第二十三章 二次根式（单元测试·提升卷）数学人教版五四制八年级上册

第23章 二次根式 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．下列各式中，一定是二次根式的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．若m，n为任意实数，则下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 4．若使式子成立，则x的取值范围是（　　） A．1.5≤x≤2 B．x≤1.5 C．1≤x≤2 D．1≤x≤1.5 5．下列各式中，从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知为实数，的值等于（   ） A．8 B．4 C．6 D．16 7．下列结论正确的是（    ） A． B．若，化简 C． D．若x表示的整数部分，y表示它的小数部分，则 8．已知，则化简的结果是（    ） A． B． C．3 D．－3 9．已知那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论： 甲：； 乙：设有理数，满足：，则； 丙：； 丁：已知，则； 戊：． 以上结论正确的有　　 A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁 二、填空题 11．比较大小：_____（用“”或“”或“”填空）． 12．中变量x的取值范围是________． 13．若最简二次根式与能合并，则__________． 14．如图所示，数轴上表示1，的点分别为A，B，且（C在A的左侧），则点C所表示的数是________． 15．化简：___________． 16．已知，，则的值为___________． 17．设，，当t为___________时，代数式． 18．如图，将 ，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，为第 3排第 2列的数为，则与表示的两个数的积是_____． 三、解答题 19．化简：（1）．    （2）． 20．（1）计算：； （2）计算：（其中）． 21． 22．已知，求的值． 23．先化简，再求值：，其中，． 24．如图所示，将一个长宽分别为，的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形． (1)用含，，的代数式表示纸片剩余部分的面积； (2)当，，，求剩余部分的面积． 25．先观察解题过程，再解决以下问题： 比较与的大小． 解：，， ，又， （1）比较与的大小． （2）试比较与的大小． 26．（1）观察下列各式的特点： ， >， ， ， … 根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）． （2）观察下列式子的化简过程： ， ， ＝， … 根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程． （3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||． 27．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为正整数），则有， ∴a＝m2+2n2，b＝2mn． 这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　； （2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值； （3）化简：． 28．综合与探究： （1）计算判断：（计算并判断大小，填写符号：“>”“<”或“=”） ①当，时，_____； ②当，时，_____； ③当，时，______； ④当，时，______； ⑤当，时，______； ⑥当，时，_______； … （2）归纳猜想：猜想并写出关于与（，是常数，且，）之间的数量关系； （3）探究证明：请补全以下证明过程： 证明：根据一个实数的平方是非负数，可得， ∴， ∵，， … （4）实践应用：要制作面积为的长方形（或正方形）框架，直接利用探究得出的结论，求出框架周长的最小值． 29．定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化，根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)对偶式与之间的关系为 　 　 A．互为相反数B．互为倒数C．绝对值相等D没有任何关系 (2)已知，，求的值； (3)解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）． 30．将n个0或排列在一起组成一个数组，记为，其中，，…，取0或，称A是一个n元完美数组（且n为整数）．例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组． 定义以下两个新运算： 新运算1：对于， 新运算2：对于任意两个n元完美数组和， ．例如：对于3元完美数组 和，有． (1)①在，，中是2元完美数组的有______； ②设，，则______； (2)已知完美数组，求出所有4元完美数组N，使得； (3)现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C，D满足，则m的最大可能值是______． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23章 二次根式 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．下列各式中，一定是二次根式的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义即可作出判断． 【解析】解：一定是二次根式； 当m＜0时，不是二次根式； 对于任意的数x，x2+1＞0，则一定是二次根式； 是三次方根，不是二次根式； ﹣m2﹣1＜0，则不是二次根式； 是二次根式； 当a＜时，2a+1可能小于0，则不一定是二次根式． 综上所述，一定是二次根式的有，共3个， 故选：A． 【点睛】主要考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数． 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各选项化简，不能化简的即为答案． 【解析】因为，所以A不符合题意； 因为，所以B不符合题意； 因为不能化简，所以C符合题意； 因为，所以D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，即被开方数中不含能被开方的数或式子． 3．若m，n为任意实数，则下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质把各个选项进行化简，判断即可． 【解析】解：A、，故不成立，不合题意； B、，故成立，符合题意； C、，故不成立，不合题意； D、，故不成立，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键． 4．若使式子成立，则x的取值范围是（　　） A．1.5≤x≤2 B．x≤1.5 C．1≤x≤2 D．1≤x≤1.5 【答案】D 【分析】直接利用二次根式的性质进而计算得出答案． 【解析】解：由题意可得：， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质． 5．下列各式中，从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质进行化简进而得出答案． 【解析】解：A．，不符合题意； B．，a的符号不确定，需分情况，不符合题意； C．，符合题意； D．，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 6．已知为实数，的值等于（   ） A．8 B．4 C．6 D．16 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，求得x、y的值，然后代入所求求值即可． 【解析】∵x−2⩾0，即x⩾2，① 2-x⩾0，即x⩽2，② 由①②知，x=2； ∴y=4， ∴yx=42=16. 故选D. 【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握其定义. 7．下列结论正确的是（    ） A． B．若，化简 C． D．若x表示的整数部分，y表示它的小数部分，则 【答案】B 【分析】A选项考查二次根式比较大小，B，C选项考查二次根式的化简，D选项考查估算，具体做法见详解． 【解析】解：，，18<20，所以，故A错误； 当时，x-3<0，=-（x-3）+（3-x）=6-2x，故B正确； 由可得，a<0，所以，故C错误； 因为，所以x=3，y=，所以，故D 错误． 故答案为：B 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，运算等，牢固掌握相关知识是关键． 8．已知，则化简的结果是（    ） A． B． C．3 D．－3 【答案】C 【分析】先根据二次根式的性质把化简为，然后结合去绝对值符号，最后合并即可． 【解析】解： = =， ∵， ∴，， ∴原式= =3， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 9．已知那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倒数法比较大小即可． 【解析】解：∵ ∴，，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较，分母有理化，掌握倒数法比较大小的方法是解题关键． 10．某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论： 甲：； 乙：设有理数，满足：，则； 丙：； 丁：已知，则； 戊：． 以上结论正确的有　　 A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁 【答案】B 【分析】读懂题意，利用分母有理化计算并判断即可． 【解析】解： ， 甲正确； ， ， ， 解得， ，乙错误； ， ， ， 丙正确； 已知， ， ， ， 则， 丁错误； ， 戊正确， 正确的有甲丙戊， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握分母有理化． 二、填空题 11．比较大小：_____（用“”或“”或“”填空）． 【答案】 【分析】同分母的分数比较大小，结合无理数的估算，比较分子的大小即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了无理数的估算、比较二次根式的大小，解本题的关键在正确估算出的大小． 12．中变量x的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可求解． 【解析】解：依题意 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一元一次不等式组的解集，掌握以上知识是解题的关键． 13．若最简二次根式与能合并，则__________． 【答案】3 【分析】能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可． 【解析】解：∵最简二次根式与能合并 ∴ 解得： 故答案为：3． 【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 14．如图所示，数轴上表示1，的点分别为A，B，且（C在A的左侧），则点C所表示的数是________． 【答案】 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式，由列式即可求出点C所表示的数． 【解析】解：设点C所表示的数为， ∵点A、B所表示的数分别是1、，且由图知B在A的右侧， ， ∵点A、C所表示的数分别是1、，且由图知C在A的左侧， ， ， ，解得， 点C所表示的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系及数轴上两点之间的距离公式，采用了“数形结合”的数学的思想是解决问题的关键． 15．化简：___________． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则化简求解即可． 【解析】解： ． 故答案： 【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则． 16．已知，，则的值为___________． 【答案】 【分析】先根据题意得到，再利用二次根式的性质化简即可． 【解析】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确得到是解题的关键． 17．设，，当t为___________时，代数式． 【答案】2 【分析】根据x，y的表达式，可以观察出，，再将改写为含有与的形式，代入解出t即可． 【解析】， ， ，解得（舍去），． 故答案为：2 【点睛】本题考查乘法公式的运用，熟练掌握乘法公式并能将二次三项式改写为含有与的形式，是本题的解题关键． 18．如图，将 ，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，为第 3排第 2列的数为，则与表示的两个数的积是_____． 【答案】 【分析】根据题意和图形中的数据，可以发现数字的变化规律，从而可以得到与表示的两个数，进而与表示的两个数的积，本题得以解决． 【解析】解：由题意可得：每三个数一循环，， 在数列中是第个， ，表示的数正好是第轮的最后一个，即表示的数是， 由题意可得：每三个数一循环，， 在数列中是第个， ，表示的数正好是第轮的第一个， 即表示的数是1， 故（与表示的两个数的积是：． 故答案为． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的两个数的乘积． 三、解答题 19．化简：（1）．    （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）原式先进行二次根式的乘除运算，再化简即可得到结果； （2）原式根据平方差公式和分母有理化化简各项，再进行运算即可得到答案． 【解析】解：（1） = = = =．    （2） = =． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键． 20．（1）计算：； （2）计算：（其中）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二次根式的性质及二次根式的加减混合运算计算即可； （2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【解析】解：（1） （2） 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质及加减乘除混合运算的法则是解题的关键 . 21． 【答案】0 【分析】利用二次根式的性质和平方差、完全平方公式将二次根式化简，然后约分后合并即可． 【解析】解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，分式的化简，二次根式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式和完全平方公式将二次根式化简． 22．已知，求的值． 【答案】 【分析】由题意，得到，则，然后把分式进行化简，再代入计算，即可得到答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简． 23．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】先把二次根式化为最简，再把字母的取值代入即可． 【解析】解： ∵，， ∴，， 则． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 24．如图所示，将一个长宽分别为，的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形． (1)用含，，的代数式表示纸片剩余部分的面积； (2)当，，，求剩余部分的面积． 【答案】(1) (2)124 【分析】（1）用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可； （2）把相应的值代入（1）进行运算即可． （1）解：剩余部分的面积为：； （2）解：当，，时， ．答：剩余部分的面积为124. 【点睛】本题考查了列代数式，求代数式的值，二次根式的运算，把剩余部分的面积看成长方形的面积减去四周四个小正方形的面积是解题的关键． 25．先观察解题过程，再解决以下问题： 比较与的大小． 解：，， ，又， （1）比较与的大小． （2）试比较与的大小． 【答案】（1）＜；（2）＜ 【分析】（1）根据示例中的方法，把与化为分子是1的数，再比较大小即可； （2）根据示例中的方法，把与化为分子是1的式子，再比较大小即可． 【解析】（1）∵，， ∴，， 又∵， ∴＜，即：＜； （2）∵()()=1，()()=1， ∴，， 又∵＞， ∴＜，即：＜． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数或式子，是解题的关键． 26．（1）观察下列各式的特点： ， >， ， ， … 根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）． （2）观察下列式子的化简过程： ， ， ＝， … 根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程． （3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||． 【答案】（1）＞；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案； （2）把分子分母同时乘以，然后化简即可得到答案； （3）根据（2）中的规律可得，，，分别把绝对值里面的式子化简计算即可． 【解析】解：（1）∵， >， ， ， …， ∴， ∴， 故答案为：＞； （2） = =； （3）原式 ． 【点睛】此题主要考查了分母有理化，关键是注意观察题目所给的例题，找出其中的规律，然后再进行计算． 27．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为正整数），则有， ∴a＝m2+2n2，b＝2mn． 这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　； （2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值； （3）化简：． 【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3）﹣1． 【分析】（1）利用完全平方公式展开得到，再利用对应值相等即可用m、n表示出a、b； （2）直接利用完全平方公式，变形后得到对应值相等，即可求出答案； （3）直接利用完全平方公式，变形化简即可． 【解析】解：（1）∵， ∴a＝m2+6n2，b＝2mn． 故答案为：m2+6n2，2mn； （2）∵， ∴a＝m2+3n2，mn＝2， ∵m、n均为正整数， ∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1， ∴a＝13或7； （3）∵， 则． 【点睛】本题考查了二次根式性质和完全平方式的内容，考生须先弄清材料中解题的方法，同时熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则以及二次根式的化简公式是解题的关键. 28．综合与探究： （1）计算判断：（计算并判断大小，填写符号：“>”“<”或“=”） ①当，时，_____； ②当，时，_____； ③当，时，______； ④当，时，______； ⑤当，时，______； ⑥当，时，_______； … （2）归纳猜想：猜想并写出关于与（，是常数，且，）之间的数量关系； （3）探究证明：请补全以下证明过程： 证明：根据一个实数的平方是非负数，可得， ∴， ∵，， … （4）实践应用：要制作面积为的长方形（或正方形）框架，直接利用探究得出的结论，求出框架周长的最小值． 【答案】（1）①=，②=，③=，④>，⑤>，⑥>；（2）；（3）见解析；（4）框架周长的最小值为． 【分析】（1）代入计算即可； （2）由（1）可得出； （3）根据非负数的性质展开即可得出答案； （4）设长方形的长和宽分别为，，则长方形面积为：；周长为：，根据（2）的结论即可得出答案． 【解析】解：（1）①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，； ⑤当，时，； ⑥当，时，； （2）猜想结果为：； （3）证明过程如下： 根据一个实数的平方是非负数，可得， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∴． （4）设长方形的长和宽分别为， ∵长方形面积为4， ∴． ∴． ∴． ∴框架周长的最小值为． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的应用，读懂题意，从题目中找出与的数量关系是解此题的关键． 29．定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化，根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)对偶式与之间的关系为 　 　 A．互为相反数B．互为倒数C．绝对值相等D没有任何关系 (2)已知，，求的值； (3)解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）根据题意可把对偶式与相乘，进而问题可求解； （2）由题意易得，，然后可得，，进而代入求解即可； （3）令，然后方程两边同乘t，则有，进而可得，最后问题可求解． (1) 解：由题意得：， ∴对偶式与互为倒数； 故选B； (2) 解：由题意得：，， ∴，， ∴； (3) 解：令，则方程两边同乘t得：， 解得：， ∴，① ∵，② ∴①+②得：，两边同时平方得：， 解得：． 经检验：x=-1是方程的解． 【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化及分式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化及分式的值是解题的关键． 30．将n个0或排列在一起组成一个数组，记为，其中，，…，取0或，称A是一个n元完美数组（且n为整数）．例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组． 定义以下两个新运算： 新运算1：对于， 新运算2：对于任意两个n元完美数组和， ．例如：对于3元完美数组 和，有． (1)①在，，中是2元完美数组的有______； ②设，，则______； (2)已知完美数组，求出所有4元完美数组N，使得； (3)现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C，D满足，则m的最大可能值是______． 【答案】(1)①；② (2)或或或或或． (3)2023 【分析】（1）①根据定义直接判定即可； ②根据定义直接计算即可； （2）由定义可知当时，，当时，，当或0，再由此求解即可； （3）根据题意可知C、D中对应的元都不相等，m的最大值为2023，当C确定后，D中的对应元与C中的不同即可． 【解析】（1）解：①∵中有， ∴不是2元完美数组； ∵中只有和0，且有2个数， ∴是2元完美数组； ∵中有3个数， ∴不是2元完美数组； 故答案为：． ② ． 故答案为：． （2）解：∵， ∴当时，，当时，， 当时，或0， ∵， ∴， ∵， ∴或或或或或． （3）解：∵， ∴C、D中对应的元都不相等或C、D中对应的元都相等且为0， ∵C、D是不同的两个完美数组， ∴C、D中对应的元都不相等， ∴m的最大值为2023，当C确定后，D中的对应元与C中的不同． 故答案为：2023． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，弄清定义，熟练掌握绝对值的运算，能够通过所给的运算关系，得到一般规律是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$