精品解析：甘肃省武威第九中学2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试卷

2025-2026学年第一学期第一次月考试卷 九年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 3. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的内接正六边形的边长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，均为的切线，分别为切点，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，弦于点E，，，则圆心到弦的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，点C，D，E在圆上，，则（ ） A. B. C. D. 8. 以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（ ） A. 不能构成三角形 B. 这个三角形是等腰三角形 C. 这个三角形是直角三角形 D. 这个三角形是钝角三角形 9. 已知二次函数（）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） ①；②；③；④当时，；⑤． A. ①②③ B. ①②④⑤ C. ①③④ D. ①②④ 10. 如图，在矩形中，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，过点作对角线的垂线，垂足为，设的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 关于x的方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是__________． 12. 一直角三角形的两直角边长是方程的两个根，此直角三角形内切圆的半径___________． 13. 点是的外心，若，则_____°． 14. 将抛物线的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为_______． 15. 如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，那么______． 16. 如图，扇形的半径为6，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为__． 17. 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，以为弦的与轴相切．若点的坐标为，则圆心的坐标为___________． 18. 如图，已知是半圆上的三等分点，连接和相交于点，有下列结论：①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的有______（填序号）． 三、解答题（本大题共9小题，共66分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 解一元二次方程： （1）； （2）． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的外接圆；作的角平分线交于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若AC =6，BC =8，求AD的长． 21. 已知抛物线经过，， （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出____________，____________； （3）点是抛物线上第一象限内的一点，若，求点的坐标． 22. 如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． （1）求证：． （2）连接．若，求的度数． 23. 如图，在边长为4的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 如图， 在 中，是直径，是弦，平分且与交于点， 过作交的延长线于点． （1）求证： 是的切线； （2）若 ， 求的直径． 25. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； （3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 26. 如图，▱ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE，AC，AE． （1）求证：△AED≌△DCA． （2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积． 27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）若为抛物线对称轴上一动点，求使为直角三角形的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期第一次月考试卷 九年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟记因式分解法解一元二次方程的方法步骤是解决问题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴（提取公因式）， ∴或， ∴， 故选：A． 3. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得y1，y2，y3的值，比较大小即可． 【详解】解：∵，，是抛物线上的三点， ∴，，， ∵1＞-2＞-7， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 4. 如图，的内接正六边形的边长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据圆内接正六边形的性质求出中心角，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后利用弧长公式即可得． 【详解】图，连接OB、OC， 由题意得：， 正六边形是的内接正六边形， 中心角， 又， 是等边三角形， ， 则的长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接正六边形的性质、弧长公式等知识点，熟练掌握圆内接正六边形的性质是解题关键． 5. 如图，均为的切线，分别为切点，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，熟记圆的切线长定理是解决问题的关键． 根据题意，由切线长定理得到，数形结合表示出的周长，等量代换转化为求解即可得到答案． 【详解】解：均为的切线，分别为切点， 由切线长定理可知， 的周长 （）， 故选：D． 6. 如图，是的直径，弦于点E，，，则圆心到弦的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理与勾股定理，利用圆周角定理判断出与的关系是解题的关键． 根据，判断出，所以为含特殊角的直角三角形，已知的长度，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：∵， ∴，∵， ∴， ∴， ∴，结合勾股定理， 解得， 故选A 7. 如图，是的直径，点C，D，E在圆上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90度，圆内接四边形的性质．连接，得出，，再利用圆内接四边形对角互补求解可得出答案． 【详解】解：连接， ∵同弧所对的圆周角相等， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（ ） A. 不能构成三角形 B. 这个三角形是等腰三角形 C. 这个三角形是直角三角形 D. 这个三角形是钝角三角形 【答案】C 【解析】 【详解】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形解答． 解：（1）因为OC=1，所以OD=1×sin30°=； （2）因为OB=1，所以OE=1×sin45°=； （3）因为OA=1，所以OD=1×cos30°=． 因为 ， 所以这个三角形是直角三角形． 故选：C. 【点睛】本题考查多边形的半径、边心距、中心角等概念，还考查了勾股定理的逆定理,解直角三角形，解题的关键是构造直角三角形. 9. 已知二次函数（）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） ①；②；③；④当时，；⑤． A. ①②③ B. ①②④⑤ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则，抛物线与轴交于正半轴，则， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴有2个交点， ∴，故②正确； ∵抛物线过点， ∴，故③不正确； ∵抛物线过点，对称轴为直线，则抛物线与轴的另一个交点为， 根据函数图象可得当时，，故④正确； ∵，则，故⑤错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，过点作对角线的垂线，垂足为，设的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及矩形性质、含的直角三角形性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分类讨论，准确得到与的函数关系式是解决问题的关键． 根据题意，分点在上和点在上，作出图形，运用含的直角三角形性质求出长度，由三角形面积公式表示出与的函数关系式，根据二次函数图象与性质分析即可得到答案． 【详解】解：当点在上时，如图所示： 在矩形中，，则， ， 在中，， 设的面积为， ， 则，， 是二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为轴，符合要求的是B选项中的图； 当点在上时，如图所示： 在矩形中，，则， 设的面积为， ， ， 在中，，，则， 则，， 是二次函数，图象为抛物线，开口向下，对称轴为，符合要求的是B选项中的图； 综上所述，能表示与的函数关系的图象大致是， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 关于x的方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的方程（k-1）x2+4x-1=0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， ∴k的取值范围是且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△＞0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 12. 一直角三角形的两直角边长是方程的两个根，此直角三角形内切圆的半径___________． 【答案】 【解析】 【分析】先解一元二次方程得到两条直角边长，再利用勾股定理求斜边长，然后作出图形，根据等面积法列方程求内切圆半径即可得到答案． 【详解】解：， 因式分解得， 解得，， 即直角三角形的两条直角边长分别为6和8， 在直角三角形中，由勾股定理可得，斜边长为， 在中，，点是切点，连接，连接，如图所示： ，， ， 设内切圆的半径为， 则， 即， 解得， 则此直角三角形内切圆的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元二次方程、勾股定理、等面积法求直角三角形内切圆半径、解一元一次方程等，熟记一元二次方程解法、勾股定理及三角形内切圆性质是解决问题的关键． 13. 点是的外心，若，则_____°． 【答案】或##140或40 【解析】 【分析】利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出的度数． 【详解】如图所示： ∵是的外心，， ∴， ∴， ∴的度数为：或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理以及圆内接四边形的性质是解题的关键． 14. 将抛物线的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为_______． 【答案】． 【解析】 【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案． 【详解】解：将抛物线的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位， 所得图象的解析式为：． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 15. 如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，那么______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 16. 如图，扇形的半径为6，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为__． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出扇形的弧长，然后再根据圆的面积公式求得圆锥的底面半径即可． 【详解】解：扇形的弧长， 圆锥的底面半径为． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了圆锥的展开图、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解答本题的关键． 17. 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，以为弦的与轴相切．若点的坐标为，则圆心的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点M作MD⊥AB于D，连接AM．设⊙M的半径为R，因为四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边AB为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为（0，8），所以DA=AB=4，DM=8-R，AM=R，又因△ADM是直角三角形，利用勾股定理即可得到关于R的方程，解之即可． 【详解】解：过点M作MD⊥AB于D，交OC于点E．连接AM， 设⊙M的半径为R． ∵以边AB为弦的⊙M与x轴相切，AB∥OC， ∴DE⊥CO， ∴DE是⊙M直径的一部分； ∵四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，点A的坐标为（0，8）， ∴OA=AB=CB=OC=8，DM=8-R； ∴AD=BD=AB =4（垂径定理）； 在Rt△ADM中， 根据勾股定理可得AM2=DM2+AD2， ∴R2=（8-R）2+42， ∴R=5． ∴M（-4，5）． 故答案为：（-4，5）． 【点睛】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理及正方形的性质．解题时，需仔细分析题意及图形，利用勾股定理来解决问题． 18. 如图，已知是半圆上的三等分点，连接和相交于点，有下列结论：①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的有______（填序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①首先根据点C，D是半圆上的三等分，求出的度数；然后根据圆周角定理，求出的度数即可；②根据三角形的内角和定理，求出，即可判断出；③根据垂径定理判断出E是的中点，然后得到是的中位线，即可判断出，④先证明，再证明是等边三角形，得到，根据菱形的判定方法可判断四边形是菱形. 【详解】解：连接， ∵已知是半圆上的三等分点， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴，故②正确； ∴，， ∴是的中位线， ∴，故③正确； ∵是半圆O的直径， ∴，又， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是平行四边形，又， ∴四边形是菱形．故④正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦三者的关系，菱形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的内角和定义及中位线性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共9小题，共66分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟记公式法、因式分解法解一元二次方程的方法步骤是解决问题的关键． （1）由公式法解一元二次方程，先计算判别式，再由求根公式代值计算即可得到答案； （2）先由完全平方公式及平方差公式因式分解得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， 则， ，； 【小问2详解】 解：， ， 则， 即， 或， 解得，． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的外接圆；作的角平分线交于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若AC =6，BC =8，求AD的长． 【答案】（1）作图如下： ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据外接圆，角平分线的作法作图即可； （2）连接AD，OD，根据CD平分，得°，根据圆周角与圆心角的关系得到°，在中计算AB，在中，计算AD． 【详解】（1）略 （2）连接AD，OD，如图所示 由（1）知：平分，且° ∴° ∴° 在中，， ∴，即 在中， 21. 已知抛物线经过，， （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出____________，____________； （3）点是抛物线上第一象限内的一点，若，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为：，顶点坐标为： （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）将点与点的坐标代入抛物线的解析式即可求出与的值； （2）根据（1）中抛物线的解析式，先求出该图像与轴的交点的坐标，并确定该图像的最值，根据图像即可求出当时，的取值范围，从而得出答案； （3）过点作轴于点，设，根据（2）中所得点的坐标，然后根据三角形面积公式和梯形面积公式，利用进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 化成顶点式为：， ∴顶点坐标为：． ∴抛物线的解析式为：，顶点坐标为：． 【小问2详解】 由（1）知：， ∵二次项系数， ∴图像开口向下，当时，可取得最大值为， 当时，， ∴，且， ∴当时，的取值范围为：， ∴当时，，． 故答案为：；． 【小问3详解】 过点作轴于点，设， ∵点是抛物线上第一象限内的一点， ∴，，， ∵，，，， ∴，，，，， ∴， 即：， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴当时，， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，考查待定系数法求解析式，二次函数图像的性质，解方程，等积法求面积等知识．理解和掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 22. 如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． （1）求证：． （2）连接．若，求的度数． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，如图所示，由同弧所对的圆周角相等得到，再由内心性质得到，，结合外角性质得到，再由，等量代换即可得到，结合等腰三角形的判定与性质即可得证； （2）由（1）知，再由圆周角定理及三角形内角和定理可得，再由三角形内心的性质得到，，然后在中，由三角形内角和定理代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ， ， 点是的内心， 平分，平分， ，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 由（1）知， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 点是的内心， 平分，平分， ，， 在中， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及同弧所对的圆周角相等、三角形内心性质、角平分线定义、外角性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形内角和定理等知识，熟记三角形内心等相关几何性质，掌握圆中求角度的方法是解决问题的关键． 23. 如图，在边长为4的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知，从而得到，通过证明即可； （2）设，则，，在中，利用勾股定理列出方程即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵将绕点A顺时针旋转90°得到， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 设，则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 即． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键． 24. 如图， 在 中，是直径，是弦，平分且与交于点， 过作交的延长线于点． （1）求证： 是的切线； （2）若 ， 求的直径． 【答案】（1）证明见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）连接 ，由题意可得，可证，根据切线的判定可证得结论； （2）过点 作， 垂足为可证明四边形是矩形，可得，再根据勾股定理可求长，即可求的直径． 【小问1详解】 如图， 连接 ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 如图， 过点 作， 垂足为 ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在 Rt 中，， ， ， ， 的直径是 10 ． 【点睛】本题考查切线的判定，勾股定理，垂径定理，角平分线的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． 25. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； （3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即与之间的函数关系式是，且是整数）； 【小问2详解】 由题意可得， ， 即与之间的函数关系式是； 【小问3详解】 由（2）知：， ，且是整数， 当或41时，取得最大值，此时， 答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元． 26. 如图，▱ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE，AC，AE． （1）求证：△AED≌△DCA． （2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积． 【答案】(1)证明见解析；（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，AB=AE，易证得四边形AECD是等腰梯形，即可得AC=DE，然后由SSS，即可证得：△AED≌△DCA； （2）由DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，可求得∠EAD的度数，继而求得∠BAE的度数，然后由扇形的面积公式求得阴影部分（扇形）的面积． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD∥BC， ∴四边形AECD是梯形， ∵AB=AE， ∴AE=CD， ∴四边形AECD是等腰梯形， ∴AC=DE， 在△AED和△DCA中， ， ∴△AED≌△DCA（SSS）； （2）解：∵DE平分∠ADC， ∴∠ADC=2∠ADE， ∵四边形AECD是等腰梯形， ∴∠DAE=∠ADC=2∠ADE， ∵DE与⊙A相切于点E， ∴AE⊥DE， 即∠AED=90°， ∴∠ADE=30°， ∴∠DAE=60°， ∴∠DCE=∠AEC=180°﹣∠DAE=120°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=∠DCE=120°， ∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=60°， ∴S阴影=×π×22=π． 考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；扇形面积的计算． 27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）若为抛物线对称轴上一动点，求使为直角三角形的点的坐标． 【答案】（1） （2）或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将、代入二次函数求解即可得到答案； （2）由（1）知，二次函数的解析式为，得到对称轴为，先求出，再计算，，，根据为直角三角形，分三种情况，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：将、代入二次函数得， ， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，二次函数的解析式为， 对称轴为， 令，则， 解得或， ， 设抛物线对称轴上一动点， 、， ，，， 当时，由勾股定理可得， 则， 解得，则； 当时，由勾股定理可得， 则， 解得，则； 当时，由勾股定理可得， 则， 即， ， ，则或， 综上所述，使为直角三角形的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象与性质、抛物线与轴交点坐标、勾股定理、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，掌握待定系数法求函数解析式的方法，根据直角三角形特征分类讨论是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $