题型12 平面直角坐标系中的新定义问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学题型突破册（甘肃专用）

解得任=2或=-3 (y=5(y=0 .E(2,5), 在y=x+3中， 令x=0,则y=3, ∴.D(0,3) 1 1 .Samc=SAcm3 2×6x2=15 (3)四边形MEFN周长的最小值为82+2 7.解：(1)把4(-1,0)，C(0,2)代入y=-x +mx+n得 1 3 -m+n=0 m= 解得 2 n=2 2=2 .抛物线的表达式为y= 3 +2 (2P点标为子成（子子成（子子. 3 123 (3)当y=0时，2+2+2=0，解得=-1，=4，则B (4,0). 设直线BC的解析式为y=x+b. 1 把B(4.0,c(0,2)代人得+6=0 ·解得 = 2 (b=2 b=2 ·直线BC的解析式为y=- 1 2t+2, 1 2x+2), 设Ex,2x+2(0≤x≤4)，则Fx,243 ·FE= 3 2* 1 x+2-( 2 2+2)=- 2x+2x. 'S△BC=S△BP+S△cBr= X4xEF=-x2+4, 3、5 Sawc=2x2x(4- 2, 六S回影G=Sar+San=-式2+4r+ 2-(-2)2+1 2(0 ≤x≤4)】 当=2时Samw有最大值，最大值为此时E点 坐标为(2,1). 8.解：(1)由题意知，y=ax2-2ax-3a=a(x+1)(x-3), 令y=0,则x1=-1,2=3, :点A在点B的左侧， A(-1,0),B(3,0), ∴AB=4, :y=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a,点D为抛物线顶点， .D(1,-4a), .点D到x轴的距离与AB的长度相等. ∴.-4a=4, .a=-1. .此抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3. (2)由(1)知抛物线的表达式为y=-x2+2+3, 则，点P的坐标为(m,-m2+2m+3), 令x=0,则y=3, ∴.C(0,3) 设直线BC的表达式为y=x+b(k≠0)， 将B(3,0),C(0,3)代入，得： 3k+b=0 (b=3 解得1 6=3 .直线BC的表达式为y=-x+3, .F(m,-m+3), ∴.PF=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=2, 解得m1=1,m2=2, 点P的坐标为(1,4)或(2,3)； (3)如图，过点P作PH∥x轴交BC的延长线于点H, S PG 由题知，SAG ·PH∥x轴. ∴.△PGH△AGB, PG HP 由(1)可得，AB=4,由(2)可得，直线BC的表达式为y=- x+3,点P(m,-m+2m+3), 令-x+3=-m2+2m+3, .x=m2-2m, .H(m2-2m,-m2+2m+3), .HP=m-(m2-2m)=-m2+3m, 3、29 S2 BA 4 161 4<0,0<m<3, 当a时受取得圾大值员大值为哈 题型十二平面直角坐标系中的新定义问题 1.解：(1)P(-1,0) (2)依题意，当直线y=x+b经过点D时，b的值最大， 将D(-1,1)代人y=x+b,得1=-1+b,解得b=2, b的最大值为2. (3)-2≤t≤2. 39 2.解：(1)P2 (2)当x=0时，y=-2x+2=2, 点A的坐标为(0,2)， 当y=0时，-2x+2=0, 解得x=1, 点B的坐标为(1,0)， 点M在线段AB上，点O是点M,N(xw,yN)的“等距直 角拐点”， ∴.点N在线段AB以点O为中心逆时针或顺时针旋转 90°得到的线段上， 如图，当线段AB以点0为中心逆时针旋转90°得到线段 A'B'时，点A'的坐标是(-2,0)，点B'的坐标是(0,1)，此 时0≤yw≤1； 当线段AB以，点O为中心顺时针旋转90°得到线段A"B 时，点A"的坐标是(2,0)，点B"的坐标是(0，-1)，此时-1 ≤yw≤0， .-1≤yw≤1. (3)-5≤b≤-1或1≤b≤5. 3.解：(1)①不是： ②如图1，过点P,作PC⊥AB于点C,连接AP, 当P,A=2P,C时，点P,是线段 AB的“2倍关联点”，此时m的 值最小 在Rt△ACP,中，∠P,AC=30°， P.C 六Ac=tan30, PC=4C·an30= 图1 3, 5 又PC=1-m,.1-m= 3 解得m1-3 3 六m的最小值为1- 3 (2)如图2， 直线y=x+b交y轴于(0，b),分两种情况： 当直线1在⊙0的左上方时，记为直线1，过圆心0作 0Q,11于点Q,0Q,交⊙0于点N,延长Q,0交⊙0于 点M,若点Q,是直线，上⊙0的唯一“2倍关联点”，此 时Q,M=2Q1N, ⊙0的半径为1,0Q,+1=2(0Q1-1), ∴.0Q1=3, 40 .C(-b,0),D(0,b)..∴.OC=0D=b. ∴.∠CD0=45°. 在B4A000.中，0=sin45°心b=0D=n45o=32; 当直线1在⊙0的右下方时，记为直线12，过圆心0作 0Q21l2于点Q2.同理可求得b=-32. 综上所述，b的取值范围是-3√2≤b≤3√∑， 1 Q Q, 图2 4.解：(1)C (2)设点P的坐标为(a,-2a-3), 当∠ABP=90°时，由题意可知0A=0B=1, ∴.△OAB为等腰直角三角形， .∠AB0=45°，∴.∠0BP=45 如图1，过点P作PF⊥y轴，垂足为F,BP交y轴于点E, 可知△OBE和△FPE为等腰直角三角形 .OE=0B=1,PF=EF=-a,..OF=1-a, 2 则1-a=2a+3,解得a=-3, 25 六点P的坐标为(-了，3)，此时AP>B, y=-2x-3Y1 y=-2x-3Y↑ 图1 图2 当∠BAP=90°时，如图2，过点P作PG⊥x轴，垂足为G, AP交x轴于点H. 同理可知∠OAP=45°=∠AIH0=∠PHG, .△AOH和△PIG为等腰直角三角形， .A0=H0=1,PG=HG=2a+3,∴.0G=2a+4. .2a+4=-a,解得a=3, 4 41 点P的坐标为(33) 此时AP=AH+HP>AB. 综上所述点P的坐标为（子，子）或（手，子》 (3)b>5或b<-4.题型十二平面直角坐标系中的新定义问题 (兰州：3年3考)》 1.(2025兰州)在平面直角坐标系xOy中，对于图W上或内部有一点N(不与原点0重合)， 及平面内一点P,给出如下定义：若点P关于直线ON的对称点P'在图W上或内部，则称 点P是图W的“映射点” (1)如图1，已知图W1:线段AB,A(-1,-1),B(1,-1).在P1(-1,0),P2(1,2)中， 是图W的“映射点”； (2)如图2，已知图W2:正方形ABCD,A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1).若直线1： y=x+b上存在点P是图W,的“映射点”，求b的最大值； (3)如图3，已知图W3:⊙T,圆心为T(0,t),半径为1.若x轴上存在点P是图W3的“映射 点”，请直接写出t的取值范围. Y P 图1 图2 图3 59 2.(2025兰州一诊)在平面直角坐标系xOy中，已知两点M,N(点M,N不重合)和另一点P, 给出如下定义：连接PM,PN,如果PM=PN且∠MPW=90°，则称点P是点M,N的“等距直 角拐点”.例：如图1，已知M(0,2),N(1,1),P(0,1),因为P1M=P1N且∠MPN=90°，所 以点P,是点M,N的“等距直角拐点” (1)如图1，在点P2(1,2),P(-1,1)中，是点M,N“等距直角拐点”的是 (2)如图2，已知直线y=-2x+2分别与x轴、y轴交于B,A两点，点M在线段AB上.若点O 是点M,N(xvyw)的“等距直角拐点”，求yw的取值范围； (3)如图3，已知点P在以O(0,0)为圆心，半径为1的圆上，M(3,0),若在直线y=x+b上 存在点W,使点P是点M,N的“等距直角拐点”，直接写出b的取值范围 A P· O B 图1 图2 图3 60 3.(2024兰州一诊)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于图形W和图形W外一点 P,若在图形W上存在点M,N,使PM=2PN,则称点P是图形W的一个“2倍关联点”.例 如：如图1，已知图形W:△ABC,A(0,2),B(-1,0),C(1,0),点P(0,-1)到△ABC上的点 的最小距离为PO=1,到△ABC上的点的最大距离为PA=3,则PA>2PO.因此在△ABC上 存在点M,N,使得PM=2PN,则点P是△ABC的一个“2倍关联点”. (1)如图2，已知A(0,1),B(2,1) ①判断点P(2,-1) 线段AB的一个“2倍关联点”；（填“是”或“不是”）》 ②若点P,(1,m)是线段AB的“2倍关联点”，求m的最小值 (2)如图3，⊙0的圆心为原点，半径为1，若在直线1：y=x+b上存在点Q是⊙0的“2倍关 联点”，求b的取值范围 ·B 图1 图2 图3 61 4.在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C,若△ABC是以AB为一条直角边，且满足 AC>AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“从属点”.已知点A的坐标为(0,1) (1)如图1，若点B的坐标为(2,1)，在点C1(0,-2),C2(1,0)中， 是线段AB的 “从属点”； (2)如图2，若点B的坐标为(1,0)，点P在直线y=-2x-3上，且点P为线段AB的“从属 点”，求点P的坐标； (3)如图3，点B为x轴上的一动点，直线y=4x+b(b≠0)与x轴，y轴分别交于M,N两点， 若存在某个点B,使得线段MW上恰有2个线段AB的“从属点”，直接写出b的取值范围. 3 y=-2x-3 2 A B 2 B -3-2-1@123x -3-210123x -3-2-10123x -2 -3 -3h 图1 图2 图3 62