13.2　勾股定理的应用同步练习 2025-2026学年 华东师大版（2024）八年级数学上册

第2课时　勾股定理在数学中的应用 用勾股定理解决数学问题 1.(2025济南市中区期中)如图,正方形小方格的边长为1,则网格中的线段长为有理数的有 (　　) A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 2.如图,在△ABC中,AB⊥AC,AB=5 cm,BC=13 cm,BD是AC边上的中线,则△BCD的面积是 (　　) A.15 cm2 B.30 cm2 C.60 cm2 D.65 cm2 3.如图,以数轴的单位长线段为边作一个正方形,以数轴上表示数1的点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是 (　　) A.1 B.2.41 C. D.1+ 4.(2025常州天宁区期中)如图,∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°,AB=BC=CD=1,OA=2,则OD2=　　　.  用勾股定理的逆定理解决数学问题 5.若一个三角形的三边长分别为5,12,13,则此三角形的最长边上的高为　　　　.  6.(2025九江柴桑区月考)如图,在△ABC中,AB=AC,D是AC边上一点,连结BD,已知BC=15,CD=9,BD=12. (1)判断△BCD的形状,并说明理由; (2)求AD的长. 1.已知a、b、c分别是△ABC的三边,且满足3(a-13)2+2|b-12|+c2-10c+25=0,则△ABC是 (　　) A.以a为斜边的直角三角形 B.以b为斜边的直角三角形 C.以c为斜边的直角三角形 D.非直角三角形 2.如图是一个长方体盒子,其长、宽、高分别为4,2,9,用一根细线绕侧面绑在点A、B处,不计线头,细线的最短长度为 (　　) A.12 B.15 C.18 D.21 3.(2025本溪期中)如图,△ABD和△ABC的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上,则∠BAC的度数为 (　　) A.120° B.135° C.150° D.165° 4.如图,网格中每个小正方形的边长都是1,点A、B、C、D都在小正方形的顶点上.若EF=m,且AB、CD、EF三条线段首尾顺次相接能构成直角三角形,则m的值为　　　　.  5.如图所示,△ABC的三边分别是a、b、c,并且满足a2+b2-12a-16b+100=0,c=10. (1)请判断△ABC的形状,并说明理由; (2)求出最长边AB上的高CD. 6.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,与点B'重合,AE为折痕,求B'E的长. 7.(几何直观)如图所示,在△ABC中,AB∶BC∶CA=3∶4∶5,且周长为36 cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动;点Q从点B沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果P、Q两点同时出发,经过3 s时,△BPQ的面积是多少? 【详解答案】 基础达标 1.D　2.A　3.D 4.7　解析:∵∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°,∴在Rt△OAB中,由勾股定理,得OB2=OA2+AB2=22+12=5.在Rt△OBC中,由勾股定理,得OC2=OB2+CB2=5+12=6.在Rt△OCD中,由勾股定理,得OD2=OC2+CD2=6+12=7. 5. 6.解:(1)△BCD是直角三角形. 理由如下:在△BCD中,BC=15,CD=9,BD=12, ∵CD2+BD2=92+122=225,BC2=152=225, ∴CD2+BD2=BC2. ∴△BCD是直角三角形. (2)设AD=x,∵CD=9, ∴AC=x+9. ∵AB=AC, ∴AB=x+9. 在Rt△ABD中,BD2+AD2=AB2, ∴122+x2=(x+9)2. ∴x=. 即AD的长为. 能力提升 1.A　解析:∵3(a-13)2+2|b-12|+c2-10c+25=0,∴3(a-13)2+2|b-12|+(c-5)2=0,即a-13=0,b-12=0,c-5=0.∴a=13,b=12, c=5,即b2+c2=a2.∴∠A= 90°.∴△ABC是以a为斜边的直角三角形.故选A. 2.B　解析:如图所示: 连结AB',则AB'的长即为所用的最短细线长, AA'=4+2+4+2=12,A'B'=AB=9, 由勾股定理,得AB'2=AA'2+A'B'2=122+92=225,则AB'=15. 故选B. 3.B　解析:如图,延长BA到点E,连结CE, 由图可知,CE2=12+22=5,AE2=22+12=5,AC2=12+32=10, ∵5+5=10, ∴AE2+CE2=AC2. ∴△AEC是直角三角形. ∴∠AEC=90°. ∵EA=EC, ∴∠EAC=∠ECA. ∴∠EAC=∠ECA=(180°-∠AEC)=45°. ∴∠BAC=180°-∠EAC=135°. 故选B. 4.或　解析:∵以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形,AB=,CD=,EF=m, 当AB为斜边时,CD2+EF2=AB2, ∴8+m2=13. ∵m>0, ∴m=; 当EF为斜边时,CD2+AB2=EF2, ∴8+13=m2. ∵m>0, ∴m=. 故m的值为或. 5.解:(1)△ABC为直角三角形.理由如下:∵a2+b2-12a-16b+100=0, ∴(a-6)2+(b-8)2=0, 即a=6,b=8. ∵a2+b2=62 +82=100=102=c2, ∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°. (2)S△ABC=AC·BC=AB·CD, 即ab=c·CD, ∴CD==4.8. 6.解:根据折叠,可得BE=B'E,AB'=AB=3, 设BE=B'E=x,则EC=4-x, ∵∠B=90°,AB=3,BC=4, ∴在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC==5. ∴B'C=5-3=2. 在Rt△B'EC中,由勾股定理,得x2+22=(4-x)2, 解得x=1.5. ∴B'E的长为1.5. 7.解:∵AB∶BC∶CA=3∶4∶5, ∴设AB=3x cm,BC=4x cm,AC=5x cm. ∵△ABC的周长为36 cm, 即AB+BC+AC=36 cm, ∴3x+4x+5x=36.解得x=3. ∴AB=9 cm,BC=12 cm,AC=15 cm. ∵AB2+BC2=AC2, ∴△ABC是直角三角形. 经过3 s,BP=9-3×1=6(cm), BQ=2×3=6(cm), ∴S△BPQ=BP·BQ=×6×6=18(cm2). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.2　勾股定理的应用 第1课时　勾股定理在现实生活中的应用 利用勾股定理解决实际问题 1.如图,一根垂直于地面的旗杆在离地面3 m处撕裂折断,旗杆顶部落在离旗杆底部4 m处,旗杆折断之前的高度是 (　　) A.5 m B.8 m C.10 m D.13 m 2.如图,将长为8 cm的橡皮筋放置在水平面上,固定两端A和B,然后把中点C垂直向上拉升3 cm至点D,则橡皮筋被拉长了 (　　) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm 3.(2025贵阳观山湖区期末)如图,有两棵树,一棵高8 m,另一棵高2 m,两树相距8 m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行 (　　) A.7 m B.8 m C.9 m D.10 m 4.如图,在底面周长约为6 m的石柱上,有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方(从点A到点C,B为AC的中点),每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约16 m,则雕刻在石柱上的巨龙至少为 (　　) A.20 m B.25 m C.30 m D.15 m 5.某消防队进行消防演练,在模拟现场,有一建筑物发生了火灾,消防车到达后,发现离建筑物的水平距离最近为12 m,即AD=BC=12 m,此时建筑物中距地面12.8 m高的P处有一被困人员需要救援,已知消防云梯的车身高AB是3.8 m.问:此消防车的云梯至少应伸长多少米? 6.(2025银川兴庆区期末)如图,在离水面高度为8 m的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17 m,此人以1 m/s的速度收绳,7 s后船移动到点D的位置,问:船向岸边移动了多少米?(假设绳子一直保持是直的) 1.(易错题)如图是一扇高为2 m、宽为1 m的门框,李师傅有3块薄木板,尺寸如下:①号木板长 3 m、宽2.2 m;②号木板长2.5 m、宽2.5 m;③号木板长4 m、宽2.3 m.可以从这扇门通过的木板是 (　　) A.①号 B.②号 C.③号 D.均不能通过 2.如图是一个台阶示意图,每一层台阶的高都是20 cm,长都是50 cm,宽都是40 cm,一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B,其爬行的最短线路的长度是 (　　) A.100 cm B.120 cm C.130 cm D.150 cm 3.如图,学校有一块直角三角形菜地,∠ABC=90°,BC=12 m.为方便劳作,准备在菜地中间修建一条小路.测量发现,∠ADE=∠AED,BD=EF=1 m,CF=8 m,则AE的长为 (　　) A.3 m B.4 m C.5 m D.6 m 4.如图,圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm,底面周长为16 cm,在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿1 cm,且与蜂蜜相对的点B处,则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为　　　　cm.(杯壁厚度不计)  5.如图所示的是一块草坪,已知AD=12 m,CD=9 m,∠ADC=90°,AB=39 m,BC=36 m,若每铺1 m2草坪需要花费40元,则铺这块草坪共需花费多少元? 6.(创新意识)在综合实践课上,甲、乙两组同学分别设计方案,检测背景墙面(如图所示)边AD和边BC是否分别垂直于边AB. 甲组: 工具:卷尺,测量得边AD长为1 m,边AB长为2.4 m,点B和点D之间的距离是2.6 m. 乙组: 工具:20 cm的刻度尺. (1)请你依据甲组测量数据判断:边AD垂直于边AB吗?说明理由. (2)请你帮乙组借用现有的工具设计一个方案:检验边BC是否垂直于边AB?简要说明设计方案. 【详解答案】 基础达标 1.B　2.A　3.D　4.A 5.解:由题意可知,AB=CD=3.8 m,AD=12 m,PC=12.8 m,∠ADP=90°, ∴PD=PC-CD=9 m. 在Rt△ADP中,AP==15 m. 答:此消防车的云梯至少应伸长15 m. 6.解:∵∠CAB=90°,BC=17 m,AC=8 m, ∴AB==15(m). ∵此人以1 m/s的速度收绳,7 s后船移动到点D的位置, ∴CD=17-1×7=10(m). ∴AD==6(m). ∴BD=AB-AD=9(m). 答:船向岸边移动了9 m. 能力提升 1.A　解析:∵,2.2<,<2.3,<2.5, ∴可以从这扇门通过的木板是①号木板. 故选A. 2.C　解析:把这个台阶示意图展开为平面图形如图, ∵AB== 130(cm), ∴一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B,其爬行的最短线路AB的长度为130 cm. 故选C. 3.B　解析:∵∠ADE=∠AED, ∴AD=AE. 设AE=x m,则AD=x m, ∴AB=AD+BD=(x+1)m,AC=AE+EF+CF=(9+x)m. 在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2, 即(x+1)2+122=(9+x)2, 解得x=4, 即AE=4 m. 故选B. 4.10　解析:如图, 将杯子侧面展开,作点B关于EF的对称点B', 连结B'A,则B'A即为最短路程, B'A==10(cm). 5.解:如图,连结AC, 根据勾股定理,得AC==15 m. 在△ABC中,AB2=1 521=BC2+AC2=1 296+225=1 521, ∴△ABC是直角三角形. ∴S草坪=S△ABC-S△ACD =BC·AC-CD·AD =×36×15-×9×12 =216(m2), ∴铺这块草坪共需花费216×40=8 640(元). 6.解:(1)甲组:边AD垂直于边AB.理由如下: ∵AD2+AB2=12+2.42=6.76,BD2=2.62=6.76, ∴AD2+AB2=BD2. 根据勾股定理的逆定理, 可得△ABD为直角三角形,∠DAB=90°, ∴边AD垂直于边AB. (2)设计方案:在BC上量取BE=3 cm,在AB上量取BF=4 cm, 根据勾股定理的逆定理, 如果EF=5 cm,则边BC垂直于边AB,否则就不垂直.(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $$