意可以知道与互为相反数， 即=. 即得 题型二、二次根式性质的应用 题型剖析 题型三、二次根式的乘除运算 例3.(1)6 ×(－ 2 ) (2) × × (3) ÷ (4) 9 ÷ 3 . 解：（1） 6 ×(－ 2 ) =6×(－ 2) × =－ 12× = － 12× 9= － 108. （2）× × = = . （3）÷ = = =3. （4）9 ÷ 3 =(9÷3) × =3 =9 . 题型剖析 题型三、二次根式的乘除运算 二次根式的乘除运算 类比实数的乘除运算，二次根式的乘除运算,也是先确定结果的符号，然后按照从左到右的顺序逐步计算，也可以类比单项式的乘除运算,将各“系数”相乘除作为系数,各被开方数相乘除作为被开方数最后利用算术平方根的性质化简 题型剖析 变式.按如图所示的程序计算，若开始输入的值为 ， 则最后输出的结果是_________. 题型三、二次根式的乘除运算 解：第一次输入为，， 第二次输入为，， 输出的值为 题型剖析 题型四、二次根式的加减运算 例4.计算（1） 解：原式 . （2） . 解：原式 . 题型剖析 二次根式的加减运算步骤 (1)将各个二次根式化成最简二次根式; (2)找出化简后被开方数相同的二次根式; (3)合并被开方数相同的二次根式--将系数相加仍作为系数,根指数与被开方数保持不变. 题型剖析 题型四、二次根式的加减运算 变式.嘉淇准备完成题目：“计算：”时， 发现系数“ ”印刷不清楚. （1）他把“”猜成3，请你计算： . 解：原式 . 题型剖析 题型四、二次根式的加减运算 （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是0.”请你通 过计算说明原题中“ ”是几？ 解：设“”是 ，则 原式 . ，解得 . 原题中“”是 . 题型剖析 题型五、二次根式的混合运算 例5.计算：（1） 解：原式 . （2） . 解：原式 . 题型剖析 二次根式的混合运算注意事项 1.二次根式的混合运算顺序和有理数混合运算顺序相同。先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的. 2.灵活运用简便算法，加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律、分配律在二次根式的运算中仍然适用. 3.注意灵活使用平方差公式和完全平方公式. 4.二次根式混合运算的考查,经常与其他内容综合出题,难度适中 题型剖析 题型五、二次根式的混合运算 变式.阅读材料，并解决问题. 定义：将分母中的根号化去的过程叫作分母有理化. 例如：将分母有理化，原式 . 运用以上方法解决问题： 已知， . （1）化简， . （2）求 的值. 解：（1） . . （2）， ，， . . 题型剖析 例.先化简,再求值：,其中 . 解：原式 . 当 时， 原式 . 题型六、代数式中二次根式的化简求值 题型剖析 题型六、代数式中二次根式的化简求值 代数式中二次根式的化简求值 这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式，同类根式，分母有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入，分解变形，构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形，有时需把待求式化简或变形，有时需把已知条件和待求式同时变形. 题型剖析 变式.已知，，求代数式 的值. 解：， ， 原式 . 题型六、代数式中二次根式的化简求值 题型剖析 例7.观察下列各式： ； ； . （1） _________. （2）当为正整数时， _____________. 题型七、二次根式中探究规律问题 题型剖析 （3）计算： . 解：原式 . 题型七、二次根式中探究规律问题 题型剖析 二次根式中探究规律问题解题技巧 观察与分析：解答问题的第一步是仔细观察题目所给的信息，找出数字之间的关系。通常可以通过列举数字、图表等方式帮助可视化规律。 寻找规律：一旦观察到数字间的关系，下一步就是总结关系并找到表达关系的数学公式。可以尝试不同的推理方式，比如逆推法、推导法等，直至找到符合规律的公式。 验证与应用：通过将找到的规律再次应用于数列的后续项，来验证其正确性。 题型七、二次根式中探究规律问题 题型剖析 变式.阅读材料，回答问题： 观察下列各式： ； ； . 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： （1）猜想：_________ _____； 题型七、二次根式中探究规律问题 题型剖析 题型七、二次根式中探究规律问题 （2）归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用为正整数 表示的等 式：_ ____________________________________； （3）应用：用上述规律计算 . 解： . 题型剖析 1.下列二次根式中属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. A 解：A选项是最简二次根式 B选项= C选项. D选项 针对训练 2.下列二次根式中的取值范围是 的是( ) C A. B. C. D. 解：A选项，解得；不符合题意 B选项，解得；不符合题意 C选项，解得，符合题意； D选项，解得 . 针对训练 3.下列运算正确的是( ) C A. B. C. D. 解：A选项不能合并； B选项； C选项正确； D选项 针对训练 4.若，则表示实数 的点会落在数轴的( ) B A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上 解：根据题意可知 ，所以会落在②上 针对训练 5.已知，则 的值为( ) A A. B. 15 C. D. 解：根据题意可知，解得. 将代入中可得. . 针对训练 6.如果最简二次根式与能够合并，那么 的值为___. 5 7.已知，则 ___. 1 解：根据题意可知，，. 解： 将，代入可得 原式 针对训练 8.若，， 为三角形的三边，则 ___________. 解：三角形的性质为两边之和大于第三边 . 原式 针对训练 9.先化简，再求值：，其中 . 解：原式 . 当时，原式 . 针对训练 10.已知， ，求下列各式的值： （1） . （2） . 解：（1） . （2）原式 . 针对训练 11.如图，大正方形的面积为 ，现从四个角剪掉四个大小相同的小正方形小正方形的面积均为 ，制作一个无盖的长方体盒子. （1）原来大正方形的边长为______ ；四个小正方形的边长为____ ；（保留根号） （2）求这个长方体盒子的底面边长和体积分别是多少. 结果精确到0.01. 参考数据：,, 解： ， . 答：这个长方体盒子的底面边长约是，体积约是 . 针对训练 12.我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1.按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读、理解，并解答一些问题.若，则与的平均数是1，我们称与 是关于1的平衡数.例如，与 是关于1的平衡数. （1）4与____是关于1的平衡数； 与_________是关于1的平衡数. （2）若与是关于1的平衡数，同时与 也是关于1的平 衡数，求与 的值. 解：与是关于1的平衡数，与 也是关于1的平衡数， 解得 针对训练 （3）若，试判断与 是 不是关于1的平衡数，并说明理由. 解：不是，理由如下： ， 又 ， . ， 即 . . . 与 不是关于1的平衡数. 针对训练 ✅ 知识构建：二次根式 二次根式的概念和性质→二次根式乘除运算→二次根式加减运算✅ 思想方法： 类比归纳、分类讨论 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $