第二十三章 二次根式（知识清单）数学人教版五四制八年级上册

该初中数学单元知识清单全面梳理了“二次根式”章节内容，涵盖定义、性质、运算及应用等核心知识，构建了从概念辨析、性质应用到运算技巧、实际应用的递进式学习支架。 清单通过“易错点-策略”标注和“基础-重难点”分级呈现知识体系，如“二次根式判定”明确忽略被开方数非负的易错点及判断策略，培养抽象能力与运算能力。特别设计“性质化简步骤”和“运算口诀”，助力学生自主突破难点，教师可据此优化教学，提升课堂实效。

第二十三章 二次根式 1、二次根式的定义：我们把形如 （） 的式子叫做二次根式； 叫做被开方数；叫做二次根号； 2、根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0； 3、二次根式的性质： ① ， （双重非负性）② （） 4、二次根式的乘法法则： （ ） （ ） 5、二次根式的除法法则： （）（主要用于化简） 6、最简二次根式： ① 被开方数不含有分母（小数）；② 被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式； 7、同类二次根式：化简后的最简二次根式的被开方数相同； 8、二次根式的加减运算方法： ① 不是最简二次根式的要先化成最简二次根式；② 是最简二次根式，只把二次根式系数相加减，二次根式不变照写； 9、二次根式乘除混合运算：把系数相乘除，被开方数相乘除，再把它们的结果相乘。 一、二次根式的判定 易错点：误判根号下含变量的式子，忽略被开方数非负的条件。 策略：判断是否为二次根式，须确保被开方数（整体）大于或等于零。 1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键，根据二次根式的定义：形如的式子是二次根式，据此判断即可求解． 【详解】解：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，该选项不符合题意； 、是二次根式，该选项符合题意； 、根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，该选项不符合题意； 、当时，是二次根式；当时，无意义，不是二次根式，故不一定是二次根式，该选项不符合题意； 故选：． 2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）下列各式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式． 根据二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】A． 当时，即是二次根式； B． ，，即是二次根式； C． ，即是二次根式； D． 当时，即不一定是二次根式； 故选：D． 3．（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫做二次根式判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有，，，，共五个． 故选C． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列式子：．其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据被开方数为非负数，即可得出答案． 【详解】解：，不是二次根式； 是二次根式； 当时，不是二次根式； 当时，，不是二次根式； ，是二次根式； 不是二次根式． 综上，，是二次根式，一共2个． 故选：B． 二、求二次根式的值 易错点：代入数值后直接计算，未先判断被开方数的正负性。 策略：代入数值前，先确认被开方数的符号，若为负则无意义（在实数范围内）。 5．（25-26九年级上·山西晋城·阶段练习）当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 6．（10-11八年级上·浙江·期中）当时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质，把代入计算，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故答案为：2． 7．（25-26八年级上·上海·阶段练习）当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 8．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）已知实数，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合二次根式的非负性，得，即，又因为，得，整理，最后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：结合二次根式有意义的性质，得， ∴， 即， ∴， 则 ． 三、求二次根式的值 易错点：解含分式与根式的复合条件时，仅考虑其一，忽视分母不为零。 策略：遇复合式子，需同时满足被开方数≥0与分母≠0，解不等式组。 9．（24-25八年级下·甘肃甘南·阶段练习）如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可． 【详解】解：A、当时，，不是一个正整数，故此选项不符合题意； B、当时，，是一个正整数，故此选项符合题意； C、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； 故选：B． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）若是整数，则正整数的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先将化简，再根据其为整数的条件，确定正整数的最小值． 【详解】解：． 因为是整数， 所以必须是整数．则为完全平方数，正整数的最小值为． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）若是整数，则正整数n的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，理解是整数的条件是解决本题的关键． 根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的值即可． 【详解】解：∵是整数， ∴一定是一个完全平方数，最小是， 此时的值为． 故答案为：． 四、使二次根式有意义的条件 易错点：运算结果未化成最简形式；忽略字母取值范围对化简的影响。 策略：遵循，；结果需彻底化简，注意字母正负。 12．（25-26九年级上·河南周口·阶段练习）若代数式有意义，则x应满足的条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是：熟练掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件被开方数非负得到不等式，即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故选：A． 13．（24-25八年级下·全国·期末）若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0求解即可； 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，， 解得． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·山东东营·阶段练习）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数，分式分母不为0是解题的关键．根据二次根式和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意，得且， 且， 故答案为：且． 15．（25-26八年级上·重庆万州·阶段练习）若实数、满足则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求立方根，准确记住二次根式有意义的条件是解题关键．根据二次根式有意义的条件，即可解出x值，进而求出y值，接着求得立方根即可． 【详解】解：∵实数x、y满足， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴的立方根是． 故答案为：． 五、二次根式的乘除法运算 易错点：误将非同类二次根式合并；合并时仅系数相加减而根式部分不变。 策略：先化简各根式为最简形式，再识别并合并同类二次根式（被开方数相同）。 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的除法运算． 根据二次根式的性质以及二次根式的除法运算逐项判定即可． 【详解】解：A. ，因为根号下不能为负数，故A错误； B. ，式子不能化简为，故B错误； C. ，故C正确； D. ，结果不为，故D错误． 故选：C． 17．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）估计的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的运算，先通过二次根式的乘法法则进行化简，然后通过估算无理数的大小的方法解答即可，解题的关键在于掌握二次根式的运算方法以及估算无理数大小的方法． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的值在和之间， 故选：． 18．（25-26八年级上·河南焦作·阶段练习）下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质以及乘除运算，根据二次根式的性质以及乘除法运算法则逐项计算，进而可得答案． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，原计算错误，符合题意； D、，正确，不符合题意． 故选：C． 19．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先根据二次根式的性质化简，再根据乘除法法则计算． 【详解】解： ． 20．（25-26八年级上·福建三明·阶段练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据二次根式的乘除运算法则计算即可； （）利用乘法分配律计算即可； （）利用平方差公式计算即可； （）利用完全平方公式计算即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 六、二次根式的加减运算 易错点：错误化简，忽略a可能为负数的情形。 策略：牢记核心公式，化简时务必根据a的正负性进行讨论，或直接写绝对值。 21．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加法，减法，以及乘除法运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 根据二次根式的加法，减法，以及乘除法运算计算即可． 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，故错误； B选项，属于同类二次根式相减，即，故错误； C选项，根据二次根式的除法运算法则，，故错误； D选项，根据二次根式的乘法运算法则，，故正确． 故选：D ． 22．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除法，熟知二次根式的各种运算法则是关键．根据二次根式的加减乘除法则依次正确计算即可判断出结果． 【详解】解： ，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项错误； ，故D选项正确； 故选：D． 23．（25-26八年级上·福建三明·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的加减法运算以及二次根式的化简，仔细计算是解题关键； 直接利用二次根式的加减法运算以及二次根式的化简，逐一判断即可． 【详解】解： A、，故原计算正确，符合题意； B、两者不能合并，故原计算错误，不符合题意； C、，故原计算错误，不符合题意； D、两者不能合并，故原计算错误，不符合题意； 故选：A． 24．（25-26九年级上·河南周口·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握算理是解决问题的关键．运用二次根式的计算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，原式错误，故本选项不符合题意； B、，原式错误，故本选项不符合题意； C、，原式正确，故本选项符合题意； D、，原式错误，故本选项不符合题意． 故选：C． 25．（19-20八年级上·广东佛山·阶段练习）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算． 先化简二次根式，再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 26．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的减法． 直接根据二次根式的减法法则计算即可． 【详解】， 故答案为：． 七、利用二次根式的性质化简 易错点：满足于被开方数无平方因子，但忽略分母中不得含有根号的要求。 策略：检查两条：1. 被开方数不含能开方的因数；2. 分母中不含根号（需分母有理化）。 27．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段练习）化简：________． A．3 B． C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意得，，则，据此即可化简二次根式． 【详解】解：由题意得，，则， ， 故选：A． 28．（15-16八年级下·湖南湘西·期末）化简，结果是（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式因式分解、二次根式的化简、二次根式有意义的条件等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 根据完全平方公式因式分解，再利用二次根式的性质化简解题即可． 【详解】解：由题意得， ∴ ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 29．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，利用二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先判断x的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 30．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）已知，则简化的结果是（    ） A．-3 B．3 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简；由，再结合x的范围化简绝对值，最后进行合并计算即可. 【详解】解： ∵ ∴，， ∴. 故选：C. 31．（25-26八年级上·福建三明·阶段练习）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：， 故答案为：3 ． 八、最简二次根式 32．（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是关键． 最简二次根式：被开方数不能含有能开方的数或因式；被开方数中不能含有分母；分母中不能含有二次根式；由此即可求解． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； C、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A ． 33．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，解题的关键是掌握最简二次根式的定义. 利用最简二次根式的定义逐项进行判断即可，即被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式. 【详解】解：A.，该选项不是最简二次根式，不符合题意； B.该选项是最简二次根式，符合题意； C. ，该选项不是最简二次根式，不符合题意； D. ，该选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B. 34．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）化为最简二次根式是（ ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须同时满足以下条件：“被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 35．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 36．（25-26八年级上·全国·周测）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，由，且与是同类二次根式，则分时，时，时，时，进行讨论，然后求出的值并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同， ∴时，； 时，； 时，； 时，（舍去）； ∴符合条件的正整数的值为，，， ∴的最小值为， 故答案为：． 37．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了最简二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据最简二次根式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 重难点01 二次根式的乘除法混合运算 38．（20-21八年级下·广西柳州·期中）计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 39．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数、二次根式的运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的乘除法和是解题的关键． 【详解】， ， 故答案为：． 40．（19-20八年级下·辽宁大连·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用平方差公式计算即可； （）利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除运算法则计算即可； 本题考查了二次根式的乘除运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 41．（20-21八年级下·陕西西安·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，再结合二次根式的乘除混合运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解： 42．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． （1）利用乘法分配律展开后利用二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）利用二次根式的除法法则进行计算即可； （3）利用二次根式的乘法法则和除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． 重难点02 二次根式的混合运算 43．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，乘法运算律． （1）先化简，再按照运算法则计算即可； （2）先按照乘法分配律去括号，再按照运算法则计算即可； （3）按照运算法则计算即可； （4）先按照完全平方公式和平方差公式去括号，再按照运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 44．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算减法，进而计算加法即可； （2）先计算乘法公式，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 45．（山西省临汾市多校2025-2026学年上学期10月月考九年级数学�试卷（华东师大版））计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则、加减法法则以及绝对值的性质． （1）依次进行二次根式的乘法运算、化简各二次根式、去绝对值，最后合并同类二次根式； （2）先化简括号内各二次根式，再去括号，最后合并同类二次根式； 【详解】（1） （2） 46．（25-26八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查的是二次根式的乘法公式、化简二次根式并合并同类二次根式及根据二次根式性质化简． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （3）利用二次根式的性质，和立方根的定义化简并计算即可； （4）利用二次根式的乘法公式计算后再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 47．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）计算： 解：原式……① ……② ……③ 根据上述解题过程，回答下列问题： (1)第①步的依据是___________． (2)第___________步开始出现错误（填序号）．错误原因是___________． (3)请写出正确的计算答案___________． 【答案】(1)二次根式的除法法则 (2)②，去括号时，符号错误 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得出第①步的依据是二次根式的除法法则，即可作答． （2）认真分析计算过程得第②步开始出现错误， 去括号时，符号错误，即可作答． （3）先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算减法，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，第①步的依据是二次根式的除法法则； （2）解：第②步开始出现错误，错误的原因为：去括号时，符号错误； （3）解： ． 48．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查二次根式，立方根的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）运用乘法公式展开，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （3）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据二次根式，立方根，负指数幂的计算法则计算即可；． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 49．（25-26八年级上·甘肃白银·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟记运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法进行计算即可； （2）根据二次根式的乘除法进行计算即可求解； （3）先计算乘除再合并，即可求解； （4）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 重难点03 二次根式分母有理化 50．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分母有理化，把分子、分母都乘以化简即可． 【详解】解：． 故选：D． 51．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）若，则与的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化，解题关键在于掌握运算法则．把的分子分母同乘，进一步化简与a比较得出结论即可． 【详解】解：， ∴a与b互为相反数. 故选：A． 52．（25-26八年级上·甘肃白银·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了含乘方的二次根式的混合运算，积的乘方的逆运算，解题关键是利用平方差公式进行分母有理化． 先进行分母有理化，再利用积的乘方的逆应用，进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 53．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以 所以 ，所以 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ____________；____________； (2)比较大小： ___________（填， ，或中的一种）； (3)计算： ； (4)若，求 的值． 【答案】(1)， (2) (3)2024 (4)7 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，平方差公式，代数式求值． （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将里的分母有理化，然后合并，再和相乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵，， 显然，即 又∵和都是正数， ∴， 故答案为：； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 重难点04 已知字母的值求代数式的值 54．（25-26八年级上·山西运城·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是根据二次根式的运算法则准确计算，原式已是最简式，将，代入原式，利用完全平方公式和平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 55．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）化简求值：（其中，） 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而将已知数据代入求出答案即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 56．（2022·湖南郴州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先计算分式的乘法，再算减法，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 57．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）已知，，分别求下列代数式的值． (1)． (2)． 【答案】(1) (2)25 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键： （1）利用平方差公式法进行因式分解，整体代入法进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解，整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2） ． 重难点05 已知式子的值求代数式的值 58．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，先根据二次根式有意义的条件求出，从而可得，再代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：， ∴ ， ∴， 故选：C． 59．（24-25七年级下·重庆·期末）已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过对等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出和的值，进而计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， 解得，， ∴ ， 故选：D． 60．（14-15八年级下·云南曲靖·开学考试）已知，，则化简求的值是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据已知条件可证明a、b都小于0，则可先化简二次根式得到，进一步通分得到，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴a、b同号， ∵， ∴a、b都小于0， ∴ ， ∵，， ∴原式， 故选：B． 61．（2024八年级上·湖南怀化·竞赛）已知，，求值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，需要先根据已知条件判断的正负性，再对原式进行化简，最后将与的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：已知，， 根据有理数乘法法则“同号得正”可知同号， 又∵两数之和为正， ∴， 将，，代入 原式． ∴的值． 重难点06 二次根式的应用 62．（24-25八年级下·天津·开学考试）把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片如图①不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，整式的加减运算，解题的关键是根据题意并结合图形列出关系式，去括号合并即可得到结果． 先设小长方形卡片的长为，再结合图形得出上面的阴影长方形的周长和下面的阴影长方形的周长，再把它们加起来即可求出答案． 【详解】解：设小长方形卡片的长为， 根据题意得：， ， 则图②中两块阴影部分周长和是： ， 图②中两块阴影部分的周长和是 故选：A 63．（25-26八年级上·甘肃白银·阶段练习）已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的比较大小，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握倒数法比较大小． 先对每个数的倒数进行分母有理化，再比较大小，根据倒数大的反而小，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， 故选：A． 64．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），．若一台座钟的摆针的摆长为，则该座钟摆针摆动的周期为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据公式计算即可； 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 65．（2025八年级上·全国·专题练习）比较与的大小． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式比较大小，利用二次根式的性质把二次根号外的数放到二次根号内，比较被开方数即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 66．（25-26八年级上·上海·阶段练习）（1）计算：________；________ （2）由以上计算结果：可知的倒数是________． （3）比较与的大小． 【答案】（1）1，1；（2）；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式是分母有理化的关键． （1）根据平方差公式，可得答案； （2）根据（1）的规律，可得答案； （3）利用（2）的结论，可得答案． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：1，1； （2）∵ ， ∴ ， 故答案为：； （3） ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 67．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在一家手工作坊里，木工师傅正在为客户定制一批小型收纳盒，他们选用了一块长方形木板作为原材料．为了满足设计需求，需要对这块木板进行改造．木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为________cm； (2)求长方形木板的周长和面积． 【答案】(1) (2)周长为，面积为 【分析】本题考查二次根式的应用、算术平方根等知识点，根据图形运用相关知识是解题的关键． （1）根据正方形的边长等于面积的算术平方根求解即可； （2）根据（1）中结论求出矩形的长和宽，然后再求长方形木板的周长和面积即可． 【详解】（1）解：正方形的边长为， 故答案为：． （2）解：由题意知，，， 则长方形木板的周长为， 面积为． 68．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空抛物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式，已知小亮家所住楼层的高度是30m． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度； (2)小明家所住楼层的高度是．小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以如果两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度是从小亮家坠落的物品落地速度的2倍．小明的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用： （1）把代入，即可求解； （2）把代入，即可求解． 【详解】（1）解：当时，． 答：该物品落地时的速度为． （2）解：不正确，理由如下：     当时，． ． 所以小明的说法不正确． 69．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，李明家有一块矩形空地，已知，．现要在空地中挖一个矩形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中矩形水池的长为，宽为． (1)求矩形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为7元，且每平方米产草莓．若李明家将所收获的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)销售收入为3780元 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键． （1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形空地的周长为： ． （2）解：由题意，得， ， ， （元）． 答：销售收入为3780元． 70．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，现有两块同样大小的长方形木板，甲同学采用如图①所示的方式，在长方形木板上截出三块面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A、B、 (1)正方形木板A的边长为______分米， B的边长为______分米， C的边长为______分米； (2)乙同学想采用如图②所示的方式，在长方形木板上截出两块面积均为16平方分米的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1)2，，； (2)不能截出，理由见解析 【分析】（1）依据题意，根据正方形方面积公式求解； （2）依据题意，比较无理数的大小． 本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握无理数的大小比较是关键． 【详解】（1）由题意，在长方形木板①上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A，B，C， 正方形木板A的边长为2分米，B的边长为分米，C的边长为分米． 故答案为：2，， （2）不能截出．理由如下， 由题意得，正方形木板的边长为4分米， 又，， 不能截出． 71．（18-19八年级下·广东惠州·期末）（1）计算： ①   ② ③ …… （2）观察（1）中的式子，写第n个根式，并化简． （3）请根据（2）的结论计算： 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查二次根式的化简计算，规律总结，算术平方根，掌握知识点是解题的关键． （1）逐个计算，最后根据算术平方根计算即可； （2）根据（1）中的①②③，找出规律，并总结出即可； （3）根据（2）中的规律计算，即可解答． 【详解】解：（1）①  ， ②， ③， …… （2）由（1）得 ①  ， ②， ③， …… 按此规律，可得 第n个根式为； （3） ． 72．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知有两块面积均为108平方厘米的正方形纸板．现甲，乙两种操作方案．甲方案：在纸板上裁出一个面积为24平方厘米，且宽为厘米的长方形纸板①；乙方案：将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②； (1)求甲方案中裁出的长方形纸板①的长； (2)求乙方案中得到的长方形纸板②的面积； (3)小明准备在纸板①，②中选出一个，剪出长2厘米，宽厘米的纸条，请直接写出小明应该选择哪个，才能使剪出的纸条最多？ 【答案】(1)厘米 (2)18平方厘米 (3)小明应该选择长方形纸板①，才能使剪出的纸条最多 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握二次根式运算法则． （1）根据长方形面积公式列式解答即可； （2）先求正方形的边长，然后求出乙方案中长方形的长和宽，然后求出结果即可； （3）分别画图，求出纸板①，②中可以剪出的纸条条数，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：甲方案中裁出的长方形纸板①的长为： （厘米）； （2）解：∵正方形纸板的面积为108平方厘米， ∴正方形的边长为厘米， ∵将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②， ∴乙方案中得到的长方形纸板②的长为： （厘米）， 宽为：（厘米）， ∴乙方案中得到的长方形纸板②的面积为： （平方厘米）； （3）解：长方形纸板①的长为厘米，宽为厘米， 长方形纸板②的长为厘米，宽为厘米， ∵，，，， ∴长方形纸板①和长方形纸板②可以剪出长2厘米，宽厘米的纸条条数，如图所示： ∴长方形纸板①可以剪出6个长2厘米，宽厘米的纸条，长方形纸板②可以剪出4个长2厘米，宽厘米的纸条， ∴小明应该选择长方形纸板①，才能使剪出的纸条最多． 73．（24-25八年级下·江苏南京·期末）海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可近似的地按公式计算，其中v表示海啸的行进速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度，g取． 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 ____ 140 (1)根据海啸的行进速度公式，完成上表： (2)如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为和，那么这两处的海水深度差值是多少？ (3)下列关于海啸行进速度的描述： ①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大； ②当海水的深度是的k倍时，海啸的行进速度是； ③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小． 其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 【答案】(1)填表见解析 (2)60米 (3)①③ 【分析】本题主要考查二次根式的计算，解题的关键是根据题中的公式列式求解． （1）直接将代入速度公式，计算，完成表格填空． （2）设两处深度为、，根据公式，分别将和代入，通过列方程，解得、，作差得深度差值． （2）①分析速度公式是算术平方根函数，因被开方数增大时递增，故随增大而增大，判断正确；②设深度，代入公式化简得，与题目表述对比，发现计算和单位错误，判断错误；③将公式变形为，利用算术平方根函数“增速变缓”的性质，结合具体数值验证（越大，相同增量下增量越小），判断正确． 【详解】（1）解：当时： ， 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 70 140 （2）解：设两处海水深度为、，由得： 当时，， ， ； 当时，， ， ； 深度差值为米， （3）①：“随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大” 海啸速度公式为（，是常数）． 从函数角度看，是关于的算术平方根函数，形式为（，是正数）． 根据算术平方根函数的性质：当被开方数增大时，递增，因此也递增．． ∴随着海水深度增加，海啸速度必然逐渐增大，描述①正确． ②：“当海水的深度是的倍时，海啸的行进速度是” 设海水深度，代入速度公式： 化简： 而题目中表述为“”，描述②错误； ③：速度公式可变形为，其中是常数（记为），即． 从“函数的变化率”角度理解：算术平方根函数的增速趋势是逐渐变缓的．当较小时，增加，的增量较大；当很大时，同样增加，的增量会变小， 当时，； 当时，，增量； 当时，； 当时，，增量； 可见，越大，相同增量下的增量越小）． ∴描述③正确． 故答案为①③． 74．（24-25八年级下·山东聊城·期中）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形，图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_______． (2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平方根的定义及正方形边长与平方根的应用，二次根式的运算，负整数指数幂． （1）根据正方形图形得到的面积即可得到边长； （2）根据题意，并结合（1）方法分析，再画出图形即可； （3）根据得到，，代入，进行求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由图形可得， ， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，取格点、、、，再顺次连接， ∵正方形的面积为：， ∴格点正方形的边长为， 则正方形即为所作． （3）解：∵， ∴， ∵是的整数部分，是的小数部分， ∴，， ∴． 75．（24-25九年级上·湖南湘西·阶段练习）《见微知著》读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想方法发现新问题、结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边： 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征： 阅读材料二 基本不等式（，），当且仅当时等号成立时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下的，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，，∴，即， 当且仅当，即时，有最小值为2， 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求下列各式的值： ____________； (2)若，求的值； (3)已知长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； 【答案】(1)1 (2)5 (3)12 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、代数式求值、算术平方根的应用等知识点，理解阅读材料并掌握整体思想和倒数变形整体代入是解题的关键． （1）由题意可得，然后代入所求代数式式中可求值即可； （2）将代入代数式进行变形求值即可可； （3）设此长方形的边长为a，b，则、，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴． 故答案为：1． （2）解：∵，且 ∴ ． （3）解：设此长方形的边长为a，b，则 ∵， ∴，即， ∴， ∴该矩形的周长的最小值为12． 试卷第2页，共50页 1 / 51 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 二次根式 1、二次根式的定义：我们把形如 的式子叫做二次根式； 叫做被开方数；叫做二次根号； 2、根式有意义的条件是： ，根式为零被开方数为0； 3、二次根式的性质： ① ， （双重非负性）② （） 4、二次根式的乘法法则： （ ） 5、二次根式的除法法则： 6、最简二次根式： ① ；② 被开方数中不含有可以开方开得出的 ； 7、同类二次根式：化简后的最简二次根式的 相同； 8、二次根式的加减运算方法： ① 不是最简二次根式的要先化成 ；② 是最简二次根式，只把二次根式 ，二次根式 ； 9、二次根式乘除混合运算：把系数相乘除， ，再把它们的结果相乘。 一、二次根式的判定 易错点：误判根号下含变量的式子，忽略被开方数非负的条件。 策略：判断是否为二次根式，须确保被开方数（整体）大于或等于零。 1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）下列各式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列式子：．其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、求二次根式的值 易错点：代入数值后直接计算，未先判断被开方数的正负性。 策略：代入数值前，先确认被开方数的符号，若为负则无意义（在实数范围内）。 5．（25-26九年级上·山西晋城·阶段练习）当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（10-11八年级上·浙江·期中）当时，二次根式的值是 ． 7．（25-26八年级上·上海·阶段练习）当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 8．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）已知实数，满足，求的值． 三、求二次根式的值 易错点：解含分式与根式的复合条件时，仅考虑其一，忽视分母不为零。 策略：遇复合式子，需同时满足被开方数≥0与分母≠0，解不等式组。 9．（24-25八年级下·甘肃甘南·阶段练习）如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）若是整数，则正整数的最小值是 ． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）若是整数，则正整数n的最小值为 ． 四、使二次根式有意义的条件 易错点：运算结果未化成最简形式；忽略字母取值范围对化简的影响。 策略：遵循，；结果需彻底化简，注意字母正负。 12．（25-26九年级上·河南周口·阶段练习）若代数式有意义，则x应满足的条件为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·全国·期末）若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 14．（25-26八年级上·山东东营·阶段练习）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 15．（25-26八年级上·重庆万州·阶段练习）若实数、满足则的立方根是 ． 五、二次根式的乘除法运算 易错点：误将非同类二次根式合并；合并时仅系数相加减而根式部分不变。 策略：先化简各根式为最简形式，再识别并合并同类二次根式（被开方数相同）。 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）估计的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 18．（25-26八年级上·河南焦作·阶段练习）下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）计算：． 20．（25-26八年级上·福建三明·阶段练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4) 六、二次根式的加减运算 易错点：错误化简，忽略a可能为负数的情形。 策略：牢记核心公式，化简时务必根据a的正负性进行讨论，或直接写绝对值。 21．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·福建三明·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26九年级上·河南周口·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 25．（19-20八年级上·广东佛山·阶段练习）化简： ． 26．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习） ． 七、利用二次根式的性质化简 易错点：满足于被开方数无平方因子，但忽略分母中不得含有根号的要求。 策略：检查两条：1. 被开方数不含能开方的因数；2. 分母中不含根号（需分母有理化）。 27．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段练习）化简：________． A．3 B． C． D．7 28．（15-16八年级下·湖南湘西·期末）化简，结果是（    ） A． B． C． D．4 29．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）化简正确的是（   ） A． B． C． D． 30．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）已知，则简化的结果是（    ） A．-3 B．3 C．2 D．3 31．（25-26八年级上·福建三明·阶段练习）计算： ． 八、最简二次根式 32．（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 33．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 34．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）化为最简二次根式是（ ） A． B．6 C． D． 35．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则 ， ． 36．（25-26八年级上·全国·周测）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 37．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)． (2)． (3)． (4)． 重难点01 二次根式的乘除法混合运算 38．（20-21八年级下·广西柳州·期中）计算结果为（   ） A． B． C． D． 39．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则化简 ． 40．（19-20八年级下·辽宁大连·期末）计算： (1) (2) 41．（20-21八年级下·陕西西安·期末）计算：． 42．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 重难点02 二次根式的混合运算 43．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4) 44．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 45．（山西省临汾市多校2025-2026学年上学期10月月考九年级数学�试卷（华东师大版））计算： (1)． (2)． 46．（25-26八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 47．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）计算： 解：原式……① ……② ……③ 根据上述解题过程，回答下列问题： (1)第①步的依据是___________． (2)第___________步开始出现错误（填序号）．错误原因是___________． (3)请写出正确的计算答案___________． 48．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 49．（25-26八年级上·甘肃白银·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 重难点03 二次根式分母有理化 50．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 51．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）若，则与的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 52．（25-26八年级上·甘肃白银·阶段练习）计算的结果是 ． 53．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以 所以 ，所以 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ____________；____________； (2)比较大小： ___________（填， ，或中的一种）； (3)计算： ； (4)若，求 的值． 重难点04 已知字母的值求代数式的值 54．（25-26八年级上·山西运城·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 55．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）化简求值：（其中，） 56．（2022·湖南郴州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 57．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）已知，，分别求下列代数式的值． (1)． (2)． 重难点05 已知式子的值求代数式的值 58．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 59．（24-25七年级下·重庆·期末）已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 60．（14-15八年级下·云南曲靖·开学考试）已知，，则化简求的值是（   ） A． B．2 C． D．1 61．（2024八年级上·湖南怀化·竞赛）已知，，求值． 重难点06 二次根式的应用 62．（24-25八年级下·天津·开学考试）把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片如图①不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（    ） A． B． C． D． 63．（25-26八年级上·甘肃白银·阶段练习）已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 64．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），．若一台座钟的摆针的摆长为，则该座钟摆针摆动的周期为 ． 65．（2025八年级上·全国·专题练习）比较与的大小． 66．（25-26八年级上·上海·阶段练习）（1）计算：________；________ （2）由以上计算结果：可知的倒数是________． （3）比较与的大小． 67．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在一家手工作坊里，木工师傅正在为客户定制一批小型收纳盒，他们选用了一块长方形木板作为原材料．为了满足设计需求，需要对这块木板进行改造．木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为________cm； (2)求长方形木板的周长和面积． 68．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空抛物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式，已知小亮家所住楼层的高度是30m． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度； (2)小明家所住楼层的高度是．小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以如果两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度是从小亮家坠落的物品落地速度的2倍．小明的说法正确吗？请说明理由． 69．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，李明家有一块矩形空地，已知，．现要在空地中挖一个矩形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中矩形水池的长为，宽为． (1)求矩形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为7元，且每平方米产草莓．若李明家将所收获的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 70．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，现有两块同样大小的长方形木板，甲同学采用如图①所示的方式，在长方形木板上截出三块面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A、B、 (1)正方形木板A的边长为______分米， B的边长为______分米， C的边长为______分米； (2)乙同学想采用如图②所示的方式，在长方形木板上截出两块面积均为16平方分米的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 71．（18-19八年级下·广东惠州·期末）（1）计算： ①   ② ③ …… （2）观察（1）中的式子，写第n个根式，并化简． （3）请根据（2）的结论计算： 72．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知有两块面积均为108平方厘米的正方形纸板．现甲，乙两种操作方案．甲方案：在纸板上裁出一个面积为24平方厘米，且宽为厘米的长方形纸板①；乙方案：将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②； (1)求甲方案中裁出的长方形纸板①的长； (2)求乙方案中得到的长方形纸板②的面积； (3)小明准备在纸板①，②中选出一个，剪出长2厘米，宽厘米的纸条，请直接写出小明应该选择哪个，才能使剪出的纸条最多？ 73．（24-25八年级下·江苏南京·期末）海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可近似的地按公式计算，其中v表示海啸的行进速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度，g取． 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 ____ 140 (1)根据海啸的行进速度公式，完成上表： (2)如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为和，那么这两处的海水深度差值是多少？ (3)下列关于海啸行进速度的描述： ①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大； ②当海水的深度是的k倍时，海啸的行进速度是； ③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小． 其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 70 140 74．（24-25八年级下·山东聊城·期中）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形，图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_______． (2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的整数部分，是的小数部分，求的值． 75．（24-25九年级上·湖南湘西·阶段练习）《见微知著》读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想方法发现新问题、结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边： 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征： 阅读材料二 基本不等式（，），当且仅当时等号成立时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下的，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，，∴，即， 当且仅当，即时，有最小值为2， 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求下列各式的值： ____________； (2)若，求的值； (3)已知长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； 试卷第2页，共50页 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $