微专题7 几何最值问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学题型突破册（甘肃专用）

微专题七几何最值问题 (省卷：6年5考；兰州：3年1考) 类型1利用“两点之间线段最短”求最值 //n方法归纳/I 方法1利用对称构造等线段 1.如图，正方形ABCD的边长为12，点M在边DC上，且DM=3,点N是对角线AC上一动点， 求DN+MN的最小值， 【方法指引】找，点D关于直线AC的对称，点，将两条线段和最小问题转化为两，点之间线段 最短问题， D M 2.如图，已知∠AOB=50°，点P为∠AOB内部一点，点M,N分别为射线OA,OB上的动点，当 △PMN的周长最小时，求∠MPN的度数. 【方法指引】分别作点P关于射线OA,OB的对称，点，将周长最小问题转化为两，点之间线段 最短问题， 方法2利用平行四边形构造等线段 3.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E,F分别是边AB,CD的中点，点G,H为线段EF上 的两个动点，且GH=3,连接BG,DH,求BG+DH的最小值 【方法指引】以BG,GH为边构造平行四边形，将不共端点的两条线段和最小问题转化为两 ,点之间线段最短问题 15 4.如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD=60°，点E,F在对角线AC上（点E在点F的左侧）， 且EF=1,求DE+BF的最小值. 【方法指引】过点D作直线AC的平行线，以DE,EF为边构造平行四边形，将不共端，点的 两条线段和最小问题转化为两点之间线段最短问题 D 方法3利用全等三角形构造等线段 5.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且 BE=DF,求DE+CF的最小值 【方法指引】延长DA,构造以DF为边的三角形与△BDE全等，将不共端，点的两条线段和 最小问题转化为两，点之间线段最短问题 6.如图，在Rt△ABC中，D,E是AB边上的两个动点，且AD=BE,连接CD,CE,若∠B=30°， AC=4,求CD+CE的最小值 【方法指引】过，点A作直线BC的平行线，构造以AD为边的三角形与△BCBE全等，将不共 端点的两条线段和最小问题转化为两点之间线段最短问题. 16 W针对训练 1NE111111177 7.如图，在矩形ABCD中，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，且EF=1.若AB=5, BC=2,求GE+CF的最小值 8.如图，正方形ABCD的边长为3，E,F是对角线BD上的两个动点，且EF=√2，连接CE, CF,求△CEF周长的最小值 D E 9.在锐角△ABC中，AC=10,BC=8,∠ABC=60°，点D,E分别是边AB,AC上的动点，且AD= CE,求CD+BE的最小值 17 类型2利用“垂线段最短”求最值 /M方法归纳III// 方法1利用对称构造等线段 1.如图，在矩形ABCD中，AB=20,BC=10,点M,N分别是线段AC,AB上的动点，求BM+MN 的最小值 【方法指引】作点B关于直线AC的对称点，将两条线段和最小问题转化为垂线段最短 问题. 方法2利用锐角三角函数构造等线段 2.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60,边长为3，P是对角线BD上的一个动点，求2BP+PC 最小值， 【方法指引】过，点P作AB的垂线，通过锐角三角函数将两条线段和最小问题转化为垂线 段最短问题. 1E1AA11KKK3针对训练 1BE1111111117 3如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60,AB=6,P为边CD上的一动点，求PB+5 PD 的最小值， 18.·∠AF0=∠ACB=90°，∠A=∠A. ∴.△AFO∽△ACB .AO:AB=OF BC. 即7：8=0F:4, 解得0F=3.5. ∴.PF=0F-0P=3.5-1=2.5. .点P到直线AC距离的最小值为2.5. 微专题七几何最值问题 类型1利用“两点之间线段最短”求最值 1.解：如图，连接BN,BM. .四边形ABCD为正方形， .点B与，点D关于AC对称 ∴.NB=DN. ∴.DN+MN=BN+MN≥BM. .DN+MW的最小值为BM的长， CM=CD-DM=12-3=9, 在Rt△BMC中. 由勾股定理，得BM=√BC2+CM=√/12+9=15. .DN+MN的最小值为15. 2.解：如图，连接OP,作P点关于OA的对称，点E,连接 EO,EM. ∴.EM=MP,∠MPO=∠OEM,∠EOM=∠MOP 作P点关于OB的对称点F,连接NF,PF,OF, ∴.PN=FN,∠OPN=∠OFWN,∠PON=∠NOF, ∴.PM+PN+MN=EM+NF+MN≥EF 当E,M,N,F四点共线时，△PMN周长最小， 又.·∠EOF=∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF ∠AOB=∠MOP+∠PON, ∴.∠EOF=2∠AOB. 又.∠A0B=50°， .∴.∠E0F=100°， 在△E0F中，∠OEM+∠OFN+∠EOF=180°， .∴.∠0EM+∠0FN=180°-100°=80° ·.·∠MPO=∠OEM.∠OPN=∠OFN. ∴.∠MP0+∠OPN=80°， ∴.∠MPN=80° 3.解：如图，取边BC的中点M,连接HM,DM .BM=CM-2 BC=3. .·GH=BM=3,GH∥BM. .四边形GBMⅢ为平行四边形， .BG=HM. ∴.BG+DH=HM+DH≥DM. 在Rt△DMC中，由勾股定理，得DM=√MC+DC=5. .BG+DH的最小值为5. D H M 4.解：如图，过点D作DM∥AC,且DM=EF=1,连接BM交 AC于点F, .·DM=EF,DM∥EF .四边形DEFM是平行四边形， ∴.DE=FM. ∴.DE+BF=FM+FB≥BM :四边形ABCD是菱形，AB=3,∠BAD=60°， .AD=AB,AC⊥BD ,△ABD是等边三角形，BD⊥DM. .BD=AB=3. EP 在Rt△BDM中，BM=√P+3=√I0 .DE+BF的最小值为√I0 E 5.解：如图，延长DA到点G,使DG=DB 连接FG,CG, .·四边形ABCD是矩形 ∴.AD∥BC,AD=BC=4,DC=AB=3, ∠BAD=∠GDC=90°， ∴.∠GDF=∠DBE. ·DF=BE,DG=BD ∴.△DGF≌△BDE(SAS), ∴.FG=DE,∴.DE+CF=FG+CF≥CG 25 .当G,F,C三点共线时，FG+CF的值最小，最小值为CG 的长。 ∠BAD=90°，BD=V√AB2+AD=V32+4=5. 在Rt△GDC中，GD=BD=5,∠GDC=90°， .GC=√GD+CD2=√52+32=√34」 :.DE+CF的最小值为√34 G*s 6.解：如图，过点A作AFBC,且AF=BC,连接DF,CF, ∴.∠FAD=∠CBE. D AD=BE, .△FAD≌△CBE(SAS), .DF=CE, ∴.CD+CE=CD+DF≥CF. 易得∠CAF=90°，∠AFC=30°， .AC=4, ∴.CF=2AC=8 .CD+CE的最小值为8. 7.解：如图，作点G关于AB的对称点G',在CD上截取CH= 1,连接HG'交AB于点E,在EB上截取EF=1,此时GB+ CF的值最小， H G A E G .·CH=EF=1,CH∥EF .四边形EFCH是平行四边形， ∴.EH=CF .G'H=EG'+EH=EG+CF, .·AB=CD=5,BC=AD=2,G为边AD的中点， ∴.AG=1. ∴.DG'=AD+AG'=2+1=3,DH=5-1=4 在Rt△DHG中，由勾股定理得HG'=√3+4=5， 即GE+CF的最小值为5. 8.解：如图，连接AE,AC,以AE,EF为邻边作平行四边形 AEFG. 则AE=FG.EF=AG=√2，∠GAD=∠ADF=45°=∠DAC. ∴.∠GAC=90°， ,AB=CB,∠ABE=∠CBE,BE=BE, .△ABE≌△CBE(SAS), .∴.CE=AE=GF, .∴.CE+CF=GF+CF 26 .:.当点G,F,C在同一直线上时，CF+FG的值最小，最小 值为CG的长 :正方形ABCD的边长为3， ∴.AC=32, 在Rt△ACG中，由勾股定理得CG=√AG+AC= √(2)2+(32)2=25， .CF+FG的最小值为2√5， 又：EF=√2 .△CEF周长的最小值为√2+25. G D B C 9.解：如图，过点C作CK∥AB,使CK=AC=10,过点B作BG ⊥KC,交KC的延长线于点G,连接BK,EK 则∠KCE=∠CAD G 在△CKE和△ACD中. (CK=AC ∠KCE=∠CAD CE=AD .∴.△CKE≌△ACD(SAS), .∴.EK=CD .CD+BE=EK+BE≥BK, .CD+BE的最小值为BK的长， .CK∥AB,BG⊥CK, .BG⊥AB,∠BGK=90°， .∴.∠ABG=90°. .∠CBG=∠ABG-∠ABC=90°-60°=30°， 六CG=2BC=2×8=4, 在Rt△BCC中，由勾股定理得：BG=√BC-CG= √82-4=45， KG=CK+CG=10+4=14. 在Rt△BGK中，由勾股定理得：BK=√BG+KG= √(43)2+142=26， .CD+BE的最小值为2√6 类型2利用“垂线段最短”求最值 L.解：如图，作B点关于AC的对称，点B',过点B作AB的垂 线，交AC于点M,交AB于点N, 由对称性可得MB=MB', ∴.BM+MN=B'M+MN=B'N,此时BM+MN的值最小， 在Rt△ABC中，AB=20,BC=10. AC=105, .AB·BC=AC·BH .10×20=105BH, .BH=4W5, BB'=85 os∠CAB=4B25 AC 5' cos∠NB'B=25B'NB'N 5BB'85 B'N=16 ∴.BM+MN的最小值为16. B M B 2.解：如图，过点P作PM L AB于点M,过点C作CH⊥AB 于点H ,四边形ABCD是菱形， ∴.∠PBM= 2 ∠ABC=30°. B PBPc-PC+PM. 根据垂线段最短可知，CP+PM的最小值为CH的长， 在R△CBH中，CI=BC·n60=33 2’ 、、1BD+DC最小、直是一. 3.解：如图，过，点P作PE⊥AD,交AD的延长线于点E :四边形ABCD为平行四 边形， .AB//CD. ∴∠EDP=∠DAB=60°」 EP√5 ∴.sin∠EDP= DP=2, ·EP3 0 ÷Pg+EpD=PB+PE. 2 .当B,P,E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值， 即最小值为BE, ”s加A3 ,4B=6. .BE=35, PB士PD的最小值为33 甘肃中考题型攻克 题型一简单计算题 类型1实数的运算 1.原式=-1. 2.原式=-16+6. 3.原式=7. 4.原式=√3 类型2二次根式的运算 1.原式=-√6 2.原式=√2」 3.原式=瓦， 4.原式=3. 类型3整式的化简与求值 1.原式=2a+2. 2.原式=x+2y. 3.原式=2a-6 当a=4时，原式=2. 4原式=3xy+y2, 11 当x=6y=2时，原式=2 类型4分式的化简与求值 1原式=a+1 a+2 2.原式=1. 3.原式=2x-3, 当x=2时，原式=1. 4原式= a' 由原式可知，a不能取1,0，-1， a=2时，原式= 类型5解不等式（组） 1.原不等式组的解集为-3<x≤2， 在数轴上表示如下： -4-3-2-101234 2.原不等式组的解集为1≤x<3,整数解为1,2. 类型6解方程（组） 3 1.x= 81 2原方程组的解为=3， （y=2. 3.原分式方程无解 4.x=2是原分式方程的解 5 5x,=2w,=1 3 6x,=2=1 27