第15讲 角（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年苏科版七年级数学上册同步讲义与测试

本初中数学讲义聚焦“角”的核心知识点，从静态（公共端点射线组成）与动态（射线旋转形成）概念切入，系统梳理角的表示方法、度量换算、补余角及性质，延伸至角的比较、尺规作图、角平分线，拓展方向角内容，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料亮点在于18类题型覆盖全面，结合钟面角计算、方向角表示等实际情境，强化训练分选择填空解答题分层设计。通过图示直观呈现角的动态形成培养几何直观，几何语言表达补余角性质培养推理意识，实际问题提升应用意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

第15讲 角（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.角的概念 2.角的表示方法 3.角的度量、换算与运算 4.补角、余角 5.补角、余角的性质 6.角的比较 7.用直尺和圆规作一个角等于已知角 8.角平分线 9.方向角(拓展点) 题型巩固 一、角的概念理解 二、角的表示方法 三、角的分类 四、钟面角 五、方向角的表示 六、与方向角有关的计算题 七、角的单位与角度制 八、角的度数大小比较 九、三角板中角度计算问题 十、几何图形中角度计算问题 十一、角度的四则运算 十二、尺规作一个角等于已知角 十三、角平分线的有关计算 十四、角n等分线的有关计算 十五、求一个角的余角 十六、求一个角的补角 十七、与余角、补角有关的计算 十八、同(等)角的余(补)角相等的应用 强化训练 单选题（10） 填空题（6） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.角的概念 1. 角的概念 概念 示例 组成元素 “静”态的观点 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角 这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的大小与所画边的长短无关 “动”态的观点 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 起始位置的边叫作角的始边，终止位置的边叫作角的终边 2. 平角与周角 在射线OA绕点O旋转一周的过程中，当终止位置OB(终边)与起始位置OA(始边)成一条直线时，所成的角叫作平角，如图6.2-1；当终止位置OB(终边)与起始位置OA(始边)重合时，所成的角叫作周角，如图6.2-2. 知识点2.角的表示方法 角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下几种 图例 记法 说明 用三个大写字母表示左图的角记作∠ AOC 字母 O 表示顶点，要写在中间，A，C 表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角(小于平角的角) 用一个大写字母表示左图的角记作∠O 当一个角的顶点处只有一个角时，可用这个顶点字母来表示这个角 用数字1，2，3，…表示，或用小写希腊字母α，β，…表示 ∠ AOB 可记作∠ 1，∠ BOC 可记作∠ 2， ∠ DOC 可记作∠α 要在靠近角的顶点处加上弧线，该表示法形象直观，只方便表示单独的角，不方便表示含有角的角 如∠AOC，∠BOD，∠AOD. 注意： 角的符号应书写标准，“∠”不可与“<”混淆. 知识点3.角的度量、换算与运算 1. 角的度量单位 角的度量一般采用角度制，常用的度量单位是度、分、秒. 把一个周角360等分，每一份叫作1度的角，记作1 °； 把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1 ′； 把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1 ″. 1°＝60′，1′＝60″. 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制，除角度制外，角的度量制还有弧度制等. 2. 等角的概念 如果两个角的度数相等，那么就称这两个角相等，简称等角. 两个等角可以重合，可以重合的角也都相等. 3. 常见的角的分类 锐角：大于0°且小于90°的角. 钝角：大于90°且小于180°的角. 1直角＝ 90°，1平角＝180°，1周角＝360°. 4. 角的度量工具 量角器、经纬仪、测角器等. 我们常用量角器测量角的大小： 5. 角的和差 设有两个角∠1和∠2(∠1>∠2)，如图6.2-4 ① . 把∠2移到∠1上，使它们的顶点重合，一条边重合. (1)两角的和：当∠2在∠1的外部时，如图6.2-4 ②它们的另两边(非重合的边)所组成的角就是它们的和，记作：∠BAC＝∠1＋∠2 . (2)两角的差：当∠2在∠1的内部时，如图6.2-4 ③它们的另两边(非重合的边)所组成的角就是它们的差，记作：∠GEH＝∠1－∠2. 知识点4.补角、余角 名称 概念 示例 几何语言 补角 如果两个角的度数之和等于180 °(平角)，那么这两个角互为补角，简称互补. 其中一个角是另一个角的补角 如果∠1＋∠2＝180 °，那么∠1和∠2互补，或∠1是∠2的补角，或∠2是∠1的补角 续表： 名称 概念 示例 几何语言 余角 如果两个角的度数之和等于90°(直角)，那么这两个角互为余角，简称互余. 其中一个角是另一个角的余角 如果∠3＋∠4＝90 °， 那么∠3和∠4互余， 或∠3是∠4的余角，或∠4是∠3的余角 知识点5.补角、余角的性质 文字描述 几何语言 补角的 性质 同角的补角相等 因为∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，所以∠2＝∠3 等角的补角相等 因为∠1＋∠2＝180°，∠3＋ ∠4＝180°，且∠1＝∠3，所以∠2＝∠4 续表： 文字描述 几何语言 余角的性质 同角的余角相等 因为∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，所以∠ 2＝∠ 3 等角的余角相等 因为∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝∠3，所以∠2＝∠4 知识点6.角的比较 1. 角的比较方法 度量法和叠合法. (1)度量法 用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. (2)叠合法 把要比较的两个角叠合在一起，使它们的顶点和一条边分别重合，通过比较另一条边的位置来比较两个角的大小，如图6.2-9. 特别提醒：使用叠合法比较角的大小时要注意两点： (1)重合，即顶点重合，一条边重合； (2)同侧，即另一条边放在重合边的同一侧. 2. 角的大小关系 对于任意的∠α和∠β，下列三种关系中有且只有一种成立：∠α< ∠β, ∠α＝∠β，∠α> ∠β. 知识点7.用直尺和圆规作一个角等于已知角 尺规作图：如图6.2-12，已知∠AOB，作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB . 步骤 作图 ① 以点O为圆心，任意长为半径作弧， 分别交OA，OB于点C，D. ② 作射线O′A′. 以点O′ 为圆心，OC长为半径作弧PQ，交O′A′ 于点C′. 续表： 步骤 作图 ③ 以点C′为圆心，CD长为半径作弧，交弧PQ于点D′. ④ 过点O′，D′作射线O′B′.∠A′O′B′ 即为所求. 知识点8.角平分线 1. 概念 如果从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个相等的角，那么，这条射线叫作这个角的平分线. 2.几何语言：如图6.2-15，如果OC是∠AOB的平分线，那么∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC.反之，如果∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，那么OC是∠AOB的平分线. 3. 拓展 角的n等分线 类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角，叫作角的n等分线，例如角的三等分线、四等分线等. 知识点9.方向角(拓展点) 1. 方向角 一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向所成的角(一般指锐角). 如图6.2-18 ①， 图中的点O是观测点，射线OA的方向是北偏东30°；射线OB的方向是北偏西65°；射线OC的方向是南偏西25°. 2. 特殊方向角 (1)如图6.2-18 ②，东北方向表示以正北方向为起始方向，向东旋转45° 时的射线的方向，又叫北偏东45°； (2)东南方向为南偏东45°； (3)西南方向为南偏西45°； (4)西北方向为北偏西45°. 题型巩固 题型一、角的概念理解 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）图中的角是，若用一个放大5倍的放大镜看这个角，它是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角的概念理解 【分析】此题主要考查角的含义，角的度数的大小，只与两边张开的大小有关，所以用一个放大5倍的放大镜看一个的角，仍然是，放大镜放大的只是两边的长短． 【详解】解：用一个放大5倍的放大镜看一个的角，那么看到的仍然是的角， 故选：A． 2．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）如图，则图中共有 个角． 【答案】 【知识点】角的概念理解 【分析】根据题意可知图中有两条射线，进而可得图中角的数量为个． 【详解】解：∵图中有两条射线， ∴图中角的数量为个， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据角中射线的数量求角的个数，根据图形找出规律是解题的关键． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，按要求写出符合条件的角． (1)能用一个字母表示的角． (2)以为顶点的角． (3)图中共有几个小于平角的角？请表示出来． 【答案】(1)， (2)，， (3)有7个：，，，，，，． 【知识点】角的概念理解 【分析】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案． 【详解】（1）解：能用一个字母表示的角有2个：； （2）解：以为顶点的角有3个：； （3）解：图中小于平角的角有7个：． 【点睛】本题主要考查了角的概念，熟练掌握是解决本题的关键． 题型二、角的表示方法 4．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）下列图形中，能用、、三种方法表示同一个角的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角的表示方法 【分析】本题主要考查的是角的表示方法，确定顶点即角的两边是解题的关键．利用角的定义及表示方法，进行判断即可得出结果． 【详解】解：A、图中角可表示为：、、，故正确； B、图中角只能表示为：、，故错误； C、图中角可表示为：、，故错误； D、图中角可表示为：∠1，故错误． 故选：A． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，可以表示成或 ，可以表示成 ，可以表示成 或 ． 【答案】 B BAD ACB 【知识点】角的表示方法 【分析】根据角的表示方法可得可以表示成或，可以表示成，可以表示成或，据此可得出答案． 【详解】解：根据角的表示方法可得可以表示成或， 可以表示成， 可以表示成或． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了角的表示方法，准确识图，解决问题的关键是熟练掌握角的表示方法． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，写出符合下列条件的角（题中所有的角均指小于平角的角）． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以点A为顶点的角； (3)图中所有的角（可用简便方法表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角的表示方法 【分析】本题主要考查了角的表示方法，熟知角的表示方法是解题的关键． （1）根据角的表示方法进行求解即可； （2）根据角的表示方法进行求解即可； （3）根据角的表示方法进行求解即可． 【详解】（1）解：能用一个大写字母表示的角为． （2）解：由题意得，以点为顶点的角有； （3）解：由题意得，图中所有小于平角的角有． 题型三、角的分类 7．（23-24七年级上·北京房山·期末）如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角的分类 【分析】本题考查了角的分类．根据小于90度的角是锐角，大于90度小于180度的角是钝角，等于90度的角是直角来判断． 【详解】解：A、，是直角，故不符合题意； B、，是钝角，故不符合题意； C、，是钝角，故不符合题意； D、，是锐角，故符合题意， 故选：D． 8．一个角是钝角，它的一半是什么角？ 【答案】锐角． 【知识点】角的分类 【分析】根据钝角的概念进行解答即可． 【详解】解：∵大于90°而小于180°的角叫钝角， ∴它的一半是锐角． 【点睛】本题考查的是角的概念，熟知锐角和钝角的定义是解答此题的关键． 题型四、钟面角 9．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）3时整时针与分针成直角，当下一次时针与分针成直角时，经过了（   ）分钟 A．30 B．36 C． D． 【答案】C 【知识点】钟面角 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握钟面角的计算是解题关键．先求出时针每分钟转动的角度为，分针每分钟转动的角度为，再利用除以即可得． 【详解】解：时针每分钟转动的角度为， 分针每分钟转动的角度为， 所以， 即3时整时针与分针成直角，当下一次时针与分针成直角时，经过了分钟， 故选：C． 10．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）9点分时，钟面上的时针和分针所成的角（小于平角的角）是 ． 【答案】 【知识点】钟面角 【分析】本题考查钟表分针所转过的角度计算，根据钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，钟表上9点30分，时针指向9，分针指向6，两者之间相隔3.5个数字列式求解即可． 【详解】解：钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， 9点分时，时针和分针所成的角为， 故答案为：105． 11．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）问题一：如图①，已知，甲，乙两人分别从相距的A，两地同时出发到地．若甲的速度为，乙的速度为，设乙行驶时间为． （1）当甲追上乙时，_____； （2）在整个运动过程中，当甲、乙两人之间的距离为时，请求出的值． 问题二：如图②，若将上述线段弯曲后视作钟表外围的一部分，线段正好对应钟表上的弧（1小时的间隔），易知． （1）分针指向圆周上的点的速度为每分钟转动_____，时针指向圆周上的点的速度为每分钟转动_____； （2）若从起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？ 【答案】问题一：（1）  （2） 或 问题二：（1）6， （2） 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、钟面角 【分析】本题考查了行程问题中的追及与距离计算、分类讨论思想，以及钟表问题中的角度运动规律，解题的关键是根据题意建立等量关系（如追及路程、角度差），并对多情况问题（如距离）进行分类讨论． 问题一（1）：利用“甲路程乙路程初始间距"列方程； 问题一（2）：分“追上前后”两种情况，列距离为 的方程； 问题二（1）：根据钟表总角度和时间计算每分钟转动角度； 问题二（2）：确定初始夹角，利用速度差（分针比时针快的角度）计算追及时间． 【详解】问题一 （1）当甲追上乙时，甲行驶的路程乙行驶的路程间距（）． 列方程：，即，解得． 故答案为：． （2）分两种情况： 甲未追上乙时，距离为 ： 列方程：， 即，解得； 甲追上乙后，距离为 ： 列方程：，即，解得． （验证：甲到C需，乙到C需，两解均合理） 问题二 （1）分针60分钟转，故每分钟转； 时针12小时（720分钟）转，故每分钟转． 故答案为：与． （2）2点时，时针与分针夹角为，设t分钟后重合，分针比时针多转： ，即 ， ∴ ． 题型五、方向角的表示 12．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，明明在聪聪的（   ） A．西偏南方向上 B．南偏西方向上 C．东偏北方向上 D．北偏东方向上 【答案】C 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查方向和位置，以聪聪的位置为观测点，根据“上北下南，左西右东”及角度信息解答即可． 【详解】解：由分析可知： 明明在聪聪的东偏北（北偏东）方向上． 故选：C． 13．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，货轮在航行途中观察到灯塔在它的南偏东的方向上，在货轮的其他方向上还有货轮，货轮，货轮，那么在货轮的北偏东方向上的是 ． 【答案】货轮 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 根据方向判断即可． 【详解】解：由题意和图形可知，货轮的北偏东方向上，对应图中货轮的位置． 其他货轮：货轮在西北即西偏北方向，货轮在南偏西， 因此，在货轮的北偏东方向上的是 货轮． 故答案为：货轮． 14．如图（1），货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东的方向上，同时，在它北偏东、南偏西､西北（即北偏西）方向上又分别发现了客轮B､货轮C和海岛D．仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线． 【答案】见解析． 【知识点】方向角的表示 【分析】根据方向角的定义逐一画图，以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，向右画的角，射线的方向就是北偏东，即客轮B所在的方向；以点O为顶点，表示正南方向的射线为角的一边，向左画10°的角，射线OC就是南偏西，即货轮C所在的方向；以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，向左画的角，射线OD就是西北（即北偏西）方向，即海岛D所在的方向． 【详解】解：如图，射线的方向就是北偏东，即客轮B所在的方向； 射线OC就是南偏西，即货轮C所在的方向； 射线OD就是西北（即北偏西）方向，即海岛D所在的方向． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、方向角等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 题型六、与方向角有关的计算题 15．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是北偏西方向的一条射线．若，射线的方向是（    ） A．南偏西 B．南偏西 C．北偏东 D．北偏东 【答案】A 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键． 根据方向角的定义得出，再根据平角的定义求出的大小即可． 【详解】解：如图所示，由方向角的定义可知， ， ， 即的方向为南偏西， 故选：A． 16．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，货轮在O 处观测到岛屿A 在北偏东方向，岛屿B 在南偏西方向，则的度数是 ．    【答案】135度/ 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义是解决问题的前提．根据方向角的定义以及角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图，    由方向角的定义可知，， ∴． 故答案为：135度 题型七、角的单位与角度制 17．（2023七年级上·江苏·专题练习）用度、分、秒表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，掌握换算公式是解题的关键． 根据1度等于60分，1分等于60秒，由大单位转换成小单位乘以60，按此转化即可． 【详解】解： 故选：A 18．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）将用度、分、秒表示， 【答案】 【知识点】角的单位与角度制 【分析】将度的小数部分转化为分，再将分的小数部分转化为秒．本题主要考查了度分秒的换算，熟练掌握度、分、秒之间的进制关系是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 19．计算： (1)45°10′﹣21°35′20′′； (2)48°39′+67°31′﹣21°17′； (3)42°16′+18°23′×2． 【答案】(1)23°34′40′′ (2)94°53′ (3)79°2′ 【知识点】角的单位与角度制 【分析】（1）根据度分秒之间的进率即可解答； （2）根据度分秒之间的进率即可解答； （3）先计算乘法，再计算加法即可． 【详解】（1）解：45°10′﹣21°35′20′′=23°34′40′′． （2）解：48°39′+67°31′﹣21°17′ =116°10′-21°17′ =94°53′． （3）解：42°16′+18°23′×2 =42°16′+36°46′ =79°2′． 【点睛】本题考查度分秒的计算，，，掌握度分秒之间的进率是解答本题的关键． 题型八、角的度数大小比较 20．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）若，，则 填“”“”或“” 【答案】 【知识点】角的度数大小比较 【分析】本题主要考查角的大小比较及度分秒的换算，先统一单位，再进行比较，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为： 21．（23-24七年级·山东聊城·期中）对于如图所示的各个角，用“”、“”、“”填空： (1)___________； (2)___________； (3)___________； (4)___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】角的度数大小比较 【分析】本题主要考查了角的大小比较，根据图形和角之间的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）由题意得，， 故答案为：； （3）由题意得，， 故答案为：； （4）由题意得，， 故答案为：． 题型九、三角板中角度计算问题 22．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含角的直角三角形组成，在的角中，能借助三角板画出的角有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，一副三角板中，角的度数有：，，，，用2个角可以拼出的角，用3个角可以拼出的角，而不能拼出的角，据此可得答案． 【详解】解：一副三角板中，角的度数有：，，，， 由这4个角中的两个角可画出的角的度数可以为，，， 由这4个角中的三个角可画出的角的度数可以为， 而由三角板不能画出的角， 故选：C． 23．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）一副三角板如图摆放，已知，，若，则 ． 【答案】 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，先求出，，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若2，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查角的计算． （1）用减去的度数，求出的差就是的度数； （2）设，用含x的代数式表示出后根据建立关于x的方程，解方程求出x的值后即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 题型十、几何图形中角度计算问题 25．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，，，则图中小于的角的度数之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的和与差的计算．先找到图中全部小于的角，再利用角的和与差的计算即可求解． 【详解】解：图中小于的角有，，，，， ∵，， ∴， ∴ ， 故选：B． 26．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】此题考查角的运算．分两种情况进行讨论：①在的外部；②在的内部；从而算出的度数． 【详解】解：①在的外部，如图1，； ②在的内部，如图2，． 故答案为：或． 27．（25-26七年级上·江苏·期末）已知是内部的一条射线，M，N分别是边、上的点，线段、分别以、的速度同时绕点逆时针旋转． (1)如图①，若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若、分别在内部旋转时，总有，求的值； (3)如图③，C是线段上的一点，点M 从点A 出发沿线段向点C 运动，同时点N 从点C 出发沿线段向点 B 运动，M，N两点的速度比是．若在运动过程中始终有，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的计算，两点间的距离，读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度，然后列出方程是解题的关键． （1）先求出、，再表示出、，然后相加并根据计算即可得解； （2）设旋转时间为，表示出、，然后列方程求解得到、的关系，再整理即可得解； （3）设运动时间为，点、的速度分别为、，然后表示出、，再列出方程求解即可． 【详解】（1）解：线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转， ，， ，， ， ， ； （2）解：设旋转时间为，则， ， ， ， ， ； （3）解：解：因为两点的速度比是， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 题型十一、角度的四则运算 28．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查角度的运算，掌握角度的四则运算法则是解题关键．将换成，再做加法运算即可． 【详解】解：． 故选D． 29．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习） ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查度，分，秒的加法运算知识点，解题的关键是掌握度，分，秒之间的换算关系），将度与度，分与分，秒与秒分别相加． 把两个角度的度与度相加，分与分相加，得出结果． 【详解】首先，度与度相加：； 其次，分与分相加：； 所以． 因为，所以． 故答案为： 30．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题主要考查了度、分、秒的计算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据度、分、秒之间的换算关系进行计算即可； （2）将变为，然后再减去即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十二、尺规作一个角等于已知角 31．如图，尺规作，作图痕迹中弧是（    ） A．以点F为圆心，以长为半径的弧 B．以点F为圆心，以长为半径的弧 C．以点G为圆心，以长为半径的弧 D．以点G为圆心，以长为半径的弧 【答案】D 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查尺规作图—作角，根据尺规作角的方法，得到弧是以点G为圆心，以长为半径的弧，作答即可． 【详解】解：由作图可知：弧是以点G为圆心，以长为半径的弧； 故选D． 32．（24-25七年级上·全国·课后作业）图中的黑色球 （填“能”或“不能”）被击入右下角的袋中．（先估测，再用直尺和圆规作出反射角加以检验） 【答案】能 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了作图的应用与设计，解题的关键是根据“作角等于已知角的基本作法”作图． 【详解】解：图中的黑色球能被击入右下角的袋中， 如图所示：作即可， 故答案为：能． 33．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知平面上三点、、． (1)画线段，射线； (2)过点画直线．（请你用直尺和圆规画出，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握过两点作线段，过两点作射线，过直线外一点作已知直线的平行线，是解题的关键． （1）连接，连接并延长即可； （2）以点B为圆心以适当长为半径画弧交，于点F，G，以点C为圆心，同样长为半径画弧交射线于点E，以点E为圆心，以长为半径画弧，交前弧于点D，作直线即得． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 题型十三、角平分线的有关计算 34．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，是直角，， 射线从边出发，绕点O逆时针旋转直至与边重合，在旋转过程中，下列情形不可能出现的是（   ） A．平分 B．平分 C．平分 D．平分 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线定义的应用，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义，结合图形，逐一判断各选项，可得到结果． 【详解】解：当射线旋转到时， 则平分， 故A选项可能出现，不符合题意； 当射线旋转到时， 则平分， 故B选项可能出现，不符合题意； 当射线旋转到时， 则平分， 故C选项可能出现，不符合题意； ∵， 若， 则， ∴， 但是直角为90°，且射线从边出发，绕点O逆时针旋转直至与边重合， 故在中不可能有一个大于的， 故D选项不可能出现，符合题意， 故选：D． 35．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知射线为的角平分线，，则 ． 【答案】/80度 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题可根据角平分线的定义来求解的度数．角平分线是将一个角分成两个相等的角的射线，已知射线为的角平分线，那么的度数就是度数的倍．本题主要考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线将一个角分成两个相等的角这一性质是解题的关键． 【详解】解：∵射线为的角平分线， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 36．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，，，平分． (1)求的度数； (2)若射线在的内部，，试说明是的平分线． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，弄清楚角之间的关系成为解题的关键． （1）由的度数及可求出的度数，结合平分可求出的度数，再结合即可解答； （2）由及的度数，可求出及的度数，由的度数，结合可求出的度数，结合，可得出，进而可说明OB是∠DOE的平分线． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线． 题型十四、角n等分线的有关计算 37．在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是（    ） A．595 B．406 C．35 D．666 【答案】B 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】设锐角，第1种中间由9条射线，每个小角为，第2种中间由11条射线，每个小角为，第3种中间由14条射线，每个小角为，利用内部的三种射线与OA形成的角相等求出重合的射线，第一种第m被倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同，则，先看三种分法中无同时重合的，再看每两种分法重合情况，第1种, 第2种,共重合1条，第1种,第3种，共重合4条，，第2种,第3种,共重合2条，在中一共有射线数29条射线，29条射线分成的小角最多28个，所有角=1+2+3+…+28求和即可． 【详解】设锐角 第1种是将分成10等份；中间由9条射线，每个小角为， 第2种是将分成12等份；中间由11条射线，每个小角为， 第3种是将分成15等份，中间由14条射线，每个小角为， 设第1种, 第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条， 第一种第m倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同 则， 先看三种分法中同时重合情况除OA，OB外没有重合的， 再看每两种分法重合情况 第1种, 第2种, ，第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条， 第1种,第3种，，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12重合，共重合4条， 第2种,第3种, ,n=4，8与p=5，10重合，共重合2条， 在中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线， 29条射线分成的所有角=1+2+3+…+28=个角． 故选择：B． 【点睛】本题考查射线分角问题，不同角的个数求法，掌握掌握三种分法中排出重合射线的条数是解题关键． 38．（24-25七年级上·江苏泰州·月考）如图，已知，平分，且，则的度数为 ． 【答案】20 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、角n等分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的和差计算，正确运用角平分线推理论证进行角度的和差计算是解题的关键．根据角平分线的定义求出的度数，根据可求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵，平分，且， ∴，， ∴， 故答案为：20． 39．（22-23七年级上·江苏淮安·期末）【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线、的m等个性线，记作．（其中m为正整数） 【实际应用】已知：O为直线上一点，过O点作射线． (1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点D放在O处，另两条边分别为，，当是时，___________．（填“是”或“不是”）． (2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由． (3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则___________，___________． 【答案】(1)是 (2)是，理由见解析 (3)，4 【知识点】角n等分线的有关计算、三角板中角度计算问题 【分析】（1）由是可得，由可得，，进而得出，可知是； （2）由是可得，由可得，，进而得出，可知是； （3）由m等个性线的定义可得，由此可得m与的关系，再根据，m是正整数，即可求解． 【详解】（1）解：是， ， ， ， ，， ， ， ， 是， 故答案为：是； （2）解：是，理由如下： 是， ， ， ， ，， ， ， ， 是； （3）解：是， ， 同理，是， ， ， ， ， ， ， 又m是正整数， ， ，， 故答案为：，4． 【点睛】本题考查角n等分线的计算问题、角的和差关系等，解题的关键是理解m等个性线的定义． 题型十五、求一个角的余角 40．（2023七年级上·江苏·专题练习）若与互余，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个角的余角 【分析】此题考查了余角的定义，解题要根据若两个角互余，则两个角的和等于列出式子是本题的关键． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 41．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）若，则它的余角等于 【答案】 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了互为余角的定义：如果两个角的和为，那么这两个角互为余角． 根据互为余角的定义作答． 【详解】解：， ∴它的余角等于， 故答案为：． 题型十六、求一个角的补角 42．（22-23七年级上·江苏南通·期末）已知，那么的补角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个角的补角 【分析】根据补角的定义，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴的补角， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了补角的定义，解题的关键是掌握：相加等于的两个角互为补角． 43．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，那么的补角等于 ． 【答案】 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题考查补角定义，正确进行角度的减法运算是求解本题的关键．根据补角定义可求． 【详解】解：∵， ∴的补角为：． 故答案为：． 44．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，点A，O，B在一条直线上，，，是的平分线． (1)求和的度数； (2)是的平分线吗？为什么？ 【答案】(1)， (2)是的平分线，理由见详解 【知识点】角平分线的有关计算、求一个角的补角 【分析】本题考查了角的和差，补角的定义，角平分线的定义； （1）由角的和差得，由角的平分线及角的和差得，即可求解； （2）由补角的定义得，由角平分线的定义即可求解； 理解补角的定义，角平分线的定义，能用角的和差表示出所求的角是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ； 是的平分线， ， ； （2）解：是的平分线； 理由如下： ， ， ， ， 是的平分线． 题型十七、与余角、补角有关的计算 45．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）若一个角的余角是，则这个角的补角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查与余角，补角有关的计算，根据余角和补角的定义，进行求解即可． 【详解】解：； 故选B． 46．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，点O在直线上，，则图中除了直角外，一定相等的角有 对． 【答案】 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题可根据已知条件，利用角的和差关系来找出相等的角．本题主要考查了角的和差关系，熟练掌握角的和差运算是解题的关键． 【详解】解： ， 相等的角有与，与，共对 故答案为：． 47．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）一个角是另一个角的3倍，且小角的余角与大角的补角之差为，求这两个角的度数． 【答案】这两个角的度数分别为和． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】先设出小角的度数，再根据两个角的倍数关系表示出大角的度数，然后依据余角和补角的定义列出方程，最后求解方程得到两个角的度数．本题主要考查了余角和补角的定义以及一元一次方程的应用，熟练掌握余角和补角的定义并根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设小角的度数为，则大角的度数为．则小角的余角为，大角的补角为 ∵ 小角的余角与大角的补角之差为 ∴ ∴ 大角的度数为 ∴这两个角的度数分别为和． 题型十八、同(等)角的余(补)角相等的应用 48．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，将一副直角三角板的直角顶点重合，按图中位置摆放，可得，下列理由最合理的是（    ） A．等角的余角相等 B．同角的余角相等 C．等角的补角相等 D．同角的补角相等 【答案】B 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了同(等)角的余(补)角相等的应用，因为，且，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴（同角的余角相等）， 故选：B 49．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图：，可得．理由是 ． 【答案】同角的余角相等 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查的是余角和补角，熟知同角的余角相等是解答此题的关键．根据余角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴（同角的余角相等）． 故答案为：同角的余角相等． 50．（23-24七年级上·江苏常州·期末）补全解题过程 如图，两个直角三角板的直角顶点重合，，求的度数． 解：∵__________（已知） _________（已知） ∴___________（____________） ∵（已知） ∴_________（____________） 【答案】90，90，，同角的余角相等，39，等量代换 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、三角板中角度计算问题 【分析】此题主要考查了三角板中角的计算，同角的余角相等，正确掌握角之间的关系是解题关键． 根据同角的余角相等和角的关系求解即可． 【详解】解：∵（已知） （已知） ∴（同角的余角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） 强化训练 一、单选题 1．如图，在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了钟面角，正确理解题意得到6点20分，时针和分针中间相差个大格是解题的关键． 6点20分时，时针指向6和7的中间，分针指向4，则时针和分针中间相差个大格，再根据一大格为进行求解即可． 【详解】解：， 6点20分，时针和分针中间相差个大格． 钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， 6点20分时分针与时针的夹角是． 故选：C． 2．如图，点，，在同一条直线上，，，则图中互余的角共有（　） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】本题主要考查互余的概念，掌握两个角互余指的角的数量关系，与角的位置无关由此即可求解．互余，指的是两个角和等于，由此即可求解． 【详解】解：∵点，，在一条直线上，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴有对， 故选：C． 3．如图，，过点在角内部引一射线，是的平分线，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的定义． 利用角的和差求出，再利用角平分线的定义求出，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∵是的平分线， ， ∴， 故选：C． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据度分秒的进率，可得答案． 【详解】解：A、63.5°＝63°30′，故原选项计算错误； B、18°18′18″＝18.305°，故原选项计算错误； C、36.15°＝36.9′，故原选项计算错误； D、28°39′+17°31'＝46°10'，故原选项计算正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查角的度分秒换算，掌握度分秒的进率是60进制，是解题的关键． 5．已知与互为余角，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了互余的定义，掌握互余定义是解题的关键． 根据两个角的和等于即可求解． 【详解】解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6．有如下说法：①直线是一个平角；②如果线段，则是线段的中点；③在同一平面内，，，；④两点之间，线段最短．其中正确的有（　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据平角的定义、中点定义、角的和差以及两点之间，线段最短的性质直接判断即可． 【详解】解：①直线是一个平角，角是由有公共端点的两条射线组成的，故错误； ②如果线段，则是线段的中点；M不一定在线段AC上，故错误； ③在同一平面内，，，；射线OC不一定在∠AOB内部，故错误； ④两点之间，线段最短．正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了平角的定义、线段中点的定义、角的和差和线段的性质，准确掌握定义，画出图形是解题关键． 7．一副三角板按图①的方式拼接在一起，其中边落在直线上，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度a（如图②），在转动过程中两块三角板始终在直线的上方，当平分时，a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线及角的和差．根据角平分线的定义求出，得出，根据平角求出．解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． 【详解】解：如图， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 8．已知，以O为端点作射线OC，使，则的度数为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角的计算，在解答此题的关键是分类讨论，不要漏解． 分点C在内和点C在外两种情况求解即可． 【详解】解：当点C在内时， ； 当点C在外时， ． 故选：C． 9．如图，若，OC是的平分线，则①；②；③；④．正确的是（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题主要考查角的比较与运算这一知识点，熟练掌握角平分线定义是解题关键．设，由是的平分线，可得，，故能判断出选项中各角大小关系． 【详解】解：设， 是的平分线， ∴ ． 故③④正确，①②错误， 故选B． 10．如图，若，则下列说法正确的有（   ） ①平分；②平分；③平分；④平分；⑤平分． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．对每个选项逐一分析即可. 【详解】解：在中，，平分，故①说法错误，不符合题意； 在中，，平分，故②④说法错误，不符合题意； 在中，，平分，故③说法正确，符合题意； 在中，，平分，故⑤说法正确，符合题意； 故③⑤说法正确. 故选：． 二、填空题 11．已知，那么它的余角是 ，它的补角是 ． 【答案】 【分析】根据余角、补角的性质即可求解． 【详解】解：， 故答案为，． 【点睛】此题考查了补角和余角的性质，理解余角和补角的性质是解题的关键． 12．如图，将一副三角尺的直角顶点重合，摆放在桌面上，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查三角尺，角的和差，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，继而求出，则，即可解得． 【详解】解：由图，得 ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．已知∠α＝30°24'，则∠α的补角的度数为 ． 【答案】 【分析】根据两个角的和等于180°，那么这两个角互补计算即可． 【详解】解：∵， ∴的补角的度数为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了补角的意义，如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角． 14．如图，点О是量角器的中心点，射线OM经过刻度线90．若．射线OA、OB分别经过刻度线40和60，在刻度线OM的右侧． 下列结论： ①； ②若与互补，则射线经过刻度线160； ③若，则图中共有5对角互为余角． 其中正确的是 （填序号） 【答案】①② 【分析】根据等式的性质可判断①，根据补角的定义求出，从而得到可判断②，算出各角的度数，找到直角，根据余角的定义和性质可判断③． 【详解】解：①∵， ∴， ∴，故正确； ②由题意可得：， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即射线经过刻度线160，故正确； ③∵， ， ∴， ∴和互为余角， ∵射线OM经过刻度线90， ∴， ∴和，和，和，和，和互为余角， 即共有6对角互为余角，故错误； ∴正确的有①②， 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查读角、余角和补角的定义、角的计算等，看清图形是解题的关键． 15．如图，O为直线AB上任意一点，射线OE⊥OF，∠BOC=2∠COE，且∠AOF的度数比∠COE的度数的4倍小8°，则∠EOC的度数为 ． 【答案】14° 【分析】设∠EOC=x，根据题意将∠BOC和∠AOF，利用平角的定义建立方程，解出答案即可． 【详解】设∠EOC=x， ∵∠BOC=2∠COE=2x，∠AOF的度数比∠COE的度数的4倍小8°， ∴∠AOF=4x-8°， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF=90°， ∵∠AOF+∠EOF+∠EOC+∠BOC=180°， ∴（4x-8°）+90°+ x+2x=180°， ∴x =14°， 故答案为：14°． 【点睛】本题考查了角的和差倍分，设未知数建立方程是本题的关键． 16．已知射线在内部，其中为的三等分线，分别平分和，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角平分线和角三等分线的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．为的三等分线，设，则或2x，再由平分，设，则，则或，由此求解即可． 【详解】解：∵为的三等分线，设，则或2x， ∵平分，设，则， 则或， ∵平分， ∴或， ∴或x， ∵， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 三、解答题 17．（1）已知，，求的大小； （2）已知，过作射线（不同于、），满足，求的大小．（注：本题中所说的角都是指小于平角的角） 【答案】（1）或；（2）或 【分析】本题考查了角的运算，熟练掌握分类讨论思想是解题关键． （1）分两种情况：当射线在内部时；当射线在外部时，根据角的和差求解即可得； （2）设，则，分两种情况：当在内部时；当在外部时，根据角的和差建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：（1）如图1，当射线在内部时， ∵，， ∴； 如图2，当射线在外部时， ∵，， ∵， 综上，等于或． （2）∵， ∴设，则， 如图3，当在内部时， ∵， ∴， 解得， ∴； 如图4，当在外部时， ∵，， ∴， 解得， ∴， 综上，的大小为或． 18．如图，已知，平分，平分． (1)若是直角，求的度数； (2)若，则是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义； （1）根据角平分线的定义可得，，再根据进行计算即可得解； （2）根据（1）的结论得到，然后代入进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是直角， ∴； （2）解：根据（1）的结论， ∴， ∴， 解得． 19．【实践操作】三角尺中的数学问题． (1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点A叠放在一起，． ①若，则________；若，则________； ②请直接写出与之间的数量关系________； (2)如图2，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶点A重合在一起，试猜想与的数量关系，并给出证明． (3)如图3，已知点O为直线上一点，在直线上方，，，在的内部，在直线下方，则________． 【答案】(1)①；；②； (2) (3) 【分析】本题考查了余角和补角，与三角板有关的角度求解，解决本题的关键是利用数形结合找出角之间的关系． （1）①根据三角板的角度特征表示出进而得出结果； ②由角度关系从而得出结果； （2）由角度的关系得出进而得出结果； （3）根据角度关系结合题意得到从而求出结果． 【详解】（1）解：①∵， ， ， ； 当， ， ②． 故答案为：；；； （2）解：， 理由：， ， ； （3）解：，，在的内部， ， 故答案为：． 20．已知是直线上一点，在内，平分． (1)如图1，当时，的度数是________； (2)如图2，平分． ①试说明； ②若与互为补角，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义； （1）根据平角的定义可得，由角平分线的定义得到，则； （2）①由角平分线的定义得到，，则，进而得到，再求出，即可证明；②由（2）①得，，则，根据补角的定义得到，即可推出，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②由（2）①得，， ∴， ∵与互为补角， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．已知：点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，使，作的平分线，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线，若与互余，请画出图形，并求的度数． 【答案】(1) (2) (3)见解析，或 【分析】本题考查余角概念，补角概念，角平分线定义，角的和差运算． （1）根据补角的概念即可得出答案； （2）先根据角平分线求出的大小，再根据余角的概念求出的大小，即可求出的大小； （3）分在直线的上方和下方两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ∴； （2）由（1）知， ∵平分， ∴ 又∵， ∴； （3）由（2）知， ∵与互余， ∴， ∴， ①当射线在内部时， ， ②当射线在外部时， ， 综上所述，的度数为或． 22．如图①，直线､相交于点O，射线，垂足为点O，过点O作射线使． （1）将图①中的直线绕点O逆时针旋转至图②，在的内部，当平分时，是否平分，请说明理由； （2）将图①中的直线绕点O逆时针旋转至图③，在的内部，探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）若，将图①中的直线绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转度度（），设旋转的时间为t秒，当与互余时，求t的值． 【答案】（1）平分，理由见解析；（2），理由见解析；（3）或时，与互余． 【分析】（1）根据平分线的定义可得，根据，可得，从而得到，所以可得结论； （2）设为，根据可得，根据可得，从而得到与之间的数量关系； （3）根据题意可知，因为，所以可得，可求出，根据“直线绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转”可得出，，，，然后分情况进行讨论：①时，②时，③时，，从而得出结果． 【详解】解：（1）平分，理由如下： ∵且平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即平分 （2），理由如下： 设为，则 ∵ ∴ ∴ 即 （3）∵且 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵直线绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转 ∴①时， 若与互余，则 解得 ②时， 若与互余，则 此时无解 ③时， 若与互余，则 解得 综上所述，或时，与互余． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线有关的计算，余角相关计算．关键是认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系． 23．【操作思考】将一副直角三角板（分别含和的角）叠放在量角器上，、分别是三角板和三角板的角平分线． 【特例感知】 （1）如图1，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______； 【拓展探究】 （2）如图2，将三角板绕点顺时针旋转一定的角度，三角板不动，使两个直角三角板有重叠． ①当时，求的度数； ②当时，______；（用含的式子表示） 【解决问题】 （3）如图3，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，同时将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在的值，使？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②或；（3）存在，或 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的有关计算，一元一次方程，熟练利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用角平分线的概念即可解答； （2）①根据角度的转换可得，即可解答； ②分两种情况，即或，根据角度的转换可得，即可解答； （3）分两种情况，即重合前或重合后，两种情况，逐一解答即可． 【详解】解：（1）、分别是三角板和三角板的角平分线， ， ， 故答案为：； （2）①当时， ； ②当时，如图， ； 当时，如图， ， 故答案为：或； （3）存在， ， 解得， 当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转， ， 当重合前， 可得， 解得； 当重合前， 可得， 解得； 综上，存在点使，或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 角（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.角的概念 2.角的表示方法 3.角的度量、换算与运算 4.补角、余角 5.补角、余角的性质 6.角的比较 7.用直尺和圆规作一个角等于已知角 8.角平分线 9.方向角(拓展点) 题型巩固 一、角的概念理解 二、角的表示方法 三、角的分类 四、钟面角 五、方向角的表示 六、与方向角有关的计算题 七、角的单位与角度制 八、角的度数大小比较 九、三角板中角度计算问题 十、几何图形中角度计算问题 十一、角度的四则运算 十二、尺规作一个角等于已知角 十三、角平分线的有关计算 十四、角n等分线的有关计算 十五、求一个角的余角 十六、求一个角的补角 十七、与余角、补角有关的计算 十八、同(等)角的余(补)角相等的应用 强化训练 单选题（10） 填空题（6） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.角的概念 1. 角的概念 概念 示例 组成元素 “静”态的观点 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角 这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的大小与所画边的长短无关 “动”态的观点 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 起始位置的边叫作角的始边，终止位置的边叫作角的终边 2. 平角与周角 在射线OA绕点O旋转一周的过程中，当终止位置OB(终边)与起始位置OA(始边)成一条直线时，所成的角叫作平角，如图6.2-1；当终止位置OB(终边)与起始位置OA(始边)重合时，所成的角叫作周角，如图6.2-2. 知识点2.角的表示方法 角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下几种 图例 记法 说明 用三个大写字母表示左图的角记作∠ AOC 字母 O 表示顶点，要写在中间，A，C 表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角(小于平角的角) 用一个大写字母表示左图的角记作∠O 当一个角的顶点处只有一个角时，可用这个顶点字母来表示这个角 用数字1，2，3，…表示，或用小写希腊字母α，β，…表示 ∠ AOB 可记作∠ 1，∠ BOC 可记作∠ 2， ∠ DOC 可记作∠α 要在靠近角的顶点处加上弧线，该表示法形象直观，只方便表示单独的角，不方便表示含有角的角 如∠AOC，∠BOD，∠AOD. 注意： 角的符号应书写标准，“∠”不可与“<”混淆. 知识点3.角的度量、换算与运算 1. 角的度量单位 角的度量一般采用角度制，常用的度量单位是度、分、秒. 把一个周角360等分，每一份叫作1度的角，记作1 °； 把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1 ′； 把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1 ″. 1°＝60′，1′＝60″. 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制，除角度制外，角的度量制还有弧度制等. 2. 等角的概念 如果两个角的度数相等，那么就称这两个角相等，简称等角. 两个等角可以重合，可以重合的角也都相等. 3. 常见的角的分类 锐角：大于0°且小于90°的角. 钝角：大于90°且小于180°的角. 1直角＝ 90°，1平角＝180°，1周角＝360°. 4. 角的度量工具 量角器、经纬仪、测角器等. 我们常用量角器测量角的大小： 5. 角的和差 设有两个角∠1和∠2(∠1>∠2)，如图6.2-4 ① . 把∠2移到∠1上，使它们的顶点重合，一条边重合. (1)两角的和：当∠2在∠1的外部时，如图6.2-4 ②它们的另两边(非重合的边)所组成的角就是它们的和，记作：∠BAC＝∠1＋∠2 . (2)两角的差：当∠2在∠1的内部时，如图6.2-4 ③它们的另两边(非重合的边)所组成的角就是它们的差，记作：∠GEH＝∠1－∠2. 知识点4.补角、余角 名称 概念 示例 几何语言 补角 如果两个角的度数之和等于180 °(平角)，那么这两个角互为补角，简称互补. 其中一个角是另一个角的补角 如果∠1＋∠2＝180 °，那么∠1和∠2互补，或∠1是∠2的补角，或∠2是∠1的补角 续表： 名称 概念 示例 几何语言 余角 如果两个角的度数之和等于90°(直角)，那么这两个角互为余角，简称互余. 其中一个角是另一个角的余角 如果∠3＋∠4＝90 °， 那么∠3和∠4互余， 或∠3是∠4的余角，或∠4是∠3的余角 知识点5.补角、余角的性质 文字描述 几何语言 补角的 性质 同角的补角相等 因为∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，所以∠2＝∠3 等角的补角相等 因为∠1＋∠2＝180°，∠3＋ ∠4＝180°，且∠1＝∠3，所以∠2＝∠4 续表： 文字描述 几何语言 余角的性质 同角的余角相等 因为∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，所以∠ 2＝∠ 3 等角的余角相等 因为∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝∠3，所以∠2＝∠4 知识点6.角的比较 1. 角的比较方法 度量法和叠合法. (1)度量法 用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. (2)叠合法 把要比较的两个角叠合在一起，使它们的顶点和一条边分别重合，通过比较另一条边的位置来比较两个角的大小，如图6.2-9. 特别提醒：使用叠合法比较角的大小时要注意两点： (1)重合，即顶点重合，一条边重合； (2)同侧，即另一条边放在重合边的同一侧. 2. 角的大小关系 对于任意的∠α和∠β，下列三种关系中有且只有一种成立：∠α< ∠β, ∠α＝∠β，∠α> ∠β. 知识点7.用直尺和圆规作一个角等于已知角 尺规作图：如图6.2-12，已知∠AOB，作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB . 步骤 作图 ① 以点O为圆心，任意长为半径作弧， 分别交OA，OB于点C，D. ② 作射线O′A′. 以点O′ 为圆心，OC长为半径作弧PQ，交O′A′ 于点C′. 续表： 步骤 作图 ③ 以点C′为圆心，CD长为半径作弧，交弧PQ于点D′. ④ 过点O′，D′作射线O′B′.∠A′O′B′ 即为所求. 知识点8.角平分线 1. 概念 如果从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个相等的角，那么，这条射线叫作这个角的平分线. 2.几何语言：如图6.2-15，如果OC是∠AOB的平分线，那么∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC.反之，如果∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，那么OC是∠AOB的平分线. 3. 拓展 角的n等分线 类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角，叫作角的n等分线，例如角的三等分线、四等分线等. 知识点9.方向角(拓展点) 1. 方向角 一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向所成的角(一般指锐角). 如图6.2-18 ①， 图中的点O是观测点，射线OA的方向是北偏东30°；射线OB的方向是北偏西65°；射线OC的方向是南偏西25°. 2. 特殊方向角 (1)如图6.2-18 ②，东北方向表示以正北方向为起始方向，向东旋转45° 时的射线的方向，又叫北偏东45°； (2)东南方向为南偏东45°； (3)西南方向为南偏西45°； (4)西北方向为北偏西45°. 题型巩固 题型一、角的概念理解 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）图中的角是，若用一个放大5倍的放大镜看这个角，它是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）如图，则图中共有 个角． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，按要求写出符合条件的角． (1)能用一个字母表示的角． (2)以为顶点的角． (3)图中共有几个小于平角的角？请表示出来． 题型二、角的表示方法 4．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）下列图形中，能用、、三种方法表示同一个角的图形是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，可以表示成或 ，可以表示成 ，可以表示成 或 ． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，写出符合下列条件的角（题中所有的角均指小于平角的角）． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以点A为顶点的角； (3)图中所有的角（可用简便方法表示）． 题型三、角的分类 7．（23-24七年级上·北京房山·期末）如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 8．一个角是钝角，它的一半是什么角？ 题型四、钟面角 9．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）3时整时针与分针成直角，当下一次时针与分针成直角时，经过了（   ）分钟 A．30 B．36 C． D． 10．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）9点分时，钟面上的时针和分针所成的角（小于平角的角）是 ． 11．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）问题一：如图①，已知，甲，乙两人分别从相距的A，两地同时出发到地．若甲的速度为，乙的速度为，设乙行驶时间为． （1）当甲追上乙时，_____； （2）在整个运动过程中，当甲、乙两人之间的距离为时，请求出的值． 问题二：如图②，若将上述线段弯曲后视作钟表外围的一部分，线段正好对应钟表上的弧（1小时的间隔），易知． （1）分针指向圆周上的点的速度为每分钟转动_____，时针指向圆周上的点的速度为每分钟转动_____； （2）若从起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？ 题型五、方向角的表示 12．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，明明在聪聪的（   ） A．西偏南方向上 B．南偏西方向上 C．东偏北方向上 D．北偏东方向上 13．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，货轮在航行途中观察到灯塔在它的南偏东的方向上，在货轮的其他方向上还有货轮，货轮，货轮，那么在货轮的北偏东方向上的是 ． 14．如图（1），货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东的方向上，同时，在它北偏东、南偏西､西北（即北偏西）方向上又分别发现了客轮B､货轮C和海岛D．仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线． 题型六、与方向角有关的计算题 15．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是北偏西方向的一条射线．若，射线的方向是（    ） A．南偏西 B．南偏西 C．北偏东 D．北偏东 16．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，货轮在O 处观测到岛屿A 在北偏东方向，岛屿B 在南偏西方向，则的度数是 ．    题型七、角的单位与角度制 17．（2023七年级上·江苏·专题练习）用度、分、秒表示为（ ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）将用度、分、秒表示， 19．计算： (1)45°10′﹣21°35′20′′； (2)48°39′+67°31′﹣21°17′； (3)42°16′+18°23′×2． 题型八、角的度数大小比较 20．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）若，，则 填“”“”或“” 21．（23-24七年级·山东聊城·期中）对于如图所示的各个角，用“”、“”、“”填空： (1)___________； (2)___________； (3)___________； (4)___________． 题型九、三角板中角度计算问题 22．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含角的直角三角形组成，在的角中，能借助三角板画出的角有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 23．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）一副三角板如图摆放，已知，，若，则 ． 24．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若2，求的度数． 题型十、几何图形中角度计算问题 25．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，，，则图中小于的角的度数之和为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，，则 ． 27．（25-26七年级上·江苏·期末）已知是内部的一条射线，M，N分别是边、上的点，线段、分别以、的速度同时绕点逆时针旋转． (1)如图①，若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若、分别在内部旋转时，总有，求的值； (3)如图③，C是线段上的一点，点M 从点A 出发沿线段向点C 运动，同时点N 从点C 出发沿线段向点 B 运动，M，N两点的速度比是．若在运动过程中始终有，求的值． 题型十一、角度的四则运算 28．计算：（    ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习） ． 30．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 题型十二、尺规作一个角等于已知角 31．如图，尺规作，作图痕迹中弧是（    ） A．以点F为圆心，以长为半径的弧 B．以点F为圆心，以长为半径的弧 C．以点G为圆心，以长为半径的弧 D．以点G为圆心，以长为半径的弧 32．（24-25七年级上·全国·课后作业）图中的黑色球 （填“能”或“不能”）被击入右下角的袋中．（先估测，再用直尺和圆规作出反射角加以检验） 33．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知平面上三点、、． (1)画线段，射线； (2)过点画直线．（请你用直尺和圆规画出，不写作法，保留作图痕迹） 题型十三、角平分线的有关计算 34．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，是直角，， 射线从边出发，绕点O逆时针旋转直至与边重合，在旋转过程中，下列情形不可能出现的是（   ） A．平分 B．平分 C．平分 D．平分 35．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知射线为的角平分线，，则 ． 36．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，，，平分． (1)求的度数； (2)若射线在的内部，，试说明是的平分线． 题型十四、角n等分线的有关计算 37．在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是（    ） A．595 B．406 C．35 D．666 38．（24-25七年级上·江苏泰州·月考）如图，已知，平分，且，则的度数为 ． 39．（22-23七年级上·江苏淮安·期末）【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线、的m等个性线，记作．（其中m为正整数） 【实际应用】已知：O为直线上一点，过O点作射线． (1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点D放在O处，另两条边分别为，，当是时，___________．（填“是”或“不是”）． (2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由． (3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则___________，___________． 题型十五、求一个角的余角 40．（2023七年级上·江苏·专题练习）若与互余，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 41．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）若，则它的余角等于 题型十六、求一个角的补角 42．（22-23七年级上·江苏南通·期末）已知，那么的补角等于（    ） A． B． C． D． 43．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，那么的补角等于 ． 44．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，点A，O，B在一条直线上，，，是的平分线． (1)求和的度数； (2)是的平分线吗？为什么？ 题型十七、与余角、补角有关的计算 45．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）若一个角的余角是，则这个角的补角是（   ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，点O在直线上，，则图中除了直角外，一定相等的角有 对． 47．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）一个角是另一个角的3倍，且小角的余角与大角的补角之差为，求这两个角的度数． 题型十八、同(等)角的余(补)角相等的应用 48．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，将一副直角三角板的直角顶点重合，按图中位置摆放，可得，下列理由最合理的是（    ） A．等角的余角相等 B．同角的余角相等 C．等角的补角相等 D．同角的补角相等 49．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图：，可得．理由是 ． 50．（23-24七年级上·江苏常州·期末）补全解题过程 如图，两个直角三角板的直角顶点重合，，求的度数． 解：∵__________（已知） _________（已知） ∴___________（____________） ∵（已知） ∴_________（____________） 强化训练 一、单选题 1．如图，在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点，，在同一条直线上，，，则图中互余的角共有（　） A．对 B．对 C．对 D．对 3．如图，，过点在角内部引一射线，是的平分线，若，则（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知与互为余角，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．有如下说法：①直线是一个平角；②如果线段，则是线段的中点；③在同一平面内，，，；④两点之间，线段最短．其中正确的有（　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．一副三角板按图①的方式拼接在一起，其中边落在直线上，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度a（如图②），在转动过程中两块三角板始终在直线的上方，当平分时，a的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，以O为端点作射线OC，使，则的度数为（    ） A． B． C．或 D． 9．如图，若，OC是的平分线，则①；②；③；④．正确的是（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 10．如图，若，则下列说法正确的有（   ） ①平分；②平分；③平分；④平分；⑤平分． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．已知，那么它的余角是 ，它的补角是 ． 12．如图，将一副三角尺的直角顶点重合，摆放在桌面上，若，则 °． 13．已知∠α＝30°24'，则∠α的补角的度数为 ． 14．如图，点О是量角器的中心点，射线OM经过刻度线90．若．射线OA、OB分别经过刻度线40和60，在刻度线OM的右侧． 下列结论： ①； ②若与互补，则射线经过刻度线160； ③若，则图中共有5对角互为余角． 其中正确的是 （填序号） 15．如图，O为直线AB上任意一点，射线OE⊥OF，∠BOC=2∠COE，且∠AOF的度数比∠COE的度数的4倍小8°，则∠EOC的度数为 ． 16．已知射线在内部，其中为的三等分线，分别平分和，若，则 ． 三、解答题 17．（1）已知，，求的大小； （2）已知，过作射线（不同于、），满足，求的大小．（注：本题中所说的角都是指小于平角的角） 18．如图，已知，平分，平分． (1)若是直角，求的度数； (2)若，则是多少度？ 19．【实践操作】三角尺中的数学问题． (1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点A叠放在一起，． ①若，则________；若，则________； ②请直接写出与之间的数量关系________； (2)如图2，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶点A重合在一起，试猜想与的数量关系，并给出证明． (3)如图3，已知点O为直线上一点，在直线上方，，，在的内部，在直线下方，则________． 20．已知是直线上一点，在内，平分． (1)如图1，当时，的度数是________； (2)如图2，平分． ①试说明； ②若与互为补角，求的度数． 21．已知：点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，使，作的平分线，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线，若与互余，请画出图形，并求的度数． 22．如图①，直线､相交于点O，射线，垂足为点O，过点O作射线使． （1）将图①中的直线绕点O逆时针旋转至图②，在的内部，当平分时，是否平分，请说明理由； （2）将图①中的直线绕点O逆时针旋转至图③，在的内部，探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）若，将图①中的直线绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转度度（），设旋转的时间为t秒，当与互余时，求t的值． 23．【操作思考】将一副直角三角板（分别含和的角）叠放在量角器上，、分别是三角板和三角板的角平分线． 【特例感知】 （1）如图1，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______； 【拓展探究】 （2）如图2，将三角板绕点顺时针旋转一定的角度，三角板不动，使两个直角三角板有重叠． ①当时，求的度数； ②当时，______；（用含的式子表示） 【解决问题】 （3）如图3，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，同时将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在的值，使？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $