第6章反比例函数 期末复习综合练习题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2025-2026学年北师大版九年级数学上册《第6章反比例函数》 期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列函数中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则一次函数和反比例函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A．B．C．D． 3．如图，在轴正半轴上，，四边形为平行四边形，反比例函数的图象经过点，交边于点，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴于点C．若，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 5．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为8，则的值为（   ） A．4 B．8 C．16 D．24 7．如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，连接，过点C作轴，垂足为点D，且．则下列结论正确的个数是（   ） ①；②；③点D到的距离为2；④方程有一个解为；⑤当时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则 ． 9．在反比例函数中，若，则x的取值范围为 . 10．已知近视眼镜镜片的焦距单位：是镜片度数单位：度的反比例函数，下表记录了一些数据： 度 利用表格中的数据推测：当镜片的度数为度时，镜片的焦距为 精确到 11．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象有唯一公共点，若直线与反比例函数的图象有个公共点，则的取值范围是 ． 12．如图，菱形的顶点在反比例函数图象上，点在轴上，点，在轴上，且为的中点，若，则的值为 ． 13．如图，的顶点A，C在反比例函数的图象上，顶点B，D均在y轴上，轴，与x 轴交于点E，连接，若的面积为5，则k 的值为 ． 14．如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 （用含k的代数式表示） 三、解答题 15．在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点和． (1)求该函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，反比例函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 16．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图）载重后总质量时，它的最快移动速度． (1)求v与M之间的关系式； (2)当其载重后总质量时，求它的最快移动速度v． 17．天舟九号货运飞船与中国空间站实现“太空牵手”，为空间站送去了宝贵的“太空快递”．快递中有一个给食物加热的餐具．该餐具给食物加热的时间与食物的温度之间的函数图象如图所示．该餐具4分钟就可以将的食物加热到，此后停止加热，食物温度开始下降．已知食物温度下降过程中食物温度y（单位：）与时间x（单位：）成反比例关系． (1)求食物温度下降过程中y与x的函数关系式．（无需写出自变量x的取值范围） (2)若食物需要从加热到，然后降温到方可食用．问食物从开始加热，到可以食用需要等待多长时间？ 18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． (1)求的面积． (2)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ (3)若双曲线上存在一点P，使得和的面积相等，请直接写出点P坐标． 19．下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 数学活动课上，我们“雏鹰”小组的几个同学尝试做探究杠杆平衡原理的模拟实验． 第一步：取一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起（如图）． 第二步：在左侧距离中点处挂一个重的物体，为了保持水平，在右侧用一个弹簧秤竖直向下拉． 第三步：改变弹簧秤到中点O的距离l（单位：），记录弹簧秤的示数F（单位：N），得到的数据如下表．聪明的小宇发现其中有一组数据是错误的． ① ② ③ ④ ⑤ 10 15 20 25 30 30 20 15 16 10 (1)你认为表中第________组数据是错误的． (2)利用表格中的正确数据，判断F与l成哪种函数关系，并求出F关于l的函数表达式． (3)若要使弹簧秤的示数F不超过，求弹簧秤到中点O的距离l的取值范围． 20．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数图象交于，两点（点在第一象限），，． (1)求点的坐标及的值； (2)如图2，点为反比例函数图象第三象限上一点，连接并延长交反比例函数图象于点，连接，，若，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，点为反比例函数图象上，两点之间一点，点关于轴的对称点为，连接，，若，求点的坐标． 参考答案 1．解：∵ 反比例函数的标准形式为 （ 为常数，）， 选项 A：，是正比例函数，不符合题意； 选项 B：，分母不是单项式 ，不符合题意； 选项 C：，不是反比例函数，不符合题意； 选项 D：，符合 的形式，其中 ，符合题意． 故选：D 2．解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限，故A、B选项不合题意． ∵， 或， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限或经过一、二、四象限，故C选项不合题意，D选项符合题意． 故选：D． 3．解：作于， ∵，四边形为平行四边形， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线为， 把代入得，，解得， ∵， 设直线的解析式为，代入， 解得，， ∴直线AB的解析式为， 由，得或， ∴点的坐标为， 故选：． 4．解：设A的横坐标为a，则纵坐标为， ∵，轴， ∴B的横坐标为，轴， ∴， ∵点B在函数的图象上， ∴， 故选：C． 5．解：如图， 由题意可知：四边形是矩形， 根据反比例函数k的几何意义可知：， ∴； 故选B． 6．解∶如图，作轴于点E，轴于点F， ， ， ， ， ， ， ，， 点A、点C在函数的图象上， 设， ， ， ，， ， ， ， 设直线的函数解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的函数解析式为， ，即， ， 解得或， 经检验或是原方程的解， 当时轴，点C在x轴上，不符合题意，舍去， ， ， 故选：D． 7．解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴或（舍去）， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴点D到的距离为，故③错误； ∵， ∴， ∵直线与双曲线交于点C， ∴方程有一个解为，故④正确； 由函数图象可得当时，，故⑤正确， ∴正确的有3个， 故选：C． 8．解：由题意可得，点在第二象限，在第一象限，在第二或三象限， ∵点，，分别在三个不同象限， ∴在第三象限， 由反比例函数的性质可得：图象经过的两个点是，， 将代入反比例函数的解析式可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数的解析式可得， 故答案为：． 9．解： 中比例系数大于0， 图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， 当时，， 当时，， 若，则x的取值范围为， 故答案为：． 10．解：根据表格数据可得，， ∴焦距y（单位：米）和度数x（单位：度）之间满足的关系为， 将代入关系式， 得， 故答案为：． 11．解：将代入，可得， 整理得． 在方程中，，，，则 ． 当直线与反比例函数有两个公共点时，方程有两个不同的实数根，即， 所以， 解得或． 故答案为：或． 12．解：如图，连接，过作轴于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵双曲线和平行四边形都是中心对称图形， ∴点和点关于原点对称， ∴， 连接，如图， 则， ∴， 又该双曲线位于第二、四象限， ∴， 故答案为：． 14．解：由图可知，点对应的垂线段围成的矩形面积为， 点对应的垂线段围成的矩形面积也为， ． 故答案为：． 15．（1）解：∵函数的图象经过点和， ∴， 解得：， ∴该函数的解析式为； （2）解：由（1）得， 把代入，得， 把代入，得， 即， ∵当时，对于的每一个值，反比例函数的值小于函数的值， ∴且． 16．（1）解：设v与M之间的函数关系式为（k为常数，且）． 将，代入， 得， 解得， ∴v与M之间的函数关系式为； （2）当时，， ∴当其载重后总质量时，它的最快移动速度v为． 17．（1）解：食物温度下降过程中y与x成反比例关系，设． 反比例函数的图象过点， ，解得， ． （2）令，得，解得． 答：食物从餐具开始加热，到可以食用需要等待． 18．（1）解：把代入， 得， 把代入，得； ， 把，代入得， ， 解得，． 一次函数的解析式为， 把代入，得， ． ； （2）解：设直线向下平移个单位长度，则直线， 根据题意列出方程：， 整理，得． 由于直线与反比例函数图象只有一个交点， 所以． 解得，． 所以将直线向下平移1或9个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点； （3）解： ，， ， 当点在的平分线上时，，如图， ， ， ． ，平分， ， 把代入，可得， ， ， 如图，过点作， ， 点横纵坐标相等， 设， 即， ， ， 故点坐标为，使得和的面积相等． 根据反比例函数图象的对称性可得或． 19．（1）解：根据杠杆平衡原理，左侧力力臂右侧力力臂，即，得 ①组：，符合； ②组：，符合； ③组：，符合； ④组：，不符合； ⑤组：，符合． 故答案为：④． （2）解：由杠杆平衡原理得，即，故与 成反比例函数关系．关于的函数表达式为（）． （3）解：当时，， ∵ ，两边乘得， 解得． 又木杆长，中点到端点距离为，故． 答：弹簧秤到中点的距离的取值范围是（单位：）． 20．（1）解：（1）∵直线分别与轴，轴交于，两点， 当时，； 当时，． ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴，直线的解析式为， 如图1，过点作轴于点， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数y 的图象上， ∴， ∴． 答：，． （2）解：设，，且， 过点作轴于点，过点作轴于点，如图2， 则，， ，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为． （3）解：如图3，设直线交轴于点，连接，过点作轴于点， 由（2）知：直线的解析式为， 则， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 由图象可知，当点从点运动到点时，逐渐减小， ， ． ，点关于轴的对称点为， 当点在的延长线上时，点在的延长线上，此时点与点关于点中心对称， ∴点的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $