数学一模提分卷03（江苏专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数在复平面内对应的点在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义得出对应点坐标，代入直线方程可得，进而得出复数，最后利用复数乘法运算即可. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为 又点在直线上， 所以，解得， 所以复数， ， 故选：D. 2．设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合的交集，然后求出集合的并集，最后求出阴影部分的元素组成. 【详解】因为， 所以， 所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 3．已知一组样本数据7，9，5，8，4，a的极差为5，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的取值范围进行讨论，即可得出答案. 【详解】当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，符合题意； 当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，不符合题意； 当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，不符合题意； 综上所述，a的取值范围是． 故选：A. 4．“椭圆 的焦点在 y轴”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的焦点位置求出参数范围，再结合充分不必要条件的概念求解即可. 【详解】若椭圆 的焦点在y轴，则，解得. 对于A，由能推出，反之不成立，符合题意； 对于B，由不能推出，不符合题意； 对于C，显然为充要条件，不符合题意； 对于D，由不能推出，不符合题意； 故选：A 5．已知函数与的图象在上恰有5个公共点，且其中一个公共点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先根据经过点，得出只能为整数，排除选项A，C；再结合图像可验证选项B满足题意，选项D不满足题意. 【详解】由题意知经过点， 因此，得：， 即只能为整数，排除选项A，C； 当时，作出与在上的图象： 由图像可得：与的图象在上有5个公共点，满足题意. 当时，作出与在上的图象： 由图象可得：与的图象在上有7个公共点，不满足题意. 故选：B. 6．已知一圆台的侧面展开图扇环的面积为，半径为的球与该圆台的上､下底面及侧面均相切，则圆台的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】上下底面的半径分别为，则由题设可得且，求出后结合公式可求圆台的体积. 【详解】如图，设圆台的上下底面的中心为， 上下底面的半径分别为，一条母线为， 因为展开图扇环的面积为，故， 而半径为的球与该圆台的上､下底面及侧面均相切， 故，且， 故且，故， 故圆台的体积为 故选：B. 7．（热点题型）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得的对称中心和对称轴，进而得到周期性，再根据单调性可得一个周期内的最小值. 【详解】由是奇函数，可得. 由，可得的图象关于对称， 即，则有， 所以，即的周期为. 因为在单调递增，且是奇函数图像关于原点对称， 则在单调递增，即在单调递增. 又因为的图象关于对称，则在单调递减. 所以在一个周期内， 即在上的最小值是. 故选：C 8．已知数列是公比为2的等比数列，且．集合，集合的元素个数构成数列，则数列的前100项的和为（    ） A．480 B．642 C．840 D．5050 【答案】A 【分析】首先求数列的通项公式，再结合题意，可知是满足的正整数的个数，再利用列举的方法，即可求解，再求和. 【详解】设数列的首项为，， 由可知，，，所以， 所以， 由，得，且，所以是满足的正整数的个数， 当时，不存在，满足，所以， 当时，满足，所以， 当时，满足，所以， 当时，满足，所以， 当时，满足，所以， 当时，满足，所以， 当时，满足，所以， 所以数列的前100项的和为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点为空间中的一点，直线过点，且与一对异面直线和均有公共点，则这样的直线可能有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】ABD 【分析】由题意作出图形，构造两平行平面，根据点与平面，直线的不同位置关系分类考虑即得. 【详解】在直线上任取一点，过该点作直线的平行线.记相交直线和确定平面. 在直线上任取一点，过该点作直线的平行线，记相交直线和确定平面，易知， 则任意两条异面直线和均可分别放在两个相互平行的平面和平面内，如图所示， 当点在平面和平面外时，满足条件的直线有且只有一条(如图1)； 当点在平面或者平面内且在直线a，b外时，满足条件的直线有0条（如图2）； 当点在直线或者直线上时，满足条件的直线有无数条（如图3）. 故选：ABD. 10．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．的图象关于轴对称 B．是的一个周期 C．在上为增函数 D． 【答案】ABD 【分析】利用诱导公式证明，结合偶函数定义可判断A；利用可判断B；利用三角函数的性质可判断C；利用导数判断函数的单调性，求得最值，可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以是偶函数，其图象关于轴对称，故A正确； 对于B，， 所以的一个周期是，故B正确； 对于C，令，当时，在上单调递减， 且， 在上单调递增，则在上单调递减， 所以在上单调递减函数，故C错误； 对于D，因为，令， 则，求导得， 由于，所以，单调递增. 当时，取得最大值； 当时，取得最小值. 因为，所以，即 ，故D正确. 故选：ABD. 11．曲线上任意一点到定点的距离与到定直线的距离之和为，则下列说法中正确的有（   ） A．经过 B．曲线上点的横坐标的取值范围是 C．曲线的面积大于 D．曲线上横纵坐标均为整数的点仅有6个 【答案】BC 【分析】根据距离公式求出曲线的方程，将代入方程判断A，根据图象将代入解出的范围判断B，利用三角形的面积公式放缩判断C，将，，，，，，代入曲线的方程求出对应的整数点判断D. 【详解】设点，因为曲线上任意一点到定点的距离与到定直线的距离之和为， 所以曲线的方程为， 当时，得，两边平方得， 当时，得，两边平方得， 所以曲线的大致图象如图所示， 将代入得，所以不经过，A说法错误； 将代入解得，所以由图象得曲线上点的横坐标的取值范围是，B说法正确； 由图象可知曲线的面积，C说法正确； 因为曲线上点的横坐标的取值范围是， 将，，，，，，分别代入，， 解得曲线过点，，，，，， ，，，，，，，， 所以曲线上横纵坐标均为整数的点仅有4个，D说法错误； 故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若在上存在最小值，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得到，再根据的单调性和零点即可得a的取值范围. 【详解】当时，单调递减，没有最小值； 当时，单调递增，其最小值为. 由在上存在最小值，得，即. 因为是的单调增函数，又， 所以. 故答案为： 13．已知随机变量，，且，则 【答案】1 【分析】利用服从二项分布结合已知可得，可求得，进而利用二项分布的期望与方差公式求得期望与方差，结合期望与方差的性质求解即可. 【详解】由题意得，， 由， 得，即，由知， 故，，， 而，， 故． 故答案为：1． 14．在中，内角所对的边分别为，且，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理得，由利用基本不等式可得答案. 【详解】由利用正弦定理得 ， 因为，所以，所以， 的面积，所以 ， 当且仅当时等号成立，． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（创新考法） 平面向量，满足 (1)若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值； (2)若为钝角，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据投影向量的定义及数量积的运算律求解即可； （2）结合利用向量夹角的余弦与数量积的定义，及向量共线的表示求解即可. 【详解】（1）由题意得， 则，即， 因为，则， 所以， ， 所以，解得. （2）由（1）知，， 因为为钝角，所以，即， 若共线，设，即 则，解得或， 要使为钝角，则且， 即实数t的取值范围为． 16．（15分）（原创题） 如图，在四棱锥中，，，，平面平面，，平面和平面的交线为，且. (1)求证：平面； (2)若直线和平面所成角的正弦值为，求平面和平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理逆定理得出 ，结合面面垂直性质推出平面得到，再由，根据线面垂直判定定理得证；（2）先由线面平行判定与性质推出，确定线面角，求出。通过作辅助线找到二面角平面角，进而求出正切值. 【详解】（1）因为，，， 所以. 又因为平面平面且平面平面， 所以平面， 所以. 又因为， 所以平面. （2）因为平面平面，， 所以平面. 又因为平面平面， 所以，则直线和平面所成角的正弦值为. 因为平面， 所以是直线和平面所成角， 故，解得. 如图1，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，连接. 因为平面平面且平面平面， 所以平面， 所以是平面和平面所成角. 设平面和平面所成角为， 因为，， 所以. 17．（15分） 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作斜率为的直线，直线与双曲线交于点，且的内切圆半径恰为. (1)求双曲线的方程. (2)若直线交双曲线的右支于两点，线段的中垂线过点. （i）证明：. （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据给定条件探求出的内切圆圆心坐标，借助点到直线距离公式计算可得，结合求出，进而得离心率； （2）（i）设，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理可得的中点为，进而结合题意列出方程即可求证； （ii）由（i）易得，，，结合弦长公式、两点间距离公式及正切函数的定义可得的取值范围，进而求解即可. 【详解】（1）由题意，，直线方程为：，即， 设的内切圆与三边相切的切点分别为，，， 如图所示， 则， 即，而轴，圆半径为，则， 点到直线的距离：，整理得， 且，解得， 又因为，可得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）设， 联立，则， 所以，即， 且， 则， 则的中点为，即， 因为线段的中垂线过点， 则，整理得. （ii）由（i）知，， 则，， 则，， 则，解得， 又 ， 则, 又， 则，即， 又，则的取值范围为. 18．（17分） 现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为，其中. (1)若，求的分布列和数学期望； (2)求； (3)求证：. 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）分别求出取所有可能的值时的概率，再列出分布列，求出数学期望即可； （2）设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，再求和即可. （3）设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞，这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞，另一个一直保持分裂为个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，再求和得到的解析式，再借助导数求出其最值即可得证. 【详解】（1）的可能取值为， 其中， ， ， ， 所以分布列为 ； （2）个周期结束后共有个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞. 不妨设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞， 此事件概率， 所以 . （3）个周期结束后共有3个细胞，设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞， 这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞， 另一个一直保持分裂为个细胞，此事件的概率 ， 得， ， 其中，. 令，， 记，，令，得. 当，，单调递增； 当，，单调递减， 故， 即. 19．（17分）（创新考法） 已知函数（），且有唯一零点. (1)证明：； (2)证明：； (3)判断数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不存在,理由见解析 【分析】（1）要证，转化为证.设函数，求导分析单调性，得出在取最小值，从而证明不等式. （2）先证： 利用（1）结论得到，结合已知条件推出，再对放缩，通过裂项相消求和证明.再证： 同样用（1）结论得，结合已知推出，再利用放缩，通过对数运算性质证明. （3）先看函数单调性，对函数求导发现导数大于，函数递增.再根据特殊点函数值一正一负，确定零点范围，得到零点满足的等式.构造新函数，求导判断其单调性.利用零点满足的等式和新函数单调性，证明数列递增.假设存在连续三项成等比数列，根据等比中项性质列出等式，化简得到关于公比的方程并求解.通过对数运算得到公比的范围，与前面求出的值矛盾，得出不存在连续三项成等比数列的结论. 【详解】（1）要证，即证. 设，对求导得. 当，，递减；当，，递增. 所以在取最小值，即，原不等式得证. （2）先证： 由（1）知，则，即. 因为，所以，可得. 当，. ，时也满足，所以. 再证： 由（1）得，又，所以，即. 因为，所以，则. . 综上，. （3）对函数求导，导数在时大于，函数递增. ，，所以函数有唯一零点在，且，可化为. 设，其导数，当时，递增. 因为，即，所以.所以. 假设成等比，公比且. 所以，可得，那么. 又因为，，，所以. 进行通分整理：，通分得到，由于，所以. 设数列的公比为，则，，代入可得：， 因为，两边同时除以得到. 对于一元二次方程，解得. 由，相减，根据对数运算法则可得： ，因为，对数函数在上单调递增，所以， 又因为，所以. 所以，与矛盾. 故数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 7 D C B B C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABD ABD BC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2.( 13.1 14.5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解析】(1)由题意得 a.b.a=-a, aa 则￠6 -l,即ab=-aP, 因为==1(6，)=2则g=0, 所以a.6=(+6)(8+8)=tg+(+l66+6=2t, af=(g+e)°=G+2ee,+2g=1+2, 所以2t=-1+t2),解得t=-1.(6分) (2)由(1)知，a.b=2t, 因为(a,b)为钝角，所以ab=2t<0,即t<0, 1/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 若a,b共线，设a=b,即g+te2=1te+e2 1=入t 则上=元，解得2==1或2=1=-山， 要使(a,b)为钝角，则t<0且t≠-1， 即实数t的取值范围为(-0，-1)（-1,0).(13分) 16.(15分) 【解析】(1)因为AD=1,BD=V3,AB=2, 所以AD⊥BD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD且平面PADO平面ABCD=AD, 所以BD⊥平面PAD, 所以BD⊥PA 又因为PA⊥PD, 所以PA⊥平面PBD.(6分) (2)因为平面PABA平面PCD=I,I‖AB, 所以AB‖平面PCD 又因为平面PCDO平面ABCD=CD, 所以ABCD,则直线AB和平面PBD所成角的正弦值为V2 (9分) 因为PA⊥平面PBD, 所以∠ABP是直线AB和平面PBD所成角， 故sn乙ABP=P=9点，解料AP- ΓAB24 2 .(12分) 如图1，过点P作AD的垂线，垂足为E,过点E作AB的垂线，垂足为F,连接PF. 2/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D B 图1 因为平面PAD⊥平面ABCD且平面PADO平面ABCD=AD, 所以PE⊥平面ABCD, 所以∠PFE是平面PAB和平面ABCD所成角. 设平面PAB和平面ABCD所成角为0， 因为PE分ED- 4 所以tan0=tan∠PFE=PE_-2 EF 3 .15分) 17.(15分) 【解析】(1)由题意，F(-c,0,F(c,0,直线1方程为：y=(x-c,即br-ay-bc=0, 设△PFF,的内切圆O与△PFF三边相切的切点分别为Ax,0）,B,C, 如图所示， PFI-PF2 =PC+CFI-(PB+BF2D)=AF-AF2=(xo+c)-(c-x)=2x=2a, 即5=0，面401：轴，圆0半径为9则0a,争， y到直线1的距离：ab-a-(-bcb,整理得4a-3无 a2+b2 3 且c>a,解得c=2a, 3/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 又因为FF2=2c=4,可得a=1,c=2,b2=c2-a2=3, 所以双曲线E的方程为2-二=1.(5分) 3 (2)(i)设G(x,y),H(x2,y2), y=kx+m 联立 x-上-1'则3-k)x2-2me-m2-3=0, 3 所以△=4k2m2+43-k2)m2+3>0,即m2+3>k2, 且x1+x2 35sm23 2km 3-k2 6m 则y+y2=+m+k2+m=k(x+x2)+2m= 3-k2’ 则GH的中点为D十5，上，即D km3m】 (2 2 (3-k23-k2 因为线段GH的中垂线过点K(0,4), 4- 3m 则3上k=-1,整理得m=3-(10分) 0、km 3-k2 (i)由(i)知，m=3-k2, 则x+无=2k,5,=-m+3,D(k,3引， m 则k>0,m<0, 则m2+3>k2=3-m,解得m<-1, G川=V限+13+-4x=P+142+4.m+3 m =P+143-m+4m+5-2e+15+ m 则6o-6m-原T5 m 又KDl=V2+1, 则mGkD=GO-6+三e0,即∠6KD∈0写)： KDV°+m 又∠GKH=2∠GKD,则∠GKH的取值范围为0,3) 2π (15分) 4/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(17分) 【解析】(1)X2的可能取值为1,2,3,4， 英申名==- PX=2)=p(1-pj+1-p)p2=p-p-10 7 P(X:-3)=(1-p)xCixpx(1-p)=2p(I-p)= 27 pX==-p时-司 所以X2分布列为 X2 1 P 3 4 4 10 4 P 9 27 27 27 E(X)=1×4+2×10+3x4+4x 9 ×27 27 (2)n(n∈N)个周期结束后共有2个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成2个细胞， 不妨设细胞在第k个周期时分裂为2个细胞，之后一直有2个细胞， 此事件概率B4=px1-p)xp-=1-p×p21-, 所以P(X。=2)=B+B++B.=∑1-p小p2m1- =-pp2p=p-p)10分) (3)nn∈N)个周期结束后共有3个细胞，设细胞在第k个周期时分裂为2个新的细胞， 5/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 这两个细胞在剩下的(n-k)个周期中，其中一个分裂为2个细胞， 另一个一直保持分裂为1个细胞，此事件的概率 Pk=p1-p小Cp"-.B(n-k)=p-1(1-p)小2p·p-(1-p"), 得k=2p2m2(1-p小p*-2pn-2(1-pp2, P叫X==+R++=2p-p川豆p-2p-p川含p =2p1-p1-p）_2p(p-p)1-p, 1+p (1+p)p1 其中p,peo. 令x=p,P叫x,=3到=2x(p-1-y2x1-1-刘 (1+p)p (1+p)p2 记到=1-，f到=1-1-3，令f=0,得x 当e0》>0,单调降指， '（x)<0,f(x单调递减， 故[fx=f3F27 8 8 即PX,=3引<21+pp2p.17分) 19.(17分) 【解析】(1)要证≥2-2，即证nx+-1≥0 设gW)=nx+1,对g)求导得g(=二 x2 当0<x<1,g'(x)<0,g(x)递减；当x>1,g'(x)>0,g(x)递增 所以gm)在x=1取最小值g)=n1+-1=0,即g)≥0，原不等式得证.(4分) (2)先证2上≤2Nm-: i=1 a: 1 由(1)知nx≥1-，则n。≥1-a,即na,≤a.-1. an 因为ha君+1=0，所-15a-小，可符a,之6 6/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2 当n22,aa+n2--可 125-i+项-可-26-1，a=时也，所以2-1 a 再证21>2hn+2: ia: 2: 由（1)hx≥1-得na,≥1-1， ,又na,=0-1,所以”-11」 a a 即≥2 1 an an n+1 hn则>2h+2 因为nx≤x-1,所以nn+2<1。 an n+1 n+1' 。≥2m3=n2++n0+2)-nm+=2h7+2 2 综上，2n"牛2<2≤2m-1.（10分) 2台a: 对函数求导，导数)=+行在x>0时大于0，函数递 ∠.0=1-n≤0，n+1)=ln(n+1)+1 ,所以函数有唯一零点a,在山n+D,目na,。 可化为a In a+an=n. 设h(x)=xlnx+x,其导数h'(x)=2+nr,当x≥1时h(x)>0,(x)递增. 因为a,In a+an<an+In a+1+al,即h(an)<h(an+),所以an<anl所以an<anl<a+2: 假设an,0+,0n+2成等比，公比9>1且ana+2=a1 所以lnan+lna+2=2lnan+1,可得ln(a,a+2)=ln(a),那么a.Am2=a 又因为na.=”-1,na1-”+1-1,na,2-+2-1,所以”-1+”+2-1=2+1- an+l an+2 an an+2 建滋合业 ,通分得到@a+2=2ma山，由于a,44=i,所以 andn+2 nan+2+(n+2)an=2(n+1)an1. 设数列{an}的公比为q,则an+1=a9,a+2=an9q，代入nan+2+(n+2)an=2(n+1)am+1可得： nan92+(n+2)an=2(n+1)an9, 因为an≠0，两边同时除以an得到nq2-2(n+1)g+n+2=0 对于一元二次方程mg2-2n+1g+n+2=0,解得g=n+2 n 由na,=”-1,na=”+1-1相减，根据对数运算法则可得： a。 an+ na-a+）-mu,因为nq=h>0,对数函数y=lnx在0，+o)上单调递增，所以 an anan+l a 7/8 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 a,n+1)-na1>0, anan+ 又因为anan1>0,所以an(n+I)-nan+1>0. am，与9=”+2矛盾 所以9=01<n+1, 故数列{an}中不存在连续三项按某顺序构成等比数列.(17分) 8/8■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 粉 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 口 3[A[B][C][D] 7 [A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 11[A][B][CI[D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 知 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………… …… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数在复平面内对应的点在直线上，则（   ） A． B． C． D． 2．设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 3．已知一组样本数据7，9，5，8，4，a的极差为5，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．“椭圆 的焦点在 y轴”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数与的图象在上恰有5个公共点，且其中一个公共点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 6．已知一圆台的侧面展开图扇环的面积为，半径为的球与该圆台的上､下底面及侧面均相切，则圆台的体积等于（    ） A． B． C． D． 7．（热点题型）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．已知数列是公比为2的等比数列，且．集合，集合的元素个数构成数列，则数列的前100项的和为（    ） A．480 B．642 C．840 D．5050 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点为空间中的一点，直线过点，且与一对异面直线和均有公共点，则这样的直线可能有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 10．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．的图象关于轴对称 B．是的一个周期 C．在上为增函数 D． 11．曲线上任意一点到定点的距离与到定直线的距离之和为，则下列说法中正确的有（   ） A．经过 B．曲线上点的横坐标的取值范围是 C．曲线的面积大于 D．曲线上横纵坐标均为整数的点仅有6个 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若在上存在最小值，则a的取值范围是 . 13．已知随机变量，，且，则 14．在中，内角所对的边分别为，且，则面积的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（创新考法） 平面向量，满足 (1)若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值； (2)若为钝角，求实数t的取值范围． 16．（15分）（原创题） 如图，在四棱锥中，，，，平面平面，，平面和平面的交线为，且. (1)求证：平面； (2)若直线和平面所成角的正弦值为，求平面和平面所成角的正切值. 17．（15分） 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作斜率为的直线，直线与双曲线交于点，且的内切圆半径恰为. (1)求双曲线的方程. (2)若直线交双曲线的右支于两点，线段的中垂线过点. （i）证明：. （ii）求的取值范围. 18．（17分） 现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为，其中. (1)若，求的分布列和数学期望； (2)求； (3)求证：. 19．（17分）（创新考法） 已知函数（），且有唯一零点. (1)证明：； (2)证明：； (3)判断数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数在复平面内对应的点在直线上，则（   ） A． B． C． D． 2．设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 3．已知一组样本数据7，9，5，8，4，a的极差为5，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．“椭圆 的焦点在 y轴”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数与的图象在上恰有5个公共点，且其中一个公共点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 6．已知一圆台的侧面展开图扇环的面积为，半径为的球与该圆台的上､下底面及侧面均相切，则圆台的体积等于（    ） A． B． C． D． 7．（热点题型）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．已知数列是公比为2的等比数列，且．集合，集合的元素个数构成数列，则数列的前100项的和为（    ） A．480 B．642 C．840 D．5050 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点为空间中的一点，直线过点，且与一对异面直线和均有公共点，则这样的直线可能有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 10．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．的图象关于轴对称 B．是的一个周期 C．在上为增函数 D． 11．曲线上任意一点到定点的距离与到定直线的距离之和为，则下列说法中正确的有（   ） A．经过 B．曲线上点的横坐标的取值范围是 C．曲线的面积大于 D．曲线上横纵坐标均为整数的点仅有6个 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若在上存在最小值，则a的取值范围是 . 13．已知随机变量，，且，则 14．在中，内角所对的边分别为，且，则面积的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（创新考法） 平面向量，满足 (1)若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值； (2)若为钝角，求实数t的取值范围． 16．（15分）（原创题） 如图，在四棱锥中，，，，平面平面，，平面和平面的交线为，且. (1)求证：平面； (2)若直线和平面所成角的正弦值为，求平面和平面所成角的正切值. 17．（15分） 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作斜率为的直线，直线与双曲线交于点，且的内切圆半径恰为. (1)求双曲线的方程. (2)若直线交双曲线的右支于两点，线段的中垂线过点. （i）证明：. （ii）求的取值范围. 18．（17分） 现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为，其中. (1)若，求的分布列和数学期望； (2)求； (3)求证：. 19．（17分）（创新考法） 已知函数（），且有唯一零点. (1)证明：； (2)证明：； (3)判断数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $