专题06 期末复习之一元一次方程解决动点动角问题（考情分析+9大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版七年级数学上册易错点重难点培优专题复习

该初中数学讲义以“一元一次方程解决动点动角问题”为核心，通过表格系统梳理数轴动点、角的动态问题及方程建模三大考点，明确复习目标与考察形式，结合错题警示归纳分类讨论遗漏等易错点，构建“考点-方法-易错点”三维知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础单点运动到培优综合探究，例题融入时钟旋转等生活情境，通过“左减右加”等步骤化攻略培养几何直观与推理意识，同步练习覆盖不同难度，助力分层提升，为教师精准教学与学生自主复习提供系统支持。

专题06 一元一次方程解决动点动角问题 期末考点 复习目标 考察形式 1.数轴动点问题（单点运动、双点相遇/追及、线段定值） 1.掌握数轴动点规律（左减右加、路程=速度×时间）； 2.能通过一元一次方程求解线段长度、运动时间； 3.学会数形结合标画运动轨迹 1.基础题：选择/填空（1-2题），考察单点运动、线段长度； 2.中档题：解答题（1题），考察双点相遇/追及； 3.创新题偶见：结合生活情境（如快递配送、路线规划） 2.角的动态问题（单角旋转、双角叠合、角平分线动态） 1.掌握角旋转规律（旋转角度=速度×时间）； 2.能利用角的和差、角平分线性质列方程； 3.学会分类讨论运动方向 1.基础题：选择/填空（1题），考察单角旋转度数计算； 2.压轴题：解答题最后1-2题，考察双角叠合、定值探究； 3.创新题常见：结合时钟指针、折叠问题 3.一元一次方程建模（含分类讨论、简单参数） 1.能将动点/动角关系转化为一元一次方程； 2.突破分类讨论、单位换算易错点；3.适应情境化、跨学科命题 1.全难度覆盖：基础题直接列方程，中档题需转化条件，压轴题含临界值讨论； 2.近3年强省真题高频出现：结合跨学科（物理匀速运动）、生活实际 【题型1】动点/动角问题中的分类讨论遗漏与单位换算错误（易错题型） 1.易错点总结 忽略运动方向多样性（如数轴动点向左/右、角旋转顺时针/逆时针），导致漏解； 单位不统一（如速度单位“单位/秒”与时间“分钟”混淆），计算出错； 线段/角度边界值判断失误（如“相遇前”“相遇后”未区分）。 2.避坑攻略 画“动态轨迹图”：标注初始位置、运动方向（箭头）、速度、时间范围，明确分类标准； 列方程前先统一单位（如将“分钟”转化为“秒”），标注单位符号； 解完方程后验证：代入轨迹图判断是否符合实际运动情境，排除无效解。 【例题1】.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知直角三角板中，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图中，画出旋转得到的． (3)当时， ①若，求的度数． ②如图，当旋转方向为逆时针方向时，点为上一点．．在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 【变式题1-1】.（24-25七年级上·江苏盐城·期末）【问题提出】 （1）如图1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，已知与是同类项，点C是线段的中点． ①________，点C表示的数是________； ②若点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点Q从点C出发，以每秒7个单位长度的速度也沿数轴向左运动，几秒后，P、Q两点之间的距离为2？ 【方法迁移】 （2）如图2，，平分．现有射线从出发，以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度也绕点O顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线同时停止旋转．问经过几秒后，射线、所成的角为？ 【拓展运用】 （3）一天早上，小明看到家里闹钟钟面显示7点整（如图3，时针指向7，分针指向12），此时请直接写出经过多少分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·河南洛阳·月考）如图，O为数轴的原点，点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，且满足，点C为数轴上一动点且对应的数为x． (1)直接写出a的值是_____，b的值是_____；若点C到点A和点B的距离相等，则x的值是_______； (2)数轴上是否存在点C，使得点C到点B的距离是点C到点A的距离的2倍？若存在，求出对应的数x；若不存在，请说明理由； (3)若点P以每秒2个单位长度的速度，点Q以每秒3个单位长度的速度，分别从A，B两点同时出发，在数轴上运动．设运动时间为t秒． ①若P，Q在点C处相遇，求出点C对应的数x； ②若P，Q两点均向左运动，当P、Q两点相距6个单位长度时，请直接写出此时t的值是_______． 【变式题1-3】.（23-24七年级下·湖北武汉·月考）已知，，如图1，将边重合放在直线上，在直线的两侧． (1)如图2，将绕点旋转，保持不动，填空： ①_____________；②_____________； (2)若按每分钟的速度绕点逆时针旋转，同时按每分钟的速度绕点逆时针旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为，单位：分)，计算 (用含的代数式表示)； (3)若以的速度绕点顺时针旋转，同时射线以的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，同时停止转动，当射线中的一条是另外两条射线组成的角的平分线时，求运动时间是多少？ 【基础题型】 【题型2】数轴单点运动与线段长度计算 1.期末考点总结 核心考点：数轴“左减右加”法则、路程=速度×时间、一元一次方程求解运动时间/线段长度； 命题特点：情境简单（如点从某位置出发匀速运动），无复杂分类，侧重基础公式应用。 2.解题攻略 步骤1：设运动时间为(单位统一)，用含的式子表示动点最终位置(初始位置±速度×)； 步骤2：根据“线段长度=两点坐标差的绝对值”列方程(如)； 步骤3：求解方程，验证解的合理性(如时间非负)。 【例题2】.（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，线段，动点从点出发，以每秒的速度沿着射线的方向运动． (1)当点出发多少秒后，的长度等于长度的2倍？ (2)当点的运动时间超过9秒，设点为的中点，点为的中点，的长度是否是一个定值？如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由， 【变式题2-1】.（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知线段，点在线段上，且． (1)求线段，的长； (2)点是线段上的动点，线段的中点为，设． ①请用含有的式子表示线段，的长； ②若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，，三点为“和谐点”，求使得，，三点为“和谐点”的的值． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·山西运城·期中）已知线段，点C是线段延长线上一个动点，D是线段的中点． (1)如图，若，求线段的长； (2)若的长逐渐增大，则的长的变化趋势是 ； ①变小；②变大；③先变大，后变小；④先变小，后变大． (3)若，画出所有符合条件的图形并分别写出线段的长． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·河南郑州·月考）阅读理解： 定义：在数轴上表示和的两点之间的距离是，这是绝对值的几何意义．如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为3，则之间的距离为．另，线段的中点表示的数是，即； (1)若在数轴上有、、三点，点对应的数是，且、两点间的距离为6，为的中点，则点所对应的数是___________． (2)当满足___________时，的值最小，最小值为___________． (3)，则___________． (4)若数轴上点表示的数是4，点表示的数是16，动点从点开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动，求多少秒后点到点的距离是到点距离的2倍？ 【题型3】角的单角旋转与度数计算 1.期末考点总结 核心考点：旋转角度=旋转速度×时间、角的和差关系、一元一次方程建模； 命题特点：常结合时钟(时针/分针旋转)、直尺旋转等生活情境，难度较低。 2.解题攻略 步骤1：明确角的初始度数、旋转方向、旋转速度(如时钟分针每分钟转)； 步骤2：用表示旋转后的角度(初始角度±速度×，顺减逆加)； 步骤3：根据题干条件(如旋转后角度为某定值、与另一角相等)列方程求解。 【例题3】.（2025七年级上·吉林长春·专题练习）操作：在一张白纸上画一条直线，把一块直角三角板的直角顶点放在直线上．    (1)如图（1），当点都在直线上方时，试判断与的度数之和是多少，并说明理由． (2)如图（2），把直角三角板绕点旋转，使点在直线的下方，点仍在直线的上方，用测量或分析的方法完成下表，并判断与的数量关系． 的度数 的度数 数量关系：___________ (3)如图（3），继续把直角三角板绕点旋转，使点和点都在直线的下方，你发现与又有什么样的数量关系呢？请直接写出结论：___________ 【变式题3-1】.（25-26七年级上·宁夏固原·月考）如图，，是直线上一点，现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．现将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． (1)如图2，经过多少秒后，线段恰好平分； (2)在（1）的条件下，线段是否平分？请说明理由． 【变式题3-2】.（24-25七年级上·全国·期末）如图1，已知，点为直线上一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为________，的度数为________； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)在三角板绕点旋转一周的过程中，求与之间的数量关系． 【变式题3-3】.（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，点O为直线上一点，过点O作射线OC，使，将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边与直线重合，另外两条直角边都在直线的下方． (1)将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转，如图2所示，此时 ；在图2中，是否平分？请说明理由； (2)紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得在的内部，请探究：与之间的数量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 （直接写出结果） 【提升题型】 【题型4】数轴双点相遇问题 1.期末考点总结 核心考点：相遇问题模型(路程和=初始距离)、一元一次方程情境化建模； 命题特点：融入生活情境，需转化文字条件为数学关系。 2.解题攻略 步骤1：设相遇时间为，明确两点初始位置、运动速度(同向/相向)； 步骤2：相向运动时，列方程：； 步骤3：求解后，可延伸计算相遇点坐标(代入单点运动公式)。 【例题4】.（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 【变式题4-1】.（2025七年级上·广东深圳·专题练习）周末，甲、乙两人相约去某自行车道骑车，甲从A入口进入自行车道，向B入口方向骑行，甲出发后乙从B入口进入自行车道，向A入口方向骑行．已知A，B两地相距，甲的平均速度是，乙的平均速度是．设甲骑行的时间为． (1)在两人骑行的过程中，甲骑行的路程为___________，乙骑行的路程为___________．(用含x的代数式表示) (2)当甲、乙两人相遇时，求x的值． (3)两人相遇后，甲继续以原速度向B入口骑行，乙休息后掉头按原速度返回B入口．在乙返回途中，当甲、乙两人相距时，求x的值． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·吉林·期中）【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． (1)如果代数式的值为，那么代数式的值为_______． (2)如图，若，求长方形与的面积差． (3)两地相距千米，某日，甲从地出发前往地，同时，乙从地出发前往地．已知甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过小时，甲、乙二人相遇．直接写出甲、乙两人相距千米的时间． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）已知、两点在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点个单位长度． (1)直接写出点所对应的数：______； (2)当点到点、的距离之和是个单位时，求点所对应的数； (3)现在有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒个单位的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点所对应的数． 【题型5】角的双角叠合与定值探究 1.期末考点总结 核心考点：双角旋转的角度关系、分类讨论叠合情况(部分叠合、完全叠合)、方程验证定值； 命题特点：常以“探究某角度是否为定值”形式命题，需结合角的和差列方程。 2.解题攻略 步骤1：设旋转时间为，分别表示两个角的旋转角度(，)； 步骤2：分情况讨论叠合关系(如或)； 步骤3：列方程求解，若解中不含，则该角度为定值。 【例题5】.（24-25七年级上·江苏淮安·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)如图2，当秒时，求的度数； (2)当____秒时，平分； (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止． ①当时，求t的值； ②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不含t）：_______． 【变式题5-1】.（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如图，，把一块含角（）三角板与摆在同一平面内，且角的顶点与顶点重叠，平分，平分．（本题中的角均大于且小于的角） (1)如图1，当，重合，且三角板的另一边在的外部时，求的度数； (2)如图2，把三角板摆放不同位置时，令．在备用图上画图并完成探究： ①探究的大小是否改变，若有改变，请用含的式子表示；若没有改变，请求出定值．并采用图2说明理由； ②在三角板摆放的不同位置中，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【变式题5-2】.（24-25七年级上·江西抚州·期末）如图（1），点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图（1）中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转秒，此时恰好第一次平分钝角，则的值为多少？ (2)将图（1）中的三角板绕点逆时针旋转至图（2），使一边在的内部，直线恰好平分，问：直线是否平分？请说明理由． (3)将图（1）中的三角板绕点O顺时针旋转至图（3），使在的内部，请探究： ①与之间的数量关系，并说明理由． ②的值是否为定值，如果是，请求出这个定值是多少？如果不是，请说明理由． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·江苏连云港·期中）【操作思考】将一副直角三角板（分别含和的角）叠放在量角器上，、分别是三角板和三角板的角平分线． 【特例感知】 （1）如图1，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______； 【拓展探究】 （2）如图2，将三角板绕点顺时针旋转一定的角度，三角板不动，使两个直角三角板有重叠． ①当时，求的度数； ②当时，______；（用含的式子表示） 【解决问题】 （3）如图3，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，同时将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在的值，使？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 【题型6】数轴动点与线段中点动态问题 1.期末考点总结 核心考点：线段中点公式(若两点坐标为、，中点坐标为)、动点与中点的位置联动； 命题特点：中点随动点运动而变化，需建立中点坐标与动点坐标的方程关系。 2.解题攻略 步骤1：设动点运动时间为，表示动点坐标及另一固定点坐标； 步骤2：用中点公式表示中点坐标，结合题干条件(如中点到某点距离为定值)列方程； 步骤3：分类讨论动点在中点左侧/右侧的情况，避免漏解。 【例题6】.（25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）已知关于的方程是一元一次方程，如图，数轴上有三个点对应的数分别为，且满足． (1)请直接依次写出的值； (2)点从点出发沿数轴正方向以每秒3个单位长的速度移动了秒，当时，求的值． (3)在（2）的条件下，若数轴上还有1个动点从点与点同时同向出发匀速运动，点速度为1单位长度/秒，若运动时间为秒，运动过程中，是否存在线段的中点到点的中点距离为3，若存在，请直接写出的值，若不存在，请在横线上说明理由． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·广东汕尾·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： 若数轴上点、点表示的数分别为、， ①若A、B位置不确定时，则A、B两点之间的距离为：，若点A在B的右侧，即，则A、B两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点A向右运动m个单位长度（）后，点A表示的数为：，点A向左运动m个单位长度后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． (1)请你在数轴上标出、、三个点的位置． (2)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_____，线段的中点为，则点表示的数为_____；运动秒后，点表示的数为_____（用含的式子表示）． (3)若秒钟过后，，，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·北京海淀·月考）已知数轴上两点、，其中表示的数为，表示的数为对于在数轴上一点（不与点、点重合），若线段与的长度之比为，则称叫做点、的“倍伴随点”，记作． 例如，图所示：若点是线段的中点时，有，则称点为点、的“倍伴随点”，记作． 请根据上述规定回答下列问题： (1)已知，如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是． ______； 比较、与的大小______（用“”连接）； (2)已知点是数轴上点、的“倍伴随点”，请你直接写出点表示的数为______； (3)已知数轴上三点，，，点、分别为、的中点，满足，且此时点是点、的“倍伴随点”，求的值及点表示的数． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·山西吕梁·期中）如图，在数轴上的三个点分别表示有理数a、b、c，且a、b、c满足，，，c是最小的正整数． (1)请直接写出_______，_______，_______． (2)若点A沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为t（秒）． ①2秒后，点A、B、C分别表示的有理数． ②请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围． (3)若把（2）中点B和点C的运动速度互换，请问：在运动过程中，t为何值时，点B、点C分别到原点O的距离相等？（直接写出结果） 【题型7】数轴动点追及问题(含参数与临界值) 1.期末考点总结 核心考点：追及问题模型(路程差=初始距离)、参数讨论(如速度为含字母的简单表达式)、临界状态判断； 命题特点：近3年江苏、浙江期末真题高频题型，含“能否追上”“何时相距某距离”等探究性问题。 2.解题攻略 步骤1：设追及时间为，明确追及者与被追及者的速度关系(才可能追上)； 步骤2：列方程：，求解； 步骤3：若速度含参数(如)，需讨论参数取值范围，判断追及是否存在(为有效解)。 【例题7】.（25-26七年级上·四川泸州·期中）已知a是最大的负整数，b是的相反数，，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C． (2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ (3)在数轴上是否存在点M，使点M到A，B，C，三点的距离之和等于12？若存在，请求出所有点M对应的数，若不存在，请说明理由． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）如果点M、N在数轴上分别表示实数m，n，在数轴上M，N两点之间的距离表示为或或．利用数形结合思想解决下列问题： 已知数轴上点A与点B的距离为16个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒． (1)点表示的数为___________，点表示的数为___________，点表示的数为___________． (2)用含的代数式表示到点和点的距离：___________，___________． (3)当点运动到点时，点从点出发，以每秒3个单位的速度向点运动．在点向点运动过程中，能否追上点？若能，请求出点运动几秒追上． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·重庆璧山·期中）如图，在数轴上点表示的数是，点示的数是，原点是，且，满足． (1)求出点与点之间的距离； (2)若在数轴上存在一点，且点到点的距离是点到点的距离的倍，求点所表示的数； (3)现有动点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，当点运动到点时点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动设点运动的时间为秒，当为何值时点与点相距个单位长度？ 【变式题7-3】.（25-26七年级上·江苏苏州·期中）数学实验室： 唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度． 数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为，点B表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)利用上述表示方法，“表示的点与表示3的点之间的距离”表示为______．（不化简） (2)结合上面的理解，若，则______． (3)当是______时，代数式． (4)若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P先沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，到达点B后立刻以原速向数轴负半轴运动．点Q沿数轴负方向运动，速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P与点Q相距1个单位长度？（请写出必要的求解过程） 【培优题型】 【题型8】动角问题与角平分线动态综合 1.期末考点总结 核心考点：角平分线性质(角平分线分角为两个相等角)、动态角的比例关系、分类讨论旋转方向； 命题特点：北京、福建中考真题改编题型，难度较高，需结合角的和差与角平分线性质列方程。 2.解题攻略 步骤1：设旋转时间为，表示旋转后的两个角及角平分线分后的角； 步骤2：根据题干条件(如某分角与另一角的和为定值、比例为)列方程； 步骤3：分顺时针/逆时针旋转两种情况讨论，验证每种情况的解是否符合角的范围()。 【例题8】.（23-24七年级上·贵州遵义·期末）请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线，在的内部，且，则称是的“内半角”． 请根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图①，，．若是的“内半角”，则_______． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度 至，即，其中．若是的“内半角”，求的度数． (3)把一块含的三角板按如图③方式放置，使边与边重合，边与边重合．如图④，将三角板绕顶点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线，，，构成“内半角”时，请直接写出t的值． 【变式题8-1】.（22-23七年级上·吉林白城·期末）如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角板（）的直角顶点放在点处，且直角三角板在直线的上方．设 ． (1)当时，求的大小； (2)当恰好平分时，求的值； (3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，老师说，两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件．请你补充完整下面的信息： 当时，__________； 当时，__________． 【变式题8-2】.（24-25七年级上·江苏无锡·月考）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·四川成都·期中）若，则称是的“余倍角”，例如：若，，则是的“余倍角”，但不是的“余倍角”． (1)如图 1，已知 ，在内存在一条射线，使得是的“余倍角”，此时 ；（直接填写答案） (2)如图 2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“余倍角”，且 ，求的大小； (3)如图 3，若，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（ ）．若是的“余倍角”，求出此时的值． 【题型9】动点动角综合开放探究题 1.期末考点总结 核心考点：动点与动角知识融合、分类讨论全情境、开放结论验证； 命题特点：压轴题高频题型，需综合运用数形结合、方程思想，结论不唯一，侧重逻辑推理。 2.解题攻略 步骤1：分别建立动点(数轴)和动角(几何图形)的数学表达式，用同一变量表示； 步骤2：根据题干开放条件列方程，分情况讨论运动状态； 步骤3：求解方程后，代入原情境验证，判断是否存在符合条件的，并总结结论。 【例题9】.（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，射线上有A，B两点，，．一动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点A按顺时针方向以每秒的速度旋转（如图2），当点P到达点B时，射线旋转停；接着，射线开始绕点B按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时点P降速一半沿射线的方向运动（如图3）．设点P运动的时间为/秒（）． (1)的长等于 ；当点P到达点B时，等于 °； (2)当射线与所在直线第一次重合（从开始旋转后算起）时，点P是线段的中点吗？为什么？ (3)在射线旋转的过程中，若它与所在直线第二次重合时所有运动停止，请求出当t为多少秒时，所在直线与所在直线之间的夹角为？（在数学中，两条直线相交所形成的最小正角称为这两条直线的夹角．） 【变式题9-1】.（24-25七年级上·湖南株洲·期末）材料阅读：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事非．切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离”这首词是我国数学家华罗庚先生所著，也是第一次提出“数形结合”这一说法，如何将代数式和几何图形结合一直是解决数学问题的重要思想方法．利用数形结合解决下列题目： 数轴上有两点，点表示的数为，表示的数为，且．点是线段的中点． (1)点表示的数是______： (2)动点从点向右边运动，速度为2个单位长度/秒，动点从点向左运动，速度为1个单位长度/秒，设运动时间为秒．当点到达点时，运动同时停止，则： ①点表示的数分别是______，______（用表示）： ②若在运动过程中，存在，请求出的值． (3)如果我们把线段和角度做类比：如图，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转．射线同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出的值． 【变式题9-2】.（24-25七年级上·江苏扬州·期末）【材料阅读】 如图1，数轴上有三个点，表示的数分别是，，1． （1）若要使两点的距离与两点距离相等，则可将点向左移动______个单位长度． （2）若动点分别从点、点出发，以每秒5个单位长度和每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点，同时出发，设运动时间为秒． ①秒后，点表示的数分别为______，______，______（用含的代数式表示）； ②记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】 （3）如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？ 【生活运用】 （4）周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过______分钟后，分针与时针的夹角首次变成 【变式题9-3】.（24-25七年级上·辽宁·期末）已知、、为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，则称点是点的“倍距点”．如图1中，点表示的数为1，点表示的数为4，点表示的数为3，点表示的数为2，则点是点的“倍距点”但不是点的“倍距点”，点是点的“倍距点”但不是点的“倍距点”．对于角，我们定义角的一条三等分线为这个角的两边的“倍角线”．如图2，射线，是的三等分线，即，则称射线是射线的“倍角线”但不是射线的“倍角线”，射线是射线的“倍角线”但不是射线的“倍角线”． (1)、、为数轴上三点，点表示的数是，点表示的数是4，点在点，点之间，若点是点的“倍距点”，求点表示的数； (2)在（1）的条件下，动点从点出发，沿数轴向右以2个单位长度／秒的速度运动，设点的运动时间为秒，当点是点的“倍距点”时，求的值； (3)如图3，，平分，射线是射线的“倍角线”． ①求的度数； ②绕点以/秒的速度按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，射线，对应的射线分别为，，当射线与射线重合时，停止旋转，设旋转的时间为秒，当射线是射线的“倍角线”时，求的值； (4)在（2）的条件下，当射线，，三条射线中，有一条射线是另外两条射线的“倍角线”时，直接写出的值． 同步练习 一、解答题 1．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，是直线，O是上一点，，，平分．图中与互余的角有哪些，与互补的角有哪些?为什么? 2．（24-25七年级上·广东深圳·期末）将一副三角尺如图所示在同一平面摆放，其中含的三角尺的边在直线上，另一个三角尺的直角顶点与点O重合． (1)如图1，当三角尺的边在直线上时，求的度数； (2)如图2，将三角板绕点O逆时针方向旋转，恰好平分时，则射线是的平分线吗？请说明理由． 3．（25-26七年级上·河北保定·期中）数轴上的定点表示的数分别是，且满足． (1)___________，___________；，间的距离为___________； (2)数轴上一点距点7个单位长度，其表示的数满足． ①求点之间的距离； ②当数轴上的点到点的距离是点到点的距离的2倍时，求点表示的数； ③沿数轴移动点，要使得，，其中一点到另外两点的距离相等，直接写出点所有的移动方法（写出方向和距离）． 4．（25-26七年级上·全国·期中）（1）【知识准备】设A，B，M是数轴上的三个点，且点M在点A，B之间，若，则点M叫作的中点．若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB的中点，则我们由中点公式可知，点M对应的数为．在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且有，则的中点N对应的数为 ． （2）【问题探究】在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为． ①点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ；用含t的代数式表示 ②当的中点对应的数为10时，求t的值． （3）【拓展延伸】已知数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为． ①若为上靠近点A的三等分点，则我们由三等分点公式可知，点对应的数为； ②若为上靠近点A的四等分点，则我们由四等分点公式可知，点对应的数为； ③若为上靠近点A的五等分点，则我们由五等分点公式可知，点对应的数为 ．用含x，y的代数式表示 5．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图，若直角三角板的一边在射线上，则的度数为_______； (2)如图，直角三角板的边在的内部，若恰好平分．求此时的度数； (3)在图中，请直接写出与之间的数量关系：_______． 6．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，直角顶点与点O重合，是直角，平分． 【问题发现】 (1)如图1，若，求的度数； (2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (3)将直角三角尺绕点O顺时针旋转一周，旋转过程中始终平分，当与存在两倍关系时，请直接写出的度数． 7．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c．已知． (1)直接写出a，b，c的值：，，． (2)若数轴上有两个动点M，N分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点M度为4个单位长度/秒，点N速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒．运动过程中，是否存在线段的中点E到点的中点F距离为6？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，另外两个动点P，Q分别随着M，N一起运动，且始终保持线段，线段（点P在M的左边，点Q在N的右边）．当点M运动到点C时，线段立即以原速度的2倍返回，当点M再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动．在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在；请说明理由． 8．（25-26七年级上·江西宜春·期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律1：如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律2：数轴上、两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图1，点在数轴上所对应的数为，点表示的数为4，是数轴上一动点． （1）则、两点间的距离________，、两点的中点表示的数为________． （2）若、两点间的距离，则点表示的数为________． 【拓展运用】如图2，已知数轴上有、两点，分别表示的数为，8，点以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同时点以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间秒（）． （3）用含的式子填空： 点运动秒后所在位置的点表示的数为________； 点运动秒后所在位置的点表示的数为________； 此时、两点的中点表示的数为________． （4）按上述方式运动，、两点经过多少秒会相遇？经过多少秒相距5个单位长度． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一元一次方程解决动点动角问题 期末考点 复习目标 考察形式 1.数轴动点问题（单点运动、双点相遇/追及、线段定值） 1.掌握数轴动点规律（左减右加、路程=速度×时间）； 2.能通过一元一次方程求解线段长度、运动时间； 3.学会数形结合标画运动轨迹 1.基础题：选择/填空（1-2题），考察单点运动、线段长度； 2.中档题：解答题（1题），考察双点相遇/追及； 3.创新题偶见：结合生活情境（如快递配送、路线规划） 2.角的动态问题（单角旋转、双角叠合、角平分线动态） 1.掌握角旋转规律（旋转角度=速度×时间）； 2.能利用角的和差、角平分线性质列方程； 3.学会分类讨论运动方向 1.基础题：选择/填空（1题），考察单角旋转度数计算； 2.压轴题：解答题最后1-2题，考察双角叠合、定值探究； 3.创新题常见：结合时钟指针、折叠问题 3.一元一次方程建模（含分类讨论、简单参数） 1.能将动点/动角关系转化为一元一次方程； 2.突破分类讨论、单位换算易错点；3.适应情境化、跨学科命题 1.全难度覆盖：基础题直接列方程，中档题需转化条件，压轴题含临界值讨论； 2.近3年强省真题高频出现：结合跨学科（物理匀速运动）、生活实际 【题型1】动点/动角问题中的分类讨论遗漏与单位换算错误（易错题型） 1.易错点总结 忽略运动方向多样性（如数轴动点向左/右、角旋转顺时针/逆时针），导致漏解； 单位不统一（如速度单位“单位/秒”与时间“分钟”混淆），计算出错； 线段/角度边界值判断失误（如“相遇前”“相遇后”未区分）。 2.避坑攻略 画“动态轨迹图”：标注初始位置、运动方向（箭头）、速度、时间范围，明确分类标准； 列方程前先统一单位（如将“分钟”转化为“秒”），标注单位符号； 解完方程后验证：代入轨迹图判断是否符合实际运动情境，排除无效解。 【例题1】.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知直角三角板中，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图中，画出旋转得到的． (3)当时， ①若，求的度数． ②如图，当旋转方向为逆时针方向时，点为上一点．．在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 【答案】(1)， (2)画图见解析 (3)①或；② 【分析】（）由旋转的性质可得，，，进而根据角的和差关系即可求解； （）根据题意画出图形即可； （）①分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形解答即可求解；②由旋转的性质得，即得，进而可得，，即得到，即可得，求出的值即可求解； 本题考查了旋转，角的和差，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，，， ∴， ； （2）解：如图，即为所求； （3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，， ∵， ∴， 解得； 如图，当旋转方向为顺时针方向时，， ， ∴， 解得； 综上，的度数为或； ②由旋转性质可得，， ∵，， ∴， ， ∴， ∵与始终满足为定值， ∴， 解得， ∴常数的值为． 【变式题1-1】.（24-25七年级上·江苏盐城·期末）【问题提出】 （1）如图1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，已知与是同类项，点C是线段的中点． ①________，点C表示的数是________； ②若点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点Q从点C出发，以每秒7个单位长度的速度也沿数轴向左运动，几秒后，P、Q两点之间的距离为2？ 【方法迁移】 （2）如图2，，平分．现有射线从出发，以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度也绕点O顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线同时停止旋转．问经过几秒后，射线、所成的角为？ 【拓展运用】 （3）一天早上，小明看到家里闹钟钟面显示7点整（如图3，时针指向7，分针指向12），此时请直接写出经过多少分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成． 【答案】（1）①，2；②4秒或6秒；（2）7秒或17秒；（3）分钟 【分析】（1）①由与是同类项，可得，，知，点是线段的中点，即得； ②设，运动秒，则表示的数为，表示的数为，得，解方程可得答案； （2）求出，经过秒后，射线、的夹角为，可得：或，解方程即可； （3）设经过分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成，根据分钟时针旋转，分针旋转，点整时，时针分针夹角为，有，即可解得答案． 【详解】(1) ①与是同类项， ，， ， 点是线段的中点， ， 故答案为：；2； ②设，运动秒，则表示的数为，表示的数为， 、两点之间的距离为， ， 即或， 解得：或， 答：经过4秒或6秒后，、两点之间的距离为； （2），平分， ， 设经过秒后，射线、的夹角为， 由题意得：或 ， 解得：或 由旋转一周时，这两条射线同时停止旋转，可得， ， 经过秒或17秒后，射线、所成的角为； （3）设经过分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成， 分钟时针旋转，分针旋转，点整时，时针分针夹角为， ， 解得， 经过分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成. 【点睛】本题考查了同类项，解一元一次方程，角平分线的定义，线段中点定义，绝对值的意义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识. 【变式题1-2】.（25-26七年级上·河南洛阳·月考）如图，O为数轴的原点，点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，且满足，点C为数轴上一动点且对应的数为x． (1)直接写出a的值是_____，b的值是_____；若点C到点A和点B的距离相等，则x的值是_______； (2)数轴上是否存在点C，使得点C到点B的距离是点C到点A的距离的2倍？若存在，求出对应的数x；若不存在，请说明理由； (3)若点P以每秒2个单位长度的速度，点Q以每秒3个单位长度的速度，分别从A，B两点同时出发，在数轴上运动．设运动时间为t秒． ①若P，Q在点C处相遇，求出点C对应的数x； ②若P，Q两点均向左运动，当P、Q两点相距6个单位长度时，请直接写出此时t的值是_______． 【答案】(1)， (2)存在点C，对应的数或0 (3)①点C对应的数为；②9或21 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用． （1）根据非负数的性质进行求解a，b，再根据点C到点A和点B的距离相等列方程求出x即可； （2）根据点C到点B的距离是点C到点A的距离的2倍，列方程求出即可； （3）①由题意得：点P对应的数为，点Q对应的数为，根据P，Q在点C处相遇列方程求解；②由题意得点P对应的数为，点Q对应的数为，根据P、Q两点相距6个单位长度列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； ∵点C到点A和点B的距离相等， ， ； （2）解：存在点C，对应的数或0，理由如下： ∵点A，B在数轴上表示的数分别为，点C对应的数为x，点C到点B的距离是点C到点A的距离的2倍， ， 解得：或； （3）解：①由题意得：点P对应的数为，点Q对应的数为， ∵P，Q在点C处相遇， ， 解得：， ∴点C对应的数为； ②若P，Q两点均向左运动， 则点P对应的数为，点Q对应的数为， 当P、Q两点相距6个单位长度时， ， 解得：或． 【变式题1-3】.（23-24七年级下·湖北武汉·月考）已知，，如图1，将边重合放在直线上，在直线的两侧． (1)如图2，将绕点旋转，保持不动，填空： ①_____________；②_____________； (2)若按每分钟的速度绕点逆时针旋转，同时按每分钟的速度绕点逆时针旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为，单位：分)，计算 (用含的代数式表示)； (3)若以的速度绕点顺时针旋转，同时射线以的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，同时停止转动，当射线中的一条是另外两条射线组成的角的平分线时，求运动时间是多少？ 【答案】(1)①；②； (2)或 (3)秒或20秒 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，一元一次方程的应用． （1）转化成已知角的式子计算即可； （2）利用旋转后的位置进行分类讨论，列出对应的式子即可求解； （3）利用旋转后的位置进行分类讨论，列出对应的方程即可求解． 【详解】（1）解：①． 故答案为：； ② ． 故答案为：； （2）解：由题意可知 当与相遇时，由题意得， 解得， 当旋转到射线上时，由题意得， 解得， 当与相遇前，时，， ∴； 当与相遇后，时，， ∴． 综上为或； （3）解：设运动时间为x， 当与相遇时， 解得， 当旋转一周时，， 解得， 当与相遇前，时， 射线是，两条射线组成的角的平分线，， 解得； 此时，不成立； 当与相遇后，时， 当射线是，两条射线组成的角的平分线时，， 解得； 当射线是，两条射线组成的角的平分线时，， 解得． 综上：运动时间为秒或20秒时，射线中的一条是另外两条射线组成的角的平分线． 【基础题型】 【题型2】数轴单点运动与线段长度计算 1.期末考点总结 核心考点：数轴“左减右加”法则、路程=速度×时间、一元一次方程求解运动时间/线段长度； 命题特点：情境简单（如点从某位置出发匀速运动），无复杂分类，侧重基础公式应用。 2.解题攻略 步骤1：设运动时间为(单位统一)，用含的式子表示动点最终位置(初始位置±速度×)； 步骤2：根据“线段长度=两点坐标差的绝对值”列方程(如)； 步骤3：求解方程，验证解的合理性(如时间非负)。 【例题2】.（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，线段，动点从点出发，以每秒的速度沿着射线的方向运动． (1)当点出发多少秒后，的长度等于长度的2倍？ (2)当点的运动时间超过9秒，设点为的中点，点为的中点，的长度是否是一个定值？如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由， 【答案】(1)秒或秒 (2)的长度是一个定值，这个值是 【分析】本题考查了两点之间的距离，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设运动时间为秒，得到，，得到或，解方程即可得到答案； （2）根据题意得出，，结合，即可得到答案． 【详解】（1）解：设运动时间为秒， ，， ， 或 解得或， 答：当点出发秒或秒后，的长度等于长度的2倍 （2）解：当点的运动时间超过9秒，则点P在点B的右侧， 点为的中点，点为的中点 ，， 又， ， 答：的长度是一个定值，这个值是． 【变式题2-1】.（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知线段，点在线段上，且． (1)求线段，的长； (2)点是线段上的动点，线段的中点为，设． ①请用含有的式子表示线段，的长； ②若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，，三点为“和谐点”，求使得，，三点为“和谐点”的的值． 【答案】(1)， (2)①当点在线段上时，，；当点在线段上时，，；②的值为或 【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键． （1）由线段，点C在线段上，且，可得答案； （2）①分当点在线段上时和当点P在线段上两种情况分别计算即可；②分情况列方程可得的值． 【详解】（1）解：解：∵线段，点C在线段上，且， ∴，； （2）解：①当点在线段上时， ∵点是的中点， ∴， ，； 当点在线段上时， ∵点是的中点， ∴， ，； ②当点在线段上时，则， ∴， 解得：， 当点在线段上时， 则， ∴， 解得：， 综上：的值为或． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·山西运城·期中）已知线段，点C是线段延长线上一个动点，D是线段的中点． (1)如图，若，求线段的长； (2)若的长逐渐增大，则的长的变化趋势是 ； ①变小；②变大；③先变大，后变小；④先变小，后变大． (3)若，画出所有符合条件的图形并分别写出线段的长． 【答案】(1) (2)④ (3)见解析，或 【分析】本题主要考查线段的和差及中点的性质，熟练掌握线段的和差及中点的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）根据线段中点的性质可进行求解； （3）由题意可分点D在线段上和当点D在线段的延长线上，进而分类求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵D是线段的中点， ∴， ∴． （2）解：由题意得：当的长逐渐增大时，线段的中点D由点B逐渐向点A靠近，然后再远离点A，所以的长的变化趋势是先变小，后变大； 故选④； （3）解：由题意得： 情况1：如图， ∵，， ∴， ∵D是线段的中点， ∴， ∴； 情况2：如图， ∵，， ∴， ∵D是线段的中点， ∴， ∴． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·河南郑州·月考）阅读理解： 定义：在数轴上表示和的两点之间的距离是，这是绝对值的几何意义．如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为3，则之间的距离为．另，线段的中点表示的数是，即； (1)若在数轴上有、、三点，点对应的数是，且、两点间的距离为6，为的中点，则点所对应的数是___________． (2)当满足___________时，的值最小，最小值为___________． (3)，则___________． (4)若数轴上点表示的数是4，点表示的数是16，动点从点开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动，求多少秒后点到点的距离是到点距离的2倍？ 【答案】(1)或 (2)；1 (3)或 (4)或8秒后点到点的距离是到点距离的2倍 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间距离的计算，一元一次方程的运用，掌握两点之间距离的计算，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据两点之间距离的计算方法，分类讨论即可求解； （2）根据两点之间距离的计算方法，当表示数x的点在表示数2的点与表示数3的点之间时，值最小，由此即可求解； （3）根据绝对值的几何意义可得表示x与y在数轴上的距离为16，表示x与z在数轴上的距离为30，再分类讨论y和z在x的同侧或异侧时进行求解； （4）根据题意，设运动时间为t，则点P表示的数为，根据两点之间距离的计算方法，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵A点对应的数是，且A、B两点间的距离为6， ∴当B点在A点的右边时，， ∴点B表示的数为2， ∴点C表示的数为：； 当B点在A点的左边时，， ∴点B表示的数为， ∴点C表示的数为：； 故答案为：或； （2）解：根据题意，表示数轴上x到2和3的距离之和， ∴当x在2和3之间时，距离和最小，最小值为， ∴x的取值范围， 故答案为：，1； （3）解：根据绝对值的几何意义可得表示x与y在数轴上的距离为16， 表示x与z在数轴上的距离为30， 当y和z在x的同侧时，假设x在数轴上的某点，y和z都在x的左边（或都在右边）， ∴此时y和z的距离为“x到z的距离”与“x到y的距离”的差， ∴， 当y和z在x的异侧时，假设y在x的左边，z在x的右边（或反之）， ∴此时y和z的距离为“x到z的距离”与“x到y的距离”的和， ∴， 综上，的值为或， 故答案为：或； （4）解：∵点M表示的数是4，点N表示的数是16，动点P从点M开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动， ∴设运动时间为t， ∴点P表示的数为， ∴当点P在之间时，， 解得秒； 当点P在点N右边时，， 解得秒； 综上所述，点P到点M的距离是到点N距离的2倍时，时间为或8秒． 【题型3】角的单角旋转与度数计算 1.期末考点总结 核心考点：旋转角度=旋转速度×时间、角的和差关系、一元一次方程建模； 命题特点：常结合时钟(时针/分针旋转)、直尺旋转等生活情境，难度较低。 2.解题攻略 步骤1：明确角的初始度数、旋转方向、旋转速度(如时钟分针每分钟转)； 步骤2：用表示旋转后的角度(初始角度±速度×，顺减逆加)； 步骤3：根据题干条件(如旋转后角度为某定值、与另一角相等)列方程求解。 【例题3】.（2025七年级上·吉林长春·专题练习）操作：在一张白纸上画一条直线，把一块直角三角板的直角顶点放在直线上．    (1)如图（1），当点都在直线上方时，试判断与的度数之和是多少，并说明理由． (2)如图（2），把直角三角板绕点旋转，使点在直线的下方，点仍在直线的上方，用测量或分析的方法完成下表，并判断与的数量关系． 的度数 的度数 数量关系：___________ (3)如图（3），继续把直角三角板绕点旋转，使点和点都在直线的下方，你发现与又有什么样的数量关系呢？请直接写出结论：___________ 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析， (3) 【分析】本题考查的是角的计算，关键在于理解角的大小关系． （1）根据题意，易得； （2）因为，，所以； （3）因为，，所以． 【详解】（1）解：， 证明：∵点M、C、N在同一条直线上， ∴， ∵， ∴； （2）解：填表如下表所示： 的度数 的度数 ∵，， ∴； 故答案为：； （3）解：在图3中，∵，， ∴． 故答案为：． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·宁夏固原·月考）如图，，是直线上一点，现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．现将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． (1)如图2，经过多少秒后，线段恰好平分； (2)在（1）的条件下，线段是否平分？请说明理由． 【答案】(1)经过2秒后，平分 (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的有关计算，正确理解角平分线定义是解题关键， （1）先求出，得出，求出，即可求出运动时间； （2）根据所求得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ∵线段恰好平分 ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴经过2秒后，平分； （2）解：平分，理由如下： ∵， ∴平分． 【变式题3-2】.（24-25七年级上·全国·期末）如图1，已知，点为直线上一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为________，的度数为________； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)在三角板绕点旋转一周的过程中，求与之间的数量关系． 【答案】(1)120，150 (2)30 (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角互补，角的和差． （1）根据邻补角互补求出，，再由角的和差即可求出； （2）根据角平分线求出，再由角的和差即可求解； （3）分两种情况讨论：①当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，②当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，根据角的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； 故答案为：120，150； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：分两种情况： 当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，如图， 设的延长线为，则， ∵， ∴， ∵， ∴； 当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，如图： ∵，， ∴； 综上所述，与的关系为：或． 故答案为：或． 【变式题3-3】.（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，点O为直线上一点，过点O作射线OC，使，将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边与直线重合，另外两条直角边都在直线的下方． (1)将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转，如图2所示，此时 ；在图2中，是否平分？请说明理由； (2)紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得在的内部，请探究：与之间的数量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 （直接写出结果） 【答案】(1)，平分，见解析 (2)相等，见解析 (3)4.5秒或40.5秒． 【分析】（1）根据和含角的直角三角尺的特点，算出，得到，即可解题； （2）根据题意算出，，利用，，即可解题； （3）根据直线恰好平分锐角，且，可分为当在直线的下方，且，以及当在直线的上方，且，再根据三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，建立关于t的等式即可求解． 本题考查了旋转的性质、角的运算，角平分线的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】（1）解：如图2，由旋转的性质可知，， 故答案为：； 平分．理由如下： ， ， 而， ，则平分． （2）解：． 理由如下：如图3， ， ， ， ， ． （3）解：直线恰好平分锐角，且， 或，即， ①当在直线的下方， 有（秒）， ②当在直线的上方， （秒）． 故答案为：4.5秒或40.5秒． 【提升题型】 【题型4】数轴双点相遇问题 1.期末考点总结 核心考点：相遇问题模型(路程和=初始距离)、一元一次方程情境化建模； 命题特点：融入生活情境，需转化文字条件为数学关系。 2.解题攻略 步骤1：设相遇时间为，明确两点初始位置、运动速度(同向/相向)； 步骤2：相向运动时，列方程：； 步骤3：求解后，可延伸计算相遇点坐标(代入单点运动公式)。 【例题4】.（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 【答案】(1)秒 (2) 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间距离的计算，掌握数轴的特点是关键． （1）根据题意，运用路程等于速度和乘以时间，由此列式即可求解； （2）运用两点之间距离的计算即可． 【详解】（1）解：∵单位， ∴秒， ∴秒后相遇； （2）解：点对应的数是： ． 【变式题4-1】.（2025七年级上·广东深圳·专题练习）周末，甲、乙两人相约去某自行车道骑车，甲从A入口进入自行车道，向B入口方向骑行，甲出发后乙从B入口进入自行车道，向A入口方向骑行．已知A，B两地相距，甲的平均速度是，乙的平均速度是．设甲骑行的时间为． (1)在两人骑行的过程中，甲骑行的路程为___________，乙骑行的路程为___________．(用含x的代数式表示) (2)当甲、乙两人相遇时，求x的值． (3)两人相遇后，甲继续以原速度向B入口骑行，乙休息后掉头按原速度返回B入口．在乙返回途中，当甲、乙两人相距时，求x的值． 【答案】(1)， (2)当甲、乙两人相遇时，x为1 (3)当甲、乙两人相距时，x的值为或 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，行程问题、相遇问题和分段行程的分析．分阶段分析路程关系：相遇时用“路程和总距离”列方程；相遇后根据“路程差间距”列方程是解题关键． （1）根据公式“路程速度时间”列式即可； （2）根据公式“两人路程和总距离”和（1）的计算结果列方程即可； （3）首先计算甲、乙与相遇点的距离，再分乙未追上甲和乙超过甲两种情况分类讨论． 【详解】（1）解：根据题意， 甲骑行的时间为，乙骑行的时间为， 甲的平均速度是，乙的平均速度是， 甲骑行的路程为，乙骑行的路程为， 答：，． （2）设：根据题意， 当两人相遇时，甲、乙路程之和为， ， 解得， 当两人相遇时，骑行时间为1h． 答：当甲、乙两人相遇时，为1． （3）解：两人相遇后，甲继续以原速度向B入口骑行，乙休息后掉头按原速度返回B入口， ∴甲与相遇点的距离为， 乙与相遇点的距离为， ①当乙未追上甲时，且甲、乙两人相距时， ，解得； ②当乙超过甲时，且甲、乙两人相距时， ，解得． 综上所述，x的值为或． 答：当甲、乙两人相距时，x的值为或． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·吉林·期中）【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． (1)如果代数式的值为，那么代数式的值为_______． (2)如图，若，求长方形与的面积差． (3)两地相距千米，某日，甲从地出发前往地，同时，乙从地出发前往地．已知甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过小时，甲、乙二人相遇．直接写出甲、乙两人相距千米的时间． 【答案】(1) (2) (3)小时或小时 【分析】本题主要考查列代数式，求解代数式的值，正确理解题意是做题的关键． （1）利用整体思想，将原式化为，即可求值； （2）先根据图形列出代数式，再整体代入即可； （3）根据题意列方程，再整体代入解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ． 故答案为：． （2）解：由图可得长方形与的面积差为： 答：长方形与的面积差为． （3）解：由题意得，， ． 设经过小时甲、乙两人相距千米， 则或， 即或， 解得，或． 答：甲、乙两人相距千米的时间为小时或小时． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）已知、两点在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点个单位长度． (1)直接写出点所对应的数：______； (2)当点到点、的距离之和是个单位时，求点所对应的数； (3)现在有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒个单位的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点所对应的数． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查数轴上的点的表示，数轴上两点之间的距离等知识，解题的关键在于根据题意列方程． （1）根据对应的数是，点在的右边，且距点个单位长度，可列式为即可求值； （2）设点所对应的数为，分情况讨论，列方程求值即可； （3）先求出相遇时的时间，再算点所对应的数即可． 【详解】（1）解：由题意得，，即点所对应的数为． 故答案为：． （2）解：设点所对应的数为， 当点在点左侧时，可列方程：， 解得，； 当点在点、之间时，此时，，故舍去； 当点在点右侧时，可列方程：， 解得，． 综上，点所对应的数为或． （3）解：设运动时间为秒， 根据题意可列方程：， 解得，． 点所对应的数为：． 答：点所对应的数为． 【题型5】角的双角叠合与定值探究 1.期末考点总结 核心考点：双角旋转的角度关系、分类讨论叠合情况(部分叠合、完全叠合)、方程验证定值； 命题特点：常以“探究某角度是否为定值”形式命题，需结合角的和差列方程。 2.解题攻略 步骤1：设旋转时间为，分别表示两个角的旋转角度(，)； 步骤2：分情况讨论叠合关系(如或)； 步骤3：列方程求解，若解中不含，则该角度为定值。 【例题5】.（24-25七年级上·江苏淮安·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)如图2，当秒时，求的度数； (2)当____秒时，平分； (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止． ①当时，求t的值； ②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不含t）：_______． 【答案】(1) (2) (3)①或；② 【分析】本题考查的是角平分线的定义及角的计算， （1）根据题意得，根据角的和差关系计算得出结论即可； （2）根据角平分线定义得出，再结合旋转速度求出时间即可； （3）①分两种情况：当相遇前或当相遇后，分别求出时间即可；②分两种情况：当在异侧时或当在同侧时，分别先求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：如图2，当秒时，， ， ， ； （2）解：平分，， ， 将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转， ， 解得：， 故答案为：； （3）①在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转， ， ， 分两种情况：当相遇前时， 解得：； 当相遇后时， 解得：； 综上所述，或； ②，理由如下： 分两种情况：当在异侧时，如图： 由题意得：， ， ； 当在同侧时，如图： 由题意得：， ， ； 综上所述，． 【变式题5-1】.（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如图，，把一块含角（）三角板与摆在同一平面内，且角的顶点与顶点重叠，平分，平分．（本题中的角均大于且小于的角） (1)如图1，当，重合，且三角板的另一边在的外部时，求的度数； (2)如图2，把三角板摆放不同位置时，令．在备用图上画图并完成探究： ①探究的大小是否改变，若有改变，请用含的式子表示；若没有改变，请求出定值．并采用图2说明理由； ②在三角板摆放的不同位置中，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①的大小不变，；②存在使得，或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）根据角平分线的定义进行计算即可； （2）①根据图2，利用角平分线的定义进行计算即可； ②分二种情况：当时，当时，设，，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：平分，平分，，， ，， ． （2）解：①的大小不变，为，理由如下： 平分，平分， ，， ， ， 又∵， ， ， ∴为定值； ②存在使得，理由如下： 平分，平分， ∴设，， 情况1，如图：当时， ， ∴， ①， ， ， ∴②， 由①②得：， ； 情况2，如图：当时， ， ， ， ①， ， ， ， ②， 由①②得， ， 综上所述，或． 【变式题5-2】.（24-25七年级上·江西抚州·期末）如图（1），点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图（1）中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转秒，此时恰好第一次平分钝角，则的值为多少？ (2)将图（1）中的三角板绕点逆时针旋转至图（2），使一边在的内部，直线恰好平分，问：直线是否平分？请说明理由． (3)将图（1）中的三角板绕点O顺时针旋转至图（3），使在的内部，请探究： ①与之间的数量关系，并说明理由． ②的值是否为定值，如果是，请求出这个定值是多少？如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线平分，理由见解析 (3)①，理由见解析；② 【分析】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义的运用； （1）根据角平分线的定义得出，结合题意，即可求解； （2）根据角平分线的定义得出，进而根据，求得，即可得出结论； （3）①根据，，分别求得，，再根据进行计算，即可得出与的数量关系； ②根据图形可得 ，进而根据 ，即可求解． 【详解】（1）平分， ， 又， ， （2）直线平分，理由如下： 设的延长线为，如图2， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即直线平分； （3）①结论：． 理由：如图3中， ，， ，， ， 与的数量关系为：． ② 【变式题5-3】.（24-25七年级下·江苏连云港·期中）【操作思考】将一副直角三角板（分别含和的角）叠放在量角器上，、分别是三角板和三角板的角平分线． 【特例感知】 （1）如图1，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______； 【拓展探究】 （2）如图2，将三角板绕点顺时针旋转一定的角度，三角板不动，使两个直角三角板有重叠． ①当时，求的度数； ②当时，______；（用含的式子表示） 【解决问题】 （3）如图3，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，同时将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在的值，使？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②或；（3）存在，或 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的有关计算，一元一次方程，熟练利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用角平分线的概念即可解答； （2）①根据角度的转换可得，即可解答； ②分两种情况，即或，根据角度的转换可得，即可解答； （3）分两种情况，即重合前或重合后，两种情况，逐一解答即可． 【详解】解：（1）、分别是三角板和三角板的角平分线， ， ， 故答案为：； （2）①当时， ； ②当时，如图， ； 当时，如图， ， 故答案为：或； （3）存在， ， 解得， 当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转， ， 当重合前， 可得， 解得； 当重合前， 可得， 解得； 综上，存在点使，或． 【题型6】数轴动点与线段中点动态问题 1.期末考点总结 核心考点：线段中点公式(若两点坐标为、，中点坐标为)、动点与中点的位置联动； 命题特点：中点随动点运动而变化，需建立中点坐标与动点坐标的方程关系。 2.解题攻略 步骤1：设动点运动时间为，表示动点坐标及另一固定点坐标； 步骤2：用中点公式表示中点坐标，结合题干条件(如中点到某点距离为定值)列方程； 步骤3：分类讨论动点在中点左侧/右侧的情况，避免漏解。 【例题6】.（25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）已知关于的方程是一元一次方程，如图，数轴上有三个点对应的数分别为，且满足． (1)请直接依次写出的值； (2)点从点出发沿数轴正方向以每秒3个单位长的速度移动了秒，当时，求的值． (3)在（2）的条件下，若数轴上还有1个动点从点与点同时同向出发匀速运动，点速度为1单位长度/秒，若运动时间为秒，运动过程中，是否存在线段的中点到点的中点距离为3，若存在，请直接写出的值，若不存在，请在横线上说明理由． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点之间的距离，一次方程的定义和应用等知识，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数． （1）根据一元一次方程的定义可得，即可求出b，根据绝对值、平方的非负性即可求解a、c，问题得解； （2）分别表示出和，根据题意列出关于t的绝对值方程，求解即可得出答案． （3）根据运动特点可得，，再根据M为的中点，N为中点，可得，，依据，可得方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：∵是一元一次方程， ∴，解得：， ∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，， 即，，； （2）解：点P表示为：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或． （3）解：∵，，， ∴根据运动特点可得，， ∵M为的中点，N为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； 【变式题6-1】.（25-26七年级上·广东汕尾·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： 若数轴上点、点表示的数分别为、， ①若A、B位置不确定时，则A、B两点之间的距离为：，若点A在B的右侧，即，则A、B两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点A向右运动m个单位长度（）后，点A表示的数为：，点A向左运动m个单位长度后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． (1)请你在数轴上标出、、三个点的位置． (2)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_____，线段的中点为，则点表示的数为_____；运动秒后，点表示的数为_____（用含的式子表示）． (3)若秒钟过后，，，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值． 【答案】(1)见解析 (2)3，3.5， (3)14或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）直接将点A、B、C表示在数轴上即可； （2）根据数轴两点间的距离和中点公式，即可求解； （3）根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9， ∴的距离为； 线段的中点D表示的数为； 运动t秒后，点A表示的数为； 故答案为：3，3.5，； （3）解：根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， 当点A是点B，C的中点时，， 解得：； 当点B是点A，C的中点时，， 解得：； 当点C是点A，B的中点时，， 解得：； 综上所述，t的值为14或或． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·北京海淀·月考）已知数轴上两点、，其中表示的数为，表示的数为对于在数轴上一点（不与点、点重合），若线段与的长度之比为，则称叫做点、的“倍伴随点”，记作． 例如，图所示：若点是线段的中点时，有，则称点为点、的“倍伴随点”，记作． 请根据上述规定回答下列问题： (1)已知，如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是． ______； 比较、与的大小______（用“”连接）； (2)已知点是数轴上点、的“倍伴随点”，请你直接写出点表示的数为______； (3)已知数轴上三点，，，点、分别为、的中点，满足，且此时点是点、的“倍伴随点”，求的值及点表示的数． 【答案】(1)①；② (2)或 (3)，点表示的数为；点表示的数为 【分析】（1）求出，，根据“倍伴随点”的定义，进行求解即可； 根据定义，结合点在数轴上的位置，进行比较即可； （2）根据点是数轴上点、的“倍伴随点”，结合定义进行求解即可； （3）分在点左侧，和在点右侧，进行讨论求解即可． 本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，掌握“倍伴随点”的定义是关键． 【详解】（1）由图可知：，， ， ， 故答案为：； 由题意，得：， 由图可知：，， 分数的分子越大，分母越小，分数就越大， ， ， 故答案为：； （2）点是数轴上点、的“倍伴随点”， ， ， 设：点所表示的数为， 当在中间时：，解得：； 当在的右侧时：，解得：； 综上：点表示的数为：或； 故答案为：或； （3）设点表示的数为， 当在点左侧时，，， 点、分别为、的中点， ，， ， ， ， ， 解得：， ，， ； 当在点右侧时，，， 点、分别为、的中点， ，， ， ， ， ， 解得：， ，， ； 综上：，点表示的数为；点表示的数为． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·山西吕梁·期中）如图，在数轴上的三个点分别表示有理数a、b、c，且a、b、c满足，，，c是最小的正整数． (1)请直接写出_______，_______，_______． (2)若点A沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为t（秒）． ①2秒后，点A、B、C分别表示的有理数． ②请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围． (3)若把（2）中点B和点C的运动速度互换，请问：在运动过程中，t为何值时，点B、点C分别到原点O的距离相等？（直接写出结果） 【答案】(1)，，1； (2)①，1，7；②不随时间t的变化而变化，这个不变的值为11 (3)t为秒或4秒 【分析】本题考查数轴上的动点问题，整式加减的应用以及一元一次方程的应用； （1）根据绝对值的意义，有理数的加法和乘法，以及有理数的分类，即可求得的值； （2）①根据题意列出代数式即可；②写先出、的长度，然后再利用整式的加减计算即可； （3）先根据题意列出代数式，、点表示的数分别为：，，分两种情况进行讨论：当点在原点左侧，当点在原点右侧，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴， ∵， ∴时，，不符合题意舍去； 时，，符合题意； ∴，； ∵c是最小的正整数， ∴； （2）解：①设运动时间为t（秒）， 点A沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒，3个单位秒．设运动时间为t（秒） 、、点表示的数分别为：，，， ∴2秒后，点A、B、C分别表示的有理数为：，，； ②的值不随t的值改变而改变，这个值为11， ∵、、点表示的数分别为：，，， ∴ ，， ∴． （3）解：点B和点C的运动速度互换， 、点表示的数分别为：，， 当点在原点左侧，点B、点分别到原点的距离相等时，， 解得：； 当点在原点右侧，点B、点分别到原点的距离相等时，， 解得：； 综上分析可知：当或时，点B、点分别到原点的距离相等． 【题型7】数轴动点追及问题(含参数与临界值) 1.期末考点总结 核心考点：追及问题模型(路程差=初始距离)、参数讨论(如速度为含字母的简单表达式)、临界状态判断； 命题特点：近3年江苏、浙江期末真题高频题型，含“能否追上”“何时相距某距离”等探究性问题。 2.解题攻略 步骤1：设追及时间为，明确追及者与被追及者的速度关系(才可能追上)； 步骤2：列方程：，求解； 步骤3：若速度含参数(如)，需讨论参数取值范围，判断追及是否存在(为有效解)。 【例题7】.（25-26七年级上·四川泸州·期中）已知a是最大的负整数，b是的相反数，，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C． (2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ (3)在数轴上是否存在点M，使点M到A，B，C，三点的距离之和等于12？若存在，请求出所有点M对应的数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，数轴见解析 (2)运动秒后，点可以追上点Q (3)存在，点对应的数是或 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，与数轴有关计算问题，能够正确表示数轴上两点间的距离：两点所对应的数的差的绝对值是解题的关键． （1）根据整数、相反数、绝对值有关概念求出a、b、c的值，然后在数轴表示即可； （2）设运动秒后，点可以追上点，点表示数，点表示，根据题意列方程求解即可； （3）设点M在数轴上对应的数为，根据题意分情况求解即可． 【详解】（1）解： a是最大的负整数，即； 是的相反数，即， ， 所以点、、在数轴上位置如图所示： （2）解：设运动秒后，点可以追上点， 则点表示数，点表示， 依题意得：， 解得：． 答：运动秒后，点可以追上点； （3）解：存在点，使到、、三点的距离之和等于， 设点M在数轴上对应的数为， 当在点左侧，，解得则M对应的数是：； 当在之间，，解得，不合题意，舍去； 当在之间，，解得，则对应的数是； 当在右侧时， 解得，不合题意，舍去， 综上所述：故使点到、、三点的距离之和等于，点M对应的数是或． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）如果点M、N在数轴上分别表示实数m，n，在数轴上M，N两点之间的距离表示为或或．利用数形结合思想解决下列问题： 已知数轴上点A与点B的距离为16个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒． (1)点表示的数为___________，点表示的数为___________，点表示的数为___________． (2)用含的代数式表示到点和点的距离：___________，___________． (3)当点运动到点时，点从点出发，以每秒3个单位的速度向点运动．在点向点运动过程中，能否追上点？若能，请求出点运动几秒追上． 【答案】(1)，， (2)t， (3)在点向点运动过程中，能追上点，点运动8秒追上 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）由点在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，可知点表示的数为，根据点在点的右侧，点与点的距离为16个单位长度，得出点表示的数为，由点表示的数与点表示的数互为相反数，即可得到点表示的数； （2）根据路程速度时间，可得，由可得； （3）在点向点运动过程中，设点运动秒追上点，根据点追上点时，点运动的路程点运动的路程，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度， ∴点表示的数为， ∵点B在A点右侧，点A与点B的距离为16个单位长度，且， ∴点表示的数为， ∵点C表示的数与点B表示的数互为相反数， ∴点表示的数为10； 故答案为：，，； （2）解：，； 故答案为：t，； （3）解：在点向点运动过程中，设点运动秒追上点， 根据题意得， 解得． 答：在点向点运动过程中，能追上点，点运动8秒追上． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·重庆璧山·期中）如图，在数轴上点表示的数是，点示的数是，原点是，且，满足． (1)求出点与点之间的距离； (2)若在数轴上存在一点，且点到点的距离是点到点的距离的倍，求点所表示的数； (3)现有动点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，当点运动到点时点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动设点运动的时间为秒，当为何值时点与点相距个单位长度？ 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值和平方的非负性、解一元一次方程．解决本题的关键是用含的代数式表示出点的位置，再根据两点之间的距离公式列方程． 根据绝对值的非负性和平方的非负性可得：，，解方程即可求出、的值； 点到点的距离是点到点的距离的倍，列方程求解，本题分为当点在点与点之间时，当点在点的右侧时两种情况． 根据点和之间的距离和点运动的速度可以求出点运动到点的时间，根据点与点相距个单位，可以列方程求解，本题分为当点在点右侧时和当点在点左侧时，两种情况． 【详解】（1）解：， ，， ，， 点与点之间的距离为； （2）解：设点所表示的数为， 当点在点与点之间时， 根据题意可得：， 解得：； 当点在点的右侧时， 根据题意可得：， 解得：； 点表示的数是或； （3）解：点运动到点的时间是（秒）． 经过秒后，点表示的数是，点表示的数是， 当点在点右侧时，，解得； 当点在点左侧时，，解得； 所以当为秒或秒时，点与点相距1个单位长度． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·江苏苏州·期中）数学实验室： 唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度． 数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为，点B表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)利用上述表示方法，“表示的点与表示3的点之间的距离”表示为______．（不化简） (2)结合上面的理解，若，则______． (3)当是______时，代数式． (4)若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P先沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，到达点B后立刻以原速向数轴负半轴运动．点Q沿数轴负方向运动，速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P与点Q相距1个单位长度？（请写出必要的求解过程） 【答案】(1) (2)5或1 (3)或 (4)1秒或2秒或3秒或秒 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值方程，解题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离的求解方法． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解； （2）由得到或，再解方程即可； （3）分类讨论去绝对值，再解一元一次方程即可； （4）点表示的数为，设运动时间为,当时，点表示的数为，点表示的数为，则由题意得，；当时，点表示的数为，点表示的数为，由题意得，，再分别解绝对值方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，“表示的点与表示3的点之间的距离”表示为， 故答案为：， 故答案为：； （2）解： 则或 解得或， 故答案为：5或1； （3）解： 时，，解得； 时，，不符合题意，舍； 时，，解得， ∴当或时，， 故答案为：或； （4）解：∵点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧， ∴点表示的数为， 秒， 设运动时间为 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则由题意得，， 即或 解得或； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 由题意得， 即或 解得或， 综上：运动1秒或2秒或3秒或秒后，点P与点Q相距1个单位长度． 【培优题型】 【题型8】动角问题与角平分线动态综合 1.期末考点总结 核心考点：角平分线性质(角平分线分角为两个相等角)、动态角的比例关系、分类讨论旋转方向； 命题特点：北京、福建中考真题改编题型，难度较高，需结合角的和差与角平分线性质列方程。 2.解题攻略 步骤1：设旋转时间为，表示旋转后的两个角及角平分线分后的角； 步骤2：根据题干条件(如某分角与另一角的和为定值、比例为)列方程； 步骤3：分顺时针/逆时针旋转两种情况讨论，验证每种情况的解是否符合角的范围()。 【例题8】.（23-24七年级上·贵州遵义·期末）请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线，在的内部，且，则称是的“内半角”． 请根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图①，，．若是的“内半角”，则_______． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度 至，即，其中．若是的“内半角”，求的度数． (3)把一块含的三角板按如图③方式放置，使边与边重合，边与边重合．如图④，将三角板绕顶点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线，，，构成“内半角”时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为或30 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算： （1）根据题意算出的度数，利用即可算出的度数； （2）根据旋转性质可推出和，然后可用含有α的式子表示和的度数，根据是的内半角，即可求出α的值； （3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有两种，分别画出图形，求出对应t值即可． 【详解】（1）解：∵是的内半角，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：， ∴α的值为； （3）解：①如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； ②如图所示，此时是的半角， 由旋转性质可得：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； 综上所述：当射线构成内半角时，t的值为或30． 【变式题8-1】.（22-23七年级上·吉林白城·期末）如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角板（）的直角顶点放在点处，且直角三角板在直线的上方．设 ． (1)当时，求的大小； (2)当恰好平分时，求的值； (3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，老师说，两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件．请你补充完整下面的信息： 当时，__________； 当时，__________． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（）先求出，再根据角的和差关系即可求解； （）由角平分线的定义可得，进而根据角的和差关系即可求解； （）根据的取值范围，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵， ∴； （2）解：当恰好平分时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． 【变式题8-2】.（24-25七年级上·江苏无锡·月考）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当旋转的时间为或或时，射线，，，能构成内半角 【分析】（1）由内半角的定义得 ，再由即可求解； （2）由旋转得：，由角的和差得，，再由内半角的定义得，即可求解； （3）分四种情况讨论，利用内半角的含义，建立一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ，是的内半角， ， ； 故答案：； （2）解：当旋转的角度为时，是的内半角； 理由如下： 由旋转得：， ， ， 是的内半角， ， ， 解得：； （3）在旋转一周的过程中，射线，，，能构成内半角，理由如下； 理由：设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为t， 如图1，∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 如图2，∵是的内半角，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，∵是的内半角，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图4，∵是的内半角，， 此时在的外部，不符合题意， 综上所述，当旋转的时间为或或时，射线，，，能构成内半角. 【点睛】本题考查了新定义，旋转的性质，角的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，能根据旋转的过程确定时间范围，进行分类讨论是解题的关键． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·四川成都·期中）若，则称是的“余倍角”，例如：若，，则是的“余倍角”，但不是的“余倍角”． (1)如图 1，已知 ，在内存在一条射线，使得是的“余倍角”，此时 ；（直接填写答案） (2)如图 2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“余倍角”，且 ，求的大小； (3)如图 3，若，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（ ）．若是的“余倍角”，求出此时的值． 【答案】(1) (2)的度数为或 (3)的值为或 【分析】本题主要考查角的新定义运算，一元一次方程的运用，理解“余倍角”的定义，几何中角的数量关系的计算，数形结合分析是解题的关键． （1）根据“余倍角”的定义和计算即可求解； （2）当在内部时，当在外部时，数形结合分析即可求解； （3）先求得，分情况讨论，当时，当时，找出数量关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：已知° ， ∴，则， ∵是的“余倍角”， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）解：如图所示，当在内部时， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当在外部时， ∴， ∴， ∵是的“余倍角”， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； （3）解：∵，是的“余倍角”， ∴， ∴， 由题意可得，，， ∵平分，平分， ∴，， ①当未转够，即时，如图所示， ∴， ∴， 解得，； ②当旋转超过时，且即时， 由题意可得，转了，， ∴， ∵平分，平分， ∴，，如图所示， ∴， ∴， ∴， 解得，； 综上所述，的值为或． 【题型9】动点动角综合开放探究题 1.期末考点总结 核心考点：动点与动角知识融合、分类讨论全情境、开放结论验证； 命题特点：压轴题高频题型，需综合运用数形结合、方程思想，结论不唯一，侧重逻辑推理。 2.解题攻略 步骤1：分别建立动点(数轴)和动角(几何图形)的数学表达式，用同一变量表示； 步骤2：根据题干开放条件列方程，分情况讨论运动状态； 步骤3：求解方程后，代入原情境验证，判断是否存在符合条件的，并总结结论。 【例题9】.（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，射线上有A，B两点，，．一动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点A按顺时针方向以每秒的速度旋转（如图2），当点P到达点B时，射线旋转停；接着，射线开始绕点B按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时点P降速一半沿射线的方向运动（如图3）．设点P运动的时间为/秒（）． (1)的长等于 ；当点P到达点B时，等于 °； (2)当射线与所在直线第一次重合（从开始旋转后算起）时，点P是线段的中点吗？为什么？ (3)在射线旋转的过程中，若它与所在直线第二次重合时所有运动停止，请求出当t为多少秒时，所在直线与所在直线之间的夹角为？（在数学中，两条直线相交所形成的最小正角称为这两条直线的夹角．） 【答案】(1)48， (2)点P是的中点；理由见解析 (3)t的值为：14、22、24、34 【分析】本题考查了线段的和差和角的和差，一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据线段的和差和角的和差求解； （2）先计算出射线与所在直线第一次重合的时间，再根据线段的中点的定义求解； （3）先算出所在直线与所在直线之间的夹角为时所需要的时间，再算出t的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当点P到达点B时所需要的时间为：， 此时旋转的角度为：， ∴， 故答案为：48，； （2）解：点P是的中点； 理由：当（从开始旋转后算起）时所需要的时间为：， 此时， ∴， ∴点P是的中点； （3）解：设射线旋转的时间为， 当旋转、、、时，所在直线与所在直线之间的夹角为， ∴ 或或或， ∴x的值为：2、10、12、22， ∴t的值为：14、22、24、34． 【变式题9-1】.（24-25七年级上·湖南株洲·期末）材料阅读：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事非．切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离”这首词是我国数学家华罗庚先生所著，也是第一次提出“数形结合”这一说法，如何将代数式和几何图形结合一直是解决数学问题的重要思想方法．利用数形结合解决下列题目： 数轴上有两点，点表示的数为，表示的数为，且．点是线段的中点． (1)点表示的数是______： (2)动点从点向右边运动，速度为2个单位长度/秒，动点从点向左运动，速度为1个单位长度/秒，设运动时间为秒．当点到达点时，运动同时停止，则： ①点表示的数分别是______，______（用表示）： ②若在运动过程中，存在，请求出的值． (3)如果我们把线段和角度做类比：如图，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转．射线同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出的值． 【答案】(1) (2)①点P表示的数为，Q表示的数为；②或 (3)t的值为4或或8 【分析】本题考查的是绝对值的非负性、数轴上的动点问题、线段的和差计算及一元一次方程的应用， （1）先求出，再求出，即可求出结论； （2）①由题意得，即可写出结论；②根据列方程解决即可； （3）当时，,；当时，，根据其中一个角是另一个角的3倍列出关于t的方程，分别求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 点表示的数为，表示的数为， ， 点是线段的中点， ， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：①由题意得， 点A表示的数为，表示的数为， 点P表示的数为，Q表示的数为； ②当点P到达点B时，运动同时停止， ，即， ， 解得：或； （3）∵，平分， ∴， ∵射线到达时只需用时秒，此时射线到达， 如下图，当时，, , 显然， ∴， 则， 解得； 当时，， 如图， 若， 则， 解得 ； 如图， 若， 则， 解得； 综上所述，t的值为4或或8． 【变式题9-2】.（24-25七年级上·江苏扬州·期末）【材料阅读】 如图1，数轴上有三个点，表示的数分别是，，1． （1）若要使两点的距离与两点距离相等，则可将点向左移动______个单位长度． （2）若动点分别从点、点出发，以每秒5个单位长度和每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点，同时出发，设运动时间为秒． ①秒后，点表示的数分别为______，______，______（用含的代数式表示）； ②记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】 （3）如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？ 【生活运用】 （4）周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过______分钟后，分针与时针的夹角首次变成 【答案】（1）2；（2）①，，；②不变化，；（3）11秒或19秒；（4）分钟 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，整式的加减，数轴，一元一次方程的应用，线段的计算，以及钟面角等问题，根据题意列出方程是解决问题的关键． （1）根据中点坐标公式求出中点表示的数，再用移到前点B表示的数减去中点表示的数即可得到答案； （2）①根据左减右加（路程）的规律求解即可； ②表示出，化简后即可判断； （3）分追上前和追上后两种情况分别建立方程解答即可； （4）设经过y分钟后，分针与时针的夹角首次变成，分别求出时针和分针每一分钟所走的路程，再列方程解答即可． 【详解】解：（1）， ． 故可将点B向左移动2个单位长度． 故答案为：2； （2）①t秒后，点P，Q，R表示的数分别为，，． 故答案为：，，； ②点P与点Q之间的距离， 点Q与点R之间的距离， ∴ ∴不变化，； （3）∵，平分， ∴． （秒）． 设经过x秒后，射线、的夹角为， 当追上前，则 解得：． 当追上后，则， 解得：． ∴经过11秒或19秒后，射线的夹角为． （4）设经过y分钟后，分针与时针的夹角首次变成， ∵分针每分钟旋转，时针每分钟旋转， ∴， 解得：， ∴经过分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 【变式题9-3】.（24-25七年级上·辽宁·期末）已知、、为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，则称点是点的“倍距点”．如图1中，点表示的数为1，点表示的数为4，点表示的数为3，点表示的数为2，则点是点的“倍距点”但不是点的“倍距点”，点是点的“倍距点”但不是点的“倍距点”．对于角，我们定义角的一条三等分线为这个角的两边的“倍角线”．如图2，射线，是的三等分线，即，则称射线是射线的“倍角线”但不是射线的“倍角线”，射线是射线的“倍角线”但不是射线的“倍角线”． (1)、、为数轴上三点，点表示的数是，点表示的数是4，点在点，点之间，若点是点的“倍距点”，求点表示的数； (2)在（1）的条件下，动点从点出发，沿数轴向右以2个单位长度／秒的速度运动，设点的运动时间为秒，当点是点的“倍距点”时，求的值； (3)如图3，，平分，射线是射线的“倍角线”． ①求的度数； ②绕点以/秒的速度按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，射线，对应的射线分别为，，当射线与射线重合时，停止旋转，设旋转的时间为秒，当射线是射线的“倍角线”时，求的值； (4)在（2）的条件下，当射线，，三条射线中，有一条射线是另外两条射线的“倍角线”时，直接写出的值． 【答案】(1)点表示的数是2； (2)的值为或； (3)①；②10； (4)，，， 【分析】本题考查几何变换的综合应用，主要考查角平分线的定义，角的计算，一元一次方程的应用，新定义的问题，掌握角平分线的定义，角的计算，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据“倍距点”的定义，设点表示的数为，列方程求解即可； （2）在点运动的过程中，点表示的数为．分情况讨论，①当点在点，点之间时，②当点在点右侧时，列方程求解即可； （3）根据角平分线的定义和“倍角线”的定义，分类讨论，即可解答； （4）根据“倍角线”的定义，分类讨论，即可解答； 【详解】（1）解：设点表示的数为， 点在点，点之间，点是点的“倍距点”，， 解得， 点表示的数是2； （2）解：在点运动的过程中，点表示的数为． ①当点在点，点之间时， 点是点的“倍距点”， ， 解得； ②当点在点右侧时， 点是点的“倍距点”， ， 解得． 综上所述，的值为或． （3）解：①，平分， ， 射线是射线的“倍角线”， ， ， ②射线是射线的“倍角线”， ， ， ， ， 的值为10； （4）解：如图1，是射线的“倍角线”时， ，则，此时和重合， ， ；    如图2，当是射线的“倍角线”时，， ， ， ；    如图3，当是射线的“倍角线”时，， ， ；    如图4，当是射线的“倍角线”时，， ， ．    答：的值为，，，． 同步练习 一、解答题 1．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，是直线，O是上一点，，，平分．图中与互余的角有哪些，与互补的角有哪些?为什么? 【答案】与互余的角有；与互补的角 【分析】本题考查了互余和互补的定义，角平分线的定义，解题的关键是正确“相加等于90度的两个角互余，相加等于180度的两个角互补”． 由得到，以及角平分线得到，即可得到与互余的角；由，，且，即可得到与互补的角． 【详解】解：∵， ∴， ∴与互余， ∵平分， ∴， ∴与互余； ∵，，且， ∴与互补的角． 2．（24-25七年级上·广东深圳·期末）将一副三角尺如图所示在同一平面摆放，其中含的三角尺的边在直线上，另一个三角尺的直角顶点与点O重合． (1)如图1，当三角尺的边在直线上时，求的度数； (2)如图2，将三角板绕点O逆时针方向旋转，恰好平分时，则射线是的平分线吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)恰好平分，射线是的平分线；的延长线平分，则射线不是的平分线；理由见详解 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，角平分线的有关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三角板的性质以及角的和差运算关系列式计算，即可作答． （2）分情况讨论且作图，说明恰好平分，射线是的平分线；的延长线平分，则射线不是的平分线，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：恰好平分，射线是的平分线；的延长线平分，则射线不是的平分线，理由如下： 如图： ∵恰好平分，， ∴， ∴， 则； 此时射线是的平分线； 当的延长线平分，如图： 此时射线不在的内部，不是的平分线， 综上：恰好平分，射线是的平分线；的延长线平分，则射线不是的平分线， 3．（25-26七年级上·河北保定·期中）数轴上的定点表示的数分别是，且满足． (1)___________，___________；，间的距离为___________； (2)数轴上一点距点7个单位长度，其表示的数满足． ①求点之间的距离； ②当数轴上的点到点的距离是点到点的距离的2倍时，求点表示的数； ③沿数轴移动点，要使得，，其中一点到另外两点的距离相等，直接写出点所有的移动方法（写出方向和距离）． 【答案】(1)6，，10 (2)①3；②或2；③见解析 【分析】本题考查了非负数的性质、数轴上的距离计算及动点问题，解题的关键是利用非负数的性质求、的值，结合数轴的特点分析点的位置． （1）利用平方和绝对值的非负性求、，再计算两点距离； （2）①先根据条件确定点的位置，再计算、距离； ②设点表示的数，根据距离关系列方程求解； ③分三种情况分析、、的位置关系，确定点的移动方法． 【详解】（1）解：一个数的平方和绝对值都是非负数，且， ，解得， 、间的距离为， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， ，所以或，所以或， 点C在数轴上表示的数为， 点B，C之间的距离为； ②由（2）①知点B，C之间的距离为3，当点P在点B，C之间时，点P到点B的距离为 ， 点P表示的数为； 当点P在点C的右侧时，点P到点C的距离为3， 点P表示的数为， 综上，点P表示的数为或2； ③点C向左移动13个单位长度，点B到点A，C的距离相等； 点C向右移动2个单位长度，点C到点A，B的距离相等； 点C向右移动17个单位长度，点A到点B，C的距离相等． 4．（25-26七年级上·全国·期中）（1）【知识准备】设A，B，M是数轴上的三个点，且点M在点A，B之间，若，则点M叫作的中点．若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB的中点，则我们由中点公式可知，点M对应的数为．在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且有，则的中点N对应的数为 ． （2）【问题探究】在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为． ①点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ；用含t的代数式表示 ②当的中点对应的数为10时，求t的值． （3）【拓展延伸】已知数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为． ①若为上靠近点A的三等分点，则我们由三等分点公式可知，点对应的数为； ②若为上靠近点A的四等分点，则我们由四等分点公式可知，点对应的数为； ③若为上靠近点A的五等分点，则我们由五等分点公式可知，点对应的数为 ．用含x，y的代数式表示 【答案】（1）；（2）①， ；②t的值为；（3） 【分析】（1）先根据绝对值的非负性求出，，再利用中点公式求解； （2）①点P，点Q的运动方向、速度与时间，列出代数式即可； ②根据①中点P，点Q，用中点公式求解； （3）根据公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵点C对应的数为c，点D对应的数为d， ∴点C对应的数为5，点D对应的数为， ∴CD的中点N对应的数为， 故答案为：； (2) ∵点P从C出发向左运动，速度为1个单位/秒， ∴运动时间t秒，点P表示的数为， ∵点Q从D出发向右运动，速度为2个单位/秒， ∴运动时间t秒，点Q表示的数为， 故答案为：​，​； ②∵的中点对应的数为， ∴， 解得：； (3) ∵点对应的数为，点B对应的数为， 为上靠近点A的五等分点， ∴由五等分点公式可知，点对应的数为， 故答案为： 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，动点问题（一元一次方程的应用），绝对值非负性，列代数式，线段中点的有关计算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 5．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图，若直角三角板的一边在射线上，则的度数为_______； (2)如图，直角三角板的边在的内部，若恰好平分．求此时的度数； (3)在图中，请直接写出与之间的数量关系：_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算． ()根据角的和差关系进行计算即可； ()角的和差关系求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数即可， ()由题意得，由，得到，据此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵恰好平分 ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，直角顶点与点O重合，是直角，平分． 【问题发现】 (1)如图1，若，求的度数； (2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (3)将直角三角尺绕点O顺时针旋转一周，旋转过程中始终平分，当与存在两倍关系时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或或 【分析】本题考查角平分线的定义，平角的定义，角与角之间的和差关系； （1）由可求出，再由可求出，最后根据，即可求解； （2）由题意得，再由，即可得到结论； （3）分类讨论：将直角三角尺绕点O顺时针旋转一周，当与存在两倍关系时，分为四种情况，利用角分线的定义和平角的定义，根据角与角之间的和差关系建立方程求解即可. 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵点A，O，B在同一条直线上， ∴． （2）解：，理由如下： ∵是直角， ∴， ∴， ∵点A，O，B在同一条直线上， ∴， ∴， ∴． （3）解：设， ∵始终平分， ∴， 将直角三角尺绕点O顺时针旋转一周，当与存在两倍关系时，分为四种情况： ①，如图所示： ∵点A，O，B在同一条直线上，是直角， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ②，即，如图所示： ∵点A，O，B在同一条直线上，是直角， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ③，即，如图所示： ∵点A，O，B在同一条直线上，是直角， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ④，如图所示： ∵点A，O，B在同一条直线上，是直角， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 综上：当与存在两倍关系时，的度数为或或或． 7．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c．已知． (1)直接写出a，b，c的值：，，． (2)若数轴上有两个动点M，N分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点M度为4个单位长度/秒，点N速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒．运动过程中，是否存在线段的中点E到点的中点F距离为6？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，另外两个动点P，Q分别随着M，N一起运动，且始终保持线段，线段（点P在M的左边，点Q在N的右边）．当点M运动到点C时，线段立即以原速度的2倍返回，当点M再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动．在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在；请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，或 (3)存在，或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数． （1）根据绝对值、平方的非负性即可求解、、，问题得解． （2）点M对应的数为，点N对应的数为．线段的中点E对应的数为：，线段的中点F对应的数为：，列出方程，即可求解； （3）点对应数，点对应数．再分段讨论，建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ，，， ，，． 故答案为：，，； （2）解：存在， 点M对应的数为，点N对应的数为． 线段的中点E对应的数为：， 线段的中点F对应的数为： 点E与点F的距离为： 解得：或， 故存在这样的t，值为或； （3）解：存在， 点对应数，点对应数． 分段讨论： 当时，． 重叠部分左端点为中的大值，右端点为中的最小值， 当时，重叠长度为，令其为1得． 当时，． 当时，重叠长度为，令其为1得． 综上，存在或． 8．（25-26七年级上·江西宜春·期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律1：如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律2：数轴上、两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图1，点在数轴上所对应的数为，点表示的数为4，是数轴上一动点． （1）则、两点间的距离________，、两点的中点表示的数为________． （2）若、两点间的距离，则点表示的数为________． 【拓展运用】如图2，已知数轴上有、两点，分别表示的数为，8，点以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同时点以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间秒（）． （3）用含的式子填空： 点运动秒后所在位置的点表示的数为________； 点运动秒后所在位置的点表示的数为________； 此时、两点的中点表示的数为________． （4）按上述方式运动，、两点经过多少秒会相遇？经过多少秒相距5个单位长度． 【答案】（1）9，；（2）或；（3），，；（4）经过4秒会相遇；A、B两点经过3秒或5秒会相距5个单位长度． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，列代数式，并结合题意求得对应点的位置和中点位置， （1）根据题目给定的距离公式即可求得； （2）利用点P与点A的位置关系或两点表示的数之差的绝对值即可求得答案； （3）点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动即可写出点A和点B在t秒后所在位置的点表示的数，结合题目所给中点表示方法即可解得答案； （4）根据相遇的时候两个点表示的数一样列出方程求解即可；根据相遇前与相遇后的等量关系分类讨论列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵点A在数轴上所对应的数为，点B表示的数为4， ∴， 点M在数轴上所对应的数为． 故答案为：9，； （2）设点表示的数为 由题意得，， 解得或 ∴点表示的数为或， 故答案为：或； （3）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为：， 点B运动t秒后所在位置的点表示的数为：， 此时A、B两点的中点M表示的数为：． 故答案为：，，； （4）当时， 解得：， ∴经过4秒会相遇； 设它们按上述方式运动，A、B两点经过t秒会相距5个单位长度， 当点A在点B左侧时： 解得； 当点A在点B右侧时： 解得； 答：它们按上述方式运动，A、B两点经过3秒或5秒会相遇 学科网（北京）股份有限公司 $