精品解析：广东广州市天河区华兴教育2025年中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生港澳台班2025届高三第一次模拟考试数学试题

学华兴教育港澳台联考学校 2025年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生 港澳台班第一次模拟考 数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中错误的是（ ） A.  B. C. D. 2. 若 ，则“ ”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 3. 数列1，，，，，…的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若关于 的不等式的解集为，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知乘积展开后共有60项，则n的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 12 7. 若双曲线的实轴长为2，离心率为，则双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 9. 对一组数据3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 10. 已知函数，则下列函数中是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 若关于 的方程在上有且仅有3个解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 已知三棱锥 的体积为，高为，其底面是正三角形，且 ，，点P，Q，R分别为， ，三边上的动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 设是函数的导函数，若，则______． 14. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______． 15. 事件 ，，且，则______． 16. 若点在圆外，则的取值范围是___________. 17. 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，，直线与 轴交于点，与直线交于点 ，且平分，则此椭圆的离心率为__________. 18. 平面直角坐标系中，点，分别绕原点逆时针旋转角，后得到，，且，则的最大值为______． 三、解答题：本题共4小题，每小题15分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. 如图所示，已知四棱锥 的底面是梯形，侧棱 底面，，， ，． （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值． 20. 已知函数． （1）若在处取得极值，求a的值； （2）若在区间上单调递减，求a的取值范围． 21. 已知过点的直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，当直线垂直于x轴时，的面积为． （1）求抛物线E的方程； （2）过曲线E上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线E于S，T（异于点P）两点，求证：直线 恒过定点． 22. 已知数列的前n项和为，且满足，又知，． （1）求，； （2）求的通项公式； （3），求的前n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学华兴教育港澳台联考学校 2025年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生 港澳台班第一次模拟考 数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中错误的是（ ） A.  B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空集是任何非空集合的真子集可判断A，根据是无理数，结合补集的定义可判断B，根据0不是正整数可判断C，根据自然数集是整数集的子集可判断D. 【详解】对于A，空集是任何非空集合的真子集，故A正确； 对于B，是无理数，表示有理数集，故，故B正确； 对于C， 不是正整数，则，故C错误； 对于D，表示自然数集，表示整数集，自然数集是整数集的子集，故D正确. 故选：C. 2. 若 ，则“ ”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据纯虚数的概念求得 ，再结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若复数为纯虚数，则，解得 ， 所以“ ”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：B 3. 数列1，，，，，…的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对数列的前几项变形，找出规律，从而写出数列的一个通项公式. 【详解】数列1，，，，，…， 可写为，，，，…， 所以数列的一个通项公式. 故选：D 4. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用求得的值，进而可求得，利用向量的夹角公式可求得 【详解】因为，所以，所以，则，， 所以，所以，， 故. 故选：C. 5. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式等价于，原题意等价于的解集为，结合一元二次不等式分析求解即可. 【详解】不等式等价于， 原题意等价于的解集为， 可知 ，且的两根分别为1和，且 ， 解得 ，所以的取值范围为. 故选：C. 6. 已知乘积展开后共有60项，则n的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据多项式相乘时，展开式的项数等于每个括号里的项数相乘求解即可. 【详解】因为第一个括号有2项， 第二个括号有3项， 第三个括号有 项， 所以展开式共有项， 所以. 故选：C 7. 若双曲线的实轴长为2，离心率为，则双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据离心率以及实轴可得双曲线方程，进而根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由于的实轴长为2，离心率为， 故，解得， 渐近线方程为， 故到的距离为， 故选：A 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先应用二倍角余弦公式化简，再应用齐次式弦化切，代入正切值求解即可. 【详解】因为 又因为， 所以. 故选：B. 9. 对一组数据3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】求出给定数据组的中位数、众数、平均数，举例说明判断ABC；利用数据的波动大小判断D. 【详解】数据由小到大排列为：1，1，2，3，3，3，4，5，5，其中位数、众数、平均数都为3， 去掉数据1，剩余数据的中位数、众数都不变；去掉数据3，剩余数据的平均数不变，ABC不是； 若任意去掉其中一个数据，剩余数据的波动性发生变化，方差一定发生变化，D是. 故选：D 10. 已知函数，则下列函数中是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析可得，故可得图象的对称中心，故可得正确的选项. 【详解】因为， 故图象的对称中心为， 所以将的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位后图像关于原点对称， 故为奇函数， 故选：B. 11. 若关于的方程在上有且仅有3个解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设有 或，即或， ，讨论在上解的个数求参数范围. 【详解】因为， 所以，解得 或， 即或， ，则在上一定有一个解是， 有以下两种情况： ①在上有且仅有2个异于的解，即且，，解得， ②在上有且仅有3个解，且其中有一个是，即，且或或，无解. 综上，. 故选：D 12. 已知三棱锥 的体积为，高为，其底面是正三角形，且 ，，点P，Q，R分别为， ， 三边上的动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱锥体积公式求出底面三角形的边长，再确定棱锥的高的位置，建立空间直角坐标系，根据点到线的距离公式求出最小值. 【详解】由题可知，所以， 设正三角形的边长为，则，所以 ， 取的中点，连接 ，则， 因为 ，所以， 假设 为三棱锥 的高，则，，所以 因为，，满足， 所以 是三棱锥 的高， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 因为 在上，设， 因为Q在 上，设， 因为在 上，设， 所以到直线的距离为， 到直线 的距离为， 所以， 故选：D 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 设是函数的导函数，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】先对函数求导，然后将代入计算即可. 【详解】因为 ，所以， 所以. 故答案为：2 14. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先由条件求出角，再由正弦定理即可解得的值. 【详解】因为，且，，所以， 由正弦定理可得，即， 即，解得， 故答案为：. 15. 事件 ，，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由事件的包含关系可得，根据对立事件的关系计算可得. 【详解】因为事件 ，， 所以， 因为， 所以，. 故答案为： 16. 若点在圆外，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一般方程表示圆以及点在圆外可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由已知条件可得，解得. 故答案为：. 17. 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点 ，且平分，则此椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，求得，由角平分线定理，结合离心率公式计算即可得到所求值. 【详解】如图，由题意可知， 所以， 所以， 因为平分，所以， 解得，所以，所以离心率， 故答案为：. 18. 平面直角坐标系中，点，分别绕原点逆时针旋转角，后得到，，且，则的最大值为______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】由坐标旋转公式，结合，得到，结合辅助角公式可得，则有，进而有，设，由辅助角公式可将化简为，分别讨论绝对值内的正负，结合辅助角公式即可求得不同情况下的最值，即可求得的最大值. 【详解】点绕原点逆时针旋转角后，坐标变换遵循旋转公式：， 代入，得， 点绕原点逆时针旋转角后，坐标变换遵循旋转公式：， 代入，得， 由可得， 整理得，即， 设 满足，则有， 即，所以， ， 可由任意角的概念消去，后续为方便计算，不再提及，即， ， ， 设， 代入，设， 则有， ①当时， 则， 整理得， 设满足，则有， 易得当时取最大值 ， ②当时， 整理得， 设满足，则有， 易得当时取最大值， ③当时， 整理得， 设满足，则有， 易得当时取最大值， ④当时， ， 整理得 设满足，则有， 易得当时取最大值， 综上，的最大值为 . 故答案为： . 三、解答题：本题共4小题，每小题15分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. 如图所示，已知四棱锥 的底面 是梯形，侧棱 底面 ，，， ，． （1）求证： 平面 ； （2）求直线与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1）连接与 交于点，连接 ，如图所示： 因为 ，所以 ，又 ， 所以 ，又 ，所以， 所以 ，又，故 ， 所以 ，又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件先求出 ，然后根据线面平行的判定定理证明即可； （2）根据题意建立空间直角坐标系，写出相应的点，从而得出相应向量的坐标，求出平面 的法向量，最后利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 底面 ，， 所以 两两互相垂直， 故以点为坐标原点， 分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由 ， 则 ， 又，所以 ， 即，故 ， 由已知得， ， 设平面 的一个法向量 ， 则 ， 令 ，则，，故 ， 设直线 与平面 所成的角为， 所以 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 20. 已知函数． （1）若在处取得极值，求a的值； （2）若在区间上单调递减，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一：求导，根据得，再检验即可； 法二：求导研究函数的极值得在和处取得极值，再结合得解方程即可得答案. （2）由题得在上恒成立，再结合二次函数在区间上恒成立求解即可. 【小问1详解】 解：法一： 因为在处取得极值，所以，解得 检验：将代回得， 令得或， 所以，在和单调递增，在区间单调递减 所以在处取得极小值，满足题意. 所以 法二：令， 因为， 所以有两个实数根，解得 所以和时，，则单调递增，，，则单调递减 所以在和处取得极值 对于， 当时，； 当时，，，， 所以， 因为在处取得极值， 所以，解得. 所以. 【小问2详解】 解：在区间上单调递减，故在上恒成立， 即在上恒成立，令， 故，解得 所以a的取值范围为. 21. 已知过点的直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，当直线垂直于x轴时，的面积为． （1）求抛物线E的方程； （2）过曲线E上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线E于S，T（异于点P）两点，求证：直线 恒过定点． 【答案】（1） （2） 因为过点 作两条相互垂直的直线与抛物线有2个交点， 则直线 的斜率一定存在且不为0， 设其方程为， 联立，得，且有， ， 根据题意，由于过 的两条直线垂直，则， 且有，即， 即 即，化简整理得到，所以， 将其代入，整理得， 若对任意等式都成立，则有，即， 故直线 恒过定点. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，当时，，结合的面积，即可求得的值，进而可求得抛物线E的方程； （2）由题意可得，则直线 的斜率一定存在且不为0，设其方程为，联立后结合韦达定理，可得，因为过 的两条直线垂直，则，结合抛物线方程，可得，代回直线方程即可求得定点. 【小问1详解】 当时，，，所以 由题意可知， 所以 ，所以抛物线的方程为 【小问2详解】 略 22. 已知数列的前n项和为，且满足，又知，． （1）求，； （2）求的通项公式； （3），求的前n项和． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知递推式结合已知条件，代入计算求解； （2）利用已知递推式，运用错位相减法求出递推关系，再分奇、偶项分类讨论求解； （3）先求出的通项公式，再根据的性质，分奇、偶数讨论求解． 【小问1详解】 ，，， ，解得，故； 同理，解得， ． 【小问2详解】 ①， 时， ②， 式①减②得， ， 又符合上式， 数列的奇、偶项分别成等差数列， 当时，首项，公差 ， 则， 当时，首项，公差 ， 则， 综上，． 【小问3详解】 ， i）当时， ， ii）当 时，则， ， 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $