精品解析：辽宁省七校协作体2025-2026学年高一上学期12月联考数学试题

2025-2026学年度（上）高一七校12月联考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题校：丹东四中 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求. 1. 集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2. 已知函数定义域为，则“”是“是奇函数”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，与是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则 A. B. C. D. 5. 已知幂函数是偶函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 7. 设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知样本数据，（）（），则（ ） A. 若样本数据的极差为R，则样本数据的极差为 B. 若样本数据的平均值为，则样本数据的平均值为 C. 若样本数据的众数为N，则样本数据的众数为 D. 若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知偶函数满足：时，，则下列结论正确的有（ ）． A. B. ， C. 的值域为 D. 的解集为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数且的图象过定点，则___________． 13. 已知关于的不等式的解集为或，则的解集为__________ 14. 当时，，则实数的取值范围是_______________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）将下图中的阴影部分表示的集合. （2）已知，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 某体育学校为储备人才，准备通过测试（按照测试成绩高分优先录取的原则）录用学生300人，其中测试成绩前100名的学生为第一梯队，剩余的200名学生为第二梯队.实际报名学生为1000人，测试满分为100分.测试后，对学生的测试成绩进行了抽样分析，得到如图所示的频率分布直方图. （1）估计此次测试的平均成绩； （2）试估计该学校本次测试的录取分数，并判断测试成绩为88分的学生甲能否被录取？若能被录取，能否进入第一梯队？ 17. 已知函数． （1）当时，证明：为偶函数； （2）当时，直接写出的单调性，并解不等式； （3）当时，是否存在实数a，使得的最小值为4，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 18. 已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. （1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； （2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 19. 对于二次函数，存在实数，使得成立，则称为关于参数的不动点. （1）当时，求关于参数2的不动点. （2）当时，函数 在上存在唯一一个关于参数的不动点，求实数的取值范围. （3）对于任意的，总存在，使得函数有关于参数的两个相异的不动点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）高一七校12月联考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题校：丹东四中 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求. 1. 集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数. 【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为. 故选：D. 2. 已知函数定义域为，则“”是“是奇函数”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的定义结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】因为函数定义域为，若为奇函数，则， 若，满足，但函数为偶函数，不是奇函数， 所以是为奇函数的必要不充分条件， 故选：B. 3. 下列函数中，与是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐项验证函数的定义域和对应关系是否都相同即可. 【详解】由题意，函数的定义域为. 对于A，函数的定义域为，但，故A错误； 对于B，函数的定义域为，但，故B正确； 对于C，函数的定义域为，故C错误； 对于D，函数的定义域为，故D错误； 故选：B. 4. 已知，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量比较，运用中间量比较 【详解】则．故选B． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 5. 已知幂函数是偶函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义与性质，列不等式求出的取值范围，再结合函数奇偶性的定义验证是否满足条件即可． 【详解】函数在上单调递减， 所以，即，解得， 又因为，所以或或， 当或时，，其定义域为，，此时为奇函数，不满足题意； 当时，，其定义域为，，此时为偶函数，满足题意. 所以. 故选：B 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用将原式化为，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：D. 7. 设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论解不等式，判断不可能的解集. 【详解】关于的不等式， 若，不等式为，解得，此时解集为； 若，方程，解得或， 时，不等式解得或，此时解集为； 时，，不等式解得，此时解集为； 时，，不等式解集为， 时，，不等式解得，此时解集为； 所以不等式的解集不可能是. 故选：B 8. 已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及对称性，即可求解. 【详解】由于为偶函数，故， 又是奇函数，故，所以， 故选：A 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知样本数据，（）（），则（ ） A. 若样本数据的极差为R，则样本数据的极差为 B. 若样本数据的平均值为，则样本数据的平均值为 C. 若样本数据的众数为N，则样本数据的众数为 D. 若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据极差的定义即可判断A；根据平均数的性质即可判断B；根据众数的定义即可判断C；根据方差的性质即可判断D. 【详解】对于A，设样本数据中，最大值为，最小值为，则， 由于在上单调递增， 故样本数据中，最大值为，最小值为， 故， 则样本数据的极差为，故A正确： 对于B，由平均数的性质可得，样本数据的平均值为，故B错误； 对于C，根据众数的定义可得，样本数据的众数为，故C正确； 对于D，根据方差的性质可知，样本数据的方差为，故D正确， 故选：ACD． 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，将指数式化为对数式，得到A正确；BC选项，由对数运算法则进行判断；D选项，由换底公式进行求解. 【详解】A选项，因为，所以，A正确； B选项，因为，所以，B错误； C选项，，C正确； D选项，由A选项得，D错误. 故选：AC 11. 已知偶函数满足：时，，则下列结论正确的有（ ）． A. B. ， C. 的值域为 D. 的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法可判断A选项，利用消元法可得函数解析式即可判断B选项，利用均值不等式可得值域即可判断C选项，解不等式，结合偶函数可判断D选项. 【详解】A选项：取，则，所以，A选项错误； B选项：由当时，，则， 解得， 当时，，则， 由函数为偶函数，所以当时，，B选项正确； C选项：当时，， 又函数为偶函数，所以当，， 即函数的值域为，C选项正确； D选项：当时。令，解得或， 又因为函数为偶函数，则的解集为，D选项错误； 故选：BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数且的图象过定点，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据指数型函数定点问题，当指数求解即可． 【详解】令，则，故的图象过定点， 则，故． 故答案为：3． 13. 已知关于的不等式的解集为或，则的解集为__________ 【答案】 【解析】 【分析】先由原不等式的解集确定二次方程的根与的符号，再通过根与系数的关系得到、与的关系，代入目标不等式后化简求解. 【详解】由的解集可知，，且方程的根为和. 由根与系数的关系，，得；，得. 将、代入，得. 因，两边除以得，即. 因式分解得，解得. 故答案为：. 14. 当时，，则实数的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题首先可根据当时得出，然后通过函数与函数的单调性将转化为，最后通过计算即可得出结果. 【详解】因为当时，，所以当时，，， 因为为增函数，函数为减函数， 所以即， 即，，解得，实数的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用指数函数与对数函数的性质解不等式，能否根据指数函数与对数函数的单调性将转化为是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）将下图中的阴影部分表示的集合. （2）已知，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用交集运算求解即可； （2）把必要不充分条件转化为集合的真包含关系，再讨论端点取值范围即可求解. 【小问1详解】 由，， 结合图象可得阴影部分表示的集合为； 【小问2详解】 由“”是“”的必要不充分条件，则， 因为，所以， 即， 所以， 故实数的取值范围. 16. 某体育学校为储备人才，准备通过测试（按照测试成绩高分优先录取的原则）录用学生300人，其中测试成绩前100名的学生为第一梯队，剩余的200名学生为第二梯队.实际报名学生为1000人，测试满分为100分.测试后，对学生的测试成绩进行了抽样分析，得到如图所示的频率分布直方图. （1）估计此次测试的平均成绩； （2）试估计该学校本次测试的录取分数，并判断测试成绩为88分的学生甲能否被录取？若能被录取，能否进入第一梯队？ 【答案】（1）79 （2）85分；能录取，但不能进入第一梯队． 【解析】 【分析】（1）根据样本频率分布直方图估计平均数. （2）根据样本频率分布直方图估计88分的学生所在的位置，进行判断. 【小问1详解】 此次测试的平均成绩为： . 【小问2详解】 由题意可知，录取率为，能进入第一梯队的概率为； 设录取分数为，因为分数落在的概率为0.1， 分数落在的概率为0.4， 所以，令，解得， 所以录取分数大概为85分，进入第一梯队的分数大概为90分， 所以学生甲能被录取，但不能进入第一梯队． 17. 已知函数． （1）当时，证明：为偶函数； （2）当时，直接写出的单调性，并解不等式； （3）当时，是否存在实数a，使得的最小值为4，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当a=1时，f(x)=ex+e−x，f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称， 因为，所以是偶函数； （2）在上递增，不等式解集为 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）当时，利用函数奇偶性定义可证明为偶函数； （2）当时，根据指数函数的单调性可得的单调性，将不等式化为，再利用函数的单调性求解即可； （3）当时，根据基本不等式求出函数的最小值，再根据的最小值为4，列方程求解即可， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 因为都是R上的单调递增函数， 所以在上递增， 不等式，即， 所以， 即不等式的解集为； 【小问3详解】 当时，，且， 所以，当且仅当，即时等号成立， 因为的最小值为4，所以， 即存在，使得的最小值为4. 18. 已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. （1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； （2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 【答案】（1），或； （2），取最小值时，取最大值时. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出，再利用单调性解不等式. （2）由（1）的结论求出并换元，转化为二次函数求解. 【小问1详解】 函数定义域为，且在上单调， 由函数在区间上的最大值与最小值之和为， 得，即，解得， 于是； ， 解，得或； 解，即，得或， 因此或， 所以不等式的解集或. 【小问2详解】 由（1）知，， 令，由，得，， 当时，，此时；当时，，此时， 所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时. 19. 对于二次函数，存在实数，使得成立，则称为关于参数的不动点. （1）当时，求关于参数2的不动点. （2）当时，函数 在上存在唯一一个关于参数的不动点，求实数的取值范围. （3）对于任意的，总存在，使得函数有关于参数的两个相异的不动点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由不动点的定义解方程即可； （2）将在上有两个不同解转化为函数有唯一交点，结合后双勾函数的性质即可得解；. （3）由已知可得有两个不等的实根，即，将问题转化为对于任意的，总存在，使成立，进而转化为存在，，整理得存在，，令，，进而转化为求在上的最大值，进而解即可. 【小问1详解】 当时，， 令， 即，解得或， 所以关于参数2的不动点为； 【小问2详解】 当时，， 因为函数 在上存在唯一一个关于参数的不动点， 所以方程在上有唯一实数根， 即方程在上有唯一实数根， 则函数有唯一交点， 由双勾函数的性质可得，函数在上递减，在上递增， 当时，，当时，， 作出函数如图所示： 由图可知，或； 【小问3详解】 由题意知，函数有关于参数的两个相异的不动点， 所以方程，即恒有两个不等实根， 则， 所以对于任意的，总存在，使成立， 即存在，，， 所以存在，， 即存在，， 即，， 令，， 对称轴为， 当，即时，， 所以，解得； 当，即时，， 所以，解得或， 综述所述，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $