第6章 反比例函数 全章综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（北师大版）

数 学 九年级上册 BS 1 2 3 第六章 反比例函数 4 全章综合训练 5 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 反比例函数的图象和性质 1.【2023湖北武汉中考】关于反比例函数 ，下列结论正确的是( ) C A.图象位于第二、四象限 B.图象与坐标轴有公共点 C.图象所在的每一个象限内，随 的增大而减小 D.图象经过点，则 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 【解析】如下表所示. 选项 解析 对 或错 A ， 图象位于第一、三象限 × B 反比例函数图象与坐标轴没有公共点 × C ， 图象所在的每一个象限内，随 的增大 而减小 √ D 图象经过点，，解得或 × 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 2.【2023山东泰安中考】一次函数与反比例函数， 为常数且 均不等于0 在同一坐标系内的图象可能是( ) D A. B. C. D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 【解析】A选项，一次函数的图象经过第一、二、三象限，则 ， ，所以，则反比例函数 的图象应该分别位于第一、三象限，故A 选项错误；B选项，一次函数的图象经过第一、二、四象限，则 ， ，所以，则反比例函数 的图象应该分别位于第二、四象限，故B 选项错误；C选项，一次函数的图象经过第一、三、四象限，则 ， ，所以，则反比例函数 的图象应该分别位于第二、四象限，故C 选项错误；D选项，一次函数的图象经过第一、二、四象限，则 ， ，所以，则反比例函数 的图象应该分别位于第二、四象限，故D 选项正确.故选D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 3.【2023陕西中考副卷】若点，， 都在同一个反比例函数 的图象上，则，的大小关系是___.（填“ ”“”或“ ”） 【解析】 设反比例函数表达式为. 在反比例函数图象上， ， 反比例函数表达式为.又 点， 都 在反比例函数的图象上，，，.故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 4.【2023辽宁鞍山中考】如图，在中，，顶点，分别在 轴的 正、负半轴上，点在第一象限，经过点的反比例函数的图象交 于点，过点作轴，垂足为点，若点为的中点， ， ，则 的值为___. 4 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 【解析】 过点作轴于，如图.轴， . 又 点为的中点， 易知为 的中位线， ，， ，即 轴， ， ，， ， ，.设，，则， ， 点的坐标为，点的坐标为 点， 在反比例函数 的图象上，，解得， ，.在中， ， ，由勾股定理得， 点的坐标为 ， . 故答案为4. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 考点2 反比例函数中 的几何意义 5.【2023浙江绍兴中考】如图，在平面直角坐标系 中，函数 为大于0的常数，图象上的两点 , ,满足,的边轴，边 轴，若 的面积为6，则 的面积是___. 2 【解析】 如图，延长交轴于，延长交轴于点 ， 轴，轴， 四边形为矩形. ， 点为中点.由比例系数的几何意义得， ， 点为中点， ， ， .故答案为2. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 考点3 反比例函数与一次函数综合 6.【2023浙江杭州中考】在直角坐标系中，已知 ，设函数 与函数的图象交于点和点.已知点 的横 坐标是2，点的纵坐标是 . 思路分析 （1）先将点的横坐标代入求出点 的坐标，再将其代入 求出的值，从而得到.将点的纵坐标代入求出点 的坐标， 再将其代入，即可求出 的值. （2）先根据题意画出图形，求出点和点 的坐标，然后利用待定系数法求出直 线 的表达式，进而即可求证. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 （1）求， 的值. 【解】 点的横坐标是2， 将代入，得 ， .将代入，得，. 点的纵坐标是， 将代入 ，得，.将 代入 ，得 ，解得 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 （2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作 轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点.求证：直线 经过原点. 【证明】如图所示，由题意可得，.设直线 的表达式为 ， 解得 直线的表达式为 ，当 时，， 直线 经过原点. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 考点4 反比例函数的应用 7. 【2022江苏扬州中考】某市举行中学生党史知识竞 赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成 绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值） 与 该校参加竞赛人数 的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的 点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次 党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是( ) C A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 【解析】根据题意，可知 的值即为该校在这次党史知识竞赛中成绩优秀的人数. 描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 乙、丁两 所学校的的值相同，即优秀人数相同. 描述丙学校情况的点在反比例函数图象 上方，描述甲学校情况的点在反比例函数图象下方， 丙校的 的值最大，即优 秀人数最多，故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 章测 一、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 1.【2024江苏淮安质检】若点，，在反比例函数 的图象上，则，， 的大小关系是( ) B A. B. C. D. 【解析】, 此函数的图象位于第一、三象限，在每一象限内，随 的增大而减小., .故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 另解 将，，三点的坐标代入反比例函数的表达式，分别求得，， 的值，然 后再来比较它们的大小. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21 2.若一次函数的图象与反比例函数 的图象在第一象限有公共点， 则有( ) A A.且， B. C. D. 【解析】将代入中，得.整理,得 两函数图象有公共点，， 为一次函 数，反比例函数在第一象限有图象，， .故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 22 关键点拨 一次函数与反比例函数图象的交点情况，就是由一次函数与反比例函数联立得到 的一元二次方程的解的情况. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 23 3. 跨学科综合【2024山西大同调研】远视眼镜的镜片是凸透镜，镜片的度 数（度）是关于镜片焦距的反比例函数，当 时， .下列说法中，错误的是( ) D A.与的函数关系式为 B.随 的增大而减小 C.当远视眼镜的镜片焦距是 时，该镜片是500度 D.若一副远视眼镜的度数不大于400度，则焦距不大于 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 24 【解析】 A 设 当时，， ， 与的函数关系式为 ，故选项A不符合题意 B ，，随着 增大而减小，故选项B不符合题意 C 当时， ，故选项C不符合题意 D 一副远视眼镜的度数不大于400度，随着增大而减小， 焦距不小于 ，故选项D符合题意 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 25 4.【2023福建中考】如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例 函数和的图象的四个分支上，则实数 的值为( ) A A. B. C. D.3 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 【解析】连接正方形的对角线，由正方形和反比例函数图象均是 中心对称图形可知对角线交于原点，过点A，B分别作 轴的垂线, 垂足分别为C,D，点B在函数上，如图. 正方形中, ， ， ， ， , 点A在第二象限， ，故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.【2024广东深圳调研】如图，四边形 是平行四边形，对角 线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点 分别 在双曲线和的一个分支上，分别过点，作 轴的垂 B A.1 B.2 C.3 D.4 线段，垂足为点和，则有以下结论: ；②阴影部分 面积是；③当 时，；④若四边形 是菱形， 则 .其中正确结论的个数是( ) 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 28 【解析】作轴于，作轴于，如图. 四边形 是平行四边形，， ， ， ， ，故①正确. ，， . 由题意得，，，故②错误.当 时， 四边形是矩形，不能确定与相等，而， 不能判定 ， 不能确定， 不能确定 ，故③错误.若四 边形是菱形，则.又， ， ，，， ，故④正确. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 29 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 6.【2022黑龙江哈尔滨中考】已知反比例函数的图象经过点，则 的 值为____. 【解析】 反比例函数的图象经过点， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 30 7.【2023江苏扬州中考】某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下， 气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当 时， .当气球内的气体压强大于 时，气球将爆炸，为确保气球 不爆炸，气球的体积应不小于_____ . 0.6 【解析】 设气球内气体的压强与气球体积的函数关系式为. 当 时，，， . 气球内的气体压强大于时，气球将爆炸， ，解得 ， 为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 .故答案为0.6. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 31 8.【2024江苏泰州海陵区期末】在平面直角坐标系中，将一点的横坐标与纵坐标 互换后得到的点叫这一点的“互换点”.如图，反比例函数 与 的图象关于轴对称，点，在函数的图象上 在的左侧，当是的“互换点”且时，函数 的图象上 存在一点，使是直角三角形，且 ，则点 的坐标为_______. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 32 【解析】 反比例函数与 的图象关于 轴对称， 易得，即.设 ，则 .， ，解得 或（负数已舍去）在的左侧，， . 如图，作 轴于，作轴于，则， .设 ，则，. 是直角三角形， ，， ， ， ，即，解得（正数已舍去）， . 故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 33 思路分析 由两个反比例函数图象关于轴对称可求出值，设出点的坐标，从而表示出点 的坐标，利用的长和勾股定理列方程，然后解方程求得，的坐标.作 轴于，作轴于，通过证得，即可求得点 的坐标. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 34 9.如图，反比例函数的图象与直线交于， 两 点（点在点右侧），过点作轴的垂线，垂足为点，连接， ，图中阴 影部分的面积为12，则 的值为_____. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 35 【解析】 设直线与轴、轴分别交于点， . 过作于，过作轴于，设交于 ， 如图. 设为的中点，，，由 得 ， ， ， . 直线与轴、 轴分别交于 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 点，，，，的中点为 ，即 的中点也为，，轴， ， .又， ， ， 且图中阴影部分的面积为12，, ， ，，即.设 ，则 ，，.将 ， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 代入得 解得（舍去）或， .故答案 为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 刷有所得 在反比例函数中，过反比例函数图象上一点向坐标轴作垂线段，是常见的作辅助 线的方法. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 39 10.【2023安徽中考】如图，是坐标原点， 的直角 顶点在轴的正半轴上，, ，反比例函数 的图象经过斜边的中点 ． （1） ____； 思路分析 先求出，两点坐标，进而可得点 的坐标，再将其代入反比例函数表 达式即可求出 值. 【解析】 , ， ， ，,是 的中点， 反比例函数的图象经过斜边的中点，， 反比例函数的表达式为.故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40 （2）为该反比例函数图象上的一点，若，则 的值为___． 4 思路分析 先求出直线的表达式，根据求出直线 的表达式，再联立 方程组，分情况求解即可. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 41 【解析】 设直线的函数表达式为.将， 代 入，得解得 直线 的表达式为 ， 设直线的函数表达式为 .将点 代入并解得， 直线的函数表达式为 .根据题意， 联立解得或当 时， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 42 ；当时，， ，故答案为4． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、解答题（本大题共2小题，共50分） 11.已知在平面直角坐标系中，点 ，若直线 与双曲线交于点，与 轴 交于点.探究:由双曲线与线段 , ,围成的区域 内（不含边界）整点的个 数．（点的横、纵坐标都是整数的点称为整点） （1）当时，如图，区域 内的整点的个数为___； 3 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 44 【解析】 ， 直线的函数表达式为 . 直线, 直线与 平行. 当时，直线表达式为，解方程，得 （舍去），，则.又， 区域 内的整点 有，， ，共3个.故答案为3. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45 （2）若区域内恰好有4个整点，求 的取值范围． 【解】直线在的下方时，当直线过时， ，且经过 ， 区域内恰有4个整点时，的取值范围是．直线在 的 上方时, 点在函数的图象上，当直线过 时， ;当直线过时，， 区域内恰有4个整点时， 的取 值范围是 ． 综上所述，区域内恰有4个整点时，的取值范围是或 ． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 46 12. 跨学科综合【2024江西吉安期末】根据背景材料，探索解决问题： 探究并联电路中电阻与电流 之间的函数关系 背景材料 如图，在并联电路中，电源电压 ，根据“并联电路分流 不分压”的原理得到.已知 为定值 电阻，当变化时，干路电流也会发生变化，且干路电流与 之间满足如下关系： 问题解决 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 47 任务1 画出函数 的图象 【解】①列表： … 3 4 5 6 … … 3 2.5 2.2 2 … 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 48 ②先描出点，，， ，再顺次连接这些点 即可画出所求函数图象，如图所示: 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 49 任务2 探究函数图象的平移规律 函数的图象是由 的图象向____平移___个单位而得到 上 1 【解析】 当时，，；当时，，；当 时，，.结合图象，可知函数的图象是由 的图象向上 平移1个单位而得到的，故答案为上,1. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 50 任务3 函数的应用 若关于的方程在实数范围内恰好有两个解，直接写出 的值 【解】 或或.由函数与方程的关系可知，当时， 与 的图象在第一象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解.令 ，化简得，则，.当 时，与 的图象在第二象限恰有一个交点时满足恰有两个实数 解.令，化简得，则， .当 时，与的图象恰好有两个交点，即 在 实数范围内恰好有两个解.综上,或或 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 51 $$