数学一模突破卷03（广东专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 7 6 B C C B B D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BD BCD ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-8 13.5 14.4W7 1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解折】)1）将a10,+2是两边同乘以2， 1 得21a1=2”an+1,即21a1-2”a。=1, 又2·a,=1,因此，{2”an}是以1为公差，1为首项的等差数列.(6分) (2)由(1)得2”a,=1+(n-x1=,a,= 2， 因此，么=20+，-+2a+) 2” 2+1 b1-6.-n+(2m+3-2m2m+l-2m2+3n+33-m2n-3到 20+1 2+1 2n+ 当n23时，3-n(2n-3<0,得b1-b.<0,即b1<b 又因为4=44号所以<4<乌， 1/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 即当n<3时，b+1>bn, 所以6，}的最大项是么，=2 8 .(13分) 16.(15分) 【解析】(I)作BC中点N,连接AN,PN,MN,则MN/IAC, 又AC⊥BC,所以NM⊥BC, 又因为△PBC是正三角形，且N为BC中点，因此PN⊥BC, PN⊥BC NM⊥BC 从而 →BC⊥平面PNM, PNONM=N PN,NMc面PNM 又PMc平面PNM,所以BC⊥PM.(6分) (2)由题，∠PCB=60,PN=VPC2-CN2=V5,AB=VCB2+CA?=4,则BM=2 在△ACP中，AC=2W5,PC=2,cos∠ACP=-5, 4 由余弦定理得AP=√PC2+AC2-2PC,AC cos∠ACP=√22，(9分) 在△PBA中，由余弦定理得cos∠PBM=BP+AB-AP-1, 2BP.AB 81 所以PM=√BP2+BM2-2BP.BM cos∠PBA=3,(11分) 设平面ACB与平面PBC夹角为O0<0<180), 由PN⊥BC,NM⊥BC知0=∠PNM 在APMN中，由余弦定理得cos0=PN+MN-PM.-,解得0：120， 2PN.MN Γ2 设点M到平面PBC的距离为d,则d=sin0·M:(I5分) 17.(15分) 【解析】1》①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为P,则P=1-p1-g)=}(2分) ②依题可知，X的可能取值为0,1,2，则 P(X=0)= 1 2/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 rx==p1--+l-p小1---》片-》- P(X=2)=1-15-7 31818' 所以E(X)=0x+1x +2x7-19 3 181818 (7分) (2)设甲先出场比赛挑战成功的概率为？，乙先出场比赛挑战成功的概率为乃， 则R=p”+p-(1-p)q+p"-2(1-p)q++1-p)q =p+p"-q+p-2q2+…+g"）-（pq+p"-q2+p"-2q3+…+pg"月 P2=g”+9"-(1-q)p+q"-21-9)p2+…+(1-q)p9 =(g”+g-p+g"-2p2+…+p）-g"p+q"-p2+q"-2p3+…+qp） 由p"+p"-q+pm-2g2+…+q”=g"+g"-p+g"-2p2+…+p”, p"q+p"-q2+p"-2q3+…+pq"=q"p+q"-p2+q"-2p3+…+qp", 得= 因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同.(15分) 18.(17分) 【解析】(1)因为，L,0),所以c=1,由题得18=2水=3，联立 2b2=3a a2=4 a 2-b=1’解得 b2=31 所以C的标准方程为女+ =1.(3分) 43 (2)①当直线1的斜率为0时，不合题意 当直线I的斜率不为0时，设Ax,y),Bx2,2),1的方程为x=my+1, 由xm+1 3x2+4r2-=12得(3m2+4到y+6my-9=0, △=36m2+363m2+4=144m2+1>0, 6m 所以y+y2= 3m2+4 -9 :2=3m2+4 所以以-= 12√m2+1 3m2+4 3/7 应学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以AB=Vm2+1以-y2 12(m2+1） 3m2+4 因为OP⊥AB,所以直线OP的方程为y=-mx, 代入C的标准方程中得x? 4m2+3,所以1opP-12(m+】 12 4m2+3 所以AB+OPP= 12(m2+112(m2+1 4m2+33m2+4 -iw+w+d- 3m2+4,4m2+3 4m2+33m2+4 1 3m2+44m2+3 2+24m+33m+4 48 当且仅当4m2+3=3m2+4,即m2=1时等号成立， 比410P的最小值为投 因为7>袋，所以480P的最小值为 .(10分) ②当直线1的斜率为0时，O,E重合，不合题意。 当直线1的斜率不为0时，直线1的方程设为x=my+1, 因为E为AB中点，所以E55,4十业， 2,2 又+星=山，空+发=1，所以西++y+=0, 43 43 4 3 所以。e=}所以直线00方程为y=-mr, 3 令x=4,得Q(4,-3m), 9 由①可知2=3m2+4' 所以A·0B=(x-4)(x2-4)+(+3m)(2+3m =(my-3)(my2-3)+(y+3m)(y2+3m)=m2+1yy2+9m2+9 -9m+0+9(m2+0 、27m+,0 3m2+4 3m2+4 所以∠AQB为锐角，所以点Q在以AB为直径的圆外.(17分) 4/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 x=4 F B 19.(17分) 【解析】(1)由题可得f(x)的定义域为0，+o,f(x=-a=1- 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，f(x单调递增，且f(3=ln3-3a>0,故不符题意， 当a>0时，令f"(x=0,得x= a 当时，>0，当后j时0， a 所以在0，。 上单调递减， 当x时，八取到极大值也是最大值为f日)-na-山， 由f(x)≤0可得-lna-1≤0即可，解得二≤a, 故实数a的取值范围为[，+0).(4分) （2)设s(x=e-x-l,tx=x-lnx-l,w(x)=x-sinx,其中x>0 则s()=e-1>0,x)=-1,wx=1-cosx≥0， 故sx),w(x在(0，+oo）上均为增函数，故sx)>s0)=0,w(x>w(0)=0, 故e>x+l,x>sinx在(0，+o)上恒成立， 而当0<x<1时，t(x)<0,当x>1时，tx>0, 故t(x)在(0,1为减函数，在(1，+o)上为增函数，故t(x≥t1=0, 故x之lnx+1,故x2≥xlnx+x, 所以e+x2≥xlnx+2x+1≥xlnx+2sinx+1.(10分) (3)函数h(x)=xf(x+1=xlnx-ax2+1, 5/7 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 令ux)=xlnx-axr2，xe(l,e, 1 若u(ue=-a(e-ea<0即0<a<。u(在L,e)上存在零点， 故h(x在(1，e)上有最小值0. 若a≥。则1+1-2a 设m()='x=nx+1-2ar,则m)=-2a=-2(a>0, 当1-2as0即a≥号时，m()<0即m到在Le单调性道减。 而m(I)=1-2a≤0，u'(x<0在(1，e上恒成立，故ux在在(1，e上为减函数， 故ux<u1=-a<0, 故h(x在(l,e)上无最小值 e 2a2 当1<x<时，m>0,当 <x<e时，m'(x)<0, a 数1到在)上为蜡手数，在云为减两数。 1 2a 若a=二，则u'(e=2-2ae=0,故u'(x>0在(1，e上恒成立， e 故ux在(l,e上为增函数，而u(1=-a<0,u(e)=e-ae2=0, 故此时h(x在(1，e上无最小值 若a分则r1gd2-e<0, 故w'(x在(1，e上存在零点，当1<x<x时，u'(x)>0, 当x<x<e时，u'(x<0,故ux在(1，x)上为增函数，在(x,e为减函数， 故u(xns=u(xo) 若u(x)≤0，则h(x)=-ux+1,此时h(x)in=-u(xo)+1，符合题意； 若u(x,>0,则u=-a<0,故u(x在山，x存在零点，故h(xmn=1,符合题意. 6/7 画学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .(17分) 综上，0<a<L或<a< ee 2 7/7 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论，根据题意列出关系式求解即可. 【详解】根据集合中元素的互异性可得：，且. 当集合时，集合的最大元素为；当集合时，集合的最大元素为； 根据题意可得：集合的所有元素之和为. 且或， 解得：. 故选：B. 2．已知，则在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．实轴上 B．虚轴上 C．直线上 D．直线上 【答案】C 【分析】利用复数的乘、除法运算化简，由几何意义可得复数所对应的点的坐标，从而判断其位置. 【详解】因为，所以 所以复数所对应的点坐标为，位于直线上. 故选：C. 3．树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，，，，，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】先依据题意列等量关系式求出，再依据百分位数的定义以及求解步骤直接求解即可得解. 【详解】由题可得极差是，该组数据的中位数是极差的， 列出等式，解得， 因为， 故该组数据的第40百分位数为从小到大第4个数据和第5个数据的平均值，即， 所以该组数据的第40百分位数是. 故选：A. 4．已知函数在点处的切线为，若与圆相切，则的值为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义求出切线的方程，再由直线与圆相切的判断方法列方程，即可求出参数的值. 【详解】由求导得：，则函数在点处的切线斜率为， 又，故切线方程为：， 由题意，圆心到直线的距离为， 解得：. 故选：C. 5．数列是公比不为1的等比数列，前项积为，则“，”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由等比数列的性质，结合充分条件与必要条件的意义判断即可. 【详解】充分性：因为，，所以，所以， 又由数列是公比不为1的等比数列，所以， 可得同号，同号，所以，所以， 所以“，”是“”的充分条件； 必要性：若数列每项均为正数时，若且时，则对恒成立， 无法得到对恒成立，必要性不成立， 故“，”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 6．（热点题型）已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，进而可求得 【详解】， 则， 则， 即，所以，即 故选：B. 7．记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和得，结合正弦定理计算，利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简式子，结合锐角三角形角的范围解得的取值范围． 【详解】因为，所以． 由正弦定理，有所以． 因为． 又， 所以． 因为是锐角三角形，所以 所以，所以． 所以，即的取值范围是， 故选：D． 8．在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线的左焦点为，连接、、、，根据对称性及已知条件可得四边形为矩形，设，根据双曲线的定义表示出，，在中利用勾股定理得到，再在中利用勾股定理得到、的关系，即可得解. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，因为，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用同角公式，两角和差公式，结合角的范围和变角思想：来求解即可. 【详解】由，，所以，即，故A错误； 由于，所以，则有， 即，故B正确； 因为，，所以， 又因为，所以，故C错误； 由 ， 因为，，所以， 则，故D正确； 故选：BD. 10．（热点题型）已知函数的定义域为，且在定义域内连续．则下列说法正确的是（    ） A．设的定义域为D，则D B．设的定义域为D，则D C．若单调，则单调 D．一定存在定义域为的偶函数与奇函数，使 【答案】BCD 【分析】举反例可判断A；利用复合函数的定义域可判断B；利用复合函数的单调性可判断C；应用奇偶函数分解定理，结合题目条件验证可判断D. 【详解】对于A，设，且，在定义域内连续， 则由得，解得，的定义域为， 因为，故A错误； 对于B，对于复合函数，设，那么，， 由于是使得才能使有意义，而是取自的定义域中 的，所以的定义域一定是的子集，故B正确； 对于C，若的单调递增，设，则， 那么，单调递增； 若的单调递减，设，则， 那么，单调递增，故C正确； 对于D，对称区间上的任意函数均可分解为 ，且，为偶函数， ，且，为奇函数， 时，，满足题意，故D正确. 故选：BCD. 11．（创新考法）用笔从空间多面体的一个顶点出发，沿棱画线，不间断、不重复，最终回到起点或到达另一个顶点的过程称为“1笔”.现定义：如果遍历一个空间多面体所有的顶点和棱至少需要笔，则该多面体称为笔画多面体.那么下列说法正确的是（   ） A．五棱锥是3笔画多面体 B．正方体是4笔画多面体 C．棱锥是笔画多面体 D．棱柱是笔画多面体 【答案】ABD 【分析】如果一个顶点有奇数条棱与之连接，这样的顶点称为奇顶点，易知如果一个空间几何体有个奇顶点，那么需要笔画，然后对选项依次分析即可. 【详解】如果一个顶点有奇数条棱与之连接，这样的顶点称为奇顶点， 下证明：如果一个空间几何体有个奇顶点，那么需要笔画. 证明：1.一笔画图形的条件:一个图形能够一笔画完成的必要条件是它必须连通，并且除了两个点外，其余点的度数均为偶数，这两个点称为奇点； 如果一个图形有两个奇点，则这两个奇点分别作为起点和终点，其余点的度数均为偶数. 2.奇点数与笔画数的关系:当一个图形满足上述条件时，我们可以从一个奇点开始画到另一个奇点结束，由于每个奇点都会额外增加一个笔画，因此笔画数等于奇点数除以2； 如果图形的奇点数大于2，根据上述条件，图形无法以一笔画完成，需要多笔画。每增加一个奇点，笔画数增加1. 因此，如果一个图形的奇点数能够被2整除，那么这个图形可以一笔画完成，并且笔画数等于奇点数除以2.这个结论适用于所有满足一定条件的连通图. A选项：五棱锥每个顶点都是奇顶点，6个顶点，所以是3笔画多面体； B选项：正方体每个顶点都是奇顶点，有4对，所以是4笔画多面体； C选项：四棱锥明显不满足结论，所以不正确； D选项：由于棱柱的每一个顶点都是奇顶点，棱柱有个顶点，所以是笔画多面体， 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．随机变量满足，且，若，则 . 【答案】 【分析】应用正态分布的平均数及方差公式，结合数学期望及方差的性质计算求解. 【详解】随机变量满足，且， ， 所以,， 则， 则，所以， 则. 故答案为：. 13．已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为 ． 【答案】 【分析】首先可得的周期为，方程的解，即为与的交点横坐标，画出与的图象，数形结合即可判断. 【详解】由函数满足，则，所以的周期为， 由，则， 可得的图象如图， 方程的解，即为与的交点横坐标， 且当时， 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为： 14．（改编题）在四棱锥中，平面，，且二面角的大小为，．若点均在球O的表面上，则球O的半径的最小值为 . 【答案】 【详解】 由题设，在一个圆上，故， 又，则，即，故是四边形外接圆的直径， 由平面，平面，则， 由，面，则面，面，则， 由，面，则面，面，则， 则是二面角的平面角，故， 令且，则，，故， 且都是以为斜边的直角三角形，故中点为外接球球心， 所以外接球半径， 当时，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设数列满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的最大项. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过对已知递推公式进行变形，得到与的关系，再根据等差数列的定义证明； （2）先根据（1）的结果求出的表达式，进而得到的表达式，然后通过作差法比较与的大小， 判断数列的单调性，从而求出最大项. 【详解】（1）将两边同乘以， 得，即， 又，因此，是以1为公差，1为首项的等差数列. （2）由（1）得， 因此，， . 当时，，得，即. 又因为，所以， 即当时，， 所以的最大项是. 16．（15分） 如图，在三棱锥中，是边长等于2的正三角形，，为的中点． (1)求证：； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）如图可得、，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由题意，根据余弦定理分别求出，即可求解. 【详解】（1）作中点，连接，则， 又，所以， 又因为是正三角形，且为中点，因此， 从而平面， 又平面，所以． （2）由题，，，，则. 在中，， 由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以， 设平面与平面夹角为， 由，知. 在中，由余弦定理得，解得， 设点到平面的距离为，则． 17．（15分） 甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者关都挑战成功，挑战比赛结束.若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响. (1)已知甲先上场，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； (2)如果关都挑战成功，那么比赛挑战成功.试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由. 【答案】(1)①；② (2)概率相同，理由见解析 【分析】（1）①记甲先上场且两关都没成功的概率为.甲每关不成功概率是，乙每关不成功概率是.再结合独立事件乘法公式计算即可； ②取值有，，.求出对应概率，再按期望算法算出期望. （2）设甲先出场成功概率为，乙先出场成功概率为.把和展开成式子，对应部分相等，所以，即甲、乙先出场成功概率一样. 【详解】（1）①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为，则. ②依题可知，的可能取值为，则 ， 所以. （2）设甲先出场比赛挑战成功的概率为，乙先出场比赛挑战成功的概率为， 则 由， 得 因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同. 18．（17分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为，直线过分别交于A,B两点．当的倾斜角为时，． (1)求的标准方程； (2)为线段AB（不含端点）上任一点，射线OE与交于点，与直线交于点． ①若，求的最小值； ②若为线段AB的中点，判断并证明与以AB为直径的圆的位置关系． 【答案】(1) (2)①；②点在以为直径的圆外，证明见详解 【分析】（1）根据左右焦点的坐标，及弦长可列出方程求解，； （2）①联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得到，，进而可求弦长，同理可求，结合基本不等式即可求解最小值；②判断与0的关系即可判断与以AB为直径的圆的位置关系. 【详解】（1）因为，所以，由题得，联立，解得， 所以的标准方程为． （2）①当直线的斜率为0时，不合题意. 当直线的斜率不为0时，设，的方程为， 由得， 所以 所以， 所以， 因为，所以直线的方程为， 代入的标准方程中得，所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为． 因为，所以的最小值为. ②当直线的斜率为0时，重合，不合题意。 当直线的斜率不为0时，直线的方程设为， 因为为中点，所以， 又，所以， 所以，所以直线方程为， 令，得， 由①可知， 所以 ， 所以为锐角，所以点在以为直径的圆外． 19．（17分） 已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)证明：； (3)若函数在时有最小值，求正实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）利用导数法求单调性，利用单调性得到极大值也是最大值，利用最大值小于0得到所求； （2）通过构造函数，利用单调性得到证明； （3）由在时有最小值，通过构造函数，利用单调性，通过分类讨论求出的范围. 【详解】（1）由题可得的定义域为，， 当时，恒成立，单调递增，且，故不符题意， 当时，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，取到极大值也是最大值为， 由可得即可，解得， 故实数的取值范围为. （2）设，其中. 则， 故在上均为增函数，故， 故在上恒成立， 而当时，，当时，， 故在为减函数，在上为增函数，故， 故，故， 所以. （3）函数， 令，， 若即，在上存在零点， 故在上有最小值0. 若，则， 设，则， 当即时，即在单调性递减， 而，在上恒成立，故在在上为减函数， 故， 故在上无最小值. 若，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在为减函数， 故，而， 若，则，故在上恒成立， 故在上为增函数，而，， 故此时在上无最小值. 若，则， 故在上存在零点，当时，， 当时，，故在上为增函数，在为减函数， 故. 若，则，此时，符合题意； 若，则，故在存在零点，故，符合题意. 综上，或. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 粉 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 口 3[A[B][C][D] 7 [A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 11[A][B][CI[D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 知 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………… …… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 2．已知，则在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．实轴上 B．虚轴上 C．直线上 D．直线上 3．树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，，，，，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 4．已知函数在点处的切线为，若与圆相切，则的值为（ ） A． B． C．或 D．或 5．数列是公比不为1的等比数列，前项积为，则“，”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（热点题型）已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 10．（热点题型）已知函数的定义域为，且在定义域内连续．则下列说法正确的是（    ） A．设的定义域为D，则D B．设的定义域为D，则D C．若单调，则单调 D．一定存在定义域为的偶函数与奇函数，使 11．（创新考法）用笔从空间多面体的一个顶点出发，沿棱画线，不间断、不重复，最终回到起点或到达另一个顶点的过程称为“1笔”.现定义：如果遍历一个空间多面体所有的顶点和棱至少需要笔，则该多面体称为笔画多面体.那么下列说法正确的是（   ） A．五棱锥是3笔画多面体 B．正方体是4笔画多面体 C．棱锥是笔画多面体 D．棱柱是笔画多面体 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．随机变量满足，且，若，则 . 13．已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为 ． 14．（改编题）在四棱锥中，平面，，且二面角的大小为，．若点均在球O的表面上，则球O的半径的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设数列满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的最大项. 16．（15分） 如图，在三棱锥中，是边长等于2的正三角形，，为的中点． (1)求证：； (2)若，求点到平面的距离． 17．（15分） 甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者关都挑战成功，挑战比赛结束.若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响. (1)已知甲先上场，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； (2)如果关都挑战成功，那么比赛挑战成功.试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由. 18．（17分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为，直线过分别交于A,B两点．当的倾斜角为时，． (1)求的标准方程； (2)为线段AB（不含端点）上任一点，射线OE与交于点，与直线交于点． ①若，求的最小值； ②若为线段AB的中点，判断并证明与以AB为直径的圆的位置关系． 19．（17分） 已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)证明：； (3)若函数在时有最小值，求正实数的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 2．已知，则在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．实轴上 B．虚轴上 C．直线上 D．直线上 3．树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，，，，，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 4．已知函数在点处的切线为，若与圆相切，则的值为（ ） A． B． C．或 D．或 5．数列是公比不为1的等比数列，前项积为，则“，”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（热点题型）已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 10．（热点题型）已知函数的定义域为，且在定义域内连续．则下列说法正确的是（    ） A．设的定义域为D，则D B．设的定义域为D，则D C．若单调，则单调 D．一定存在定义域为的偶函数与奇函数，使 11．（创新考法）用笔从空间多面体的一个顶点出发，沿棱画线，不间断、不重复，最终回到起点或到达另一个顶点的过程称为“1笔”.现定义：如果遍历一个空间多面体所有的顶点和棱至少需要笔，则该多面体称为笔画多面体.那么下列说法正确的是（   ） A．五棱锥是3笔画多面体 B．正方体是4笔画多面体 C．棱锥是笔画多面体 D．棱柱是笔画多面体 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．随机变量满足，且，若，则 . 13．已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为 ． 14．（改编题）在四棱锥中，平面，，且二面角的大小为，．若点均在球O的表面上，则球O的半径的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设数列满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的最大项. 16．（15分） 如图，在三棱锥中，是边长等于2的正三角形，，为的中点． (1)求证：； (2)若，求点到平面的距离． 17．（15分） 甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者关都挑战成功，挑战比赛结束.若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响. (1)已知甲先上场，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； (2)如果关都挑战成功，那么比赛挑战成功.试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由. 18．（17分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为，直线过分别交于A,B两点．当的倾斜角为时，． (1)求的标准方程； (2)为线段AB（不含端点）上任一点，射线OE与交于点，与直线交于点． ①若，求的最小值； ②若为线段AB的中点，判断并证明与以AB为直径的圆的位置关系． 19．（17分） 已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)证明：； (3)若函数在时有最小值，求正实数的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $