专题05 全等三角形模型之对角互补模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题05 全等三角形模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°+90°型对角互补模型、120°+60° 型对角互补模型、 α+（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 7 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 11 模型3.全等模型-对角互补模型（α + 180°-α） 18 23 早期文献将该模型称为“边等角补模型”（强调邻边相等时的特性），但教学中发现学生更易通过“对角和为180°”这一直观特征识别模型。2021年后，“对角互补模型”逐渐成为主流命名，凸显其核心几何本质。部分教师至今仍沿用旧称，引发课堂辩论：“到底该先看边等还是角补？” （24-25八年级上·吉林·校考期末）如图，已知与，平分． (1)如图1，与的两边分别相交于点D、E，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：． 理由如下：如图1，过点C作，交于点F，则， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)若，． ①如图3，与的两边分别相交于点D、E时，写出线段、、的数量关系 ； ②如图4，的一边与的延长线相交时，写出线段、、的数量关系 ； 若，的面积为a，则的面积＝ （用含a的代数式表示）． 1.全等模型-对角互补模型（90°+90°） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC=PA； 证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB， ∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB； ∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。 又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°， 根据勾股定理易证：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。 3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 1）“α对180°-α模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 例1（24-25八年级上·重庆·校考期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．    (1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______． (2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例． 例2（24-25八年级上·广东江门·期中）已知，在的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与点重合，它的两条直角边分别与相交于点． (1)如图①，当于点，于点时，和之间的数量关系为________． (2)加图②，当三角板绕点旋转到与不垂直时，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 例3（24-25九年级上·河南许昌·期中）已知为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于． (1)如图1，当绕点旋转到于时，与的和与之间数量关系为______； (2)如图2，当点在线段上时，绕点旋转到和不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；(3)如图3，这种情况下，的数量关系是______． 例4（24-25九年级上·广东惠州·期中）在中，，．将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交边、于点D、E． (1)如图①，当时，则的值是________． (2)如图②，当与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，在内作，使得、分别交、于点、，连接．那么的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 例1（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）如图，在中，，，点D为边的中点，且，与边，分别交于点E，F．当绕着点D运动时，线段与的数量关系是否发生改变？ (1)探究一：首先观察点F的特殊位置： ①当点F与点C重合时，如图1所示，此时______，线段与之间的数量关系：________； ②当时，如图2所示，求此时的度数及线段与之间的数量关系并说明理由； (2)探究二：观察一般情况，当绕着点D运动时，与之间有什么数量关系并证明． 例2（24-25重庆八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 例3（24-25八年级下·江西吉安·期末）中，，点D是线段的中点，，与线段相交于点E．与线段（或的延长线）相交于点F． (1)如图1，若，垂足为F，，求的长；(2)如图2，将（1）中的绕点D顺时针旋转一定的角度，仍与线段相交于点F．求证：； (3)如图3，将（2）中的继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使与线段的延长线相交于点F，作于点N，若，求证：． 例4（2024广东中考一模）如图，已知，在的角平分线上有一点，将一个角的顶点与点重合，它的两条边分别与射线相交于点. （1）如图1，当绕点旋转到与垂直时，请猜想与的数量关系，并说明理由； （2）当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由； （3）如图3，当绕点旋转到点位于的反向延长线上时，求线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 模型3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 例1（24-25八年级下·辽宁·期中）如图，P是平分线上一点，，，在绕点P旋转的过程中始终保持不变，其两边和，分别相交于M，N，下列结论：是等边三角形；的值不变；；四边形 面积不变．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2（24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试）（1）感知：如图①，平分，，，易知，数量关系为：______． （2）探究：如图②，平分，，，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． 例3（24-25八年级上·湖北孝感·期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：　 　． （2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． （3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由． 例4（24-25·江苏·八年级专题练习）感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明． 探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示） 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，点D为边的中点，，将绕点D旋转，它的两边分别交所在直线于点E、F．有以下4个结论：①；②；③；④当点E、F落在的延长线上时，．在旋转过程中，上述结论一定成立的有（    ）        A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3.（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）已知为等边三角形，为的中点，，交线段于点E，DF交于点．下列说法中正确的结论有（   ）个 ①；②；③若，则；④若，则． A．4 B．3 C．2 D．1 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 61．（2024·河南郑州·三模）【问题背景】 如图1，在四边形中，若或，我们把这种四边形称为“对补四边形”．某学习小组根据研究矩形、菱形、正方形的经验，又进行了如下探究． 【初步认识】 该学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． （1）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则 ． 【观察猜想】 （2）该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现“对补四边形”的边和对角线都有着特殊的性质，并提出了下列两个猜想． 猜想1：如图2，四边形是“对补四边形”，若对角线平分，和的数量关系是： ； 猜想2：如图3，四边形是“对补四边形”，若，连接，则平分∠ ． 请补全猜想1和猜想2，并从猜想1或猜想2中任选一个给出证明； 6．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图1，在中，于点O，，，过点A作于点H，交于点P．(1)求线段的长度；(2)连接，求的度数；(3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 7.（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知：如图，是的平分线，点在上，，且点到的距离为，过点作，，垂足分别为点和点． (1)_________；(2)把图中的绕点旋转，当与不垂直时（如图），（）中的结论是否成立？并说明理由；(3)把图中的绕点旋转，当与的反向延长线相交于点时． ①请在图中画出旋转后的角（无需尺规作图）；②（）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段，之间的数量关系． 8．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．    (1)若线段，求线段的长；(2)如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接．①是否成立，请说明理由； ②请判断三条线段的数量关系，并说明理由． 9．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，过点作，点在上（不与点，重合），作，的边交直线于点，连接． (1)如图1，当点在射线上时，作，交于点，求证：； (2)如图2，当点在射线上时，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的基础上，若与交于点，当为的中点，且四边形的面积比的面积大16时，直接写出的面积． 10．（24-25八年级下·山西晋中·期中）综合与探究 在等边三角形中，是的中点，，分别是边，（含线段，的端点）上的动点，将绕点进行旋转且始终保持，小嘉和小琪对这个图形展开如下研究： 问题初探：（1）如图1，小嘉发现：当时，，则的值为_______． 问题再探：（2）如图2，在的旋转过程中，小琪发现两个有趣的结论： ①始终等于；②与的和始终不变．请你选择其中一个结论加以证明． 成果运用：（3）若边长，在点，的运动过程中，记四边形的周长为，，则周长的变化范围是______． 11．（24-25八年级上·吉林长春·期末）在等边中，是的中点，，的两边分别交直线、于、． (1)问题：如图1，当、分别在边、上，，时，直接写出线段与的数量关系；(2)探究：如图2，当落在边上，落在射线上时，（1）中的结论是否仍然成立？写出理由；(3)应用：如图3，当落在射线上， F落在射线上时，，，则 ． 12．（24-25八年级上·广东·期末）已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】（1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】（2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】（3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 13．（24-25七年级下·山东济南·期末）在中，于点，，． (1)如图①，过点A作于点H，交于点P，连接． ①求线段的长度；②求证：；(2)如图②，若D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段的延长线于点N，则的值是否发生改变？若改变，求该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 14．（24-25八年级上·浙江台州·期中）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究： 问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为　 　； 问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论： ①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明． 成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L 取最大值和最小值时E点的位置? 15．（2024.浙江八年级期中）如图，已知，在的角平分线上有一点，将一个角的顶点与点重合，它的两条边分别与射线相交于点. （1）如图1，当绕点旋转到与垂直时，请猜想与的数量关系，并说明理由；（2）当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）如图3，当绕点旋转到点位于的反向延长线上时，求线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 16．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边中点，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F （1）当点E在AC边上时（如图1），求证CE=BF（2）在（1）的条件下，求证： （3）当∠EDF绕D点旋转到图3的位置即点E、F分别在AC、CB边的延长线上时，上述（2）结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 17．（24-25辽宁九年级期末模拟）已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E. 当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD＋OE＝OC； 当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 全等三角形模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°+90°型对角互补模型、120°+60° 型对角互补模型、 α+（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 7 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 11 模型3.全等模型-对角互补模型（α + 180°-α） 18 23 早期文献将该模型称为“边等角补模型”（强调邻边相等时的特性），但教学中发现学生更易通过“对角和为180°”这一直观特征识别模型。2021年后，“对角互补模型”逐渐成为主流命名，凸显其核心几何本质。部分教师至今仍沿用旧称，引发课堂辩论：“到底该先看边等还是角补？” （24-25八年级上·吉林·校考期末）如图，已知与，平分． (1)如图1，与的两边分别相交于点D、E，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：． 理由如下：如图1，过点C作，交于点F，则， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)若，． ①如图3，与的两边分别相交于点D、E时，写出线段、、的数量关系 ； ②如图4，的一边与的延长线相交时，写出线段、、的数量关系 ； 若，的面积为a，则的面积＝ （用含a的代数式表示）． 【答案】(1)见详解(2)，， 【详解】（1）解：过点C作，交于点F，如图，则， 平分，， ，∴，， 又，∴， 在与中，，． （2）①．理由如下：方法一：过点作，，垂足分别为，，如图， 则，又∵平分，∴， 在四边形中，， 又∵，∴，又∵，∴， 在与中，，∴，∴． ∴． 在中，， ∴，同理，∴． 方法二：以为一边作，交于点，如图， ∵平分，∴，∴， ∴，，∴是等边三角形，∴， ∵，，∴， 在与中，∴， ∴．∴． ②有结论成立．以为一边，作与交于F点，如图， ∵，为的角平分线，∴， 又∵，∴为等边三角形∴， ∵，，∴， 又∵，， ∴，∴，∴，， ∴，即． 过点C作，垂足分别为M，N，如图，则， 又∵平分，∴，设， ∵， ∴，则， ∵，，∴，则． 1.全等模型-对角互补模型（90°+90°） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC=PA； 证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB， ∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB； ∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。 又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°， 根据勾股定理易证：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。 3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 1）“α对180°-α模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 例1（24-25八年级上·重庆·校考期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．    (1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______． (2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例． 【答案】(1)角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上．(2)成立，证明见解析． 【详解】（1）解：因为，，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上，所以点A在的角平分线上 故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上． （2）结论：平分仍然成立； 证明：如解图3，过点A作，，∴，    又∵，∴，∴， 又∵，∴， 在和中，∴∴， 又∵，，∴平分，故（1）结论正确． 例2（24-25八年级上·广东江门·期中）已知，在的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与点重合，它的两条直角边分别与相交于点． (1)如图①，当于点，于点时，和之间的数量关系为________． (2)加图②，当三角板绕点旋转到与不垂直时，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)(2)成立，见解析 【详解】（1）解：∵平分，，，∴；故答案为：； （2）解：上述结论仍然成立．理由如下： 如图2，过点C分别作，垂足为F，，垂足为G． ∴，∴ ∵为的角平分线， ∴， ∵，∴， ∴，∴． 例3（24-25九年级上·河南许昌·期中）已知为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于． (1)如图1，当绕点旋转到于时，与的和与之间数量关系为______； (2)如图2，当点在线段上时，绕点旋转到和不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； (3)如图3，这种情况下，的数量关系是______． 【答案】(1)(2)（1）中的结论成立；证明见解析(3) 【详解】（1）解：当绕D点旋转到时，∴， ∴四边形是矩形．∴，， ∵为边的中点，∴，，∴，， ∵，∴，∴四边形是正方形． 设的边长， ∴正方形的边长为． ∴，，即； （2）解：（1）中的结论成立；过点D作，，则， 又∵，∴，，∵D为边的中点， 同理可得：四边形为正方形，∴，， ∵，∴，，∴， 在与中，，∴，∴， ∴，由（1）可得：，∴． （3）解：如图，连接，∵，，D为边的中点，∴，， ∴，∴，同理可得：， ∴， ∴，∴． 故、、的关系是：． 例4（24-25九年级上·广东惠州·期中）在中，，．将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交边、于点D、E． (1)如图①，当时，则的值是________． (2)如图②，当与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，在内作，使得、分别交、于点、，连接．那么的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)2(2)依然成立(3)的周长为定值，且周长为2 【详解】（1）连 ∵P是的中点，，∴ ∵，∴ ∴四边形是矩形， ∴ 又∵∴∴；故答案为：2； （2）结论成立．连接，如图②．是等腰直角三角形，是的中点， ，，． ，．． 又，．≌． ，． （3）的周长为定值，且周长为2．在上截取，如图③， 由（2）可知：，，，，． ， 又，≌，． ，．的周长是2． 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 例1（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）如图，在中，，，点D为边的中点，且，与边，分别交于点E，F．当绕着点D运动时，线段与的数量关系是否发生改变？ (1)探究一：首先观察点F的特殊位置： ①当点F与点C重合时，如图1所示，此时______，线段与之间的数量关系：________； ②当时，如图2所示，求此时的度数及线段与之间的数量关系并说明理由； (2)探究二：观察一般情况，当绕着点D运动时，与之间有什么数量关系并证明． 【答案】(1)①60，；②，，见解析(2)，见解析 【详解】（1）解：①当点与点重合时， 在中，，点为边的中点， 根据等腰三角形三线合一性质可知， ，是等边三角形， ，．故答案为：60， ②解：连接，，点为边的中点， 即为的角平分线，， ，，，， ，， ∴； （2）方法1：过点D作，，垂足分别为M，N， 点为边的中点，，，，， ，，，， 在四边形中，，，， 在和中，，，； 方法2：在上截取，点为边的中点，， ，，，，， 在四边形中，，， 则，，，又，． 例2（24-25重庆八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】（1）详见解析；（2）（1）中结论仍然成立，理由详见解析；（3）（1）中结论不成立，结论为OE﹣OD=OC，证明详见解析. 【详解】(1)∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°， ∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=30°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°， 在Rt△OCD中，OD=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC， (2)(1)中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图， ∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°， 同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG， ∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG， ∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC； (3)(1)中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC， 理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图， ∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°， 同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG， ∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE， ∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC． 例3（24-25八年级下·江西吉安·期末）中，，点D是线段的中点，，与线段相交于点E．与线段（或的延长线）相交于点F． (1)如图1，若，垂足为F，，求的长；(2)如图2，将（1）中的绕点D顺时针旋转一定的角度，仍与线段相交于点F．求证：； (3)如图3，将（2）中的继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使与线段的延长线相交于点F，作于点N，若，求证：． 【答案】(1)(2)答案见解析(3)答案见解析 【详解】（1）解：如图1，，，是等边三角形， ，， ∵点是线段的中点， ， ，即， ， ， ∴； （2）证明：过点作于，作于，如图2， 则有， ∵ ， ，， 在和中，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 连接，由（1）得：，，， ，，，； （3）证明：过点作于，如图3． 同（1）可得：， 同（2）可得：， ，， ，， 为等边三角形，，，，，， ，，，同理：， ，， ． 例4（2024广东中考一模）如图，已知，在的角平分线上有一点，将一个角的顶点与点重合，它的两条边分别与射线相交于点. （1）如图1，当绕点旋转到与垂直时，请猜想与的数量关系，并说明理由； （2）当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由； （3）如图3，当绕点旋转到点位于的反向延长线上时，求线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 【答案】（1），见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3） 【详解】解：（1）是的角平分线 在中，，同理： （2）（1）中结论仍然成立，理由：过点作于，于 由（1）知， ，且点是的平分线上一点 （3）结论为：. 理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°， ∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF＋OG＝OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点， ∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG， ∴△CFD≌△CGE，∴DF＝EG，∴OF＝DF−OD＝EG−OD，OG＝OE−EG， ∴OF＋OG＝EG−OD＋OE−EG＝OE−OD，∴OE−OD＝OC． 模型3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 例1（24-25八年级下·辽宁·期中）如图，P是平分线上一点，，，在绕点P旋转的过程中始终保持不变，其两边和，分别相交于M，N，下列结论：是等边三角形；的值不变；；四边形 面积不变．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：作于E，于F，如图所示： ，， ，，， 平分，于E，于F， ，，∴， 在和中，，，， 在和中，，，，，， ，是等边三角形，故正确； ，定值，故正确； ，故正确； M，N的位置变化，的长度是变化的，故错误；故选：C． 例2（24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试）（1）感知：如图①，平分，，，易知，数量关系为：______． （2）探究：如图②，平分，，，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． 【答案】（1）；（2）结论成立，见解析 【详解】解：（1）结论：． 理由：，，， ，，．．故答案为：． （2）结论成立．理由：如图②中，作于，于． 平分，，，， ，，， 在和中，，，． 例3（24-25八年级上·湖北孝感·期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：　 　． （2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． （3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）DB=DC，理由见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）AB=AC+2BE，理由见解析． 【详解】解：（1）结论：DB=DC．理由：∵∠B+∠C=180°，∠B=90°，∴∠B=∠C=90°， ∵∠DAC=∠DAB，AD=AD，∴△ADC≌△ADB．∴BD=CD．故答案为BD=CD． （2）结论成立．理由：如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． ∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF， ∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠B=∠FCD， 在△DFC和△EDB中，，∴△DFC≌△DEB，∴DC=DB． （3）结论：AB=AC+2BE．理由：如图③中，连接AD．作DF⊥AC于F． ∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠B=∠FCD， 在△DFC和△DEB中，，∴△DFC≌△DEB（AAS），∴DF=DE，CF=BE， 在Rt△ADF和Rt△ADE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）， ∴AF=AE，∴AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE． 例4（24-25·江苏·八年级专题练习）感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明． 探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示） 【答案】感知：，证明见详解；探究：与的大小关系不变，理由见详解；应用：与差是． 【详解】感知：，理由如下： ∵，，∴，即，∵平分，∴； 探究：与的大小关系不变，还是相等，理由如下： 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，则∠DEB=∠DFC=90°，如图所示： ∵平分，∴DE=DF，∵，，∴∠B=∠DCF， ∴△DEB≌△DFC（AAS），∴； 应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，如图所示： ∵，，∴，∵，∴， ∵，， ∴△DHB≌△DGC（AAS），且△DHB与△DGC都为等腰直角三角形， ∴，由勾股定理可得， ∴，∴，在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG， ∴Rt△AHD≌Rt△AGD（HL），∴，∴，∴． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，点D为边的中点，，将绕点D旋转，它的两边分别交所在直线于点E、F．有以下4个结论：①；②；③；④当点E、F落在的延长线上时，．在旋转过程中，上述结论一定成立的有（    ）        A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：如图，连接，，，点D为边的中点， ，，， ，，， 在与中，，故①正确； ，，，故②错误； ，故③正确；如图，连接， 同理可证：:，， ，故④正确．故选：C． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：如图，过点P作，垂足为点K， ∵为的平分线，∴，∵， ， ∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，故②正确，符合题意； 在和中，，∴， ∴，，故①正确，符合题意； ∴，∴，∴，故③正确，符合题意； ∵，，∴，， ∴，故④正确，符合题意；综上所述，正确的共有4个，故选：A． 3.（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）已知为等边三角形，为的中点，，交线段于点E，DF交于点．下列说法中正确的结论有（   ）个 ①；②；③若，则；④若，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：①如图，连接，作于，于，则， ，， ∵为等边三角形，为的中点，∴，，， ∴，∴， ∵，∴， ∵于，于，∴， ∴，∴，故①正确； ②如图：作交于，则，， ∴为等边三角形，，∴，，∴； 在和中，，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，故②正确； ③如图，作于，∵，∴设，则，∴， 由②可得：，∴，∴，∴， ∴，∴， 由②可得：，∴，∵，∴，故③正确； ④如图，作于，于，交于， ∵，∴设，则，， 由②可得：，，，， ∴，∴， ∵，∴，故④正确；综上所述，正确的有①②③④，共个，故选：A． 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：如图1，连接，作于，于，    ∵点D是的平分线上的一个定点，∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴，∴，∴是等边三角形；①正确，故符合要求； ∵，∴， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴四边形的面积是一个定值；②正确，故符合要求； ∵的周长为，当时，最短，即等边的周长最小，③正确，故符合要求； 如图2，当时，∴，∴是等边三角形，    ∵是等边三角形，∴与重合，与交于点；④错误，故不符合要求；故选：C． 61．（2024·河南郑州·三模）【问题背景】 如图1，在四边形中，若或，我们把这种四边形称为“对补四边形”．某学习小组根据研究矩形、菱形、正方形的经验，又进行了如下探究． 【初步认识】 该学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． （1）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则 ． 【观察猜想】 （2）该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现“对补四边形”的边和对角线都有着特殊的性质，并提出了下列两个猜想． 猜想1：如图2，四边形是“对补四边形”，若对角线平分，和的数量关系是： ； 猜想2：如图3，四边形是“对补四边形”，若，连接，则平分∠ ． 请补全猜想1和猜想2，并从猜想1或猜想2中任选一个给出证明； 【答案】（1）；（2）；，证明见解析；（3）旅游景区的最大面积是 【详解】（1）解：∵，∴设，，， ∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴或，∴，解得：， ∴，，，∴，故答案为：． 【观察猜想】解：猜想1：四边形是“对补四边形”，若对角线平分，则， 故答案为：； 猜想2：四边形ABCD是“对补四边形”，若，连接，则平分，故答案为：； 【推理验证】（2）选择猜想1：； 证明：如图，过点C分别作于E，于F， ∵对角线AC平分∠DAB，CE⊥AD，CF⊥AB，∴，， ∵四边形是“对补四边形”，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴； 选择猜想2：；证明：如图，过点A作，垂足为E，作，垂足为F， ∵，，∴， 又∵，，∴，∴，， ∵，，，∴平分； 6．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图1，在中，于点O，，，过点A作于点H，交于点P． (1)求线段的长度；(2)连接，求的度数；(3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)1(2)(3)不改变， 【详解】（1）解 :  ， ， ，， 在 和中，，； （2）解：过O分别作于点M点，作于点N，如图 所示： 在四边形中，，， 在与中，，， ， ，，平分，； （3）解：的值不发生改变，等于，理由如下：如图：连接， ，，D为的中点，，，， ，，， ，即，， 在和中，，， ． 7.（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知：如图，是的平分线，点在上，，且点到的距离为，过点作，，垂足分别为点和点． (1)_________；(2)把图中的绕点旋转，当与不垂直时（如图），（）中的结论是否成立？并说明理由；(3)把图中的绕点旋转，当与的反向延长线相交于点时． ①请在图中画出旋转后的角（无需尺规作图）；②（）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段，之间的数量关系． 【答案】(1)8；(2)结论成立，理由见解析；(3)①作图见解析；②（）中的结论不成立，． 【详解】（1）解：∵点是的平分线上的点，，，∴， ∵，∴，在中，，， ∴，同理，，∴，故答案为； （2）解：上述结论成立．理由：如图，过点作于，于，       ∴，∴， 由旋转知，，∴，∴， ∵点在的平分线上，且，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴； （3）解：①补全图形如图． ②上述结论不成立，．理由：过点作于，于， ∴，∴，由旋转知，， ∴，∴， ∵点在的平分线上，且，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴． 8．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．    (1)若线段，求线段的长；(2)如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接．①是否成立，请说明理由； ②请判断三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①成立，理由见解析；②，理由见解析 【详解】（1）解：如图所示，过点B作于H， ∵，∴，即， ∵平分，∴，∵，，∴， 又∵，∴，∴，∴    （2）解：①成立，理由如下：如图所示，过点B作于H， ∵，∴，即， 同（1）可得，∴， ∵，∴，∴；    ②，理由如下：如图所示，在上截取，连接， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， 又∵，∴，∴，∵，∴．    9．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，过点作，点在上（不与点，重合），作，的边交直线于点，连接． (1)如图1，当点在射线上时，作，交于点，求证：； (2)如图2，当点在射线上时，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的基础上，若与交于点，当为的中点，且四边形的面积比的面积大16时，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）证明：，，， ，，，， ，，， ，， 在和中，，，； （2）解：线段、、之间的数量关系为：，理由如下： 如图2，过点作交延长线于点， 同（1）得：，，， ，，，， 又，，， ，，； （3）解：如图3，过点作于点，则，由（2）可知，，， ，， ，，， 为的中点，，，， 又，，，， ，，，． 10．（24-25八年级下·山西晋中·期中）综合与探究 在等边三角形中，是的中点，，分别是边，（含线段，的端点）上的动点，将绕点进行旋转且始终保持，小嘉和小琪对这个图形展开如下研究： 问题初探：（1）如图1，小嘉发现：当时，，则的值为_______． 问题再探：（2）如图2，在的旋转过程中，小琪发现两个有趣的结论： ①始终等于；②与的和始终不变．请你选择其中一个结论加以证明． 成果运用：（3）若边长，在点，的运动过程中，记四边形的周长为，，则周长的变化范围是______． 【答案】（1）；（2）选择①见解析；或选择②见解析；（3）． 【详解】解：（1）∵是等边三角形，∴，. ∵是的中点，∴.∵，∴， 在中，.∵，，∴. ∵，∴，在中，， ∴.∵，∴； （2）若选择①，证明：如图，过点分别作于点，于点， ∴.∵是等边三角形， ∴，∴. ∵，∴.∵是等边三角形，且是的中点，∴. ∵，，∴. 在和中，，∴， ∴，即始终等于. 若选择②，证明：同（1）的方法得，， 由①知，，∴， ∴，∴与的和始终不变； （3）由（2）知，，.∵，∴， ∴四边形的周长为 ， ∴最大时，最大；最小时，最小.当时，最小. 由（1）知，，∴，∴. 当点和点重合时，最大，此时，. ∵，∴，∴是等边三角形， ∴，即，∴周长的变化范围是. 11．（24-25八年级上·吉林长春·期末）在等边中，是的中点，，的两边分别交直线、于、． (1)问题：如图1，当、分别在边、上，，时，直接写出线段与的数量关系；(2)探究：如图2，当落在边上，落在射线上时，（1）中的结论是否仍然成立？写出理由；(3)应用：如图3，当落在射线上， F落在射线上时，，，则 ． 【答案】(1)；理由见解析(2)；理由见解析(3) 【详解】（1）解：，理由如下： 是等边三角形，，是的中点，， ，，，，；故答案为：； （2）解：结论成立．． 理由：如图1，过点分别作于点，于点， 由（1）可得：，，， ，，． 在和中，，，； （3）解：如图2中，过作交于点， ，同理可证， ，． ，，，， ，，，，，．故答案为：6 12．（24-25八年级上·广东·期末）已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】（1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】（2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】（3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 【答案】（1）（2），证明见解析（3）的长为9或1 【详解】解：（1）∵为等边三角形，D为的中点，∴，，， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴．故答案为： （2），证明如下：如图②，过点D作，交于点M， ∵为等边三角形，，∴，， ∴为等边三角形，∴，∴， ∵，，∴，∵， ∴，∴，∴． （3）的长为9或1，理由如下： 当点Q在线段的延长线上时，如图③，作交于点M， 由（2）知为等边三角形，∴，， ∵D为等边的边的中点，，∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴，， ∴，∴； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明，则，综上所述，的长为9或1． 13．（24-25七年级下·山东济南·期末）在中，于点，，． (1)如图①，过点A作于点H，交于点P，连接． ①求线段的长度；②求证：；(2)如图②，若D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段的延长线于点N，则的值是否发生改变？若改变，求该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)①1；②见解析(2)的值不发生改变，等于 【详解】（1）解：①，，， ，， 在和中，，，； ②过分别作于点，作于点，如图1所示： 在四边形中，，． 在与中，，，． ，，平分，； （2）解：的值不发生改变，等于．理由如下：连接，如图2所示： ，，为的中点，，， ，，． ，即，． 在和中，，，， ． 14．（24-25八年级上·浙江台州·期中）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究： 问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为　 　； 问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论： ①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明． 成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L 取最大值和最小值时E点的位置? 【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析；（3）周长L 取最大值时点E和点B重合或BE=4，取最小值时BE=2． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC， ∵点D是BC的中点，∴BD=CD=BC=AB，∵∠DEB=90°，∴∠BDE=90°-∠B=30°， 在Rt△BDE中，BE=BD，∵∠EDF=120°，∠BDE=30°，∴∠CDF=180°-∠BDE-∠EDF=30°， ∵∠C=60°，∴∠DFC=90°，在Rt△CFD中，CF=CD，∴BE+CF=BD+CD=BC=AB， ∵BE+CF=nAB，∴n=，故答案为； （2）如图，①过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，∴∠DGB=∠AGD=∠CHD=∠AHD=90°， ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠GDH=360°-∠AGD-∠AHD-∠A=120°，∵∠EDF=120°，∴∠EDG=∠FDH， ∵△ABC是等边三角形，且D是BC的中点，∴∠BAD=∠CAD，∵DG⊥AB，DH⊥AC，∴DG=DH， 在△EDG和△FDH中，，∴△EDG≌△FDH（ASA），∴DE=DF，即：DE始终等于DF； ②同（1）的方法得，BG+CH=AB，由①知，△EDG≌△FDH（ASA），∴EG=FH， ∴BE+CF=BG-EG+CH+FH=BG+CH=AB，∴BE与CF的和始终不变； （3）由（2）知，DE=DF，BE+CF=AB， ∵AB=8，∴BE+CF=4，∴四边形DEAF的周长为L=DE+EA+AF+FD =DE+AB-BE+AC-CF+DF=DE+AB-BE+AB-CF+DE=2DE+2AB-（BE+CF）=2DE+2×8-4=2DE+12， ∴DE最大时，L最大，DE最小时，L最小，当DE⊥AB时，DE最小，L最小， 此时∠BDE=90°-60°=30°，BE=BD=2， 当点F和点C重合或点E和点B重合时，DE最大，点F和点C重合时，∠BDE=180°-∠EDF=120°=60°， ∵∠B=60°，∴∠B=∠BDE=∠BED=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BE=DE=BD=AB=4， 当点E和点B重合时，DE=BD=4，周长L 有最大值， 即周长L 取最大值时点E和点B重合或BE=4，取最小值时BE=2． 15．（2024.浙江八年级期中）如图，已知，在的角平分线上有一点，将一个角的顶点与点重合，它的两条边分别与射线相交于点. （1）如图1，当绕点旋转到与垂直时，请猜想与的数量关系，并说明理由；（2）当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）如图3，当绕点旋转到点位于的反向延长线上时，求线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 【答案】（1），见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3） 【详解】解：（1）是的角平分线 在中，，同理： （2）（1）中结论仍然成立，理由：过点作于，于 由（1）知， ，且点是的平分线上一点 （3）结论为：.理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°， ∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF＋OG＝OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点， ∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG， ∴△CFD≌△CGE，∴DF＝EG，∴OF＝DF−OD＝EG−OD，OG＝OE−EG， ∴OF＋OG＝EG−OD＋OE−EG＝OE−OD，∴OE−OD＝OC． 16．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边中点，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F （1）当点E在AC边上时（如图1），求证CE=BF（2）在（1）的条件下，求证： （3）当∠EDF绕D点旋转到图3的位置即点E、F分别在AC、CB边的延长线上时，上述（2）结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析. 【详解】解：（1）由图可知： ∴四边形ECFD是矩形∴EC=DF，∠DFB=90° ∵Rt△ABC中，AC=BC，∴ ∴DF=FB∴DE=DF∴CE=BF （2）如图1，∵D是AB的中点∴AD=BD 由（1）可知∴△AED≌△DFB∴DE=DF ∴四边形CEDF是正方形．设△ABC的边长AC=BC=a，则正方形CEDF的边长为a． ∴S△ABC=a2，S正方形DECF=（a）2=a2即S△DEF+S△CEF=S△ABC； 如图2所示：连接CD； ∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB中点，∴∠B=45°，∠DCE=∠ACB=45°，CD⊥AB，CD=AB=BD， ∴∠DCE=∠B，∠CDB=90°，∵∠EDF=90°，∴∠1=∠2， 在△CDE和△BDF中， ，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴ 又∵D为AB中点，∴ ∴S△DEF+S△CEF=S△ADE+S△BDF=S△ABC； （3）不成立；S△DEF-S△CEF=S△ABC；理由如下：连接CD，如图3所示： 同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135° ∴S△DEF=S五边形DBFEC，=S△CFE+S△DBC，=S△CFE+S△ABC，∴S△DEF-S△CFE=S△ABC． ∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF-S△CEF=S△ABC． 17．（24-25辽宁九年级期末模拟）已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E. 当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD＋OE＝OC； 当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】图②中OD＋OE＝OC成立．证明见解析；图③不成立，有数量关系：OE－OD＝OC 【详解】解：图②中OD＋OE＝OC成立． 证明：过点C分别作OA，OB的垂线，垂足分别为P，Q 有△CPD≌△CQE，∴DP＝EQ，∵OP＝OD＋DP，OQ＝OE－EQ， 又∵OP＋OQ＝OC，即OD＋DP＋OE－EQ＝OC，∴OD＋OE＝OC． 图③不成立，有数量关系：OE－OD＝OC 过点C分别作CK⊥OA，CH⊥OB， ∵OC为∠AOB的角平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°， 又∵∠KCD与∠HCE都为旋转角，∴∠KCD=∠HCE， ∴△CKD≌△CHE，∴DK=EH，∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK， 由（1）知：OH+OK=OC，∴OD，OE，OC满足OE-OD=OC． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $