13.1.2 直角三角形的判定 同步练习 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

13.1.2 直角三角形的判定 同步练习2025-2026学年华东师大版数学八年级上册 满分：120分 时间：100分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________分数：___________ 一、单选题（每小题3分，共36分） 1．以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（　　） A．7，8，9 B．1，，4 C．3，4，5 D．，， 2．下列条件能判定是直角三角形的是（   ） A．， B． C．，， D． 3．若的三边长为，，，满足，则的形状是（    ）． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．在下列三角形中能从几何角度验证的图(不添加任何辅助线)是（  ） A． B． C． D． 5．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 6．如图，在中，，，，借助尺规在上确定一点P，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第7题图 第6题图 第8题图 第5题图 7．如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，，则的值为（    ） A． B． C． D．4 9．如图，已知中上取一点上取一点使得，过点作，则等于（　　） A． B． C． D． 10．如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（　　） A． B． C．只有两条边长为无理数 D．边上的高为 第12题图 第10题图 第9题图 11．观察以下的等式，等式左边为直角三角形两直角边长的平方和，等式右边为直角三角形斜边长的平方，现有一个一条直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数（满足图中等式关系），则这个直角三角形的周长为（    ） A．56 B．82 C．112 D．144 12．如图是一个港湾，港湾两岸有，两个码头，千米，千米，现有一艘货船从码头出发，根据计划，货船应先停靠岸的处装货，再停靠 岸的处装货，最后到达码头． 小明根据所学的知识，合理安排两岸的装货地点，发现使货船行驶的水路最短距离为，那么这个港湾两岸的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13．在中，，，，则 °． 14．如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为 ． 15．如图，在的正方形网格中标出了和，则 ． 16．如图，中，O是两内角平分线的交点，，O到的距离是 ． 第15题图 第16题图 第14题图 三、解答题（共72分） 17．（10分）如图，，，，． (1)求证：是直角三角形；(2)求证：． 18．（10分）如图，在中，，，， (1)求的度数； (2)若点P为线段上一点，连接，且，求的面积． 19．（12分）如图，正方形方格中的每个小正方形的边长都是1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且三边都为有理数． (2)在图2中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且斜边的长为，另两条直角边均为无理数． 20．（10分）如图，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村（即管道总长为）； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向、两村铺设管道（即管道总长为）． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由． 21．（14分）如图，分别以的边和边向外作等边三角形，，连接和． (1)求证：；(2)若，，，求的度数． 22．（16分）第届数学教育大会（）会标如图所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图验证勾股定理：； 【知识迁移】（2）如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．请证明，，是勾股数； 根据中的结论，写出一组符合条件的勾股数___________； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 13.1.2 直角三角形的判定 同步练习2025-2026学年华东师大版数学八年级上册参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B C C D B C C 题号 11 12 答案 C B 1．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理，判断各组线段是否满足两条较小线段的平方和等于最大线段的平方． 【详解】解：选项A：，不能构成直角三角形； 选项B：，不能构成直角三角形； 选项C：，能构成直角三角形； 选项D：，，通分后，不能构成直角三角形； 故选：C． 2．C 【分析】本题主要考查三角形内角和及勾股定理逆定理，熟练掌握三角形内角和及勾股定理逆定理是解题的关键；通过计算三角形内角和或勾股定理逆定理来判断各选项，只有选项C满足勾股定理，故能判定为直角三角形，然后问题可求解． 【详解】解：选项A：∵，，∴，无直角，故不是直角三角形； 选项B：由可设，则有，∴，∴，无直角，故不是直角三角形； 选项C：∵，，，∴，满足勾股定理，故是直角三角形； 选项D：由可设，则，∴不满足勾股定理，故不是直角三角形； 故选：C． 3．D 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，解答本题的关键是掌握两个数的积为0，则至少有一个数是0．因为a，b，c为三边，根据，可找到这三边的数量关系，判断形状． 【详解】解： ， 或， 当成立时，是等腰三角形， 当时，是直角三角形， 故选：D． 4．B 【分析】四个选项中只有B选项可以通过垂线段最短来说明． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC， ∴CA＞CB（直线外一点与直线上各点的连线段中，垂线段最短）， 即：， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用以及垂线段最短的应用，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键． 5．C 【分析】本题考查正确运用勾股定理，及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用勾股定理解出直角三角形的斜边，通过三角形的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，角平分线的性质，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．先根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，再作于H，由角平分线的性质可得出，设，再由即可得出结论． 【详解】解：，，，， 是直角三角形， 作于H， 由题意，平分， ，， ，设， ， ， ， ， ， 故选：C． 7．D 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质．根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8．B 【分析】先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答． 【详解】解：，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 9．C 【分析】根据勾股定理的逆定理，确定为直角三角形，，过点作交于点，则，如图所示，根据平行线的性质即可得到． 【详解】解：在中， ∵，即， ∴为直角三角形， ∴， 过点作交于点，则，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理及平行线性质，熟练掌握勾股定理的逆定理判断出直角，根据题意作出恰当辅助线，准确利用平行性质得到角度关系是解决问题的关键． 10．C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积公式． 根据勾股定理可判断A、C，进而根据勾股定理逆定理可判断B，最后根据三角形面积公式判断D即可． 【详解】解：，A说法正确； ，，则三边长均为无理数，C说法错误； 则，即，B说法正确； 设边上的高为，则，解得，D说法正确； 故选：C． 11．C 【分析】本题考查勾股定理，勾股数，根据题干等式得到其规律是解题的关键． 根据给定的等式模式，直角三角形三边可表示为 、 和 ，其中 为整数．已知一条直角边为 14，分别令 和 求解 ，从而得到直角三角形三边长度，进而计算周长，即可解题． 【详解】解：∵ 等式模式为 （的整数）， 且一条直角边为 14， 情况一：令 ， 解得 ， 则另一条直角边为 ，斜边为 ， 三边为 14， 48， 50，满足勾股定理， 周长为 ． 情况二：令 ， 解得 ， 非整数，不符合勾股数为整数的要求． 综上所述，这个直角三角形的周长为 112， 故选：C． 12．B 【分析】分别作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，交于，则、为两岸的装货地点，是货船行驶的水路最短路程，利用勾股定理的逆定理证明，构造等边三角形可求出，根据对称性可知，则可解决问题． 【详解】解：分别作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，交于，则、为两岸的装货地点，是货船行驶的水路最短路程， ， ， ， 延长至点，使， ， 则， 且是的垂直平分线， ， ， 则为等边三角形， ， 由对称的性质知： ． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，轴对称最短路径问题，轴对称的性质，中垂线的性质，等边三角形的性质和判定，灵活运用轴对称变换的思想是解题的关键． 13． 90 【分析】本题考查勾股定理逆定理，能够通过勾股定理逆定理得到三角形为直角三角形是解题关键； 先通过三角形三边的长度关系得到三角形为直角三角形，进而可求解． 【详解】解：中，，，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且为斜边， ∴， 故答案为：90． 14．16 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键． 根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ ， 故答案为：16 ． 15． 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【详解】解：如图所示，作，连接，    则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、角平分线的性质，连接，过点O作于D，于E，于F，根据勾股定理的逆定理得到，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于D，于E，于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵O是两内角平分线的交点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 则O到的距离是2， 故答案为：2． 17．(1)见详解； (2)见详解． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于熟练掌握勾股定理的逆定理以及全等三角形的判定与性质． （1）利用勾股定理的逆定理求出即可得出结论； （2）设的中点为N，连接，则为等腰直角三角形，求出，证明，可得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， 是直角三角形； （2）证明：设的中点为N，连接， ， ，是直角三角形，， 为等腰直角三角形， ， ， 在和中，， ， ， ． 18．(1) (2) 【分析】此题重点考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得到的形状． （1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即可求解； （2）由勾股定理得，设，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 是直角三角形， ； （2）解：设，则． 在中，， ， 解得． ． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）作一个两直角边的长分别为3和4的直角三角形即可； （2）作一个三边长分别为，和的三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 20．(1)是直角三角形．理由见解析 (2)方案一所修的管道较短，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ，， ， 是直角三角形； （2）解：方案一所铺设的管道较短,理由如下： 的面积， ， ，， ∵ 方案一所铺设的管道较短． 21．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质及勾股定理的逆定理， （1）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据勾股定理的逆定理判定，即可得出结果． 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，， ， ， ； （2）解：， ，， ，， ， ， 又， ． 22．（）见解析；（）见解析；，，（答案不唯一）；（）这块菜园最少需要种植棵青菜． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、以弦图为背景的计算题，完全平方公式，等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）用两种方法求正方形面积即可求证； （）分别求出，，，则有，从而求证； 取，即可求解； （）由是正整数且，则要使勾股数最小则有，，得出最小勾股数为，，，又最短的边长为米，则直角三角形三边为米，米，米，所以这块菜园最少种植青菜（棵），从而求解． 【详解】解：（）∵正方形的面积为， 或 ， ∴； （）∵，，， ∴， ∴，，是勾股数； 取，， ∴，，， ∴勾股数为，，， 故答案为：，，（答案不唯一）； （）∵是正整数且， ∴要使勾股数最小则有，， ∴最小勾股数为，，， ∵最短的边长为米， ∴直角三角形三边为米，米，米， 则这块菜园最少种植青菜（棵）， 答：这块菜园最少需要种植棵青菜． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $