13.2 勾股定理的应用 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

13.2 勾股定理的应用 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册 满分：120分 时间：60分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________分数：___________ 一、单选题（每小题3分，共36分） 1．如图，要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（    ） A．12米 B．11米 C．10米 D．9米 2．如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 第4题图 第3题图 第1题图 第2题图 3．一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为（   ） A．4米 B．6米 C．8米 D．15米 4．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 5．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．4米 6．平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是 A．7尺 B．尺 C．8尺 D．尺 第7题图 第6题图 第8题图 第5题图 7．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（   ） A．7m B． C．8m D．8.5m 8．如图，长方体的长为、宽为、高为，是边的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的面包屑，沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 9．如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为（   ） A． B． C． D． 10．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（   ） A． B． C． D． 第10题图 第9题图 第12题图 第11题图 11．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（   ） A．4米 B．米 C．5米 D．6米 12．如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是的长方体的顶点爬到顶点，则它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13．如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个 的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出 发，沿着面爬到B点，最短线路为 ． 14．今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？ （选自《九章算术》）题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索， 绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索， 整根绳索恰好被拉直．那么这根绳索的长度为 尺． 15．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去 掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米， 点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米． 16．如图，是一个长方体盒子，长为，宽为，要往盒子中装进塑料管，则能完全装 进盒子中的塑料管的最大长度是 ．（忽略塑料管粗细） 三、解答题（共72分） 17．（10分）某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行．已知甲船沿北偏东方向航行，甲船每小时航行40海里，乙船每小时航行30海里．它们离开港口2小时后分别位于点，处，且相距100海里． (1)求乙船沿哪个方向航行？ (2)若在港口处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为50海里，此时在点处的乙船沿直线向点处航行．乙船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 18．（10分）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 19．（10分）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭． 20．（10分）综合与实践：小明同学在延时课上进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 在放风筝时，测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象    测绘数据 ①测得水平距离的长为15米，； ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 说明 点A，B，E，D在同一平面内． 请根据表格信息，解答下列问题． (1)①点C离地面的垂直高度______米， _____米； ②求风筝离地面的垂直高度； (2)若想要风筝沿方向下降12米，则在的长度保持不变的前提下，小明同学手中的风筝线应该往回收多少米？ 21．（16分）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，证明勾股定理的方法层出不穷，以下为勾股定理的一种证法： 把两个全等的直角三角形（）按如图1所示的方式放置，，点在边上，设两直角边，斜边，连接，用分别求出梯形，四边形的面积，再探究三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理． (1)请根据图1中图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，某研学基地有一条观光道，长度为米，道旁有两个研学站点C，D，其中到的距离米到的距离米，求两个站点C，D之间的直线距离； (3)在（2）的情境中，基地计划在观光道上增设一个补给站，使，请用尺规作图确定点的位置，并求出的长度． 22．（16分）在中，，点，分别是，上的点，连接． (1) 【基础设问】若点为的中点，，，，则是 三角形． （填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图，连接，若平分，，，，则 ． (3)如图，若，，求证：点在的平分线上． (4)【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 13.2 勾股定理的应用 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B C B D C C C 题号 11 12 答案 C C 1．A 【分析】本题考查了勾股定理．电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形，根据勾股定理直接解答本题． 【详解】解：电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形， 由题意知：米，米， （米） 故选：． 2．C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 如图：由题意可得：米，米，米，则米，，运用勾股定理可得，进而求得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：米，米，米，则米， 在中，， 在中，， 所以米，即梯子的底端向左移了米． 故选C． 3．C 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键． 根据梯子长度不会变这个等量关系，利用勾股定理，即可解题． 【详解】解：由题意知米，米，米， 在直角中，斜边， 米， 已知米，则米， 在直角中， 米， 米． 故选：C． 4．B 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，根据勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， 故树高为米； 故选C． 6．B 【分析】本题考查了解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 设水池的深度为尺，利用勾股定理，列出关于的方程求解． 【详解】解：设水池的深度为尺， 则， 解得：， 故选：B． 7．D 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得出，再计算楼梯表面铺地毯需要的长度即可． 【详解】解：根据勾股定理得，， 则铺地毯的长为， 故选：D． 8．C 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是把立体图形转化为平面图形解决，将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和右面）爬行的展开如图所示： ∵长方体的长为、宽为、高为，是边的中点， ∴， ∴， ∴沿着表面需要爬行的最短路程为， 当蚂蚁沿着该长方体的表面（左面和上面）爬行的展开如图所示： 则， ∴ 当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和上面）爬行的展开如图所示： ∴, ∵ ∴ 即沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为， 故选：C 9．C 【分析】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得的长． 根据题意设旗杆的高为，则绳子的长为，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高． 【详解】解：设旗杆的高为，则绳子的长为， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴旗杆的高． 故选C． 10．C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，再用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：由题意，得：，， 中，， 由， ∴， 中，， 答：C岛和A港之间的距离． 故选：C． 11．C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约4米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙至少为（米）， 故选：C． 12．C 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 要求所用蚂蚁走的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：如图，， 故它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程为， 故选：C． 13．13 【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如下图， 因为， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设尺， 由题意得，尺，尺，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴尺， ∴这根绳索的长度为尺， 故答案为：． 15．20 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，熟练掌握该知识点是关键． 要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于米，然后问题可求解． 【详解】解：如图是其侧面展开图： 米，米，米， 在中，， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为20米； 故答案为：20． 16．17 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方． 连接、，首先利用勾股定理计算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． 【详解】解：连接、，如图： 在中，， 在中，， ∴， 能完全装进盒子中的塑料管的最大长度为， 故答案为：17． 17．(1)乙船沿北偏西方向航行 (2)有小时可以接收到信号 【分析】本题考查了勾股定理的应用航海问题，方向角的应用，等腰三角形三线合一的性质，路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理逆定理得出，再根据角的和差关系即可得出，进而可求解． （2）过点O作交于点，在上取点，，使得海里，分别求得、的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数． 【详解】（1）解：根据题意可知：，（海里） ∵（海里），（海里）， ∴， ∴， ∴， 故乙船沿北偏西方向航行． （2）解：过点O作交于点，在上取点，，使得海里． ； ； ； 海里； 海里； 海里； 行驶时间为（小时）． 答：有小时可以接收到信号． 18．(1) (2)这辆小汽车没有超速，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 答：这辆小汽车没有超速． 19．(1) (2)着火点C不能被飞机扑灭，计算说明解解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，再利用等面积法求出的长即可得到答案； （2）在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出飞机灭火的时间即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于D， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：飞机距离着火点C的最短距离为； （2）解：如图，在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， ，且， ∴着火点C不能被飞机扑灭， 答：着火点C不能被飞机扑灭． 20．(1)①1.7；15；②21.7米 (2)小明同学手中的风筝线应该往回收8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①过点B作于点C，证明四边形为矩形，得出米，米； ②根据勾股定理求出的值即可得出结果； （2）设风筝沿方向下降12米至点F，连接，根据勾股定理求出的长即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米，米， 故答案为：1.7；15； ②在中，，米， 由勾股定理，得（米）， ∴（米）； （2）解：如图，设风筝沿方向下降12米至点F，连接， ∴（米）， ∴（米）， ∵原来的风筝线的长为25米， ∴25-17=8（米）． ∴小明同学手中的风筝线应该往回收8米． 21．(1)见解析 (2)米 (3)点的位置见解析，米 【分析】本题考查了勾股定理的证明及应用，注意计算的准确性即可； （1）由图可知：梯形的面积，的面积；由推出四边形的面积；即可求解； （2）连接，作，则四边形是矩形，推出，，即可求解； （3）作出的垂直平分线即可确定点，设，则；，即可求解； 【详解】（1）解：由图可知：梯形的面积，的面积； ∵， ∴四边形的面积； ∴ ， ∴； （2）解：连接，作，如图所示： 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； ∴两个站点C，D之间的直线距离为米； （3）解：如图所示： 设，则； ∵， ∴，解得：； 即：的长度为米； 22．(1)直角 (2)5 (3)见解析 (4)①，理由见解析；② 【分析】（1）先根据中点的定义得，再利用勾股定理逆定理求解即可； （2）先根据角平分线的性质得，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）连接，证明得，即可得出结论； （4）①由得，，由线段垂直平分线的性质得，，进而可推出，进一步可得结论； ②连接，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点为的中点，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （2）解：平分，，， ， 设，则， 在中，， ， ， 即， 故答案为：5； （3）证明：如图，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点在的平分线上； （4）解：，理由如下： 由题意知，， ， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ； ②如图，连接，设，则， ，， ，， 由勾股定理，得，， 即， ， 线段的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，角平分线的判定及性质，全等三角形的判定及应用，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是能够灵活应用相关知识点． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $