第12章 全等三角形（单元复习课件）数学华东师大版八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了全等三角形的判定与性质、等腰三角形、等边三角形、线段垂直平分线、角平分线及尺规作图等核心知识，通过单元知识图谱将命题与定理、三角形全等判定方法、特殊三角形性质等内容有机串联，构建起逻辑清晰的知识网络，帮助学生理解知识点间的内在联系。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的递进复习策略，如题型剖析中设计动点问题、实际测量问题等，培养学生的几何直观和推理意识，针对训练分基础巩固、综合应用、拓展提升层次，满足不同学生需求。这种设计既夯实知识基础又发展核心素养，为教师提供系统复习方案，助力高效复习教学。

单元复习课件 第十二章 全等三角形 华东师大版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.让学生正确理解命题、定理与证明的有关知识，能灵活正确地解决全等三角形的证明并能运用三角形全等性质解决与角，线段相等的有关问题； 3.理解互逆命题，进一步理解线段的垂直平分线性质定理与判定定理，角平分线的性质定理与判定定理的互逆关系，熟练应用相关知识解决问题 2. 掌握等腰三角形的性质与判定，让学生灵活地解决等腰三角形的相关问题；理解基本尺规作图的正确性论证，会用尺规作图法作五种基本作图， 单元学习目标 全等三角形 命题与定理 三角形全等的判定 边角边(SAS) 角边角(ASA) 边边边(SSS) 斜边直角边(HL) 角角边(AAS) 等腰三角形 等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合 等边三角形的各角都等于60° 有两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 逆命题与逆定理 线段垂直平分线上的点到两端的距离相等 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 角平分线上的点到角两边的距离相等 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 作线段、作角、作角平分线、作垂线、作线段的垂直平分线 尺规作图 单元知识图谱 (2)命题必须是对某件事情作出肯定或否定的判断。 判断一件事情的语句，叫做命题 组 成 表 达 形 式 可以写成“如果……那么……”的形式： “如果”后接的部分是题设， “那么”后接的部分是结论． 题设 + 结论 已知事项 由已知事项推出的事项 一、命题与定义 1、命题定义 命 题 的 两 层 含 义 (1)命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句; 定 义 考点串讲 一、命题与定义   内 容 举 例 注 意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 命题分为真命题和假命题两类: 2.命题的分类 考点串讲 定理：数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。 一、命题与定义 3.基本事实与定理 ★基本事实: 人们在长期实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假依据的真命题。 4.互逆命题 把一个命题的题设和结论互换，便可以得到一个新的命题，我们称这样的两个命题为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。 原命题 逆命题 若p，则q 若q，则p 原命题正确，它的逆命题未必正确 考点串讲 一、命题与定义 6、证明及证明的一般步骤 5.互逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 （1）证明含义 ①根据题意画出图形； ②根据题设和结论，结合图形，写出“已知”和“求证”； ③经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程. 证明假命题的方法——举反例 （2）证明步骤 根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明 考点串讲 二、全等三角形的判定与性质 1、三角形全等的判定方法 用符号语言表示为： （1）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 简记为“边角边”或“SAS”. F E D C B A 在△ABC 与△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SAS). AC = DF， ∠C =∠F， BC = EF， 考点串讲 二、全等三角形的判定与性质 1、三角形全等的判定方法 ∠A =∠D ， AB = DE， ∠B =∠E， 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (ASA). （2）有两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 简记为“角边角”或“ASA”. 用符号语言表示为： F E D C B A 推论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 简记为“角角边”或“AAS”. 考点串讲 二、全等三角形的判定与性质 1、三角形全等的判定方法 （3） 三边分别相等的两个三角形全等. 简记为“边边边”或“SSS”. A B C 在△ABC 和△ DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SSS). AB = DE， BC = EF， CA = FD， 用符号语言表示为： D E F 考点串讲 二、全等三角形的判定与性质 1、三角形全等的判定方法 （4）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 简记为“斜边、直角边”或“HL”. A B C D E F 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中， AB = DE， AC = DF， ∴ Rt △ABC ≌Rt △DEF (HL). 注意：①分别相等；②“HL”仅适用于直角三角形； 用符号语言表示为： 考点串讲 二、全等三角形的判定与性质 2、三角形全等的性质 （1） 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等，对应角相等. 几何语言 ∵△ABC≌△DEF， ∴AB=DE，BC=EF，AC=DF， ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F. A B C D E F （2）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边上的中线，对应角平分线分别相等 （3）全等三角形的面积相等，周长相等 考点串讲 3．证全等三角形的思路 二、全等三角形的判定与性质 已知两边 已知一边一角 已知两角 找夹角 找直角 找第三边 边为角的对边，找任意角 边为角的邻边 找夹角的另一边 找夹边的另一角 找边的对角 找夹边 找任一边 SSS SAS HL AAS SAS ASA AAS ASA AAS 考点串讲 三、等腰三角形的性质与判定 1、等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等. 简写成“等边对等角”. B C D A 几何语言 ∵AB=AC(已知)， ∴∠B=∠C(等边对等角). 【注意】“等边对等角”的前提是在同一个三角形中. 考点串讲 三、等腰三角形的性质与判定 三、等腰三角形的性质与判定 1、等腰三角形的性质： （2）等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合. 简写成“等腰三角形的三线合一”. 几何语言 （1）∵AB=AC，BD=CD(已知)， ∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC(三线合一). （2）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD (已知)， ∴BD=CD，AD⊥BC(三线合一). （3）∵AB=AC，AD⊥BC(已知)， ∴∠BAD=∠CAD，BD=CD(三线合一). B C D A 考点串讲 三、等腰三角形的性质与判定 2、等腰三角形的判定： 1.有两个角相等的三角形是等腰三角形. 简写成“等角对等边”. 几何语言 在△ABC中， ∵∠B=∠C(已知)， ∴AB=AC(等角对等边). 即△ABC为等腰三角形. 等边对等角 等角对等边 考点串讲 四、等边三角形的性质与判定 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°. 几何语言 ∵在△ABC中，AB=AC=BC， ∴∠A=∠B=∠C=60°. 1、等边三角形的定义： 2、等边三角形的性质： 考点串讲 四、等边三角形的性质与判定 3、等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形. 几何语言 ∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形. （2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 几何语言 ∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)， ∴△ABC是等边三角形. 考点串讲 五、垂直平分线的性质与判定 1、线段垂直平分线性质： A B M N C P 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 几何语言 ∵MN⊥AB，AC=BC， ∴PA=PB. 2、线段垂直平分线判定： 几何语言 ∵PA=PB， ∴点P在AB的垂直平分线上． 线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 考点串讲 六、角平分线的性质与判定 1、角平分线性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言 ∵OC平分∠AOB， PD⊥OA， PE⊥OB. ∴PD=PE. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言 ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. ∴点P在∠AOB的平分线上. 角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. 2、角平分线性质判定： 考点串讲 七、基本尺规作图 1．尺规作图定义 把只能使用　 　这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图． 2、常见的基本作图 作　 　等于已知线段； 作一个角等于　 　角； 作已知角的平分线； (4) 过一已知点作已知直线的　 　； (5) 作已知线段的垂直　 　线． 没有刻度的直尺和圆规 一条线段 已知 垂线 平分 考点串讲 （1）已知三角形的三边作三角形： a b c A B C 七、基本尺规作图 2、三角形全等判定方法作图 考点串讲 七、基本尺规作图 2、三角形全等判定方法作图 (2)已知两边及其夹角作三角形： a b α A D E B C 考点串讲 3.线段垂直平分线的作图 七、基本尺规作图 A B (1) 分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D 两点； (2) 作直线 CD. CD 就是线段 AB 的垂直平分线. C D 也可以用这种方法确定线段的中点 中点 考点串讲 4. 经过已知直线外一点作这条直线的垂线： A B C (1)以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E； E D (2)分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F； (3)作直线 CF. F 七、基本尺规作图 考点串讲 七、基本尺规作图 5. 角的平分线的作法： A B O M N C 考点串讲 1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3)切记作图中一定要保留作图痕迹； 4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 七、基本尺规作图 尺规作图的关键: 考点串讲 例1. 下列命题中是假命题的是(　　) A．三角形的内角和是 180° B．多边形的外角和都等于 360° C．五边形的内角和是 900° D．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 C 【解析】 要说明一个命题是真命题，需要经过证明它是正确的．对于 A、B、D 来说，都是经过证明，被认为是正确的，而五边形的内角和是 540°，故不正确，选 C. 题型一、判断命题真假 题型剖析 例2.下列语句属于命题的有（   ） ①两点之间线段最短；②不许大声喧哗；③连接P，Q两点；④花儿在春天开放；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型一、判断命题真假 解：①两点之间线段最短是命题； ②不许大声喧哗不是命题； ③连接P，Q两点不是命题； ④花儿在春天开放是命题； ⑤不相交的两条直线叫做平行线是命题； ⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？不是命题． B 题型剖析 题型二、全等三角形的判定与性质应用 1.利用条件直接判定全等三角形 例1. 如图，已知 AB = AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 △ABC≌△ADC 的是（ ） C CB = CD ∠BAC =∠DAC ∠BCA =∠DCA ∠B =∠D = 90° C A B D SSS SAS HL 题型剖析 例2．（2024·广东阳江·一模）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①AB=AC，②DB=DC，③∠BAD=∠CAD，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究△ABD与△ACD全等． 问题解决： (1)当选择①②作为已知条件时，△ABD与△ACD全等吗？ _________（填“全等”或“不全等”），依据是_________； (2)当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明△ABD≌△ACD，但补充一个条件例如_________也可以证明△ABD≌△ACD，请写出过程． ； 全等 ②③ 在和中， 解；当选择①③作为已知条件时，可以利用证明； 当选择②③作为已知条件时，不能说明，补充条件， 证明如下： ∴； 题型二、全等三角形的判定与性质应用 2.构造条件判定等腰三角形 题型剖析 题型二、全等三角形的判定与性质应用 3.全等三角形的判定与性质综合应用 例 3. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CE⊥AD 于点 G，交 AB 于点 E，EF∥BC 交 AC 于点 F. 求证：∠DEC =∠FEC. A B C D F E G 分 析 欲证∠DEC =∠FEC 由平行线的性质转化为证明∠DEC =∠DCE 只需要证明△DEG≌△DCG 题型剖析 例3.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CE⊥AD 于点 G，交 AB 于点 E，EF∥BC 交 AC 于点 F. 求证：∠DEC =∠FEC. A B C D F E G 题型二、全等三角形的判定与性质应用 3.全等三角形的判定与性质综合应用 证明：∵ CE⊥AD，∴∠AGE =∠AGC = 90°. 在△AGE 和△AGC 中， ∴△AGE≌△AGC (ASA). ∴ GE = GC. ∵ AD 平分∠BAC，∴∠EAG =∠CAG. 在△DGE 和△DGC 中， ∴△DGE≌△DGC (SAS ). ∴∠DEG = ∠DCG. ∵ EF∥BC， ∴∠FEC = ∠DCG. ∴∠DEC = ∠FEC. ∠AGE =∠AGC， AG = AG， ∠EAG =∠CAG， ∵ EG = CG， ∠EGD =∠CGD， DG = DG， ∵ 题型剖析 例4.如图①所示.OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置(如图②所示)，此时过点B作BD⊥OA于点D，且测得到点B到OA的距离为8 cm；当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直(图中的A、B、O、C在同一平面内)，过点C作CE⊥OA于点E，测得点C到OA的距离为14 cm. 题型二、全等三角形的判定与性质应用 3.全等三角形的判定与性质综合用 (1)判断CE与OD的数量关系，并证明； (2)求两次摆动中点B和点C的高度差DE的长. 解： (1)CE＝OD. 证明：∵OB⊥OC， ∴∠BOD＋∠COE＝90° ∵BD⊥OA，CE⊥OA， ∴∠ODB＝∠CEO＝90°， ∴∠BOD＋∠OBD＝90°， ∴∠OBD＝∠COE. 在△COE和△OBD中， ∴△COE≌△OBD(AAS)， ∴CE＝OD. 题型剖析 题型二、全等三角形的判定与性质应用 3.全等三角形的判定与性质综合应用 (2)求两次摆动中点B和点C的高度差DE的长. (2)∵点B到OA的距离为8 cm，点C到OA的距离为14 cm， ∴AB＝8 cm，CE＝14 cm. ∵△COE≌△OBD， ∴OE＝BD＝8 cm，CE＝OD＝14 cm， ∴DE＝OD－OE＝14－8＝6(cm)， ∴两次摆动中点B和点C的高度差DE的长为6 cm. 例4.如图①所示.OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置(如图②所示)，此时过点B作BD⊥OA于点D，且测得到点B到OA的距离为8 cm；当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直(图中的A、B、O、C在同一平面内)，过点C作CE⊥OA于点E，测得点C到OA的距离为14 cm. 题型剖析 题型二、全等三角形的判定与性质应用 4.全等三角形之动点问题 例5.如图，，于点A，于点B，且，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（    ）分钟后，与全等． A．2 B．3 C．4 D．8 解：∵于点A， 于点B， ∴， 设运动x分钟后与全等 则，， ， 分两种情况： ①若，则， ∴， ，，∴， ②若，则， 解得，， 此时与不全等. 综上所述： 运动4分钟后与全等. C 题型剖析 题型二、全等三角形的判定与性质应用 5.利用全等三角形解决实际问题 例6.如图JD3－2，A、B两点位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量A、B间的距离，但是绳子不够长．你能帮她设计测量方案吗？如不能，说明困难在哪里；如果能，写出方案，并说明其中的道理． 解：能．测量方案： (1)先在陆地取一点可以直接到A点和B点的点C； (2)连结AC并延长到点D，使CD＝CA； (3)连结BC并延长到点E，使CE＝CB； (4)连结DE，并测出它的长度． 即如图中DE的长度就是A、B间的距离． 理由：在△ABC和△DEC中， ∴△ABC≌△DEC(S.A.S.)，∴AB＝DE. 答案不唯一 题型剖析 题型三、等腰角形的判定与性质应用 例1.求证：如果三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 1.这是一道文字题，需要先画出图形，写出已知、求证和证明 [解析] 2.学习完等腰三角形判定定理以后，证明两条线段相等的方法就有两种选择： (1)利用两个三角形全等来达到目的； (2)利用在同一个三角形中，等角对等边来达到目的，本题用第(2)种方法，即证明两个角相等来达到目的． 题型剖析 题型三、等腰角形的判定与性质应用 例1.求证：如果三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 证明：∵AD∥BC， ∴∠1＝∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)． 又∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC(等角对等边)． 即△ABC是等腰三角形． 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC. 求证：△ABC是等腰三角形． 题型剖析 例2.如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（    ） 题型三、等腰角形的判定与性质应用 解：∵， ∴， ∴， ∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， C A． B． C． D． 题型剖析 题型四、等边角形的判定与性质应用 例3. 如图，△ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上一点，以 CD 为边作等边三角形 CDE，使点 E、A 在直线 DC 的同侧，连结 AE. 求证：△DBC≌△EAC. 证明：∵△ABC 和△CDE 是等边三角形， ∴∠BCA＝DCE＝60°，BC＝AC，DC＝EC， ∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE. 在△DBC 和△EAC 中， ∵ BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC， ∴ △DBC≌△EAC(SAS). 题型剖析 答：证法错误。 SAS定理应用错误。△ABC和△ABD中两边和一边对角相等，即SSA不能判断三角形全等 例4:已知，如图，ＢＣ＝ＢＤ， ∠Ｃ＝∠Ｄ，求证：ＡＣ＝ＡＤ． 　　有一同学证法如下： 　证：连结AB 　　　在△ABC和△ABD中 　　　　BC=BD 　　　　∠C=∠D 　　　　AB=AB 　　　∴⊿ABC≌⊿ABD ( SAS. ) 　　　∴AC=AD 　你认为这位同学的证法对吗？如果错误， 　错在哪里，应怎样证明？ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 题型四、等边角形的判定与性质应用 题型剖析 例4:已知，如图，ＢＣ＝ＢＤ， ∠Ｃ＝∠Ｄ，求证：ＡＣ＝ＡＤ． 　　 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 1 2 证：连结AB，CD ∵ＢＣ＝ＢＤ ∴∠1＝∠2， ∵∠AＣB＝∠AＤB ∴∠AＣB+∠1＝∠AＤB+∠2， 即∴∠AＣD＝∠ACＤ ∴AＣ＝AＤ， 等边对等角 等角对等边 题型四、等边角形的判定与性质应用 题型剖析 解：如图，如果把草地近似看成射线 a，河边近似看成射线 b，问题就是分别在射线 a，b 上分别找一点 B， C，使 AB + BC + AC 最小. 分别作点 A 关于 a，b 的对称轴 A′，A″，可得 A′B = AB，A″C = AC. 当 B，C 分别为 A′A″ 与射线 a，b 的交点时， AB + BC + AC″ 最小，为 A′A″. a b 例1.如图，牧民从 A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到 A 处. 牧民怎样走可使所走的路径最短？ 题型五、线段垂直平分线应用（将军饮马） A′ A″ B C 题型剖析 题型五、线段垂直平分线应用（将军饮马） 例2.如图，元元星期天从 A 处赶几只羊到草地边某一处吃草，然后赶羊到河边某一处饮水，之后再回到 B 处的家. 假设元元赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，并指明羊吃草与饮水的位置. 解（1）如图，作出点 A 关于 l1 的对称点 E，点 B关于 l2 的对称点 F （2）连接 EF，分别交 l1 ，l2 于点 C，D， （3）连接 AC，BD，则 A→C→D→B 是元元走的最短路线，其中点 C 是羊吃草的位置，点 D 是羊饮水的位置. E C D F 题型剖析 题型六、角平分线应用 例1：已知：如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF. 证明：连结AD， ∴∠DAB＝∠DAC. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF. AB＝AC， BD＝CD， AD＝AD， ∵ 在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD. 题型剖析 例2.如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） 题型六、角平分线应用 解： ①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点共有四处． A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 D P P1 P2 P3 题型剖析 例3.如图，点P是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，，点为上一点，若满足，则的长度为 ． 题型六、角平分线应用 解：过点作于点． ∵是的角平分线， ， ∴， ∵， ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ E ∟ ∵， ∴ ∴ 当点在点左侧时， ； 当点在点右侧时， ． 或 题型剖析 题型七、尺规作图 例1.下面是“作的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 解：连接，， 由作图得： ，，， ≌， ． 题型剖析 题型七、尺规作图 例2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，用尺规作图法作出射线 AE，AE 交 BC 于点 D，CD = 5，P 为 AB 上一动点，则 DP 的最小值为 _____. 5 A B C E D P P′ ∟ 解：过D作DP′⊥AB，垂足为P′，当P移动到P′处，此时DP 的最小 ∵是的角平分线， ， ∴=5， 题型剖析 1.判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的真假． (1) 如果 a＝0，那么 ab＝0； (2) 如果点 P 到线段 AB 两端点的距离相等，那么 P 在线段 AB 的垂直平分线上． 解： (1) 原命题是真命题．原命题的逆命题是：如果 ab＝0，那么 a＝0. 逆命题为假． (2) 原命题是真命题．原命题的逆命题是：如果 P 在线段 AB 的垂直平分线上，那么点 P 到线段 AB 两端点的距离相等．其逆命题也是真命题． 针对训练 2.如图，要识别△ABC≌△ADE，除公共角∠A外，把还需要的两个条件及其根据写在横线上。 A B C E D 1 2 （1） ， （ ） （2） ， （ ） （3） ， （ ） （4） ， （ ） （5） ， （ ） （6） ， （ ） （7） ， （ ） SAS AB=AD AE=AC AE=AC ∠1= ∠2 ∠B= ∠C AB=AD ASA AB=AD AAS ∠B= ∠C AE=AC AAS ∠1= ∠2 ASA ∠1= ∠2 ED=CB AAS ∠B= ∠C ED=CB AAS. 针对训练 3.如图13－3所示，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，请你添加一个适当的条件 ，使△ABC≌△DBE.(只需添加一个条件即可) 解：∠BDE＝∠BAC 或BE＝BC 或∠ACB＝∠DEB等 (写出一个即可) ∠BDE＝∠BAC 针对训练 证明：延长 AE 交 BC 的延长线于点 F，如图所示. ∵∠ACB = 90°，∴∠ACF = ∠ACB = 90°. ∵∠F +∠FAC = 90°， ∴∠F +∠EBF = 90°. C F A B D E ) ) 1 2 4.如图，在△ABC 中，AC = BC，∠ACB = 90°，点 D 是 AC 上的一点，AE 垂直 BD 的延长线于点 E，且 AE = BD. 求证：BD 平分∠ABC. ∴∠FAC =∠EBF. 在△ACF 和△BCD 中， ∴ △ACF≌△BCD (ASA ). ∴ AF = BD. ∵AE = BD， ∴ AE = EF. 在△AEB 和△FEB 中， ∴ △AEB≌△FEB (SAS). ∴ ∠1 =∠2， 即 BD 平分∠ABC. ∵ ∠FAC =∠DBC， AC = BC， ∠ACF =∠BCD， ∵ AE = FE， EB = EB， ∠AEB =∠FEB， 针对训练 5.如图，等边三角形的边长为3，点D在边上，且，与相交于点P，若，则CE的长为 ． 解：∵是等边三角形， ∴，． ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴， ∴ 1 针对训练 6.如图所示，已知为等边三角形，点为延长线上的一点，平分， 求证：(1)；(2)是等边三角形． （1）证明：为等边三角形， ， 平分， ， 在和中， ， ． （2）证明： ， ， 即， ， 为等边三角形．   针对训练 解： (1)∵l1垂直平分AB， ∴DB＝DA.同理，EA＝EC. ∵△ADE的周长＝AD＋AE＋DE＝8， ∴BC＝BD＋DE＋EC＝DA＋DE＋EA＝8. 7.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线l1与边BC相交于点D，边AC 的垂直平分线l2与边BC相交于点E(D在E的左侧).若△ADE的周长为8，∠DAE＝60°. (1)求BC的长； (2)求∠BAC的度数. (2)∵∠DAE＝60°，∴∠ADE＋∠AED＝180°－60°＝120°. ∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB. ∵∠ADE＝∠BAD＋∠ABC，∠AED＝∠EAC＋∠ACB， ∴ ∴∠BAC＝60°＋60°＝120°. 课堂总结 1.本章研究了命题、定理的条件和结论，以及原命题与它的逆命题、定理与它的逆定理之间的关系，这些术语在今后的学习中会经常遇到. 3.在本章中，我们体会了证明的必要性，知道了经过合情推理探索发现的数学结论还需要经过演绎推理加以确认.我们还学习了一些基本的证明方法. 2.本章研究的主要内容是三角形全等的判定方法.判定三角形全等的三个基本事实是我们进行演绎推理的重要依据，它们是从静态的角度探索发现的依据三角形的基本元素判定三角形全等的方法.实质上它们和动态的全等三角形定义是一致的，我们完全可以说明，在这些条件下的两个三角形一定可以通过图形的基本变换(轴对称、平移和旋转)而相互重合. 课堂总结 4.本章对于一些几何图形(等腰三角形、线段垂直平分线、角平分线)的研究，都经历了“探索发现一演绎证明”的过程，先通过几何直观、实验操作，探索发现某些结论，再通过演绎推理验证其正确与否，体现了合情推理与演绎推理是两种相辅相成的推理方式. 5.我们已经知道利用尺规作图可以作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知角的平分线、经过一已知点作已知直线的垂线、作已知线段的垂直平分线，本章通过逻辑推理的方法，完成了对这些基本的尺规作图方法的正确性的论证.尺规作图方法是十分有效、十分有趣的，在今后的学习中，我们还会继续不断地进行探索. 课堂总结 1. 判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例说明： （1）两直线平行，同旁内角互补； （2）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； （3）相等的角是内错角； （4）有一个角是60°的三角形是等边三角形； （5）若a、b、c都是有理数，且a>b，则ac>bc. 真命题 真命题 假命题，反例：对顶角相等. 假命题，反例：60°、80°、40°的三角形. 假命题，反例：a=2，b=1，c=0，此时ac=bc. 教材P114 课后作业 复习题A组 教材P114 2．判断题（对的在括号内填“√”，错的在括号内填“×”） （1）每个命题都有逆命题. （ ） （2）每个定理都有逆定理. （ ） （3）真命题的逆命题都是真命题. （ ） （4）假命题的逆命题都是假命题. （ ） √ × × × 课后作业 复习题A组 教材P114 3.如图，AB=DE，AC∥DF，BC∥EF. 求证：△ABC≌△DEF. A B D E F C 证明：∵AC// DF，BC // EF， ∴∠A=∠EDF，∠ABC=∠E(两直线平行，同位角相等). 又∵AB=DE， ∴△ABC≌DEF(ASA). 课后作业 复习题A组 教材P115 4.如图，AE=DB，BC=EF，BC∥EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵BC// EF， ∴∠ABC=∠DEF (两直线平行，内错角相等). ∵AE=DB， ∴AE+BE=DB+BE(等式的性质)，即AB=DE. 又∵BC=EF， ∴△ABC≌△DEF(SAS). 课后作业 复习题A组 教材P115 5.如图，AC=BD，BC=AD. 求证：△ABC≌△BAD. 证明：在△ABC和△BAD中， ∵AC=BD， BC=AD， AB=BA， ∴△ABC≌△BAD(SSS). 课后作业 复习题A组 教材P115 6.如图，∠1=∠2，∠B=∠D. 求证：△ABC≌△ADC. 证明：∵∠1=∠2， ∴∠ACB=∠ACD(等角的补角相等). 又∵∠B=∠D，AC=AC， ∴△ABC≌△ADC(AAS). 课后作业 复习题A组 教材P115 7.如图，在△ABC中，AB=AC，DB=DC，AD的延长线交BC于点E. 求证：∠BAE=∠CAE，BE=CE. 证明：在△ABD和△ACD中， ∵AB=AC，DB=DC，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD(SSS)， ∴∠BAE=∠CAE. 又∵AB=AC，∴BE=CE. 课后作业 复习题A组 教材P115 8.如图，在△ABC中，∠BDA=∠CEA，AE=AD. 求证：AB=AC. 证明：在△ABD和△ACE中， ∵∠A=∠A， AD=AE， ∠BDA=∠CEA， ∴△ABD≌△ACE(ASA). ∴AB=AC. 课后作业 复习题A组 教材P115 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=AD，DE⊥AB. 求证：∠ECD =∠EDC. A B C D E 证明：∵∠ACB=90°， ∴∠ECD=∠ACB−∠ACD=90°−∠ACD. ∵DE⊥AB， ∴∠EDC=∠EDA−∠ADC=90°−∠ADC. ∵AC=AD， ∴∠ACD=∠ADC. ∴∠ECD=∠EDC. 课后作业 复习题A组 教材P115 10. 如图，要测量河岸相对的两点A、B间的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上，测得的DE的长就是AB的长，为什么？ 解：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠ABC=∠EDC=90°(垂直的定义)． 又∵BC=DC， ∠ACB=∠ECD(对顶角相等)， ∴△ABC≌△EDC(ASA)， ∴AB=ED. 即测得的DE的长就是AB的长. 课后作业 复习题B组 教材P116 11. 如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，点D是边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E和点F. 求证：△DEF是等边三角形. 证明：连接AD， ∵AB=AC，D是BC中点， ∴AD平分∠BAC， 又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF. ∵∠A=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°， ∴∠BDE=∠CDF=60°， ∴∠EDF=180°−(∠BDE+∠CDF)=60°. ∴ △DEF是等边三角形. 课后作业 复习题B组 教材P116 12.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E. 求证：∠EBC=18°. A B C D E 证明：∵∠C=90°，∠A=36°， ∴∠ABC=54°. ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∴∠A=∠EBA=36°， ∴∠EBC=∠ABC−∠EBA=18°. 课后作业 复习题B组 教材P116 13.如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC. 求证：∠C=∠E. A B C D E 证明：∵∠BAE=∠DAC， ∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC， 即∠BAC=∠DAE. 在△BAC和△DAE 中， ∵AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE， ∴△BAC≌△DAE(SAS)， ∴∠C=∠E. 课后作业 复习题B组 教材P116 14.如图，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点E和点F，BF=CE，BE与CF相交于点D. 求证：AD平分∠BAC. 证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠CED=∠BFD=90°. 又∵∠BDF=∠CDE，BF=CE， ∴△BDF≌△CDE(AAS). ∴DF=DE. 又∵DF⊥AB，DE⊥AC， ∴AD平分∠BAC. 课后作业 复习题B组 教材P116 15.如图，AD=BC，∠ADC=∠BCD. 求证：∠BAC=∠ABD. 证明：∵在△ADC和△BCD中， ∵AD=BC，∠ADC=∠BCD，DC=CD， ∴△ADC≌△BCD(SAS). ∴AC=BD. 在△ABD和△BAC中， ∵AD=BC，AB=BA，BD=AC， ∴△ABD≌△BAC(SSS). ∴∠BAC=∠ABD. 课后作业 复习题B组 教材P116 16.如图，已知△ABC，求作点P，使AP=CP，且点P到边BA、BC的距离相等. 解：如图所示.作法： (1)作线段AC的垂直平分线m； (2)作∠ABC的平分线n； (3)射线n与直线m的交点即为所要求作的点P. A B C 课后作业 复习题C组 教材P117 17.两个直角三角形有两个角及一条边分别相等，这两个直角三角形会全等吗？试列出各种情况，并一一加以说明. 解:不一定全等.全等的情况如下: (1)一直角、一锐角和斜边分别对应相等，根据角角边判定两个直角三角形全等. (2)一直角、一锐角和夹边分别对应相等，根据角边角判定两个直角三角形全等. (3)一直角、一锐角和锐角的对边分别对应相等，根据角角边判定两个直角三角形全等. (4)两锐角和斜边分别对应相等，根据角边角判定两个直角三角形全等. (5)两锐角和较长(或较短)的直角边分别对应相等，根据角角边判定两个直角三角形全等. 课后作业 复习题C组 教材P117 17.两个直角三角形有两个角及一条边分别相等，这两个直角三角形会全等吗？试列出各种情况，并一一加以说明. 不全等的情况如下: (1)如图，在△ABC与△ADB中，尽管∠A =∠A，∠ABC=∠ADB，AB=AB，但是△ABC与△ADB不全等. (2)如图，在△ABC与△BDC中，尽管∠ABC=∠BDC，∠C=∠C，BC=BC，但是△ABC与△BDC不全等. (3)如图，在△ABD与△BCD中，尽管∠BDC=∠ADB， ∠A= ∠ DBC，BD=BD，但是△ABD与△BCD不全等. A B C D ∟ ∟ 课后作业 复习题C组 教材P117 19.如图，在△ABC与△BAD中，AD与BC相交于点O，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明. 你添加的条件是：_________________. ∠C=∠D 证明：∵∠1=∠2， ∴OA=OB. 在△AOC和△BOD中， ∵∠C=∠D， ∠COA=∠DOB，OA=OB. ∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD. 课后作业 复习题C组 教材P117 18.如图，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE= 90°，BC与DE相交于点F，连结CD、EB. （1）请找出图中其他的全等三角形； （2）试证明CF=EF. 解：（1）△ADC≌△ABE；△CDF≌△EBF. （2）证明：连结CE. ∵Rt△ABC ≌Rt△ADE， ∴AC=AE，∠ACB=∠AED， ∴∠ACE=∠AEC， ∠ACE−∠ACB=∠AEC−∠AED， 即∠BCE=∠DEC， ∴CF=EF. 课后作业 感谢聆听! $