期末复习专题02 有理数的运算16大常考题型(知识梳理+题型精讲) 2025-2026学年人教版七年级数学上册

期末复习专题02 有理数的运算（16大常考题型） 第二章有理数的运算 【知识点 1：有理数加法的运算律】 1.加法的交换律： a+b=b+a 2.加法的结合律： (a+b)+c=a+(b+c) 【知识点 2：有理数的加法法则】 1.同号两数相加，取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和。 2.异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，和取绝对值较大加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差，即用较大的绝对值减去较小的绝对值； 3.一个数与0相加，仍得这个数。 【知识点 3：有理数的减法法则】 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b) 【知识点4：有理数乘法的运算律】 1.乘法的交换律: ab= ba 2.乘法的结合律: (ab)c=a(bc) 3.乘法的分配律: a(b+c)= ab+ ac (常用于简便运算) 【知识点5：有理数的乘法法则】 1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；且积的绝对值等于乘数的绝对值的积。 2.任何数与零相乘，都得零； 3.几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定。奇数个负数为负，偶数个负数为正。 4.乘积是1的两个数互为倒数。 【知识点6：有理数除法法则】 1.除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，即 无意义。 2.两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。 3.0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【知识点7：有理数乘方的法则】 1.正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0. 2.负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 【知识点8：乘方的定义】 1.求n 个相同乘数的积的运算，叫做乘方； 2.乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 3. a²是重要的非负数，即 若 4、据规律 底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动两位。 【知识点9：科学记数法】 把一个大于10的数记成a×10"的形式，其中 a大于或等于1，且a小于10，n是正整数)，这种记数法叫科学记数法。 【知识点10：近似数的精确位】 一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到那一位。 【知识点11：混合运算法则】 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 4.注意：不省过程，不跳步骤。 【知识点12：特殊值法】 是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法，但不能用于证明。常用于填空，选择。 题型一 有理数的四则混合运算（共4小题） 1．（25-26七年级上·四川达州·期中）计算： (1)； (2)． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 3．（25-26七年级上·吉林长春·期中）计算： (1) (2) 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）（1）计算：； （2）计算：． 题型二 有理数四则混合运算的实际应用（共4小题） 5．（25-26七年级上·四川成都·期中）石室天府中学运动会三分钟集体跳绳项目于2025年11月6日上午举行，A班是第一个参加跳绳的班级，跳绳个数是180个，后面依次是B班、C班、D班、E班、F班参加．下表依次记录的是初一年级后面比赛的5个班跳绳数量（比前一个班多的个数记为“”，比前一个班少的个数记为“”）．请根据表格中的数据回答下列问题： 班级 B班 C班 D班 E班 F班 跳绳变化（个） (1)哪一个班级跳绳个数最多？最多是多少？ (2)为了鼓励同学们坚持锻炼身体，年级决定对参加集体跳绳的班级实行如下奖励方案：只要参加集体跳绳的班级，年级每个班都奖励50元．以三分钟跳绳190个为标准，超出一个再奖励2元，低于一个则扣3元．年级准备用320元来奖励以上这六个参赛班级，这笔钱够吗？请通过计算说明理由． 6．（25-26七年级上·四川达州·期中）有20箱苹果，以每箱15千克为标准，超过15千克的数记为正数，不足15千克的数记为负数，称重记录如下： 与标准质量的差（千克） 0 箱数（箱） 2 1 5 2 4 2 4 (1)最重的一箱比最轻的一箱重 __________千克； (2)求这20箱苹果的总质量； (3)若这批苹果的批发价是8.5元/千克，售价是15元/千克，运输和出售过程中有的苹果腐烂无法出售，则出售这20箱苹果能盈利多少元？ 7．（25-26七年级上·吉林长春·期中）某检修小组驾驶检修车从A地出发，在东西方向的笔直的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：）：，，，，，． (1)计算说明检修小组最终在A地何方，距A地多远？ (2)若检修小组使用燃油汽车，该车每千米耗油0.15升，若汽油价格为8.13元/升，该检修小组当天从出发到收工的油费是 元． (3)若该检修小组使用新能源汽车，该新能源汽车每行驶耗电10度，且使用充电桩充电的价格是每度电0.8元，则该天使用新能源汽车的耗电费用比使用燃油汽车的燃油费用省 元（精确到十分位）． 8．（25-26七年级上·福建泉州·期中）为了确保能够按时完成农田小麦收割任务，某小麦收割机配件车间需要在一周内完成2000件配件的生产任务．该车间接到任务后，计划平均每天加工400件，由于各种原因，每天实际加工的件数与每天计划加工的件数相比有出入，把超额或不足的部分分别用正、负数来表示，下表是这周加工这种配件的记录情况： 星期 一 二 三 四 五 与每天的计划量相比的差值单位：件 (1)这周共加工了______件小麦收割机配件． (2)这周内加工最多的一天比加工最少的一天多加工了______件． (3)已知该厂对这个车间实行计件工资制，每加工1件得10元，若超额完成任务，则超额部分每件再奖5元；若没有完成任务，则每少一件倒扣5元，求该车间这周的总收入． 题型三 有理数运算中简便计算（共4小题） 9．（25-26七年级上·吉林长春·期中）简算： (1) (2) 10．（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 11．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）用简便方法计算： 12．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）计算： (1)； （用简便方法计算） (2)． 题型四 省略加法和括号的形式（共4小题） 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）请把下列各式写成省略加号的形式： (1)； (2)． 14．（25-26七年级上·河北邢台·阶段练习）（1）把下面式子写成省略括号和加号的形式 （2）计算． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）把写成省略加号的和的形式，并把它读出来． 16．（24-25七年级上·广西北海·期末）把（﹣8）+（﹣5）﹣（﹣2）写成省略括号的和的形式是 ． 题型五 倒数（共4小题） 17．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）已知与互为相反数，与互为倒数，积是一个负数，解决下列问题 (1)_____；_____； (2)代数式的值与b、d的值无关，你认为呢？试说明理由． 18．（25-26七年级上·云南临沧·期中）课堂上，老师出了一道计算题：． 小丽发现，与互为倒数，那么可以先算，那么的值为． 请你根据小丽的方法，计算：． 19．（25-26七年级上·河北唐山·期中）阅读下列材料：在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1 思路2 思路3 用分别除以，，，再把所得结果相加． 先求出，，的和，再用除以这个和． 先算，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，不正确的是思路______； (2)请选择一种正确的思路计算：． 20．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期中）【初步感知】 已知有理数（不为0和1），我们把1与的倒数的差，即称为的倒数差，如：5的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】 若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，，以此类推． （1）分别求出，，的值； （2）的值为__________；（直接写出结果） 【拓展提升】 设a，b，c都是不为0和1的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组，第2次变换后得数组，，第次变换后得到数组． （3）若数组确定为，求的值． 题型六 根据点在数轴的位置判断式子的正负（共4小题） 21．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：①；②；③；④其中正确的有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 22．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论： ①；②；③；④．上述结论中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）有理数、、在数轴上的位置如图． (1)用“”或“”填空；_________0，_________0，_________0； (2)比较的大小． 24．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）点、在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和． (1)用“>”或“<”填空：______0，______0； (2)化简：______； (3)若，，、互为相反数，、互为倒数，求的值． 题型七 有理数的乘方运算及应用（共6小题） 25．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期中）下列说法中正确的是（   ） A．在中，底数是7 B．若，则 C．在中，指数是8 D．若，则 26．（23-24七年级上·河南郑州·期末）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……文中的鸟巢共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 28．（25-26七年级上·河南洛阳·期中）二维码是用某种特定的几何图形按一定规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形（如图1）．某校学生利用二维码建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的身份识别图案，其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，则为该行所表示的数．例如：图2中第一行数字从左到右依次为0、1、1、1，计算，表示该生为7班学生，请判断下列选项中表示5班10号学生的识别图案是（   ） A． B． C． D． 29．（25-26七年级上·江西宜春·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，一般地，把个相除记作，读作“的下次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：___________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：（幂的形式）； （2）试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式．___________；___________； （3）算一算：． 30．（25-26七年级上·新疆哈密·期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了有理数的乘方后，他就琢磨着使用乘方这一数学知识，脑洞大开的定义出“有理数的除方”的概念．规定：若干个相同有理数（均不为零）的除法运算叫做除方．如类比有理数的乘方记作记作． (1)直接写出计算结果：______；______； (2)计算． 题型八 程序流程图与有理数计算（共4小题） 31．（25-26七年级上·全国·期中）根据如图所示的“数值转换机”，当输入x的值为时，输出y的值为（   ） A． B． C． D．5 32．（25-26六年级上·上海·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，第一次输出的结果是1，返回进行第二次运算则输出的是8，…，则第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 33．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 34．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出结果为 ． 题型九 算24点（共4小题） 35．（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 36．（21-22七年级上·湖北鄂州·期末）“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 37．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）根据如图所示的4张扑克牌上的点数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为，可以列出综合算式是 ． 38．（25-26七年级上·河南安阳·期中）有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24： ． 题型十 科学记数法（共4小题） 39．（25-26七年级上·山西·月考）《青藤在线》公众号是致力于山西省考试服务，作为一个公益分享试卷的平台，截止2025年9月15日，已累计服务师生1559万次．将数据1559万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 40．（25-26七年级上·吉林长春·月考）截至2025年9月20日，长春轨道交通单日客运量创历史新高，达到人次，超越此前峰值（2024年12月31日的人次），将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 41．（25-26七年级上·广东广州·期中）按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是（　　） A．（精确到十分位） B．（精确到个位） C．（精确到） D．（精确到） 42．（25-26七年级上·河北沧州·期中）下列说法正确的有（    ） ①近似数1.60与近似数1.6的精确度一样； ②近似数2.46万是精确到百分位； ③317500精确到千位表示为31.8万，也可以表示为； ④5.1亿是一个9位数； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十一 近似数（共5小题） 43．（25-26八年级上·河北唐山·期中）某教学楼共5层楼梯，每层楼梯都有28级台阶，经测量，每级台阶高为，下列说法正确的是（　　） A．准确数只有5 B．近似数是12.5和28 C．楼梯的总高是准确数字 D．楼梯的总高，结果精确到十分位 44．（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）截至2025年5月21日，电影《哪吒之魔童闹海》票房一突破158.59亿元，将158.59亿用科学记数法表示为 ． 45．（25-26七年级上·重庆·期中）2025年，人工智能在全球范围内迅速发展，据统计，其平台第三季度月均活跃用户为146000000，其中146000000用科学记数法表示为 ． 46．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）伴随“互联网+”时代的来临，预计到2026年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到650000000人，将数据650000000用科学记数法可表示为 ． 47．（25-26七年级上·山东德州·期中）把精确到得到的近似数是 ，近似数表示精确到 位． 题型十二 有理数中的规律计算问题（共5小题） 48．（25-26七年级上·全国·课后作业）从图（1）中找规律，并按此规律在图（2）的空格里填上合适的数． 49．（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）如图，下列图案都是由同样大小的按一定的规律组成的，其中图案①中有2个，图案②中有4个，图案③中有8个，……．按此规律，图案⑧中的个数是（   ） A．10 B．64 C．128 D．256 50．（25-26六年级上·上海浦东新·月考）计算： ． 51．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期中）观察下列式子，并完成后面的问题： … (1)__________； (2)利用你得到的（1）中的结论计算： ①； ②； (3)根据乘方的意义可求． 请你直接利用上述结论计算：． 52．（25-26七年级上·河北衡水·期中）（1）根据已知条件填空： ①已知，那么______，______； ②已知，那么______，______，______． （2）观察上述计算结果，我们可以得出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动____________位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动____________位． （3）已知，，．填空： ①______； ②______． 题型十三 进制运算（共4小题） 53．（2025·广东韶关·三模）如图，是第14届国际数学教育大会（ICME－14）会标，广泛传播了数学元素：勾股定理、偶数和奇数、八进制和二进制等．“ICME－14”下方四个中国传统卦写的十进制的数 2020，表示大会召开的年份，此外，“”的二进制代码是：．由于COVID－19的大流行，ICME－14不得不推迟，新标志右下角的四个三元组代表二进制，则代表的十进制是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 54．（24-25七年级上·云南昆明·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把转换为五进制数是（   ） A． B． C． D． 55．（24-25七年级上·广东广州·期中）将十进制数250转成八进制数是（    ） A．372 B．313 C．273 D．237 56．（25-26七年级上·全国·期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写成若干数的和，依次写出1或0即可．如：，则十进制数30是二进制下的（ ） A． B． C． D． 题型十四 有理数运算中的新定义问题（共6小题） 57．（25-26七年级上·云南玉溪·期中）定义一种新运算：，则的结果为（   ） A．6 B．-6 C． D． 58．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）对于有理数a、b，现定义一种新运算“☆”，规定：，如，则计算的结果为 ． 59．（25-26七年级上·吉林长春·期中）我们定义一种新运算“”如下：，例如：，下面给出了关于这种新运算的几个结论：①；②若，则；③；④若，则．其中正确的有 ．（填序号） 60．（25-26七年级上·福建莆田·期中）若定义表示两数中取较小的一个，表示两数中取较大的一个，则 ． 61．（25-26七年级上·广西南宁·月考）定义新运算：，，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对” (1)若，，则______；______； (2)有理数，是“隔一数对”吗？请说明理由； (3)计算：； (4)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：． 62．（25-26七年级上·广东江门·期中）定义一种新运算：对于任意有理数都满足，例如：， (1)求的值： (2)计算：．（有括号先算括号） 题型十五 有理数混合运算的实际应用压轴（共6小题） 63．（25-26七年级上·江西吉安·期中）一辆货车在一条笔直的道路上从新华书店出发向乡下中学派送图书，向东行驶到达阳光中学，继续向东行驶到达希望中学，然后，货车向西行驶到达光明中学，最后，货车完成任务后返回新华书店． (1)以新华书店为原点，规定向东为正方向，1个单位长度代表．在给定的数轴（如图）上，用、、分别标记出阳光中学、希望中学和光明中学的位置． (2)阳光中学与光明中学之间的距离是多少千米？ (3)这辆货车此次图书派送之行行驶的总路程是多少千米？ (4)若货车每行驶消耗0.15升燃油，那么这辆货车此次图书派送之行共消耗多少升燃油？ 64．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）综合与实践：【项目主题】某新能源汽车耗电情况． 【项目背景】近几年全球新能源汽车发展迅猛，新能源汽车产销量大幅增加．小明家购置了一辆续航为（充满电能行驶的最大路程）的新能源纯电动汽车，小明想记录汽车行驶过程中的耗电情况． 【项目实施】他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如表（单位：．以为标准，超过的部分记为“”，不足的部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● 【项目任务】 (1)“■”处的数为 ，“●”处的数为 ； (2)行驶路程最多的一天与最少的一天相差 ； (3)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航路程的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 65．（25-26七年级上·陕西西安·期中）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走多少？ (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油8升，汽油的价格为7元／升，而新能源汽车每行驶耗电量为12度，公共充电桩每度电为1.6元，请估计小明家换成新能源汽车后，在公共充电桩充电这7天的行驶费用比原来节省多少元？ 66．（25-26七年级上·湖南永州·期中）某股民吉姆上星期买进某公司股票10000股，每股23元，下表为本周内每日该股的涨跌情况：（星期六、日股市休市）（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 2 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高价多少元？最低价多少元？ (3)已知吉姆买进股票时付了的手续费，卖出时还需付成交额的手续费和的交易税，如果吉姆在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 67．（25-26七年级上·吉林长春·月考）网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．我区某果园把自家种的草莓放到网上销售，计划每天销售千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，如表是该果园一周草莓的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 草莓销售超过或不足计划量情况千克 (1)该果园本周销售草莓最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)该果园本周实际销售草莓的总量是多少千克？ (3)若果园按元千克进行网上销售，同时需要支付运费为元千克（商家支付），则果园本周销售草莓扣除运费后，一共收入多少元？ 68．（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况超产为正，减产为负： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（辆） (1)根据记录可知，前三天共生产_______辆． (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产_______辆． (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆自行车可得元，若超额完成任务则超出部分每辆另奖元；若未完成任务，则以计划任务量为基准，每少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 题型十六 有理数运算与数轴、绝对值综合（共5小题） 69．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）[阅读材料]的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．例如：可以看成数轴上表示数2的点与表示数1的点之间的距离，所以． (1)的几何意义是表示数x的点与表示数________的点之间的距离； (2)（ⅰ）若，求x的值； （ⅱ）求的最小值． 70．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 71．（25-26七年级上·河南周口·期中）我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点、，若数轴上存在一点，且点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“雅中点”．根据上述定义，解答下列问题： (1)若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“雅中点”，则点表示的数为______； (2)若数轴上点与点的“雅中点”表示的数为2，、两点的距离为9（点在点的左侧），求点和点表示的数； (3)已知数轴上点、、表示的数分别是，，，点在点、之间运动（点可与点、重合）．设点表示的数为，且点为点与点的“雅中点”，求可取的整数． 72．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是0，则的值为____________； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 73．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）阅读材料：对数轴上的点进行如下操作：将点沿数轴水平方向，以每秒个单位长度的速度，向右平移秒，得到点，称这样的操作为点的“速移”， 点称为点的“速移”点． 阅读材料：若点表示的数分别为，则线段的长度可以这样计算：或，那么当点表示的数分别为时，线段的长度可以表示为或． (1)当，时， ①如果点表示的数为，那么点的“速移”点表示的数为 ； ②点的“速移”点表示的数为，那么点表示的数为 ； (2)数轴上的点表示的数为，表示的数为，点向右平移秒，得到点的“速移”点，那么的长度可以表示为 ； (3)数轴上两点间的距离为，且点在点的左侧，点通过“速移”分别向右平移，秒得到点，，如果，请直接用等式表示，的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题02 有理数的运算（16大常考题型） 第二章有理数的运算 【知识点 1：有理数加法的运算律】 1.加法的交换律： a+b=b+a 2.加法的结合律： (a+b)+c=a+(b+c) 【知识点 2：有理数的加法法则】 1.同号两数相加，取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和。 2.异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，和取绝对值较大加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差，即用较大的绝对值减去较小的绝对值； 3.一个数与0相加，仍得这个数。 【知识点 3：有理数的减法法则】 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b) 【知识点4：有理数乘法的运算律】 1.乘法的交换律: ab= ba 2.乘法的结合律: (ab)c=a(bc) 3.乘法的分配律: a(b+c)= ab+ ac (常用于简便运算) 【知识点5：有理数的乘法法则】 1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；且积的绝对值等于乘数的绝对值的积。 2.任何数与零相乘，都得零； 3.几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定。奇数个负数为负，偶数个负数为正。 4.乘积是1的两个数互为倒数。 【知识点6：有理数除法法则】 1.除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，即 无意义。 2.两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。 3.0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【知识点7：有理数乘方的法则】 1.正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0. 2.负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 【知识点8：乘方的定义】 1.求n 个相同乘数的积的运算，叫做乘方； 2.乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 3. a²是重要的非负数，即 若 4、据规律 底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动两位。 【知识点9：科学记数法】 把一个大于10的数记成a×10"的形式，其中 a大于或等于1，且a小于10，n是正整数)，这种记数法叫科学记数法。 【知识点10：近似数的精确位】 一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到那一位。 【知识点11：混合运算法则】 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 4.注意：不省过程，不跳步骤。 【知识点12：特殊值法】 是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法，但不能用于证明。常用于填空，选择。 题型一 有理数的四则混合运算（共4小题） 1．（25-26七年级上·四川达州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、有理数乘方、有理数乘法运算律等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，然后按照有理数混合运算法则计算即可； （2）先算乘方，然后运用有理数乘法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则． （1）利用乘法分配律展开计算即可； （2）先计算乘方，再计算括号里的加法，再计算乘除法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（25-26七年级上·吉林长春·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，准确的计算是解决本题的关键． （1）先化简多重符号，再利用加法结合律求解即可； （2）先算乘方和括号内的运算，再算乘除法，最后算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 根据有理数加减运算的运算法则进行计算； 根据有理数混合运算的运算法则进行计算． 【详解】解：（1） ； （2） ． 题型二 有理数四则混合运算的实际应用（共4小题） 5．（25-26七年级上·四川成都·期中）石室天府中学运动会三分钟集体跳绳项目于2025年11月6日上午举行，A班是第一个参加跳绳的班级，跳绳个数是180个，后面依次是B班、C班、D班、E班、F班参加．下表依次记录的是初一年级后面比赛的5个班跳绳数量（比前一个班多的个数记为“”，比前一个班少的个数记为“”）．请根据表格中的数据回答下列问题： 班级 B班 C班 D班 E班 F班 跳绳变化（个） (1)哪一个班级跳绳个数最多？最多是多少？ (2)为了鼓励同学们坚持锻炼身体，年级决定对参加集体跳绳的班级实行如下奖励方案：只要参加集体跳绳的班级，年级每个班都奖励50元．以三分钟跳绳190个为标准，超出一个再奖励2元，低于一个则扣3元．年级准备用320元来奖励以上这六个参赛班级，这笔钱够吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)F班跳绳个数最多，最多是205个 (2)这笔钱够用，理由见解析 【分析】本题主要考查了正负数的应用，结合题意理解正负数的含义是解决本题的关键． （1）分别依题意求出班的跳绳个数，再进行比较即可； （2）计算出六个班共获得的奖励金额，再比较大小即可． 【详解】（1）解：A班：180个， B班：（个） C班：（个） D班：（个） E班：（个） F班：（个）， 则F班跳绳个数最多，最多是205个； （2）这笔钱够用，理由如下： （元） ， 这笔钱够用． 6．（25-26七年级上·四川达州·期中）有20箱苹果，以每箱15千克为标准，超过15千克的数记为正数，不足15千克的数记为负数，称重记录如下： 与标准质量的差（千克） 0 箱数（箱） 2 1 5 2 4 2 4 (1)最重的一箱比最轻的一箱重 __________千克； (2)求这20箱苹果的总质量； (3)若这批苹果的批发价是8.5元/千克，售价是15元/千克，运输和出售过程中有的苹果腐烂无法出售，则出售这20箱苹果能盈利多少元？ 【答案】(1)1.1 (2)301.4千克 (3)1507元 【分析】本题考查正数与负数的实际应用，涉及重量差计算、总质量求和以及盈利计算，理解正负数的意义是解题的关键． （1）与标准质量的差中，最大值减去最小值即为所求； （2）20箱的标准重量加上记录数据即为所求； （3）总盈利等于销售总收入减去总成本，即为所求． 【详解】（1）解：（千克）， 即最重的一箱比最轻的一箱重1.1千克， 故答案为：1.1； （2）解： （千克）， 答：这20箱苹果的总质量为301.4千克； （3）解： （元） 答：出售这20箱苹果能盈利1507元． 7．（25-26七年级上·吉林长春·期中）某检修小组驾驶检修车从A地出发，在东西方向的笔直的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：）：，，，，，． (1)计算说明检修小组最终在A地何方，距A地多远？ (2)若检修小组使用燃油汽车，该车每千米耗油0.15升，若汽油价格为8.13元/升，该检修小组当天从出发到收工的油费是 元． (3)若该检修小组使用新能源汽车，该新能源汽车每行驶耗电10度，且使用充电桩充电的价格是每度电0.8元，则该天使用新能源汽车的耗电费用比使用燃油汽车的燃油费用省 元（精确到十分位）． 【答案】(1)A地东2千米处 (2)48.78 (3)45.6 【分析】此题主要考查了正负数的意义，绝对值的意义，有理数四则运算的实际应用． （1）把所有的行驶记录相加，然后根据正负数的意义解答； （2）用所有行驶记录的绝对值的和乘以，可得耗油量，再乘以单价可得费用； （3）由行驶耗电度，再乘以单价可得新能源汽车的费用，再利用油车的费用减去新能源汽车的费用可得答案． 【详解】（1）解： ， 答：收工时在A地东边处； （2）解： ， （升）． （元）， 答：该检修小组该天的油费是元； 故答案为：48.78 （3）解：∵该新能源汽车每行驶耗电10度， ∴行驶耗电（度）， ∴该汽车该天的耗电费用为（元）， ∴比使用燃油汽车省（元）． 故答案为：45.6 8．（25-26七年级上·福建泉州·期中）为了确保能够按时完成农田小麦收割任务，某小麦收割机配件车间需要在一周内完成2000件配件的生产任务．该车间接到任务后，计划平均每天加工400件，由于各种原因，每天实际加工的件数与每天计划加工的件数相比有出入，把超额或不足的部分分别用正、负数来表示，下表是这周加工这种配件的记录情况： 星期 一 二 三 四 五 与每天的计划量相比的差值单位：件 (1)这周共加工了______件小麦收割机配件． (2)这周内加工最多的一天比加工最少的一天多加工了______件． (3)已知该厂对这个车间实行计件工资制，每加工1件得10元，若超额完成任务，则超额部分每件再奖5元；若没有完成任务，则每少一件倒扣5元，求该车间这周的总收入． 【答案】(1)2020 (2)110 (3)20300元 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）先计算这5天超出或不足标准的总量，再加上这5天一共的标准量即可； （2）直接用表格中最大的数减去最小的数计算即可； （3）结合（1）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解： 件， 即这周共加工了2020件小麦收割机配件． 故答案为：2020． （2）（件）， 即这周内加工最多的一天比加工最少的一天多加工了110件． 故答案为：110． （3）元， 即该车间这周的总收入为20300元． 题型三 有理数运算中简便计算（共4小题） 9．（25-26七年级上·吉林长春·期中）简算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了乘法分配律的应用，熟练掌握乘法分配律（含逆运算）是解题的关键． （1）将998转化为，利用乘法分配律简化计算； （2）提取公因数23，利用乘法分配律的逆运算，先计算括号内的分数运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加法，掌握运算律是解题的关键． （1）根据有理数加法的运算律将同号两数先相加，再计算即可； （2）根据有理数加法的运算律将同分母的先相加，再计算即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 . 11．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）用简便方法计算： 【答案】 【分析】本题考查了乘法分配律．通过将除法转化为乘法，并运用乘法分配律，简化计算过程． 【详解】解：原式 12．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）计算： (1)； （用简便方法计算） (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解决问题的关键． （1）用乘法分配律进行简便计算； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型四 省略加法和括号的形式（共4小题） 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）请把下列各式写成省略加号的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了省略加号的和的形式，熟记省略加号的和的形式书写是解本题的关键． 直接写成省略加号的和的形式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 14．（25-26七年级上·河北邢台·阶段练习）（1）把下面式子写成省略括号和加号的形式 （2）计算． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查有理数的加减法，把式子写成省略括号和加号的形式，掌握算理的解决问题的关键． （1）根据减法法则将减法转化为加法，然后写成省略括号和加号的形式； （2）将同号两数先相加，再进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ， ． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）把写成省略加号的和的形式，并把它读出来． 【答案】；读作“、负、负、、负1的和”，也可读作“减减加减1” 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数加减混合运算中，先把加减法统一成加法后，再写成省略加号和括号的和的形式，再用两种方式读出即可． 【详解】解： 读作“、负、负、、负1的和”，也可读作“减减加减1”． 16．（24-25七年级上·广西北海·期末）把（﹣8）+（﹣5）﹣（﹣2）写成省略括号的和的形式是 ． 【答案】﹣8﹣5+2． 【分析】根据有理数的运算法则即可求出答案． 【详解】原式＝﹣8﹣5+2， 故答案为﹣8﹣5+2． 【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键熟练运用有理数的运算法则，本题属于基础题型． 题型五 倒数（共4小题） 17．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）已知与互为相反数，与互为倒数，积是一个负数，解决下列问题 (1)_____；_____； (2)代数式的值与b、d的值无关，你认为呢？试说明理由． 【答案】(1)0，1 (2)无关，理由见解析 【分析】题目主要考查相反数的定义、倒数的定义，求代数式的值，熟练掌握这些知识点是解题关键. （1）互为相反数的两个数相加得0，互为倒数的两数相乘得1. （2）利用（或逆用）乘法对加法的分配律. 【详解】（1）解：因为与互为相反数，与互为倒数， 所以，. （2）无关，理由如下： 原式 所以，代数式的值与b、d的值无关. 18．（25-26七年级上·云南临沧·期中）课堂上，老师出了一道计算题：． 小丽发现，与互为倒数，那么可以先算，那么的值为． 请你根据小丽的方法，计算：． 【答案】 【分析】本题考查倒数的定义，有理数的混合运算，乘法分配律．先求得，根据阅读材料求出，据此计算即可求解． 【详解】解： ； ∵与互为倒数，且， ∴， ∴． 19．（25-26七年级上·河北唐山·期中）阅读下列材料：在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1 思路2 思路3 用分别除以，，，再把所得结果相加． 先求出，，的和，再用除以这个和． 先算，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，不正确的是思路______； (2)请选择一种正确的思路计算：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算顺序解答即可； （2）利用思路2或3的计算方法解答即可． 【详解】（1）解：用分别除以，，，再把所得结果相加是错误的， 故答案为：1； （2）解：思路2： ； 思路3：原式的倒数为： ， 故． 20．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期中）【初步感知】 已知有理数（不为0和1），我们把1与的倒数的差，即称为的倒数差，如：5的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】 若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，，以此类推． （1）分别求出，，的值； （2）的值为__________；（直接写出结果） 【拓展提升】 设a，b，c都是不为0和1的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组，第2次变换后得数组，，第次变换后得到数组． （3）若数组确定为，求的值． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】本题主要考查定义新运算，有理数的混合运算，理解差倒数的计算方法，掌握有理数的混合运算，代入求值是解题的关键． （1）根据差倒数的计算方法即可求解； （2）根据差倒数的计算方法可得，，，代入计算即可求解； （3）根据题意，分别算出的值，找出规律，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，，； （2）根据题意，，，， ∴从开始，三个一组，为一个循环， ∵， ∴； （3）∵， ∴，，，， ∴三个一组，为一个循环， ∴， ∵， ∴，，，， ∴三个一组，为一个循环， ∴， ∵， ∴，，，， ∴三个一组，为一个循环， ∴， ∴ ． 题型六 根据点在数轴的位置判断式子的正负（共4小题） 21．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：①；②；③；④其中正确的有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查数轴，熟练掌握数轴的定义是关键；由数轴得，，进而可得，据此即可判断①②； 进而可得，，进而判断③④即可． 【详解】解：，， ，故①正确； ，，， ，故②正确； ，， ，，， ，，故③④正确． 故选：A． 22．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论： ①；②；③；④．上述结论中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的乘法计算，有理数的加减法计算，根据数轴可得，据此根据有理数的乘法和加减法法则求解判断即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，， ∴①错误，②正确，③错误，④正确， ∴正确的有2个， 故选：B． 23．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）有理数、、在数轴上的位置如图． (1)用“”或“”填空；_________0，_________0，_________0； (2)比较的大小． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，熟练掌握数轴上的数右边的比左边的大是解题的关键： （1）根据点的位置，判断数的大小关系，进而判断式子的符号即可； （2）根据点的位置，判断大小即可． 【详解】（1）解：由图可知：，， ∴，，； （2）∵，， ∴； 故． 24．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）点、在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和． (1)用“>”或“<”填空：______0，______0； (2)化简：______； (3)若，，、互为相反数，、互为倒数，求的值． 【答案】(1)＜，＞ (2) (3) 【分析】本题主要考查了数轴、整式的加减运算、绝对值的意义、代数式求值等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据数轴可得，再根据有理数加减确定代数式的正负即可； （2）先根据（1）得到不等式的正负化简绝对值，然后合并同类项即可； （3）根据绝对值的意义、相反数和倒数的定义得到，即，然后再代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∴，； 故答案为：＜，＞． （2）解：∵， ∴． 故答案为：． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵、互为相反数，、互为倒数， ∴， ∴． 题型七 有理数的乘方运算及应用（共6小题） 25．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期中）下列说法中正确的是（   ） A．在中，底数是7 B．若，则 C．在中，指数是8 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查幂运算中底数和指数的概念，以及绝对值的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、在中，底数是，故该选项不符合题意； B、若，则，故该选项不符合题意； C、在中，指数是8，故该选项符合题意； D、若，则或，故该选项不符合题意； 故选：C 26．（23-24七年级上·河南郑州·期末）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……文中的鸟巢共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方的应用，通过连乘计算总鸟巢数即可． 【详解】解：∵堤坝有9座，每座堤坝有9棵树，每棵树有9根树枝，每根树枝有9个鸟巢， ∴ 总鸟巢数个 因此，文中的鸟巢共有个， 故选：C． 27．（25-26七年级上·湖南郴州·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，先计算乘方、绝对值，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】解： ． 28．（25-26七年级上·河南洛阳·期中）二维码是用某种特定的几何图形按一定规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形（如图1）．某校学生利用二维码建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的身份识别图案，其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，则为该行所表示的数．例如：图2中第一行数字从左到右依次为0、1、1、1，计算，表示该生为7班学生，请判断下列选项中表示5班10号学生的识别图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算的应用，图形的规律，因为其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．所以分别算出第一、二行的数，进行验证即可． 【详解】解：A、第一行：， 第二行：，班级、学号均符合，故该选项符合题意； B、第一行：，班级不符合，故该选项不符合题意； C、第一行：，班级不符合，故该选项不符合题意； D、第一行：， 第二行：，学号不符合，故该选项不符合题意； 故选：A． 29．（25-26七年级上·江西宜春·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，一般地，把个相除记作，读作“的下次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：___________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：（幂的形式）； （2）试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式．___________；___________； （3）算一算：． 【答案】 （1） （2）； （3） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解表示“a的下n次方”的意义是正确计算的关键． （1）根据表示“a的下n次方”的意义进行计算即可; （2）根据表示“a的下n次方”的意义，进行计算进而得出答案； （3）按照有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：． （2） ； ； 故答案为: ；； （3） ． 30．（25-26七年级上·新疆哈密·期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了有理数的乘方后，他就琢磨着使用乘方这一数学知识，脑洞大开的定义出“有理数的除方”的概念．规定：若干个相同有理数（均不为零）的除法运算叫做除方．如类比有理数的乘方记作记作． (1)直接写出计算结果：______；______； (2)计算． 【答案】(1)4； (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除运算、新定义运算的理解与应用，熟练掌握“除方”的定义并将其转化为乘除运算求解是解题的关键． （1）根据“除方”的定义，将转化为个连续相除的运算，再计算结果； （2）先根据“除方”定义分别表示出各表达式，再转化为乘方运算，最后按四则运算规则计算． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：4；； （2）解：∵ ， ， ， ， ∴ ． 题型八 程序流程图与有理数计算（共4小题） 31．（25-26七年级上·全国·期中）根据如图所示的“数值转换机”，当输入x的值为时，输出y的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据输入值为，按流程图进行计算，运算结果小于，将结果作为输入，再次按流程图计算，直接得到结果输出即可． 【详解】解：当输入x的值为时， ， 输入x的值为5， ， 输入x的值为， ， 输出y的值为， 故选：B． 32．（25-26六年级上·上海·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，第一次输出的结果是1，返回进行第二次运算则输出的是8，…，则第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题．先根据数据运算程序计算出前几次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1次运算输出的结果为， 第2次运算输出的结果为， 第3次运算输出的结果为， 第4次运算输出的结果为， 第5次运算输出的结果为， 第6次运算输出的结果为， 第7次运算输出的结果为， 第8次运算输出的结果为， 归纳类推得：运算结果以1、8、4、2为周期，每4次循环一次， ，余数为1， 所以第2025次运算输出的结果与第1次输出的结果相同， 即为1， 故选：A． 33．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、绝对值的运算及程序流程图的逻辑运算，熟练掌握程序对应的运算规则并按流程重复计算是解题的关键． 先判断输入的是整数还是分数，按程序对应的运算计算结果，再判断结果是否为奇数，若不是则将结果作为新的重复运算，直到结果为奇数． 【详解】解：输入（整数），， 不是奇数，将（分数）代入得， 16不是奇数，将（整数）代入得， 4不是奇数，将（整数）代入得， 1是奇数，输出结果． 故答案为：1． 34．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，程序流程图，根据题目所给的运算程序进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴，． ∵， ∴，． ∴输出结果为． 故答案为：． 题型九 算24点（共4小题） 35．（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 36．（21-22七年级上·湖北鄂州·期末）“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 37．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）根据如图所示的4张扑克牌上的点数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为，可以列出综合算式是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键．利用“24点”游戏规则列出等式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 38．（25-26七年级上·河南安阳·期中）有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是灵活组合数字与运算符号，构造出结果为24的算式． 通过对数字、、、11进行减法、乘法运算的组合，得到结果为24的算式． 【详解】解：计算过程：先，得到， 再将与相乘，得到6， 最后将6与4相乘，得到24， 则． 故答案为： 题型十 科学记数法（共4小题） 39．（25-26七年级上·山西·月考）《青藤在线》公众号是致力于山西省考试服务，作为一个公益分享试卷的平台，截止2025年9月15日，已累计服务师生1559万次．将数据1559万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的标准形式为，其中，1559万即，需转化为标准形式，据此解答即可． 【详解】解：1559万． 故选：D． 40．（25-26七年级上·吉林长春·月考）截至2025年9月20日，长春轨道交通单日客运量创历史新高，达到人次，超越此前峰值（2024年12月31日的人次），将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题关键． 科学记数法要求形式为，其中，为整数． 【详解】解： 故选：C． 41．（25-26七年级上·广东广州·期中）按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是（　　） A．（精确到十分位） B．（精确到个位） C．（精确到） D．（精确到） 【答案】A 【分析】本题主要考查了四舍五入法求近似数．根据四舍五入原则逐项分析即可作答． 【详解】A、（精确到十分位），故该选项正确； B、（精确到个位），故该选项错误； C、（精确到），故该选项错误； D、（精确到），故该选项错误； 故选：A 42．（25-26七年级上·河北沧州·期中）下列说法正确的有（    ） ①近似数1.60与近似数1.6的精确度一样； ②近似数2.46万是精确到百分位； ③317500精确到千位表示为31.8万，也可以表示为； ④5.1亿是一个9位数； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查近似数的精确度、有效数字和科学记数法的理解，逐个判断各说法的正误：①和②错误，③和④正确. 【详解】解：①：∵近似数1.60精确到百分位，而1.6精确到十分位， ∴精确度不同，故①错误； ②：∵近似数2.46万中，精确到百位，而非百分位， ∴②错误； ③：317500精确到千位，需看百位数字（百位为5，四舍五入）， ∴318000可表示为31.8万，也可表示为 ∴③正确； ④：5.1亿=510000000，该数有9位数字， ∴④正确. 综上，正确说法有2个. 故选：B 题型十一 近似数（共5小题） 43．（25-26八年级上·河北唐山·期中）某教学楼共5层楼梯，每层楼梯都有28级台阶，经测量，每级台阶高为，下列说法正确的是（　　） A．准确数只有5 B．近似数是12.5和28 C．楼梯的总高是准确数字 D．楼梯的总高，结果精确到十分位 【答案】D 【分析】本题考查准确数与近似数的概念．5层和28级台阶均为准确计数，是准确数；为测量值，是近似数．总高由计算得出，受的精度影响，结果为近似数，且精确到十分位． 【详解】∵楼层数5和每层台阶数28均为准确计数，是准确数； 每级台阶高为测量值，是近似数； 总高； ∵是近似数（精确到）， ∴总高也为近似数，且结果精确到十分位（即分米）． 选项A错误，因准确数包括5和28； 选项B错误，因28是准确数； 选项C错误，因17.5是近似数； 选项D正确． 故选：D． 44．（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）截至2025年5月21日，电影《哪吒之魔童闹海》票房一突破158.59亿元，将158.59亿用科学记数法表示为 ． 【答案】1.5859× 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 将 158.59 亿转换为科学记数法，需先将“亿”转换为 ，然后调整小数点的位置使 满足条件． 【详解】158.59 亿 = 158.59 × = 1.5859 × ． 故答案为 ． 45．（25-26七年级上·重庆·期中）2025年，人工智能在全球范围内迅速发展，据统计，其平台第三季度月均活跃用户为146000000，其中146000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 46．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）伴随“互联网+”时代的来临，预计到2026年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到650000000人，将数据650000000用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将650000000写成其中，n为整数，n的绝对值与小数点移动的位数相同，由此即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 47．（25-26七年级上·山东德州·期中）把精确到得到的近似数是 ，近似数表示精确到 位． 【答案】 千 【分析】本题考查了求近似数，求精确度． 第一部分根据四舍五入法，将精确到（十分位），需看百分位数字；第二部分根据科学记数法近似数的有效数字，确定的精确位． 【详解】解：精确到：百分位数字为4，且，∴根据四舍五入法，舍去百分位及以后数字，得； 近似数：，有效数字为1、2、5，最后一位有效数字5位于千位，∴精确到千位． 故答案为：，千． 题型十二 有理数中的规律计算问题（共5小题） 48．（25-26七年级上·全国·课后作业）从图（1）中找规律，并按此规律在图（2）的空格里填上合适的数． 【答案】答案见解析 【分析】本题主要考查了有理数的加法，数字的变化类问题，仔细观察数字的分布，找到规律下面两个数的和等于上面的一个数字；进而根据图形的规律，写出答案即可． 【详解】解：观察（1）发现：， ， ， 规律为：下面两个数的和等于上面的一个数字； 根据规律得到：， ， ． 如图所示： 49．（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）如图，下列图案都是由同样大小的按一定的规律组成的，其中图案①中有2个，图案②中有4个，图案③中有8个，……．按此规律，图案⑧中的个数是（   ） A．10 B．64 C．128 D．256 【答案】D 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，找到图形的排列规律是解决本题的关键． 根据图形得出第个图形中圆的个数是进行解答即可． 【详解】解：第1个图案中有2个圆，； 第2个图案中有4个圆，； 第3个图案中有8个圆，； ……， 第8个图案中圆的个数为． 故选：D． 50．（25-26六年级上·上海浦东新·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，将式子转化为，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 51．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期中）观察下列式子，并完成后面的问题： (1)__________； (2)利用你得到的（1）中的结论计算： ①； ②； (3)根据乘方的意义可求． 请你直接利用上述结论计算：． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）观察不难发现，从1开始的连续自然数的立方和等于自然数的个数的平方乘比个数大1的数的平方，再除以4； （2）①根据（1）中规律计算即可；②将算式化为，再根据（1）中规律计算即可； （3）将原式变形为，再套用（1）中公式计算可得． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题意得出数字的规律是从1开始的连续自然数的立方和等于自然数的个数的平方乘比个数大1的数的平方，再除以4是解题的关键． 52．（25-26七年级上·河北衡水·期中）（1）根据已知条件填空： ①已知，那么______，______； ②已知，那么______，______，______． （2）观察上述计算结果，我们可以得出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动____________位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动____________位． （3）已知，，．填空： ①______； ②______． 【答案】（1）①，；②，，；（2）①两，②三；（3）①，② 【分析】本题考查的是有理数的乘方，通过观察底数与幂的小数点移动规律是解题的关键． （1）直接利用有理数的乘方运算法则计算即可； （2）观察 “底数的小数点移动位数” 与 “幂的小数点移动位数” 的对应关系，总结规律； （3）运用（2）中总结的规律计算即可． 【详解】解：（1）①已知，则，； ②已知，则，，； 故答案为：①，；②，，； （2）①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动两位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动三位； 故答案为：①两，②三； （3）①已知，则； ②已知，则． 故答案为：①，②． 题型十三 进制运算（共4小题） 53．（2025·广东韶关·三模）如图，是第14届国际数学教育大会（ICME－14）会标，广泛传播了数学元素：勾股定理、偶数和奇数、八进制和二进制等．“ICME－14”下方四个中国传统卦写的十进制的数 2020，表示大会召开的年份，此外，“”的二进制代码是：．由于COVID－19的大流行，ICME－14不得不推迟，新标志右下角的四个三元组代表二进制，则代表的十进制是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】A 【分析】本题考查了二进制数转换为十进制数，含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是掌握二进制转换为十进制方法．观察两个二进制代码可得只有最后一个数不同，即可求解． 【详解】解：“”的二进制代码是：． 二进制，代表的十进制是 故选：A． 54．（24-25七年级上·云南昆明·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把转换为五进制数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用；仿照二进制与十进制之间的转换的方法进行计算即可求解． 【详解】解：方法一：∵ 所以． 方法二 所以． 故选：C． 55．（24-25七年级上·广东广州·期中）将十进制数250转成八进制数是（    ） A．372 B．313 C．273 D．237 【答案】A 【分析】本题考查了十进制与其他进制之间的转化．将十进制数250除以8．然后将商继续除以8，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得出答案． 【详解】解∶， ， ， ∴十进制数250转成八进制数是372， 故选∶A． 56．（25-26七年级上·全国·期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写成若干数的和，依次写出1或0即可．如：，则十进制数30是二进制下的（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．此题只需估计最高位是乘以2的几次方，由，，再逐步确定即可． 【详解】解：． 故选：． 题型十四 有理数运算中的新定义问题（共6小题） 57．（25-26七年级上·云南玉溪·期中）定义一种新运算：，则的结果为（   ） A．6 B．-6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算．根据新运算的定义，直接代入数值计算即可． 【详解】∵ ， ∴ 故选：． 58．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）对于有理数a、b，现定义一种新运算“☆”，规定：，如，则计算的结果为 ． 【答案】2 【分析】此题考查有理数的计算，根据新运算的定义，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解： 故答案为 2． 59．（25-26七年级上·吉林长春·期中）我们定义一种新运算“”如下：，例如：，下面给出了关于这种新运算的几个结论：①；②若，则；③；④若，则．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】此题考查了新定义运算，代数式求值， 根据新运算“★”的定义，即，逐一验证各结论的正确性． 【详解】①，故①正确； ②当时，，故②正确； ③，， ∵， ∴，结论③错误； ④若，则，即，故④正确． 故答案为：①②④． 60．（25-26七年级上·福建莆田·期中）若定义表示两数中取较小的一个，表示两数中取较大的一个，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了新定义，有理数的大小比较及除法运算，理解新定义是关键；根据定义，先计算内部括号中的最大值或最小值，逐步化简表达式． 【详解】解： （因为 ） （因为 ） （因为 ） （因为 ） ； 故答案为：1． 61．（25-26七年级上·广西南宁·月考）定义新运算：，，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对” (1)若，，则______；______； (2)有理数，是“隔一数对”吗？请说明理由； (3)计算：； (4)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：． 【答案】(1)， (2)是 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解“隔一数对”的定义并掌握有理数混合运算法则是解题关键． （1）根据新定义运算法则计算即可． （2）根据“隔一数对”的新定义进行计算判断即可； （3）先根据新定义列式再计算即可． （4）根据新定义把原式化为，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴；． （2）解：由题意可得：，， ∴， ∴，是“隔一数对”． （3）解： ． （4）解：由题意可得: ． 62．（25-26七年级上·广东江门·期中）定义一种新运算：对于任意有理数都满足，例如：， (1)求的值： (2)计算：．（有括号先算括号） 【答案】(1)5 (2)2 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解新定义掌握运算法则是解题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】（1） ； （2） ． 题型十五 有理数混合运算的实际应用压轴（共6小题） 63．（25-26七年级上·江西吉安·期中）一辆货车在一条笔直的道路上从新华书店出发向乡下中学派送图书，向东行驶到达阳光中学，继续向东行驶到达希望中学，然后，货车向西行驶到达光明中学，最后，货车完成任务后返回新华书店． (1)以新华书店为原点，规定向东为正方向，1个单位长度代表．在给定的数轴（如图）上，用、、分别标记出阳光中学、希望中学和光明中学的位置． (2)阳光中学与光明中学之间的距离是多少千米？ (3)这辆货车此次图书派送之行行驶的总路程是多少千米？ (4)若货车每行驶消耗0.15升燃油，那么这辆货车此次图书派送之行共消耗多少升燃油？ 【答案】(1)图见解析 (2)9 (3)总路程是千米 (4)共消耗3升燃油 【分析】本题考查用数轴表示有理数，两点间的距离，有理数运算的实际应用，熟练掌握两点间的距离公式，正确的列出算式是解题的关键： （1）求出三个中学表示的数，再数轴上进行表示即可； （2）根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）求出到三个书店走过的路程和，再加上返回新华书店所走的路程，即可得出结果； （4）有（3）中的结果乘以每千米的油耗，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为4，点表示的数为，点表示的数为，在数轴上表示如图： （2）由（1）可知，阳光中学与光明中学之间的距离是（千米）； 故答案为：9． （3）（千米）； 答：总路程是千米； （4）（升）； 答：共消耗3升燃油． 64．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）综合与实践：【项目主题】某新能源汽车耗电情况． 【项目背景】近几年全球新能源汽车发展迅猛，新能源汽车产销量大幅增加．小明家购置了一辆续航为（充满电能行驶的最大路程）的新能源纯电动汽车，小明想记录汽车行驶过程中的耗电情况． 【项目实施】他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如表（单位：．以为标准，超过的部分记为“”，不足的部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● 【项目任务】 (1)“■”处的数为 ，“●”处的数为 ； (2)行驶路程最多的一天与最少的一天相差 ； (3)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航路程的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)， (2)14 (3)会发出充电提示 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数正负数的应用等知识点，理解题意、列出正确的算式是解题的关键． （1）观察表格可知：第三天行驶了，第六天行驶了，然后根据以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，据此即可解答； （2）先确定最多的一天和最少的一天，然后再作差即可； （3）先求出新能源纯电汽车7天行驶的总路程，再求出电量剩余时汽车所行驶的路程，然后进行比较即可解答． 【详解】（1）解：由表格可知：第三天行驶了，第六天行驶了， ∴第三天处的数为：，第六天处记录的数为：， ∴“■”处的数为，“●”处的数为4． 故答案为：，4． （2）解：由表格可知：行驶路程最多的一天，最少的一天为， 所以行驶路程最多的一天与最少的一天相差． 故答案为：14． （3）解：新能源纯电汽车7天行驶的总路程：， 行车电脑会发出充电提示的路程为：， ∵， ∴行车电脑会发出充电提示． 65．（25-26七年级上·陕西西安·期中）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走多少？ (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油8升，汽油的价格为7元／升，而新能源汽车每行驶耗电量为12度，公共充电桩每度电为1.6元，请估计小明家换成新能源汽车后，在公共充电桩充电这7天的行驶费用比原来节省多少元？ 【答案】(1)多走 (2)平均每天行驶 (3)节省154.56元 【分析】本题主要考查了正负数的意义、平均数的计算以及费用的计算，熟练掌握正负数的运算和相关公式是解题的关键． （1）找出表格中最大和最小的数，求差得到最多的一天比最少的一天多走的路程； （2）先计算七天与标准路程差值的平均数，再加上标准路程得到平均每天行驶的路程； （3）分别计算汽油车和新能源车七天的行驶费用，再求差值得到节省的费用． 【详解】（1）解：， 答：多走； （2）解： ， ， 答：这七天平均每天行驶了； （3）解：七天总路程： 汽油车费用：（元） 新能源车费用：（元） （元） 答：这天的行驶费用比原来节省元． 66．（25-26七年级上·湖南永州·期中）某股民吉姆上星期买进某公司股票10000股，每股23元，下表为本周内每日该股的涨跌情况：（星期六、日股市休市）（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 2 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高价多少元？最低价多少元？ (3)已知吉姆买进股票时付了的手续费，卖出时还需付成交额的手续费和的交易税，如果吉姆在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)星期三收盘时，每股是元 (2)本周内每股最高价元，最低价元 (3)吉姆在星期五收盘前将全部股票卖出，他将亏损6020元 【分析】本题考查有理数加减混合运算的应用，熟练掌握计算法则根据题意列出式子是解题关键． （1）利用正数与负数的意义可得到星期三收盘时每股的价格； （2）分别计算出这周每天的股价，然后比较即可； （3）先计算买进股票所需费用，再计算以元每股卖出所得，然后求出它们的差即可． 【详解】（1）解：由表格得，星期三收盘时的每股价格为元， 答：星期三收盘时，每股是元； （2）解：由题意得，周一的每股为：元； 周二的每股为：元； 周三的每股为：元； 周四的每股为：元； 周五的每股为：元； ∴本周内每股最高价为元（周四），最低价为元（周三）， 答：本周内每股最高价元，最低价元； （3）解：由题意得，买进总金额：元， 买进手续费：元， ∴买进总成本：元， 由题意得，卖出总金额：元， 卖出总费用（手续费交易税）：元； ∴卖出实际收入：元， ∴收益为元． 答：吉姆在星期五收盘前将全部股票卖出，他将亏损6020元． 67．（25-26七年级上·吉林长春·月考）网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．我区某果园把自家种的草莓放到网上销售，计划每天销售千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，如表是该果园一周草莓的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 草莓销售超过或不足计划量情况千克 (1)该果园本周销售草莓最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)该果园本周实际销售草莓的总量是多少千克？ (3)若果园按元千克进行网上销售，同时需要支付运费为元千克（商家支付），则果园本周销售草莓扣除运费后，一共收入多少元？ 【答案】(1)该果园本周销售草莓最多的一天比最少的一天多销售千克； (2)该果园本周实际销售草莓的总量是千克； (3)果园本周销售草莓一共收入元． 【分析】本题考查正数和负数的应用，有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （）根据正负数的实际意义，找到销售最多和最少的一天对应的值，求差即可； （）先计算计划总销售量，再求实际超过或不足的总和，相加得实际总量； （）先计算每千克实际收入，再乘以总销售量即可． 【详解】（1）解：销售最多的一天为星期六千克，销售最少的一天为星期三千克， （千克）， 答：该果园本周销售草莓最多的一天比最少的一天多销售千克； （2）解：计划总销售量为（千克）， 实际超过或不足的总和为（千克）， ∴实际总量为（千克） 答：该果园本周实际销售草莓的总量是千克； （3）解：每千克实际收入为（元）， 总收入为（元） 答：果园本周销售草莓一共收入元． 68．（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况超产为正，减产为负： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（辆） (1)根据记录可知，前三天共生产_______辆． (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产_______辆． (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆自行车可得元，若超额完成任务则超出部分每辆另奖元；若未完成任务，则以计划任务量为基准，每少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)601 (2)23 (3)84075元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数四则运算的应用，理解题意是关键； （1）前三天计划生产600辆，根据增减记录求和得到实际增减量，相加得实际产量； （2）比较每天增减记录，最大值与最小值之差即为多生产量； （3）计算一周增减总和得实际产量，根据超额情况计算工资，包括基本工资和奖励． 【详解】（1）解：前三天计划生产（辆）， 增减记录为，总和为（辆）， ∴前三天共生产（辆）， 故答案为：601； （2）解：产量最多的一天增减为，产量最少的一天增减为， ∴多生产（辆）； 故答案为：23； （3）解：一周增减总和为（辆）， 实际生产（辆）． ∵实际生产1401辆，计划1400辆， ∴超额1辆，工资总额为（元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是84075元． 题型十六 有理数运算与数轴、绝对值综合（共5小题） 69．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）[阅读材料]的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．例如：可以看成数轴上表示数2的点与表示数1的点之间的距离，所以． (1)的几何意义是表示数x的点与表示数________的点之间的距离； (2)（ⅰ）若，求x的值； （ⅱ）求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）或；（ⅱ）3 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据绝对值的意义作答即可； （2）（ⅰ）根据绝对值的意义得到数轴上表示数的点到表示数的点的距离为3，进行求解即可； （ⅱ）根据绝对值的意义，得到当表示数的点在表示数和数1的点之间时，的值最小，为表示数和数1的点之间距离，即可得出结果． 【详解】（1）解：的几何意义是表示数x的点与表示数的点之间的距离； （2）（ⅰ）由题意，表示数轴上表示数的点到表示数的点的距离为3， ∴或； （ⅱ）表示数轴上表示数的点到表示数和数1的点之间的距离之和， ∴当表示数的点在表示数和数1的点之间时，的值最小，为表示数和数1的点之间距离，即． 70．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，5 (2) (3)当时，不存在一点为另外两点的中点，理由见解析 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系． （1）根据数轴两点间的距离，即可求解； （2）根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为； （3）点B表示的数为，点C表示的数为，分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解； 【详解】（1）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9， ∴的距离为； B点与C点的中点D表示的数为； 故答案为：4，5； （2）点以每秒2个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， 运动t秒后，点A表示的数为； 故答案为：； （3）解：三点中不存在一点为另外两点的中点， 当时， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为， ∴，，， ∵， ∴三点中不存在一点为另外两点的中点 71．（25-26七年级上·河南周口·期中）我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点、，若数轴上存在一点，且点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“雅中点”．根据上述定义，解答下列问题： (1)若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“雅中点”，则点表示的数为______； (2)若数轴上点与点的“雅中点”表示的数为2，、两点的距离为9（点在点的左侧），求点和点表示的数； (3)已知数轴上点、、表示的数分别是，，，点在点、之间运动（点可与点、重合）．设点表示的数为，且点为点与点的“雅中点”，求可取的整数． 【答案】(1) (2)点表示的数为，点表示的数为， (3)或． 【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义得到点到点，点的距离均为，根据两点间的距离进行求解即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为； （2）依题意，得点到点，点的距离均为， 因为点表示的数为2，点在点的左侧， 所以点表示的数为， 点表示的数为， （3）根据题意知，当点运动到点处时，如图1， 则点表示的数为， 此时取得最小值，为， 当点运动到点处时，如图2， 则点表示的数为， 此时取得最大值，为， 所以可取的整数为或． 72．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是0，则的值为____________； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1)5 (2)，，0，1，2，3； (3)点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数即可； （3）分两种情况讨论，当在之间时和当在点的左边时，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ， 故答案为：5； （2）∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3， 故答案为：，，0，1，2，3； （3）①当P在之间时，， ∵点到点的距离等于点到点的距离的3倍， ∴， ，点P表示的数为：，此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：，此时． 综上所述，点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时． 73．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）阅读材料：对数轴上的点进行如下操作：将点沿数轴水平方向，以每秒个单位长度的速度，向右平移秒，得到点，称这样的操作为点的“速移”， 点称为点的“速移”点． 阅读材料：若点表示的数分别为，则线段的长度可以这样计算：或，那么当点表示的数分别为时，线段的长度可以表示为或． (1)当，时， ①如果点表示的数为，那么点的“速移”点表示的数为 ； ②点的“速移”点表示的数为，那么点表示的数为 ； (2)数轴上的点表示的数为，表示的数为，点向右平移秒，得到点的“速移”点，那么的长度可以表示为 ； (3)数轴上两点间的距离为，且点在点的左侧，点通过“速移”分别向右平移，秒得到点，，如果，请直接用等式表示，的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（）根据“速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可； （）根据“速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可； （）设点在数轴上表示的数为，则点在数轴上表示的数为，再根据“速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可； 本题数轴与有理数，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①由题意可得，点表示的数为， 故答案为：； ②由题意可得，点表示的数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，点表示的数为， ∴的长度可以表示为， 故答案为：； （3）解：设点在数轴上表示的数为，则点在数轴上表示的数为， ∴点，在数轴上表示的数分别为，， ∵， ∴， 即， ∴或， ∴或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $