广西南宁市英华学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学模拟试卷

2025-2026学年度高二年级上学期期中考数学（模拟） （全卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2．已知，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 若直线的倾斜角为则实数值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（ ） A B. C. D. 5. 已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若直线，平行，则＝（ ） A. B. 1或0 C. 0 D. 1 7. 函数的部分图象如图，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则的单调减区间为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 8．已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距是 C. 过点且在轴截距相等的直线方程为 D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 10. 人均国内生产总值是人们了解和把握一个国家或地区的宏观经济运行状况的有效工具，即“人均GDP”，常作为发展经济学中衡量经济发展状况的指标，是最重要的宏观经济指标之一.在国家统计局的官网上可以查询到我国2013年至2022年人均国内生产总值（单位：元）的数据，如图所示，则（ ） A. 2013年至2022年人均国内生产总值逐年递增 B. 2013年至2022年人均国内生产总值的极差为42201 C. 这10年的人均国内生产总值的80%分位数是71828 D. 这10年的人均国内生产总值的增长量最小的是2020年 11.已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使 B．的周长为16 C．的最大面积为12 D．的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ，，，则________ 13. 若圆和圆恰有三条公切线，则实数____________． 14. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在∆ABC中，角的对边分别为． （1）求； （2）若∆ABC的面积为边上的高为1，求∆ABC的周长． 16．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 参考公式：其中为总样本平均数． 17. 如图，在以A、B、C、D为顶点的多面体中，四边形是边长为2的正方形.平面，，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 已知在平面直角坐标系中平面内动点T满足.记动点T的轨迹为曲线E. （1）求曲线E方程，并说明是什么曲线； （2）已知直线过点.若直线与曲线E相切，求直线的方程； 19. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆的一个顶点，离心率为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线与椭圆C交于A，B两点；若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ （答案）2025-2026学年度高二年级上学期期中考数学（模拟） 1、【答案】C 【分析】结合一元二次不等式解法化简集合，根据并集的定义求结论. 【详解】不等式的解集为， 所以，又， 所以. 故选：C. 2．B【详解】由，得，可得在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选：B 3、【答案】D 【分析】由直线一般方程中倾斜角与斜率的关系可得. 【详解】由题意知，，则，解得. 故选：D. 4、【答案】D 【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可. 【详解】因为E为CD的中点，则.因为D为AB的中点，则.所以. 故选：D. 5、【答案】C 【分析】由，得到直线与平面的法向量垂直，得出，进而求得的值. 【详解】因为，所以，所以，解得． 故选：. 6、【答案】D 【分析】根据给定条件利用两直线平行列式计算并验证作答. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，，即为，两直线重合，不符合题意； 当时，，，两直线平行. 综上所述，. 故选：D. 7、【答案】C 【解析】 【分析】根据的图象，可求出的解析式，进而根据图象平移变换规律，可得到的解析式，然后求出单调增区间即可. 【详解】由的图象，可得，，即， 则，所以， 由，可得， 所以（），则（），又，所以，故. 将的图象向左平移个单位长度得到函数， 故函数， 令（），解得（）， 所以的单调递增区间为（）. 故选：C. 8．A 【分析】设，得，，，在中由勾股定理得，在中由勾股定理列方程可得答案. 【详解】 设，因为，所以， 由椭圆的定义可得，， 因为，在中由勾股定理得，解得 所以，， 在中由勾股定理得，从而可得. 故选：A 9、【答案】ABD 【解析】 【分析】利用变换主元法确定直线过定点可判定A项；利用截距的定义可判定B项；分类讨论截距是否为零结合截距式可判定C项；利用直线平行的充要条件及距离公式可判定D项. 【详解】对于A，由，显然时，恒成立， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B，根据直线的斜截式定义可确定直线在y轴上的截距是，故B正确； 对于C，若截距均为0，则该直线为； 若截距不为0，可设该直线方程为，代入点可得， 即，故C错误； 对于D，由两直线平行可知， 此时方程可化为，故两直线距离为， 故D正确. 故选：ABD 10、【答案】ABD 【分析】根据图中数据和极差、百分位数、增长量的定义判断. 【详解】由图可知，2013年至2022年人均国内生产总值逐年递增，A正确；2013年至2022年人均国内生产总值的极差为85698-43497=42201，B正确；因为10×80%=8，所以这10年的人均国内生产总值的80%分位数是.C不正确；由图中数据分析可知，2020年人均同内生产总值的增长为71828-70078=1750（元），是这10年中增长量最小的，D正确. 故选：ABD 11．ACD 【分析】对于A，由可得点的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点的轨迹与椭圆没有交点，由此得以判断；对于B，利用椭圆的定义可得的周长，由此判断即可；对于C，根据椭圆的几何性质，当为椭圆短轴顶点时，可得的面积最大，从而得以判断；对于D，利用椭圆的定义，结合三角形边长的不等式可得，从而得以判断. 【详解】由，得. 对于A：假设存在点使得，则， 所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则， 因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即， 由可知，圆与椭圆有交点， 所以假设成立，即存在点使得，故A正确； 对于B：的周长为，故B错误； 对于C：当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大， 所以，故C正确； 对于D： ，又，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 12、【答案】 【分析】根据数量积的坐标运算可得，即可由模长公式求解. 【详解】，解得，故， 故答案： 13、【答案】 【分析】利用两圆之间的位置关系可知两圆恰有三条公切线时两圆外切，由圆心距等于两半径之和即可求得. 【详解】根据圆与圆的位置关系可知， 两圆恰有三条公切线时当且仅当两圆外切，所以圆心距等于两圆半径之和， 易知圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径； 即可得，得． 故答案为： 14、【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 15、【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得，则得到的大小； （2）利用三角形面积公式得，再结合余弦定理得的值，则得到其周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，得， 即，即. 因为在中，， 所以. 又因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，得. 由，即， 所以.由余弦定理，得，即， 化简得，所以，即， 所以的周长为. 16．【详解】（1）由频率之和为结合频率分布直方图可得， 解得， 样本成绩的平均数约为． 区间，，的频率分别为． 因为，的频率为， 故中位数位于内设中位数为x，则， 解得x＝75； （2）由频率分布直方图知， 样本答卷成绩在，，的三组市民有（人）， 其中样本答卷成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）． （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为，所以总平均数， 总方差 17、【详解】（1）解法1：记线段的中点M，连接，. ，，且 四边形为平行四边形，，. ，；，. 四边形为平行四边形，. 又面，面，面 （2）以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， ，. 设平面的法向量为，则，. 令，则，. 为平面的一个法向量. 易得为平面的一个法向量. 设二面角的大小为，则. ，即二面角的正弦值为. 解法2： （1），面，面. 同理，，面，面. 又，面面. 又面， 面. 18、【小问1详解】 设，则，化简得． 是一个圆，圆心为，半径 ． 【小问2详解】 ①解：当的斜率不存在时，易得的方程为适合题意； 当的斜率存在时，设，即 由题设知：圆心到直线的距离，此时， 直线的方程为或； 19、【小问1详解】 由椭圆的一个顶点为，可得，又离心率为，则， 所以由，即椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 ①直线过椭圆右焦点可得：，即， 所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得： ， 设两交点，则有， 所以， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 所以， 解得：或（舍去），即； 学科网（北京）股份有限公司 $