题型11 二次函数综合题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学题型突破册（甘肃专用）

题型十一二次函数综合题 （省卷：6年6考)》 类型1线段问题 1.(2025省卷)如图1，抛物线y=a(x+2)(x-4)(a≠0)分别与x轴y轴交于A,B(0,-4)两 点，M为OA的中点 (1)求抛物线的表达式； (2)连接AB,过点M作OA的垂线，交AB于点C,交抛物线于点D,连接BD,求△BCD的 面积； (3)点E为线段AB上一动点（点A除外），将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF: ①当AE=√2时，请在图2中画出线段OF后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上， 说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，∠OPA=90°，连接PF,当点E运动时，求PF的最 小值. FB 图1 图2 图3 51 2.(2024省卷)如图1，抛物线y=a(x-h)2+k交x轴于0，A(4,0)两点，顶点为B(2,23),点 C为OB的中点. (1)求抛物线的表达式； (2)过点C作CH⊥OA,垂足为H,交抛物线于点E.求线段CE的长； (3)点D为线段OA上一动点(O点除外)，在OC右侧作平行四边形OCFD. ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接BD,BF,求BD+BF的最小值 . 52 3.如图1，抛物线y=-x2+bx与x轴交于点A,与直线y=-x交于点B(4,-4),点C(0,-4)在y 轴上.点P从点B出发，沿线段B0方向匀速运动，运动到点O时停止 (1)求抛物线的表达式： (2)当BP=2√2时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D,连接PC,OD,判断四边 形OCPD的形状，并说明理由； (3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正 方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动.连接BQ,PC,求CP+BQ的最小值 图2 53 4.如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(-2,0)和B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,4),D是 抛物线的顶点. B 图1 图2 (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接BD,E是BD的中点，过点E作直线EG⊥x轴，垂足为G,交抛物线于点F, 过点F作FM⊥BD于点N,与x轴交于点M,求线段MF的长； (3)如图2，连接AC,点H为线段AC的中点，点J在x轴上，在AC右侧作平行四边形 AIJ,连接Dl,DJ,求D+DJ的最小值. 54 5.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A(-4,0),B两点，与 y轴交于点C,顶点坐标为(-3 28 ),经过点A的直线与抛物线交于点D,与y轴交于 点E. (1)求抛物线的表达式： (2)如图2，连接BE,已知△AEB的面积为10. ①求点E和点D的坐标； ②若M是线段OA上的一动点，N是线段AE上的一动点，且AM=EN,求EM+ON的最 小值 图1 图2 55 6.如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(-3,0)两点，与y轴交于C(0,-3),直线y=x+ m经过点B,且与y轴交于点D,与抛物线交于点E. 图1 图2 (1)求抛物线的表达式； (2)连接BC,CE,求△BCE的面积； (3)如图2，直线BE与抛物线的对称轴交于点F,在x轴上有M,N两点（点M在点N的右 侧)，且MN=2,将线段MW在x轴上平移，直接写出四边形MEFN的周长的最小值 56 类型2面积问题 7.如图，抛物线y=子+m+n与x轴交于A,B两点，与)轴交丁点C,抛物线的对称轴交x 轴于点D,已知A(-1,0),C(0,2). (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存 在，直接写出P点的坐标：如果不存在，请说明理由： (3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动 到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的 坐标 A O D B 57 8.如图1，已知抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C,点D为抛物线顶点，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于 点E,连接BC,交PE于点F,已知点D到x轴的距离与AB的长度相等，设点P的横坐标 为m. (1)求此抛物线的表达式： (2)若PF=2,求点P的坐标； (3)如图2，连接BP,PA,P1交BC于点G,设△BPG和△ABG的面积分别为S,S,求的 S, 最大值 图) 588.(1)证明：选择①.：AE为△ABD的中线. .BE=DE. 在△ABE和△MDE中， (BE=DE ∠AEB=∠MED. AE=ME .∴.△ABE≌△MDE(SAS), .AB=DM. .·AB=AC .∴.DM=AC 选择②由①知△ABE≌△MDE, ∴.∠BAE=∠DME, .∴.ABDM .∴.∠MDA+∠DAB=180. (2)证明：如图，延长AE至点M,使得ME=AE,连接DM. 由旋转得：AF=AD,∠DAF=90°， .·∠BAC=90°，∠DAF+∠BAC+∠BAD+∠CAF=360°， ∴.∠BAD+∠CAF=180°， 由(1)②得：∠MDA+∠DAB=180°，DM=AB=AC, .∠CAF=∠MDA, 在△ACF和△DMA中， (AF=AD ∠CAF=∠MDA, AC=DM .∴.△ACF≌△DMA(SAS), .CF=AM. 廿AEs , CF. (3)解：BG的最大值为2√5+2. 题型十一二次函数综合题 1解：0把0，-4代入y=a+(-4a0. 得-10a=-4, 解得a=5 2 2 .y= 5( 2)(x-4)= 54 2 (2)当y= +2)(x-4)=0时， ,5 解得x1三2书4 36 .A(4,0) M是OA的中点， .M(2.0). .0M=2, B(0,-4), .设直线AB的解析式为y=kx-4,把A(4,0)代入， 得k=1, .y=x-4, MD⊥x轴， c2,-2.2,95. C0=-2+188 55 1 88 △BCD的面积为2CD·0M=2×2XS=5 (3)①如图1，连接BF,作FQ⊥OB于点Q, A B 图1 由(2)可知：0A=0B=4, .∠OAB=∠0BA=45° 将线段0E绕点0顺时针旋转90°得到0F, .∴.O0E=OF,∠EOF=90°=∠BOA. ∴.∠AOE=∠BOF, 又.0A=OB,0E=0F ∴.△AOE≌△B0F(SAS), .∠OBF=∠OAE=45°，BF=AE=√2， .FQ⊥OB .△FQB为等腰直角三角形！ F0=B0= 2BF=1, ∴.0Q=0B-BQ=3, F(-1,-3), 对4 23 当x=-1时，=5+54=-3， ∴.点F在抛物线上 ②连接BF并延长，交x轴于点G,连接PM,MF,作M⊥ BG于点H,如图2， 图2 .∠OPA=90°，M为OA的中，点， Pw=0A=2, .PF≥MF-PM. .当M,P,F三点共线时，PF最小， 同①可得，∠0BF=∠0AE=45°， 点F在射线BG上运动， .当MF⊥BG时，即点F与，点H重合时，MF最小，此时 PF最小为MH-PM. .∠0BG=45°， ∴.△OBG为等腰直角三角形 .∴.0G=0B=4,∠BG0=45°， .MG=OG+OM=6,△MHG为等腰直角三角形. M-MG=3 2 .PF的最小值为MH-PM=3√2-2. 2.解：(1)由题意得y=a(x-2)2+2√3 将点A的坐标代入上式得：0=a×(4-2)2+2W3, 解得a 六抛物线的表达式为y=-)x2+23 2)由(10知x) (x-2)2+2√5 由中点坐标公式得点C(1,√5) 当=1时=1-2425 2 则cB35-5 2 Γ2 (3)①由(2)知C(1,5), 当时y-2+25-5, 则x=2+√2（不合题意的值已舍去）， 即点F(2+2,W3): ②作点C关于x轴的对称点E(1,-√3)， 则△CBF≌△OED(SAS), 则BF=DE. 则BD+BF=BD+DE≥BE,当点D,B,E共线时，BD+BF= BE为最小 则BD+BF的最小值为BE=√1+(35)2=27. 3.解：(1)抛物线y=-x2+bx过点B(4,-4), ∴.-16+4b=-4, .b=3, .抛物线的表达式为y=-x2+3x (2)四边形OCPD是平行四边形，理由如下： 如图1，作PD⊥OA交x轴于点H,连接PC,OD. y 图1 点P在直线y=-x上， ∴.0H=PH,∠P0H=45°， 连接BC, .·OC=BC=4, 0B=42 .OP=0B-BP=22, 0m=Pm=50p=2x25=2. 2 2 当xn=2时，DH=yn=-4+3×2=2, .PD=DH+PH=2+2=4, C(0,-4), .0C=4. .PD=OC, 0C⊥x轴，PD⊥x轴， :PD//0C, .四边形OCPD是平行四边形 (3)如图2，由题意得BP=0Q,连接BC, M 图2 在OA上方作△0MQ,使得∠M0Q=45°，OM=BC 0C=BC=4,BC⊥0C, .∠CBP=45°， .∠CBP=∠MOQ, .·BP=OO,∠CBP=∠MOQ,BC=OM .△CBP≌△MOQ(SAS), ∴CP=MQ, .∴.CP+BQ=MQ+BQ≥MB(当M,Q,B三点共线时最短)， CP+BQ的最小值为MB的长， .·∠M0B=∠M0Q+∠B0Q=45°+45°=90° .MB=√OM+0B=√42+(42)2=45， 即CP+BQ的最小值为45. 4.解：(1)抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(-2,0)和B(4, 0)两点， 故设y=a(x+2)(x-4),代入点C(0,4),得4=-8a, 解得。=宁 37 抛物线的表达式为y=子+4 （2由y=子4可知预点01子. E是BD的中点， 83子. .FM⊥BD,FG⊥MB ∴.∠FMB=∠NEF=∠GEB. Fan∠cEB=BC之、2 EG9=3 4 ·sin∠GEB=2v3 13 si血∠GEB=sinFMB=FC2VE MF-13 把=代入y子4中可得)忍同G- 27 8 Mr=_FC_27 T3 2√3 16 13 (3③)如国，作点刀关于：轴的对称点D(1,名)造接D J,以IJ,D'J为邻边构造平行四边形D'JIE,连接DE. 故DJ+DI=D'J+DI=EI+DI≥DE,当且仅当D,,E三点共 线时取等号， 点H为AC的中点， .H(-1,2),由平移的性质可知A点到H点向右平移了1 个单位长度，向上平移了2个单位长度， 9 故E点坐标在D'(1,之)基础上也向右平移了1个单位 长度，向上平移了2个单位长度， 5 即E(2,2), 故DE= 即DJ+D1的最小值为52. 5解：(0)顶点坐标为（号草。 ∴.y=a(x+- 8 38 将点4(-4,0)代人得0=a(-4+2产 25 1 解得a=-2 1,3 抛物线的表达式为y=2之+2 1,3 (2)0当y=0时，2-2+2=0， 解得x=1或x=-4, ∴.B(1,0), .AB=5, 1 六△AEB的面积=2×5×0B=10, 解得0E=4, .E(0,4), 设直线AE的解析式为y=kx+4, .∴.-4k+4=0,解得k=1, .直线AE的解析式为y=x+4, 当4=宁-子+2时，解得=4或=-1， ∴.D(-1,3) ②如图，过点A作AG⊥AE,且AG=OE, NE=AM,∠AE0=∠OAG,AG=OE, .△NEO≌△MAG(SAS), ∴.NO=MG, .∴.EM+ON=EM+MG≥EG, .A0=E0=4, .AE=42, .∠EAG=90°，AG=0E=4. .EG=√AE+AG=45, ..EM+ON的最小值为4√3 G 6.解：(1)把B(-3,0),C(0,-3)代人y=x2+bx+c, .抛物线的表达式为y=x2+2-3. (2):直线y=x+m经过点B(-3,0), .直线BE的表达式为y=x+3. y=x2+2x-3 联立 (y=x+3 解得任=2或=-3 (y=5(y=0 .E(2,5), 在y=x+3中， 令x=0,则y=3, ∴.D(0,3) 1 1 .Samc=SAcm3 2×6x2=15 (3)四边形MEFN周长的最小值为82+2 7.解：(1)把4(-1,0)，C(0,2)代入y=-x +mx+n得 1 3 -m+n=0 m= 解得 2 n=2 2=2 .抛物线的表达式为y= 3 +2 (2P点标为子成（子子成（子子. 3 123 (3)当y=0时，2+2+2=0，解得=-1，=4，则B (4,0). 设直线BC的解析式为y=x+b. 1 把B(4.0,c(0,2)代人得+6=0 ·解得 = 2 (b=2 b=2 ·直线BC的解析式为y=- 1 2t+2, 1 2x+2), 设Ex,2x+2(0≤x≤4)，则Fx,243 ·FE= 3 2* 1 x+2-( 2 2+2)=- 2x+2x. 'S△BC=S△BP+S△cBr= X4xEF=-x2+4, 3、5 Sawc=2x2x(4- 2, 六S回影G=Sar+San=-式2+4r+ 2-(-2)2+1 2(0 ≤x≤4)】 当=2时Samw有最大值，最大值为此时E点 坐标为(2,1). 8.解：(1)由题意知，y=ax2-2ax-3a=a(x+1)(x-3), 令y=0,则x1=-1,2=3, :点A在点B的左侧， A(-1,0),B(3,0), ∴AB=4, :y=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a,点D为抛物线顶点， .D(1,-4a), .点D到x轴的距离与AB的长度相等. ∴.-4a=4, .a=-1. .此抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3. (2)由(1)知抛物线的表达式为y=-x2+2+3, 则，点P的坐标为(m,-m2+2m+3), 令x=0,则y=3, ∴.C(0,3) 设直线BC的表达式为y=x+b(k≠0)， 将B(3,0),C(0,3)代入，得： 3k+b=0 (b=3 解得1 6=3 .直线BC的表达式为y=-x+3, .F(m,-m+3), ∴.PF=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=2, 解得m1=1,m2=2, 点P的坐标为(1,4)或(2,3)； (3)如图，过点P作PH∥x轴交BC的延长线于点H, S PG 由题知，SAG ·PH∥x轴. ∴.△PGH△AGB, PG HP 由(1)可得，AB=4,由(2)可得，直线BC的表达式为y=- x+3,点P(m,-m+2m+3), 令-x+3=-m2+2m+3, .x=m2-2m, .H(m2-2m,-m2+2m+3), .HP=m-(m2-2m)=-m2+3m, 3、29 S2 BA 4 161 4<0,0<m<3, 当a时受取得圾大值员大值为哈 题型十二平面直角坐标系中的新定义问题 1.解：(1)P(-1,0) (2)依题意，当直线y=x+b经过点D时，b的值最大， 将D(-1,1)代人y=x+b,得1=-1+b,解得b=2, b的最大值为2. (3)-2≤t≤2. 39