第六章反比例函数训练2025—2026学年北师大版数学九年级上册

第六章 反比例函数 训练 一、单选题 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积（单位：/人）随全市人口（单位：人）的变化而变化，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．如图，函数和的图象相交于点，则当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，矩形的顶点A在反比例函数（）的图像上，顶点B，C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接．若，的面积是9，则k的值是（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 5．若反比例函数的图像经过点，则图像必经过的点是（    ） A． B． C． D． 6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数．已知与之间的函数图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．当，时， C．当时， D．当时， 7．已知点，，均在反比例函数的图像上，则，，从小到大的顺序为（   ） A． B． C． D． 8．正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分别为A，，则矩形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在轴正半轴上依次截取，过点、分别作轴的垂线，与反比例函数的图像交于、，连接、、、、，在上取一点，使得，依次类推，在上取一点，使得，连接，则构成的一系列三角形（见图中阴影部分）的面积和是（   ） A． B．5 C． D． 二、填空题 11．若反比例函数的图象经过点，则m的值是 ． 12．反比例函数的图象如图所示，若矩形的面积是8，则k的值为 ． 13．如图，菱形的周长与面积都是20，反比例函数的图象经过菱形顶点，则反比例函数的解析式为 ． 14．在平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如图所示．已知矩形的边，分别在轴正半轴和轴正半轴上，分别交，于点，，分别交，于点，，直线与轴交于点，连结．若，，则的面积为 ．    15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B为第二象限的点，则经过点B的反比例函数的表达式为 ． 三、解答题 16．已知反比例函数（a为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 17．一组关于近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的对应数据如下表： 近视眼镜的度数（度） 200 500 800 1000 镜片焦距（米） 0.50 0.20 0.125 0.10 (1)根据上表数据，猜想函数模型，并求关于的函数表达式． (2)小苍同学原先配的眼镜镜片的焦距为0.40米，一段时间后又去眼镜店新配一副眼镜，验光师测得新镜片的焦距为0.25米，问小苍同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？ 18．在平面直角坐标系中，如图，点A为函数图象上一动点，过点A作y轴的平行线交直线于点B，点P坐标为．当时，点P恰好落在的函数图象上． (1)求函数的关系式； (2)若是以为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标； (3)在点A运动过程中始终存在一点P，使恒成立，求a的值． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）图像与反比例函数（）图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围； (3)若点D是y轴上的一点，且，求点D坐标． 20．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为，点B的横坐标为5，一次函数与x轴交于点C． (1)求a，b，k的值； (2)如图1，点D是第二象限内反比例函数上一动点，连接．当时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，点E，F均为x轴上的动点，且点E在点F的左侧，．求的最小值； (4)如图3，点G是x轴上一点，点H是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第六章 反比例函数 训练2025—2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B A D D A C A 1．B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的标准形式为 （ 为常数且）是解题的关键． 根据反比例函数的解析式的形式即可判断． 【详解】A、是正比例函数，不符合反比例函数形式，故不符合题意； B、 可写为 ，其中，符合反比例函数定义，故符合题意； C、 的分母为，而非单独的，不是反比例函数，故不符合题意； D、 即，但题目未明确，若 则函数退化为，不符合反比例函数要求，故不符合题意； 故选：B． 2．B 【分析】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，得出正确等量关系是解题关键，利用土地总面积除以总人数，进而表示出人均占有的土地面积． 【详解】解：∵长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积S（单位：人），随全市人口n（单位：人）的变化而变化， ∴S与n的函数关系式是：； 故选B． 3．C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点，函数与不等式的知识，熟练掌握相关知识是解决此题的关键．首先将代入反比例函数解析式，求出A点横坐标，然后利用一次函数与不等式的关系观察图像可得x的取值范围． 【详解】解：函数和的图象相交于点， 将代入得： ， 且， 即反比例函数图像在直线上方且位于y轴左侧，由图像知： 故选：C 4．B 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 先设，得出，，，再根据的面积是9，得出，最后证明，得出，即，求得的值即可． 【详解】解：设， 则，． ∵矩形的顶点A在反比例函数（）的图像上， ∴． ∵的面积是9， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图像上点的坐标特征，先求出比例系数k，再验证各选项是否满足函数解析式． 【详解】解：将点代入反比例函数解析式 ，得：， ∴。 因此，函数解析式为 ， A、代入 ，得 ，与点的纵坐标一致，符合条件； B、代入 ，得 ，与点的纵坐标不一致，不符合； C、代入 ，得 ，与点的纵坐标不一致，不符合； D、代入 ，得 ，与点的纵坐标6不一致，不符合． 故选：A． 6．D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式为，由此即可判断A错误；再将代入求出的值，由此即可判断B错误；然后将和代入求出的值，利用反比例函数的增减性即可判断C错误，D正确，由此即可得． 【详解】解：设与之间的函数解析式为， 将点代入得：， ∴，则选项A错误； 当时，，则选项B错误； 当时，， 当时，， ∵在函数中，， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴当时，，则选项C错误； 当时，，则选项D正确； 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数，当时，反比例函数图象位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，当时，反比例函数图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此即可解答． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴该反比例函数图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵在第二象限，在第四象限，且， ∴， 故选：D． 8．A 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、正比例函数的图象和性质．先求得点的坐标为，再根据两函数的图象分别关于坐标原点对称，即可求解点A的对称． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴点A与点B的坐标关于原点对称， ∵点B的坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：A． 9．C 【分析】此题考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的几何意义． 根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】解：∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形的面积为3． 故选：C． 10．A 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是得出的规律，计算出三角形的面积，再根据计算的面积找到数字之间的规律．过点作于点，过点作于点，根据反比例函数解析式得到证明四边形、是矩形，从而得出，，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，同理可得，，……从而发现规律得出，再根据三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 设， 过点、分别作轴的垂线，与反比例函数的图像交于、， 则…… ，，， ，， 四边形、是矩形， ，，，， ，， ，， ， 同理可得，，，，，…… 观察发现，，，，……， 则， ， 阴影部分的面积 ， 故选：A． 11．12 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数中为定值．直接根据反比例函数中的特点进行解答． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，即． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了反比例函数中的面积问题，熟练掌握反比例函数中的面积问题是解题的关键．设点，根据矩形的面积列方程求解即可． 【详解】解：设点， 则，， 矩形的面积是8， ， 即， ． 故答案为：． 13． 【分析】先根据菱形的周长求出边长，再结合面积求出顶点的坐标，最后代入反比例函数求出解析式．本题主要考查菱形的性质（周长求边长、面积公式 ）、勾股定理以及反比例函数解析式的求解，熟练掌握菱形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征（点在函数图象上则坐标满足解析式 ）是解题的关键． 【详解】解：∵ 菱形的周长是， ∴ 菱形的边长， 又∵ 菱形面积是，设点到轴的距离为（即高），以为底， ∴，，， 在中，，，根据勾股定理， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， 设反比例函数解析式为，把代入得，， ∴ 反比例函数的解析式为， 故答案为： ． 14．/ 【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线上点的坐标的特征，反比例函数的性质，以及反比例函数与一次函数的综合应用，根据，可得点，的坐标，再由轴，轴，结合反比例函数和的表达式可求出点，，，的坐标用含，的代数式表示，进而可得线段，的长，待定系数法求得直线的解析式，即可求出线段的长，进而可得的面积． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 轴，轴， 点，的横坐标为，点，的纵坐标为， 点，在反比例函数的图象上， ，， 点，在反比例函数的图象上， ，， ，， 设直线的解析式为代入，， 得 解得： ∴直线的解析式为 当时， ∴， ∵ ∴ 的面积为， 故答案为： 15． 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法求反比例函数的解析式等知识，正确得出点B的坐标是解题的关键； 过点A作轴于点E，过点B作于点F，交y轴于点G，如图，利用正方形的性质证明，从而得出，进而得出点B的坐标，再利用待定系数法即可求解． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点B作于点F，交y轴于点G，如图， ∴，， ∵正方形的顶点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点B的坐标是， 设经过点B的反比例函数的表达式为， 则， ∴经过点B的反比例函数的表达式为； 故答案为：． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，然后求解即可； （2）当时，y随x的增大而减小，得到，，然后求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， a的取值范围是； （2）解：反比例函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小， ， 解得， a的取值范围是． 17．(1)猜想函数模型是反比例函数， (2)上升了，上升了150度 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）根据每组与的乘积都相等猜想函数模型是反比例函数，再利用待定系数法求解即可得； （2）分别求出当时和当时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：观察表格数据可知，每组与的乘积都相等， 则猜想函数模型是反比例函数． 设关于的函数表达式为， 将点代入得：， 所以关于的函数表达式为． （2）解：当时，， 当时，， 因为（度）， 所以小苍同学的眼镜度数是上升了，上升了150度． 18．(1) (2)点或 (3) 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及等腰直角三角形的性质等，处理数据和利用绝对值是解题的关键． （1）把点代入，得到，于是得到结论； （2）设点，则点，根据，得到，解方程即可得到结论； （3）设点，点，根据，得到方程，化简整理得到，因为上式恒成立，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：点在的函数图象上， ， 函数的关系式为； （2）解：设点，则点， ， 则， 解得：或或（舍去）， 即点或； （3）解：设点，点， ， 则， 即， 因为上式恒成立， 则， 解得：． 19．(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)或 (3)D或D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据函数图像可得的自变量x的取值范围即为一次函数图像在双曲线上方所对应的自变量x的取值范围； （3）对于一次函数，令，可得，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的横坐标为， ∴， ∴，把，代入（）， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由图像可知，当时，自变量x的取值范围是或． （3）解：对于一次函数，令，可得， ∴， ∵点D是y轴上一点，且， ∴， ∴， ∴或． 20．(1)，， (2) (3) (4)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，以及一次函数解析式，即可得到a，b，k的值； （2）根据（1）中一次函数解析式求出点C的坐标，进而得到，再设点D的坐标为，根据建立等式求解，即可解题； （3）将点D向右平移一个单位，得到，连接，，证得四边形为平行四边形，，进而得到，根据为定长，要的值最小，即的值最小，又当三点共线时，的值最小，再结合勾股定理求解，即可解题； （4）根据以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，分情况①当为边时；②当为边，为对角线时；连接交于点，③当为边，为对角线时；结合菱形的性质和判定，以及勾股定理进行求解，即可解题． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为， ，即， 点B的横坐标为5， ，即点B的坐标为， ， 解得， 综上，，，； （2）解：由（1）知，一次函数为， 当时，，解得， 点C的坐标为，即， 点A的坐标为，点B的坐标为， ， 点D是第二象限内反比例函数上一动点， 设点D的坐标为， ， ， 解得， 点D的坐标为； （3）解：将点D向右平移一个单位，得到，连接，， ， ，且， 四边形为平行四边形， ， ， 为定长，要的值最小，即的值最小， 当三点共线时，的最小值为， 的最小值为； （4）解：存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， 点D的坐标为，点C的坐标为， ， ①当为边时； 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ，， 或， ②当为边，为对角线时；连接交于点， 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ， ； ③当为边，为对角线时； 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ， 设， ，， ，解得， ， ； 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及一次函数解析式，一次函数与反比例函数几何综合，线段和最值，平行四边形性质和判定，菱形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于利用分类讨论的思想方法解决问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$