精品解析：重庆市复旦中学教共体2025-2026学年高一上学期二段考试数学试题

重庆复旦中学教共体2025-2026学年度上期二段考试 高2028届数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱. 本试卷分为Ⅰ卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分.请将答案工整地书写在答题卡上 命题人： 一、选择题：（本大题8个小题，每小题5分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 5. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 所有的素数都是奇数 B. ， C. ， D. ， 10. 设集合，若，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 0 11. 设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又.则（ ） A. B. 在上为增函数； C. D. 解集为或 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. ________. 13. 函数（且）图象恒过的定点为__________. 14. 已知函数，若正数，满足，则的最小值为_____. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知，，且. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 16. 求下列不等式的解集. （1）； （2）； （3） 17. 已知幂函数（）在定义域上不单调. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）若，求实数a的取值范围. 18. 2025年9月22日，歼-15T、歼-35及空警-600三型舰载机在福建舰上完成首次弹射起飞与着舰训练，这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注.对某海军舰艇模型专卖店过去一个月（按30天计）的销售情况进行调查后发现：舰艇模型第天（）的销售单价（元）的解析式为（为常数），第天的销售量（个）的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 40 50 60 70 已知第15天该专卖店的销售收入为5100元.（销售收入=销售量×销售单价） （1）求实数的值； （2）根据表格判断①，②，③这三个函数模型中哪个模型最符合题意，并说明理由； （3）根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入（元）在哪一天最低，最低收入是多少元? 19. 定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. （1）判断函数是否是上的有界函数并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围； （3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆复旦中学教共体2025-2026学年度上期二段考试 高2028届数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱. 本试卷分为Ⅰ卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分.请将答案工整地书写在答题卡上 命题人： 一、选择题：（本大题8个小题，每小题5分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的概念运算即可. 【详解】因为集合， 所以． 故选：B. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式，列出不等式组，即可求解. 【详解】要使函数有意义，则满足，解得且， 所以定义域为． 故选：D. 3. 已知命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知： 命题，的否定是，. 故选：C. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 5. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法可求解. 【详解】由题意可得是的解， 所以，解得，所以． 故选：A. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数的性质，判断函数值大小关系即可. 【详解】由在R上单调递减可知，，即， 由在上单调递增可知，，所以，即， 综上所述，. 故选：B 7. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数的性质得，由在上单调递增，可得时，；时，；结合不等式及一元二次不等式的解法，利用符号法求解即可. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则， 令，得，所以， 又在上单调递增， 所以当时，；当时，； 等价于或， 所以或，所以或， 则不等式的解集为. 故选：D. 8. 已知且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将代入，化简消元，可得，令，换元得，结合二次函数的图像性质即可求解. 【详解】由已知，，则 ， 令，因为，所以， 则， 令， 所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，即， 又，， 所以函数在区间的值域为，即的取值范围是. 故选：A 二、多选题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 所有的素数都是奇数 B. ， C. ， D. ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例即可判断；对于B：结合的单调性即可；对于C：存在性问题，举一个符合条件的例子即可；对于D：利用判别式解决一元二次不等式恒成立问题. 【详解】对于A：2既是素数，也是偶数，故A错误； 对于B：幂函数是上的增函数，所以，成立，故B正确； 对于C：令，则，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：BCD. 10. 设集合，若，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，即可求解. 【详解】由集合， 当时，即，满足； 当时，即，满足； 当时，即，满足， 综上可得，实数的值可以为或或. 故选：BCD. 11. 设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又.则（ ） A. B. 在上为增函数； C. D. 解集为或 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，用赋值法即可求值；对于B，根据增函数的定义证明即可；对于C，对条件进行适当变形即可得结论；对于D，对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则，，即， 所以函数为减函数，故B错误； 对于C，，即，故C正确； 对于D，由得到，所以， 于是，解得或，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. ________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】 ， 故答案为：. 13. 函数（且）图象恒过的定点为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数经过的定点即可求解. 【详解】指数函数（且）过定点， 则，即过定点. 故答案为： 14. 已知函数，若正数，满足，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式，可得，据此得出，再结合基本不等式中“1”的代换应用，即可求解. 【详解】因为函数， 则 ， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 又，所以，即，所以， 又，均为正数，所以 即， 当且仅当时，即，时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知，，且. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式求解最值； （2）利用基本不等式“1”的代换技巧求解最值即可. 【小问1详解】 ，，且， 所以，所以， 即，，当且仅当，时取等号，的最大值为； 【小问2详解】 ，所以，且，， 当且仅当时等号成立，即， 又因为，可求得，. 所以的最小值为5. 16. 求下列不等式的解集. （1）； （2）； （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的求解步骤计算； （2）根据分式不等式的求解步骤计算； （3）利用，结合对数函数的单调性求解. 【小问1详解】 ，则，解得 【小问2详解】 ， 解得 【小问3详解】 ，由在上递增， 不等式转化为：，即， 解得 17. 已知幂函数（）在定义域上不单调. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）函数为奇函数，证明如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义求的可能值，结合“定义域上不单调”的条件筛选出符合要求的，得到函数解析式. （2）验证函数定义域关于原点对称，再证明，判定函数为奇函数. （3）利用奇函数性质转化不等式，结合函数在不同区间的单调性分情况解不等式，确定实数的取值范围. 【小问1详解】 由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域，内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为； 【小问2详解】 函数为奇函数，证明略； 【小问3详解】 由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以，解得； 或，解得； 或，解得； 综上，实数a的取值范围为或， 所以实数a的取值范围. 18. 2025年9月22日，歼-15T、歼-35及空警-600三型舰载机在福建舰上完成首次弹射起飞与着舰训练，这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注.对某海军舰艇模型专卖店过去一个月（按30天计）的销售情况进行调查后发现：舰艇模型第天（）的销售单价（元）的解析式为（为常数），第天的销售量（个）的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 40 50 60 70 已知第15天该专卖店的销售收入为5100元.（销售收入=销售量×销售单价） （1）求实数的值； （2）根据表格判断①，②，③这三个函数模型中哪个模型最符合题意，并说明理由； （3）根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入（元）在哪一天最低，最低收入是多少元? 【答案】（1） （2） 模型③最符合题意. 理由：因为表格中对应的数据匀速递增时，对应的数据并未匀速变化，所以排除模型①. 因为表示在两侧等距的函数值相等（即函数图象关于对称）， 而表格中的数据并未体现出此规律（），所以排除模型②. 将，分别代入模型③，得，解得， 所以. 经验证，，均满足该函数解析式，故选择模型③. （3）日销售收入在第8天最低，最低为5000元. 【解析】 【分析】（1）根据销售收入列式求解即可； （2）根据单调性和对称性质排除函数模型①，②，将，分别代入模型③，即可求解解析式； （3）先求得，然后利用基本不等式求解最值即可. 【小问1详解】 由题意得，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以日销售收入在第8天最低，最低为5000元. 19. 定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. （1）判断函数是否是上的有界函数并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围； （3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． 【答案】（1）是上的有界函数，理由如下： 当时，， 当时，， 由对勾函数性质得或， 或， 或， ∴的值域为，， ∴存在，使得， 所以是上的有界函数； （2） （3）存在，当时，； 当时，. 【解析】 【分析】（1）考虑和两种情况，结合对勾函数性质得到函数值域，进而得到，存在，使得，证明出是上的有界函数； （2）由题意可知在上恒成立，变形得到，换元后根据函数单调性得到答案； （3）分离常数，得到函数单调性，故，分和两种情况，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知在上恒成立， ，， 即， ∴在上恒成立， ∴． 设，，， 由，得． ∵在上单调递减，在上是单调递增， ∴在上，，． 所以，实数a的取值范围是. 【小问3详解】 ， ∵，， ∴在上递增， 根据复合函数的单调性可得在上递减， ∴， ∴h(x)存在上界. ①若，两边平方整理得， 即时，；此时，即， ②若，两边平方整理得， 即时，；此时，即， 综上，当时，； 当时，. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念和性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $