微专题6 隐形圆问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学题型突破册（甘肃专用）

微专题六 隐形圆问题 (省卷：6年1考)》 阶构造隐形圆 模型一 定点定长模型 111111111111888 模型分析 AA1118A111111177 条件 线段AB长度为定值，点A为定点，点B为动点 0A=OB=OC 图示 结论点B的运动轨迹是以点A为圆心，线段AB长为半径的圆 点A,B,C均在⊙0上 12111B2118888 针对训练 AAAKK1111111177 1.如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD,连接BD,若∠CAD=84°，则∠CBD的度数 为 2.如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A'处并且 A'C=1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为 米 模型二定弦定角模型 iIn模型分析 I//M/ 条件 在△ABC中，AB为定长，∠ACB的度数为定值 图示 B A B ∠ACB<90° ∠ACB=90° ∠ACB>90° 11 续表 ∠ACB= 2∠A0B,点C的运 ∠AOB+∠ACB=180°，点 AB为直径，点C的运动轨迹 结论 动轨迹为优弧ACB(不与点 为⊙O(不与点A,B重合)》 C的运动轨迹为劣弧ACB A,B重合) (不与点A,B重合) 11111A1113888 针对训练uII 3.如图，正方形ABCD的边长为2，P是边AB上一动点，过点B作直线CP的垂线，垂足为Q, 当点P从点A运动到点B时，点Q的运动路径长为 D 模型三 四点共圆模型 /1IM模型分析 AK1B1B1X1111177 条件 ∠C=∠D=90° ∠D+∠B=180° D 图示 0 结论 A,B,C,D四点共圆 A,B,C,D四点共圆，∠A+∠C=180° 11211111111888 针对训练 AA11K111111117 4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,过点O作OE⊥BD,交AD于点E,连接BE,若 ∠ABE=20°，则∠AOE= 5.如图，已知△ABC,D为平面内一动点，且AD平分∠CAB,连接BD,CD.若∠ABD+∠ACD= 180°，BD=3,则CD的长为 12 二阶利用隐形圆求最值 类型一点圆最值 M方法归纳 已知平面内一定点D和⊙O,点E是⊙O上一点，当D,O,E三点共线时，线段DE有最大 (小)值（依据：直径是圆中最长的弦），设点0与点D之间的距离为d,⊙0的半径为r 位置关系 点D在⊙0内 点D在⊙0上 点D在⊙O外 图示 D DE的最大值 d+r 2r d+r 此时点E的位置 连接D0并延长交⊙O于点E DE的最小值 r-d 0 d-r 连接OD并延长交⊙0 此时点E的位置 点E与点D重合 连接OD交⊙0于点E 于点E 针对训练 6.如图，在矩形ABCD中，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE,若AB=4,BC=6,求线段CE 的最小值 7.如图，点A,B的坐标分别为A(3,0),B(0,3),点C为坐标平面内的一点，且BC=2,点M 为线段AC的中点，连接OM,求OM的最大值. 13 类型二线圆最值 V1211111111338 方法归纳 I///W 已知⊙0及直线1，⊙0的半径为r,圆心0到直线l的距离为d,点Q为⊙0上一点 位置关系 直线1与⊙0相离 直线1与⊙0相切 直线1与⊙0相交 图示 点Q到直线1距 d+r 2 d+r 离的最大值 此时点Q的位置 过点0作直线1的垂线，垂线与⊙0的交点中距离直线1较远的交点即为点Q 点Q到直线1的 d-r 0 0 距离的最小值 过点O作直线l的垂线，垂线与⊙0的交点中距 直线1与⊙0的交点即为 此时点Q的位置 离直线1较近的交点即为点Q 点Q 111111B111888 针对训练A1E/1 8.如图，在△ABC中，BC=2,点A为平面内一动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC=45°， 则△ABC面积的最大值为 //0 综合训练 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4,CD⊥AB,垂足为D,E是边BC上的动点 (0<CE<3),若点P在线段DE上，且∠CDP+∠CBP=60°，求点P到直线AC距离的最 小值. 14.∴.∠ODA=∠OAD ·AD∥CO. ∴.∠COD=∠ODA,∠COB=∠OAD. .∠COD=∠COB. OD=0B 在△ODC和△OBC中 ∠DOC=∠BOC 0C=0C .∴.△ODC≌△OBC(SAS). ∴.∠ODC=∠OBC. ·CB是⊙O的切线， .∠CB0=90° ∴.∠CD0=90° .∴.OD⊥CD. 又.·0D是⊙0的半径 .CD是⊙0的切线. 4.证明：如图，连接0C .·0A=OC,∴.∠CA0=∠AC0. AC平分∠DAB, ∴.∠DAC=∠CAO ∴.∠DAC=∠ACO..AD∥OC .AD⊥CD,..OC⊥CD ·OC是⊙0的半径，.CD是⊙O 的切线. 5.证明：如图，连接OD OC=OD.CE=DE. .OE⊥CD,∠OCD=∠ODC, .∴.∠F+∠CDF=90° .·∠F=∠C=∠ODC .∴.∠ODC+∠CDF=90°，即∠ODF=90°， .OD⊥DF ·OD为⊙0的半径， .DF是⊙O的切线 6.证明：如图，过点0作0H1AB于 点瓜 ,∠ACB=90°，AO是△ABC的角 B 平分线，·.0C=0H 0C为⊙0的半径，.0H是⊙0 的半径，.AB是⊙O的切线： 微专题六隐形圆问题 1.42°2. 石3号4253 6.解：如图，：AE⊥BE .点E在以AB为直径的半⊙0上， 连接C0交⊙0于点E', .当点E位于点E位置时，线段CE取得最小值， .AB=4,∴.0A=0B=OE'=2 BC=6,.0C=√BC+0B=√6+2=2√/0， 24 .CE'=0C-0E'=2√10-2. 4 D E B 7.解：如图，作点A关于点0的对称点A'(-3,0), 则点0是A4'的中点， 又：点M是AC的中点， .OM是△A4'C的中位线， .OM=- 当A'C最大时，OM最大， 点C为坐标平面内的一点，且BC=2, .:.点C在以，点B为圆心，2为半径的⊙B上运动， .当A'C经过圆心B时，A'C最大，即点C在图中点C'的 位置 此时A'C'=A'B+BC'=3V2+2 六0侧的疑大位为1 ⊙ 8.√2+1 9.解：∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4, ∠ABC=60°，AB=2BC=8, CD⊥AB, ∴.∠ABC+∠BCD=90°， .∠BCD=30°， .BD= 2, ∠BED=∠BCD+∠CDP,∠BPD=∠BED+∠CBP, ∴.∠BPD=∠BCD+∠CDP+∠CBP. .·∠CDP+∠CBP=60°， ∴.∠BPD=30°+60°=90° ·点P在以BD为直径的圆上， 如图，设BD的中点为O,则B0=DO=1,即以BD为直径 的⊙0的半径0P为1， ∴.A0=AB-B0=7, 过点0作OF⊥AC,垂足为F,交⊙0于点P,此时点P到 AC的距离最小. .·∠AF0=∠ACB=90°，∠A=∠A. .△AFO∽△ACB. .∴.AO:AB=OF:BC 即7：8=0F:4, 解得0F=3.5, .PF=0F-0P=3.5-1=2.5, ∴.点P到直线AC距离的最小值为2.5. 微专题七几何最值问题 类型1利用“两点之间线段最短”求最值 1.解：如图，连接BN,BM. :四边形ABCD为正方形， 点B与点D关于AC对称. .NB=DN. ∴.DN+MN=BN+MWN≥BM、 .DW+MN的最小值为BM的长， CM=CD-DM=12-3=9. 在Rt△BMC中， 由勾股定理，得BM=√BC+CM=√12+9=15. .DN+MW的最小值为15. D B 2.解：如图，连接OP,作P点关于OA的对称点E,连接 EO.EM. .EM=MP,∠MPO=∠OEM,∠EOM=∠MOP 作P点关于OB的对称点F,连接NF,PF,OF, ∴.PN=FN,∠OPW=∠OFN,∠PON=∠NOF, ∴.PM+PW+MN=EM+NF+MN≥EF」 当E,M,N,F四点共线时，△PMN周长最小 又.·∠EOF=∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF ∠AOB=∠MOP+∠PON. ∴.∠EOF=2∠AOB, 又·∠A0B=50°. ∴.∠E0F=100°， 在△EOF中，∠OEM+∠OFN+∠EOF=180°， .∠0EM+∠0FN=180°-100°=80° .·∠MPO=∠OEM,∠OPN=∠OFN, ∴.∠MPO+∠OPW=80°. ∴.∠MPW=80. 3.解：如图，取边BC的中点M,连接HM,DM, BM=CM=2 BC=3. .·GH=BM=3,GH∥BM .四边形GBMⅢ为平行四边形， .BG=HM .∴.BG+DH=HM+DH≥DM. 在Rt△DMC中，由勾股定理，得DM=√MC+DC=5. ∴.BG+DH的最小值为5. A G M 4.解：如图，过点D作DM∥AC,且DM=EF=1,连接BM交 AC于点F, DM=EF,DM∥EF, .四边形DEFM是平行四边形. ∴.DE=FM .DE+BF=FM+FB≥BM, ·四边形ABCD是菱形，AB=3,∠BAD=60°. ∴.AD=AB,AC⊥BD .△ABD是等边三角形，BD LDM. .∴.BD=AB=3, EP. 在Rt△BDM中，BM=√1+32=√10. DE+BF的最小值为√而. M D A 5.解：如图，延长DA到点G,使DG=DB, 连接FG,CG, :四边形ABCD是矩形， ..AD//BC,AD=BC=4,DC=AB=3, ∠BAD=∠GDC=90°， ∴.∠GDF=∠DBE. DF=BE,DG=BD. ∴.△DGF≌△BDE(SAS), ∴，FG=DE,∴.DE+CF=FG+CF≥CG 25