黑龙江省齐齐哈尔市龙江县第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县第一中学高一上学期12月月考 一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。 1.函数的定义域为    A. B. C. D. 2.下列说法正确的是(    ) A. 第一象限角一定小于 B. 终边在x轴的非负半轴的角是零角 C. 若，则与终边相同 D. 钝角一定是第二象限角 3.设角的始边为x轴非负半轴，则“角的终边在第二、三象限”是“”的    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.设函数，则函数的图象可能为    A. B. C. D. 5.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了 A. B. C. D. 6.在下列区间中，函数的零点所在的区间为    A. B. C. D. 7.已知，则的值为     A. B. C. D. 8.已知，则用表示为    A. B. C. D. 9.函数的单调递减区间是(    ) A. B. C. D. 10.已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是    A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共2小题，共10分。 11.下列说法正确的是(    ) A. 若方程有一个正实根，一个负实根，则 B. 函数是偶函数，但不是奇函数 C. 若函数的值域是，则函数的值域为 D. 曲线和直线R的公共点个数是m，则m的值不可能是1 12.对于函数的定义域中任意的，当时，下列结论正确的是    A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知一扇形的圆心角为，弧长是，则扇形的面积是__________ 14.若函数其中且，则的图象恒过定点          . 15.函数的最小值为          . 16.函数的零点个数为          . 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题10分 求的值； 化简： 18.本小题12分 一个半径为r的扇形，若它的周长等于，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形面积是多少？ 角的终边经过点且，求的值. 19.本小题12分 函数 若，求的值域； 若最大值为0，求a的值. 20.本小题12分 已知函数 判断函数的奇偶性，并求函数的值域； 判断函数的单调性无需证明，若实数m满足，求实数m的取值范围. 21.本小题12分 已知函数且， 若方程的一个实数根为2，求t的值; 当且时，求不等式的解集; 若函数在区间上有零点，求t的取值范围． 22.本小题12分 已知， 解不等式； 若方程有一个解，求实数a的取值范围． 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】 根据函数有意义的条件即可求函数的定义域． 本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数有意义的条件. 【解答】 解：要使函数有意义，则， 即，即且， 即函数的定义域为 故选： 2.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查终边相同的角，象限角，属基础题. 根据终边相同的角和象限角的定义，依次判断各个选项即可. 【解答】 解：对于A，第一象限角x的范围是，，所以不一定小于，故A错误; 对于B，终边在x轴的非负半轴的角，，不一定是零角，故B错误; 对于C，若，则，，则应与终边相同，故C错误; 对于D，因为钝角的取值范围为，所以钝角一定是第二象限角，故D正确. 故选 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题． 根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数角的关系进行判断即可．  【解答】 解：由题意可知， 角的顶点在原点，始边为x轴非负半轴， 角的终边在第二、三象限，则可得， 反之，若，则的终边可能在x轴负半轴，不一定在第二、三象限， 故是充分不必要条件． 故选 4.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数奇偶性及函数图象的应用，属于基础题. 判断为偶函数，排除A，C，令，，排除B，即可求得结果. 【解答】 解：由，即，解得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 得， 所以为偶函数，排除A，C， 令，，排除B， 故选 5.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算，是基础题． 利用香农公式分别计算出信噪比为1000和8000时的C的值，再利用对数的运算性质求出C的比值即可得到结果． 【解答】 解：当时，，当时，， ， 大约增加了， 故选： 6.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查函数零点存在性定理及函数的单调性. 判断函数单调递增，然后利用零点存在性定理求解即可. 【解答】 解：函数和函数在R上都单调递增， 函数在上为增函数， 则最多一个零点， ， ， ， 函数的零点所在的区间为 故选 7.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查同角三角函数的化简和求值，属于基础题. 利用同角三角函数基本关系，分子分母同时除以，即可求出结果. 【解答】 解：， 故选 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查对数的运算法则，属于基础题． 利用对数的运算法则由，求出，将75写出，利用积的对数的运算法则将用a，b表示出来即可. 【解答】 解：， ， 故选 9.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查复合函数的单调性以及单调区间的求法，属于基础题． 先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性确定函数的单调递减区间． 【解答】 解：要使函数有意义，则，解得或， 设， 当时单调递减， 当时单调递增， 因为函数在定义域上为减函数， 所以由复合函数的单调性可知，此函数的单调递减区间是 故选 10.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了函数零点与方程的根，分段函数的应用，属于中档题． 由题意作出函数与的图象，从而可得，，从而得到结果． 【解答】 解：由题意作出函数与的图象如下， 结合图象可知， ，， 故，， 故， 则的取值范围是 故选： 11.【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查求函数的定义域、函数的奇偶性的判断、以及利用图象求两曲线的交点个数，是中档题. 结合二次函数的图像与性质可判断A正确，易知函数相当于图象向左移动1个单位，不影响值域范围，C不正确，先求函数的函数定义域，再结合奇偶性定义可判断B不正确，由图象可判断D正确. 【解答】 解：对于A，若方程有一个正实根，一个负实根， 因为对应函数开口朝上，则要求，即，故正确； 对于B，函数的定义域为，则，是偶函数，也是奇函数，故错; 对于C，函数的值域是，则函数相当于图象向左移动1个单位， 不影响值域范围，所以值域仍为，故不正确; 对于D，由图象可知曲线和直线的公共点个数可能为0、2、3、4，则m的值不可能是1，故正确. 故选 12.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了指数函数的运算性质，利用基本不等式证明不等式，是中档题. 直接把等式两边的变量代入函数解析式判断A、由指数函数的单调性判断根据基本不等式判断 【解答】 解：当时， 选项，所以 A正确; 选项，，所以B不正确; 选项说明函数是增函数，而是增函数，所以C正确; 选项对于函数的定义域中任意的， ，当且仅当时取得等号，但，所以等号不成立，即，所以D正确; 故选 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力，属于基础题. 由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积． 【解答】解：因为扇形的圆心角为，弧长是，所以半径为：， 所以扇形的面积为： 故答案为： 14.【答案】  【解析】【分析】 令，求出此时x，y的值，即可得到函数的图象过定点坐标． 本题主要考查了指数型函数过定点坐标问题，是基础题． 【解答】 解：令，得：，此时， 的图象恒过定点 故答案为： 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查指数型函数的最值问题的求解，考查利用二次函数的性质求最值，属于基础题. 【解答】 解：， 令，，， 则， 易知在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，且最小值为 16.【答案】3  【解析】【分析】 本题考查函数零点与方程根的关系，分段函数的图象，属于基础题. 当时，画出与的图象，可知两个函数的图象有2个交点；当时，直线与x轴只有1个交点，即可得出结论. 【解答】 解：当时，，此时零点个数即为函数与的图象交点个数，画出与的图象， 可知两个函数的图象有2个交点； 当时，直线与x轴只有1个交点． 综上，可知函数有3个零点． 故答案为： 17.【答案】解：原式， 原式，   【解析】本题主要考查指数，对数，幂的计算，属于基础题. 直接利用指数幂，根式和对数的运算法则求解. 18.【答案】解：设扇形的弧长为l，所对圆心角为，则，即， 因为， 所以的弧度数是， 从而 角的终边经过点且， ， 则， 平方得， 即，解得或舍， 可得：， 所以：  【解析】本题考查了扇形的圆心角，弧长公式以及扇形的面积公式的应用问题，考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题． 设出扇形的圆心角，弧长，代入题中条件，利用弧长公式求出圆心角的弧度数，利用扇形的面积公式求扇形的面积． 根据任意角的三角函数的定义建立方程关系即可得解． 19.【答案】解：当时，， 令，解得， 且，当时，， 所以而函数在上单调递减， 所以当时，， 故函数的值域为； 由函数有最大值0，则可得， 令，当时，，则 而函数在定义域上是单调递减函数， 所以，解得， 故实数a的值为  【解析】本题考查了函数的最值问题，涉及到二次函数的最值问题以及函数的单调性问题，考查了学生的运算能力，属于中档题． 把a的值代入函数解析式，再令，求出函数的定义域以及t的值域，再根据对数函数的单调性即可求解； 由函数有最大值即可得，然后令，求出函数m的值域，从而可以求出函数的最大值，令其为0，即可求解． 20.【答案】解：根据题意，函数， 则，其定义域为R， 则， 所以函数为奇函数， ，变形可得，则有， 解得， 则函数的值域为； 根据题意，，在定义域R上为增函数， ， 解得， 即m的取值范围为  【解析】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，涉及函数值域的计算，属于基础题． 根据题意，求出的解析式，由奇偶性的定义可得为奇函数，对解析式变形可得，则有，然后求出的值域； 根据题意，可得在定义域R上为增函数，据此可得原不等式等价于，再求出m的取值范围． 21.【答案】解：是关于x的方程的一个解， ， ， ； 当且时，不等式可化为 ，得， 解得， 即不等式的解集为； ， 令， 即， ，； ， 而，当且仅当时，取等号， 而当时，， 故， ， ， 解得或 故t的取值范围为  【解析】本题考查利用对数函数单调性解对数不等式，利用分离参数的方法求参数的取值范围，利用基本不等式求取值范围，属于中档题． 由题意得，从而解得； 由题意得，由对数函数的单调性可得，从而解得； 化简，从而令，讨论可得，从而解得． 22.【答案】解：不等式，即为 当时，化为，得，此时不等式的解为， 当时，化为，解得，此时不等式的解为 综上，不等式的解集为； ，即 作出函数的图象如图所示， 当直线与函数的图象有一个公共点时，方程有一个解， 所以或 所以实数a的取值范围是   【解析】本题考查了函数的零点与方程的根，分段函数及数形结合的思想方法，属中档题. 对x分两种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式，再求并集即可得结果; ，作出函数的图象，当直线与函数的图象有一个公共点时，方程有一个解，由图可得结果. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $