专题14 利用勾股定理解决折叠问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024八年级上册

专题14 利用勾股定理解决折叠问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、长方形中折痕过对角线模型 类型二、长方形中折痕过一顶点模型 类型三、长方形中折痕过任意两点模型 类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 压轴专练 类型一、长方形中折痕过对角线模型 【方法总结】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEC是等腰三角形。 例1．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在长方形中，，，，，且，将长方形沿对角线折叠，点B的对应点为，与相交于点E．则线段的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是长方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先证明，设，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：长方形纸片沿折叠， ∴， ∵在长方形纸片中，，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：3． 【变式1-1】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．此时，若，，求的面积． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理，设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【变式1-2】如图，长方形中，，，．点为上的一个动点，把沿直线翻折得．    (1)当点落在边上时， (2)如图2，当E点与C点重合时，与交点，求长． 【答案】(1)45 (2) 【分析】（1）由知，结合点落在边上知，从而得出答案； （2）由折叠得出，再由得出，从而得知，可得，设，则，在中，由得到关于的方程，解之可得． 【详解】（1）解：由题意知， ， 点落在边上时，， ， 故答案为：45； （2）如图2，由题意知， 四边形是长方形， ， ， ， ， 设，则， 在中，由得： ， 解得，即． 【点睛】此题是四边形的综合问题，考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，和勾股定理是解决问题的关键． 类型二、长方形中折痕过一顶点模型 【方法总结】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEF是等腰三角形。 例2．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在长方形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，由折叠的性质可得：，，计算出，，设，则，由勾股定理可得，，求出的值即可，熟练掌握勾股定理以及折叠的性质是解此题的关键． 【详解】解：在长方形中，，， ，，， 由折叠的性质可得：，， ， ， 设，则， 由勾股定理可得， ， 解得：， ， 故答案为：． 【变式2-1】如图，在长方形中，，，，沿边所在直线翻折，与重合，点F在上，则的长是 ． 【答案】/ 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了长方形的性质，勾股定理与折叠问题，连接．证明垂直平分得．在中，由勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是长方形， ∴． 根据题意，，． ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 在中，， 在中，． ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边的处，是折痕，已知，，求的长． 【答案】的长为． 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，由题意得，，，由折叠性质可知，，， 通过勾股定理得，所以，设，则，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是长方形， ∴，，， 由折叠性质可知，，， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的长为． 【变式2-3】（24-25八年级下·青海海东·阶段练习）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点D落在对角线处，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．根据长方形的性质可得，，，在中，运用勾股定理求得．设，由折叠可得，，，从而，，在中，运用勾股定理构造方程即可求解． 【详解】解：因为四边形是长方形， 所以， 所以     由折叠的性质得：，， ， 所以，     设，则， 在中， ，即， 解得：，即． 类型三、长方形中折痕过任意两点模型 【方法总结】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕EF垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：GC’F是直角三角形。 例3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了对称的性质——折叠，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据折叠的性质得，由平行线的性质得，可得，根据等腰三角形的判定即可得到结论； （2）由折叠得，设，则，在中，根据勾股定理列出关于的方程求出，进而求出，即可解决问题． 【详解】（1）证明：在长方形纸片中，， ， 由折叠可得， ， ； （2）由折叠得， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， ， ． 【变式3-1】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在长方形中，，，将长方形沿线段折叠到如图的位置，使得点C与线段的中点重合，则的长为 ． 【答案】3 【分析】由折叠得，，设，则，，利用勾股定理求出，得到，然后等量代换得到，得到，即可求解． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴，， 由折叠得，， ∵点是的中点， ∴， ∴设，则，， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了勾股定理和折叠问题，等角对等边，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式3-2】（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在长方形纸片中，厘米，厘米．现将纸片沿直线折叠，使点与点重合，折痕为．则阴影部分的面积是 平方厘米． 【答案】138 【分析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 由长方形与折叠可证，得到，在中，由勾股定理有，因此，结合厘米，求出厘米，厘米，从而根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴厘米，厘米，， 由折叠可得，，厘米，， ∴，，， ∴， ∴， ∵在中，由勾股定理有， ∴， ∵厘米， ∴厘米， ∴厘米，厘米， ∴厘米， ∴ （平方厘米）． 故答案为：138 【变式3-3】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，长方形中，，，，把它沿折叠，使得点D与点B重合，点C落在点M的位置上． (1)求证：； (2)若，，求的面积； (3)若，为等边三角形，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， （1）根据折叠的性质可得，，易证得； （2）设，则，由勾股定理可推出，再根据全等的性质可得，即可求得的面积； （3）根据折叠的性质可得，，根据为等边三角形，可得，由的直角三角形的性质可得，，在中，由勾股定理可得的长． 【详解】（1）证明：由折叠可知，，，， ∴，， 在和中， ∴， （2）解：设，则， 在中，， 即， 解得：，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， （3）解：由折叠可知，，， ∵为等边三角形， ∴ ∴， 设，则， ∵ ∴， 解得： ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴． 【变式3-4】（24-25八年级上·河南焦作·期末）如图，在长方形纸片中，四个角是直角，对边平行，，．点、分别在、边上，连接，如图1，把长方形纸片沿着折叠，设、的对应点分别是、．    (1)当时，则______． (2)在折叠的过程中，当的对应点恰好与点重合时，请结合图2，求出和的长； (3)在折叠的过程中，当点落在直线上，且时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查勾股定理，长方形，折叠的知识，解题的关键是掌握勾股定理的应用，长方形的性质，折叠的性质，进行解答，即可． （1）根据折叠的性质，求出，根据长方形的性质，平行线的性质，可得，根据四边形的内角和为，得到，求出，最后根据，即可； （2）根据长方形的性质，可得，，，设，根据勾股定理，可得，求出，即可得到； （3）根据题意，分类讨论点的位置，当点落在直线上；当点落在直线的延长线上，根据勾股定理，进行解答，即可． 【详解】（1）解：由折叠可得，， ∵四边形是长方形，四个角 是直角， ∴，，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵长方形纸片中，四个角是直角，，， ∴，，， 设， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）解：连接， 当点落在直线上，且， ∵长方形纸片中，四个角是直角，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴；    当点落在直线的延长线上，且，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴，    综上所述，的长或． 类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【方法总结】（1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； （2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； （3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 例4．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕等于 ． 【答案】45 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、翻折不变性等知识，证明是解题的关键，属于中考常考题型．首先证明，设，在中，利用勾股定理求出x，再在中利用勾股定理表示出即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵是由翻折而来， ∴，，． 设， 在中，∵，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：45． 【变式4-1】如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出，设，根据折叠前后对应边相等得出，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：，，， ， 设，则， 由折叠的性质可得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 故选B． 【变式4-2】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使点落在斜边上的点处，试求的长． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求得的长，然后由翻折的性质求得，即可求解； （2）设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，两直角边，， ， 由折叠的性质可知：， ； （2）解：设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 【变式4-3】（24-25八年级上·四川雅安·期中）如图，将纸片沿折叠，使直角顶点C与边上的点E重合，若．    (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题： （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据折叠的性质得到，，则，，设，则，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴； （2）解：由折叠的性质可得，， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 【方法总结】（1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； （2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. （3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 例5．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值． 【详解】解：设，则， 是翻折而成， ， 在中，， 即， 解得． 故选：C． 【变式5-1】（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在直角三角形中，，把沿直线折叠，点A与点B重合；若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理的应用，依据翻折的性质和勾股定理列出关于x的方程是解题的关键． 由勾股定理求出AC=8，设，则，然后在中由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：把沿直线折叠， ， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ． 故答案为：． 【变式5-2】（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理和图形折叠的性质，在中由于，，，所以根据勾股定理可求出的长，由折叠可知，，设，则在中，由 即可求出x的值，故可得出结论． 【详解】解：在中由于，，， 由勾股定理得：， ∵由折叠可知， ， 设，则． 在中，， 即，解得， ∴． 【变式5-3】（24-25八年级下·福建三明·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 【答案】（1）的长为24；（2）的长为6；（3）的长为5或20 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定 （1）由折叠得到，然后对运用勾股定理即可求解； （2）先证明，设，则，在中，由勾股定理建立方程，即可求解； （3）设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况：①如图，当点在长方形内部时，在中，由勾股定理得，则，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时，由折叠的性质得：，同①得，此时，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为20． 【详解】解：（1）， ， 由折叠的性质得：， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 即的长为24； （2）四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为6； （3）四边形是长方形， ， 设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，同①得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，即的长为20； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为5或20． 类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【方法总结】（1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD. （2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合； 例6．（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的不变性是解题的关键．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 【变式6-1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在中，，．如图D、E分别是和边上的点，把沿直线折叠，若点B落在边上的点F处，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答． 【详解】解：如图，根据题意，得， 设，则， 根据题意，得， ∴ 当取最大值，有最小值， 当时，最大，此时点B落在A处时，取得最小值， 解得：，即CE的长为． 故答案为：． 【变式6-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，点P，Q分别是边上的动点，沿所在的直线折叠，使得点C的对应点始终落在线段上，若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰直角三角形折叠．熟练掌握等腰直角三角形性质，折叠性质，勾股定理，是解题的关键． 求出，当时，得， 设，则， 由，得，解得；当时，，得，得，得C、P、三点共线，得点与点A重合，得． 【详解】解：∵在中，， ∴， 当时，， ∴, 设， 则， 由折叠知，， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴C、P、三点共线， ∴， ∴点与点A重合， ∴点Q是的中点， ∴． 故的长为或． 【变式6-3】（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，点，分别是，上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点落在上． (1)如图1，若点是的中点． ①求证：； ②连接，求证：； (2)如图2，若，且点是的中点，判断线段，与之间存在的数量关系，并证明． 【答案】(1)①详见解析；②详见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质及勾股定理，熟练掌握翻折图形的性质是解题的关键． （1）①结合题意，通过证明，证明； ②由折叠的性质可知，又，从而证得； （2），过点作交延长线于点，连接，通过证明，得到，，又，得到，在中，勾股定理得到，继而得到结论得证； 【详解】（1）①点是的中点， ． 由折叠，得，． ， 是的一个外角， ． ， ， ． ②如图，连接，记与的交点为， 由折叠，得， ． 由①，得， ， ． （2），理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接． ，，． 点是的中点， ． ， ，． 由折叠，得， ， ． 在中，由勾股定理，得 一、单选题 1．如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了长方形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．四边形是长方形，则，，，由折叠的性质可知，,，由勾股定理得到，则， 在中，由勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处， ∴，,， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得到， 即， 解得 故选：A． 2．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设，则，根据求出x得到的长，利用三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：B． 3．如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、折叠性质，过点作于点，设，利用折叠性质，结合已知条件可得，，，在中，利用勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 设，则，，， 在中，由勾股定理得， ， ， ． 故选：B． 4．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，先利用勾股定理求出，根据折叠的性质证明，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：三角形纸片中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 5．如图1，对折长方形纸片，使与重合，再展开，折痕为．如图2，再折叠一角，使点落在上的处，得到折痕，延长交于点．则下列结论：①；②；③；④是等边三角形．正确的是（    ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，翻折变换及其性质．①由折叠性质得， 1，由此得，则为等边三角形，进而得，由此可对结论①进行判断；②在中，，由此可对结论②进行判断；④根据得，再根据得，则，由此可对结论④进行判断，③由和在都是等边三角形，根据直角三角形的性质勾股定理求得，，则，由此可对结论③进行判断；综上所述即可得出答案． 【详解】解：①连接，如图所示： ∵四边形为矩形纸片， ∴， 由折叠性质得：，，，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，故结论①正确； ②在中，， ∴，故结论②不正确； ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故结论④正确， ③∵是等边三角形，， ∴， 由勾股定理求得， ∵是等边三角形， 同理， ∴ ∴，故结论③正确； 综上所述：正确的结论是①③④． 故选：C． 二、填空题 6．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是折叠问题及勾股定理，由折叠性质可知，设，则，利用勾股定理可以求出最后结果． 【详解】解：为中点， ， 由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 7．如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为，点刚好落在边上．图中与线段相等的线段是 ；若，，则的长为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， 故答案为：；3． 8．如图，在直角三角形中，，，，点是边上的一点（不与、重合），连接，将沿折叠，使点落在点处． ①的长为 ； ②当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】 6或 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）先求出，，根据勾股定理求出结论； （2）根据已知条件得到当是直角三角形时，或，①当时，则，根据折叠的性质得到，于是得到，②当时，根据折叠的性质得到，推出点E在上，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）在直角三角形中，，， ， ， ， ； 故答案为：； （2）∵点D是边上的一点， ∴， ∴当是直角三角形时，或， ①当时，则， ∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴， ∴， ②当时， ∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴， ∴， ∴点E在上，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为 6或， 故答案为：6或． 9．如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，关键是根据翻折性质以及勾股定理解答． （1）由折叠的性质可得．设，则．在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； （2）当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得．设．由折叠的性质得，．从而得到．在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 【详解】解：（1）在长方形中， 为线段的中点， ． 由折叠的性质，得． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得． ． 故答案为： （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，如图． ， 在中，由勾股定理得． 设． 由折叠的性质得，． ． 在中，由勾股定理得， ． 解得 线段的值最小时，的长度为． 故答案为： 10．按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，第一次折叠后得到正方形，第二次折叠，得出，由此可解． 【详解】解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ， 第二次折叠，得出， ， 故答案为：． 三、解答题 11．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边，现将三角形纸片沿直线折叠，使点落在斜边上，与点重合，求的长度 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意可得与关于成轴对称， ，，， 在中，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得，即． 12．已知：如图，长方形中，，沿直线把折叠，点O恰好落在上一点F处． (1)求的长度． (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质等知识．熟练掌握勾股定理，折叠的性质是解题的关键． （1）由题意知，由勾股定理得，，计算求解即可； （2）由折叠的性质可知，，，，则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长度为； （2）解：由折叠的性质可知，，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的长度为． 13．如图，直角三角形中，，，是的上的一点，若将沿折叠，点恰好落在所在直线上点处． (1)求边的长； (2)求的长； (3)在所在直线上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)10 (2) (3)或或或 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）折叠的性质，得到，，设，在中利用勾股定理，进行求解即可； （3）分，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：直角三角形中，，， ∴； （2）∵折叠， ∴，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：； ∴； （3）由（2）可知：； 当点、、为顶点的三角形是等腰三角形时： ①当时： 则：； ②当时： 则：，或 ③当时： 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴； 综上：或或或． 14．如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． (1)如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； (2)若为直角三角形，求长； (3)线段的最小值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)6或 (3) 【分析】（1）由折叠的性质得：，再结合中点的定义可得，从而得到，即可解答； （2）先根据勾股定理可得，然后分两种情况：当时，当时，结合直角三角形的性质以及全等三角形解答即可； （3）当点在上时，取得最小值，最小值为，根据勾股定理求出的长即可解答． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：在中，∵， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 当时，此时， 由折叠的性质得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，过点E作交于点G，连接，则， ∴， 设，则， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为6或； （3）解： 如图，连接， 根据题意得：， 即当点在上时，取得最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型． 15．如图（1），将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕分别与、交于点E和点F，点B的对应点为，其中，．    (1)证明：； (2)求的长 (3)如图（2），点M在线段上，，点N是折痕上一动点，求的周长最小值． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)的周长最小值． 【分析】（1）根据折叠的性质以及矩形的性质，证明，即可证明； （2）先设，则，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）连接交于点N，此时的周长取得最小值，利用勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴； （2）解：由折叠性质得， 设，则， 在中，， ∴． 解得． ∴； （3）解：连接，连接交于点N，此时的周长取得最小值，    由折叠的性质知是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小值， ∵， ∴的周长最小值． 【点睛】本题属于折叠问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，解决问题的关键是：设相关线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 16．学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题： 请你运用所学知识，解决下面的问题： (1)如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点在边上），点落在点处，求的长度； (2)如图2，有一张长方形纸片，，，为边上一点，，为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点恰好落在线段上的点处，点落在点处．求线段的长度． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理与折叠的问题，等角对等边等知识． （1）由长方体形的性质可知，，由勾股定理得出，由折叠的性质可得出，，，进一步可得出，，再利用勾股定理可得出，代入求解即可得出． （2）由长方体形的性质可知，，，，，进而可得出，由折叠得，，等量代换可得出，由等角对等边可得出，由勾股定理可得出，进一步可得出，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，， ∴，， ∴， 由折叠得，，， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即 解得： ∴的长是． （2）解：∵四边形是长方形，，，， ∴，，，，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴的长是5． 17．在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，． 在中，． 则． 在中，， 即． 解得． 即； （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，，． 在中 ． 则． 在中 ，即 解得． 即． ②如图所示，当点在线段的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中 ． ∴． 综上所述，或． 18．在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． (3)深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 【答案】(1)①；②见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）①根据等边三角形的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质、折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）先证明，得到，同理可得，即可解答． 【详解】（1）解：①等边三角形，点为的中点， ， ， ； ， ②证明：， 同理①得， 为等边三角形； （2）， ， 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， ，， ． （3）如图，作，，，分别交于，，． ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，同理可得：， ． 【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题14利用勾股定理解决折叠问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、长方形中折痕过对角线模型 类型二、长方形中折痕过一顶点模型 类型三、长方形中折痕过任意两点模型 类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边)翻折模型 压轴专练 典例详解 类型一、长方形中折痕过对角线模型 【方法总结】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 己知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠△ABC,点B的对应点为B 结论1：△ABC≌△ABC; 结论2：折痕AC垂直平方BB; 结论3：4AEC是等腰三角形。 例1，(24-25八年级下·湖北省直辖县级单位阶段练习)如图，在长方形ABCD中，AB∥DC,AD∥BC, AB=CD=8,AD=BC=4,且∠D=∠B=90°，将长方形沿对角线AC折叠，点B的对应点为B,AB与 DC相交于点E.则线段DE的长为一 B B 【变式1-1】(24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习)如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落 在C处，BC'交AD于点E,此时BE=DE,若AB=4,AD=8,求BDE的面积 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-2】如图，长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠DCB=∠D=90°，AD=BC=6,AB=CD=10.点E为 DC上的一个动点，把ADE沿直线AE翻折得△AD'E. C(E) B 图1 图2 (I)当D点落在AB边上时，∠DAE=_° (2)如图2，当E点与C点重合时，D'C与AB交点F,求AF长. 类型二、长方形中折痕过一顶点模型 【方法总结】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 己知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B 结论1：△ABE≌△ABE; 折在矩形内 结论2：折痕AC垂直平方BB。 结论1：△ABE≌△ABE; 折在矩形边上 结论2：折痕AC垂直平方BB。 B'C B 结论1：四边形ABCE≌四边形ABCE: 折在矩形外 结论2：折痕AC垂直平方BB; 结论3：4AEF是等腰三角形。 例2.(23-24八年级上·陕西榆林期末)如图，在长方形ABCD中，AB=10,AD=6,点E为边AD上的 一个动点，把△ABE沿BE折叠，若点A的对应点A刚好落在边CD上，则AE的长为 2/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D 【变式2-1】如图，在长方形BCD中，AB，BC=2,4G=3,沿边E所在直线翻折△ABE,AB 与AF重合，点F在AG上，则CE的长是 A D G B E C 【变式2-2】(25-26八年级上·山西太原阶段练习)如图，折叠长方形纸片ABCD的一边，使点D落在BC边 的D处，AE是折痕，己知AB=6cm,BC=I0cm,求CE的长. D'O 【变式2-3】(24-25八年级下·青海海东·阶段练习)如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线 AC上，折痕为CE,且点D落在对角线D'处，若CD=3,AD=4,求ED的长. D D B 类型三、长方形中折痕过任意两点模型 【方法总结】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以E,F为折痕，点B的对应点为B,点C的对应点为C 3/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 结论I:△BEF≌△BEF; 折在矩形内 结论2：折痕EF垂直平方BB。 结论1：四边形EBCF≌四边形EBC'F'; 折在矩形边上 结论2：折痕AC垂直平方BB。 结论I:四边形EBCF≌四边形EBCF'; 折在矩形外 结论2：折痕AC垂直平方BB; 结论3：4GC℉是直角三角形。 例3.(25-26八年级上陕西西安阶段练习)如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落 在点C处，折痕为EF. D (I)求证：BE=BF; (②)若AB=6,AD=8,求△BEF的面积. 【变式3-1】(24-25八年级下·浙江杭州阶段练习)如图，在长方形ABCD中，AB=13,BC=6,将长方 形ABCD沿线段EF折叠到如图的位置，使得点C与线段AE的中点C重合，则BF的长为」 D B 【变式3-2】(25-26七年级上湖南长沙开学考试)如图，在长方形纸片ABCD中，AB=18厘米，AD=12 厘米.现将纸片沿直线折叠，使A点与C点重合，折痕为EF,则阴影部分的面积是平方厘米. 4/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G E 【变式3-3】(24-25八年级上河南驻马店·阶段练习)如图，长方形ABCD中， LA=∠ABC=LC=∠D=90°，AB=DC,AD=BC,把它沿EF折叠，使得点D与点B重合，点C落在 点M的位置上. -D M (I)求证：ABE≌MBF; (2)若AB=2,AD=4,求△BEF的面积： (3)若AD=6,△BEF为等边三角形，直接写出AB的长. 【变式3-4】(24-25八年级上河南焦作期末)如图，在长方形纸片ABCD中，四个角是直角，对边平行， AB=CD=3,AD=BC=9.点E、F分别在AD、BC边上，连接EF,如图1，把长方形纸片沿着EF折 叠，设C、D的对应点分别是C、D. A D A D B(D) C2 图1 图2 (I)当∠DEF=50°时，则∠BFC'= (2)在折叠的过程中，当D的对应点D恰好与点B重合时，请结合图2，求出BF和CF的长； (3)在折叠的过程中，当点D落在直线BC上，且BD=3时，请直接写出DD的长. 5/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【方法总结】(1)沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B'落在斜边AC上，折痕为AD; (2)沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B'落在斜边AC上，折痕为CD: (3)沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 B 例4.(25-26八年级上山西太原阶段练习)如图，ABC中，AB=6,BC=8,AC=10,把ABC沿AP 折叠，使边AB与AC重合，点B落在AC边上的B处，则折痕AP等于一 B A 夕 【变式4-1】如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，BC=6cm,AB=10cm,将斜边AB翻折，使 得点B恰好落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD,则BD的长为() A.2cm B. 1 3cm D.5cm 【变式4-2】(24-25八年级上江西九江·阶段练习)如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm, BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，试求CD的长. D 6/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求BE的长； (2)求CD的长 【变式4-3】(24-25八年级上四川雅安期中)如图，将Rt△ABC纸片沿AD折叠，使直角顶点C与AB边 上的点E重合，若AB=10cm,AC=6cm. B D A (I)求线段BC的长； (②)求线段BD的长. 类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 【方法总结】(I)沿直线MN(N为斜边中点)翻折使得点A与点C重合； (2)沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF,FC,AF与BE交于点O. (3)沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD,CD. 例5.如图，直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6,8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重 合，折痕为DE.则CE的长是() 6 B D 7/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 B. 3 D.7 【变式5-1】(24-25八年级下·福建厦门阶段练习)如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，把ABC沿 直线DE折叠，点A与点B重合；若AD=5,BC=6,则CE的长为· B 【变式5-2】(23-24八年级下·河南漯河·阶段练习)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AC=10,BC=26.将 ABC按如图所示的方式折叠，使B,C两点重合，折痕为DE,求AD的长. A -------------B 【变式5-3】(24-25八年级下·福建三明期中)探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做 以下探究。 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=32,将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，折痕和 AC交于点E,EC=7,求BC的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C处，BC'交AD于E,若 AB=8,BC=16,求AE的长（注：长方形的对边平行且相等）： 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片ABCD中，AB=10,BC=16,点E为射线AD上一个动点，把△ABE沿直线BE 折叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，求AE的长（注：长方形的对边平行且相等）. 8/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 图1 图2 图3 类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【方法总结】(1)沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD. (2)沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合； C D D F 小 例6.(25-26九年级上·北京·开学考试)如图，在ABC中，∠C=90°，点D,E分别在边BC,AB上，连接 DE,将BDE沿DE折叠，点B的对应点为F,点F刚好落在AC边上.若BC=5,CF=√5，则BD的长 为 A E 【变式6-1】(24-25八年级上江苏无锡期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8.如图D、E 分别是AB和CB边上的点，把BDE沿直线DE折叠，若点B落在AC边上的点F处，则CE的最小值 是 A D =-B 9/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式6-2】(24-25八年级下·湖北武汉·期末)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4,点P,Q分 别是边AC,BC上的动点，沿PQ所在的直线折叠，使得点C的对应点C始终落在线段AB上，若△BCQ为 直角三角形，则CQ的长为 A C 【变式6-3】(24-25八年级上福建漳州期末)如图，在ABC中，点D,E分别是AB,BC上的动点， 连接DE,将BDE沿直线DE折叠得到△DEF,点F落在AC上， B-- E E 图1 图2 (I)如图1，若点E是BC的中点. ①求证：DE∥AC; ②连接BF,求证：BF⊥AC; (2)如图2，若∠ABC=90°，且点F是AC的中点，判断线段AD,CE与DE之间存在的数量关系，并证明. 压轴专练 一、单选题 1.如图，折叠长方形的一边AD,点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm,则EC的长为() B A.3cm B.4cm C.3.5cm D.5cm 10/16