精品解析：广西壮族自治区崇左市扶绥县东门中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

广西壮族自治区崇左市扶绥县东门镇2025-2026学年九年级上学期数学12月月考试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 2024年中国山地自行车联赛第一站暨巴黎奥运会选拔赛上，青海省体工二大队多名运动员获得佳绩．自行车示意图如图所示，其中，，，两车轮的直径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积计算，是实际应用类题目，需要同学们挖掘隐含的条件．根据自行车的构造，可得四边形是梯形，，从而求出与的度数，代入扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可得，四边形是梯形，， ，， ，， 车轮的直径为， 半径， 则， ∴那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是． 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，以点（﹣2，3）为圆心，半径为3的圆一定（ ） A. 与x轴相切，与y轴相切 B. 与x轴相切，与y轴相交 C. 与x轴相交，与y轴相切 D. 与x轴相交，与y轴相交 【答案】B 【解析】 【分析】由已知点（-2，3）可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系，设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；若d>r，则直线与圆相离． 【详解】解：∵点（﹣2，3）到x轴的距离是3，等于半径，到y轴的距离是2，小于半径， ∴圆与y轴相交，与x轴相切． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 3. 如图，已知的半径为，弦直径，，则的长为（　） A. B. π C. D. 3π 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．连接，求出的度数，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长． 故选：B． 4. 如图， A， B， C为上三点， 若， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形性质，由等腰三角形的性质得到，然后求出，由圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选D． 5. 已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式即扇形面积公式计算． 【详解】解：圆锥的侧面积是． 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，圆锥的侧面积：，熟记圆锥的侧面积公式是解题的关键． 6. 云南十八怪，草帽当锅盖．使用草编的锅盖蒸米饭，不传热、不吸水、透气性好，搭配攀枝花木甑子，蒸出的米饭香气浓郁，满是家的味道．某同学发现家里的草帽锅盖可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为，高度为，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆锥的底面圆锥的周长等于展开的扇形的弧长，勾股定理， 首先根据勾股定理求出底面圆的半径，然后求出底面圆的周长，进而可得到圆锥的侧面展开图的弧长． 【详解】∵母线长为，高度为， ∴底面圆的半径为， ∴底面圆的周长为， ∴这个圆锥的侧面展开图的弧长等于． 故选：D． 7. 如图，为直径，C为圆上一点，I为内心，交于D，于I，若，则为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，，由题意知，平分，平分，则，，，，由，可得，由垂径定理得，则，由勾股定理得，，如图，连接交于，则，设，则，由勾股定理得，，即，解得，进而可得，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，， 由题意知，平分，平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 如图，连接交于，则， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得， ∴，， 由勾股定理得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了内心，勾股定理，垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 8. 如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为轴对称图形．满足这样条件的白色小方格个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形． 故选：D． 【点睛】此题考查轴对称图案，解题关键于利用对称轴找出对称图案即可． 9. 已知的半径为2，点O到直线l的距离是4，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 以上情况都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】欲求直线l与圆O的位置关系，关键是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系．若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离．据此判断即可． 【详解】∵圆半径，圆心到直线的距离． ∴， ∴直线l与的位置关系是相离． 故选：A． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 10. 如图，已知中，，点P在弦上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，熟练掌握圆周角定理以及三角形的外角性质是解题的关键． 先利用圆周角定理可得：，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答． 【详解】解： ∵是的一个外角， 故选：B． 11. 某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来米长的围栏，准备围成两边靠墙（两墙垂直且足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰直角三角形（两直角边靠墙）、扇形这三种方案，如图所示．最佳方案是（　　） A 方案1 B. 方案2 C. 方案1或方案2 D. 方案3 【答案】D 【解析】 【分析】方案一是长方形，设边长为，则，求二次函数的最大值；方案二是等腰直角三角形，设等腰直角三角形两直角边长为，则求出边长，和面积；方案三，是扇形，设扇形的半径为，可求出半径和面积，比较各自的面积即可求解． 【详解】解：方案一，设长方形长为，则宽为，则长方形的面积， 则最大值为； 方案二，设等腰直角三角形两直角边长为，则， ∴，则等腰直角三角形的面积为； 方案三，设扇形的半径为，扇形的弧长为， ∴，则， ∴扇形的面积为， ∴方案三的面积最大， 故选：． 【点睛】本题主要考查方程在实际中的运用，理解题目中的数量关系列方程是解题的关键． 12. 如图，在中，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点E逆时针旋转后得线段，分别以为圆心，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理，扇形的面积公式为．作于H，根据勾股定理求出，根据阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积、利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：作于H，如图所示： ∵，，， ∴， 由旋转，得， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积 ． 故选：D． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分．） 13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是，，是的外接圆，则点M的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作于E，作于F，连接，作的垂直平分线，垂足为C，交于M，则，即点M的横坐标为1，再证四边形为正方形，则垂直平分，所以点M是的外心，求出直线的解析式为，把代入求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作于E，作于F，连接，作的垂直平分线，垂足为C，交于M， ∵，垂直平分线， ∴，即点M的横坐标为1， ∵，，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴垂直平分， ∴点M是的外心， ∵， ∴，， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外心，正方形的性质，一次函数解析式，熟练掌握三角形外心的概念是解题的关键． 14. 如图，点在正六边形的边上运动．若，写出的范围 ____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆的性质． 根据正多边形性质求出，进而求出当点与点重合时，最小值为，当点与点重合时，最大值是． 【详解】解：作正六边形的外接圆，连结、、， ∵， ∴， ∵点在边上运动， ∴当点与点重合时，最小，； 当点与点重合时，最大，， ∴x的范围是， 故答案为：． 15. 如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为_____． 【答案】(4，2) 【解析】 【分析】画出平面直角坐标系，作出新的AC，BD的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2）， 故答案为：（4，2）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 16. 如图，是某正多边形相邻的三条边，延长交于点，若，则该正多边形的边数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形和圆，正确记忆相关知识点是解题的关键．由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等，先算出外角再计算边数即可． 【详解】解：由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等， ， ， ， 则该正多边形的边数为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧得到OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，由于AB=CD，则AE=CF，然后根据“HL”可判断Rt△AEO≌Rt△CFO，于是得到OE=OF． 【详解】证明：连结OA、OC，如图， ∵E、F分别为弦AB、CD的中点， ∴OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF， ∵AB=CD， ∴AE=CF， 在Rt△AEO和Rt△CFO中， ， ∴Rt△AEO≌Rt△CFO（HL）， ∴OE=OF． 【点睛】本题考查垂径定理的推论，以及全等三角形的判定与性质等，掌握垂径定理的推论以及全等三角形的判定方法是解题关键． 18. 下列图形是中心对称图形吗？如是中心对称图形，指出其对称中心． 【答案】中心对称图形有禁止标志、风轮叶片、正方形、正六边形；对称中心分别是圆心、中心、对角线交点、中心． 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义即可求解，再找到其对称中心即可． 【详解】解：图中是中心对称图形的有禁止标志、风轮叶片、正方形、正六边形． 对称中心分别是圆心、中心、对角线交点、中心． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 19. 如图，是的直径，点F、C是半圆弧上的三等份点，连接，，过点作交延长线于点，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 分析】（1）根据，得出，证明，得出，即可证明结论； （2）先求得，根据所对的直角边等于斜边的一半，求出，，在中，根据所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接，， 由题意得， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 在中，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，平行线的判定和性质，解题关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和定理． 20. 当，，三点可以确定一个圆，求n的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的条件及坐标与图形的性质，三点能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线的解析式，然后点C不满足求得的直线即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴若点在直线上， 则有， ∴当点，，三点可以确定一个圆时，则n需要满足的条件为， 所以n取值范围是． 21. 已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称． （1）求点A、B、C、D的坐标； （2）顺次连接点A、D、B、C，求所得图形的面积． 【答案】（1）点A（−1，2），B（−1，−2），C（3，−1），D（−3，1）；（2）图见详解，12． 【解析】 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别求出a，b的值，进而求出点A、B、C的坐标，再根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数求出点D的坐标； （2）把这些点按A−D−B−C−A顺次连接起来，再根据三角形的面积公式计算其面积即可． 【详解】解：（1）∵点A（−1，3a−1）与点B（2b＋1，−2）关于x轴对称， ∴2b＋1＝−1，3a−1＝2， 解得a＝1，b＝−1， ∴点A（−1，2），B（−1，−2），C（3，−1）， ∵点C（a＋2，b）与点D关于原点对称， ∴点D（−3，1）； （2）如图所示： 四边形ADBC的面积为：×4×2＋×4×4＝12． 【点睛】本题考查的是作图−轴对称变换，熟知关于x、y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 22. 如图，点E是的内心，的延长线交于点F，交的外接圆于点D，连接，过点D作直线，使； （1）求证：直线是的切线； （2）若，，且，求长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，垂径定理，三角形的内心等知识，解题的关键是： （1）首先根据三角形内心的性质得出，然后利用圆周角定理、垂径定理等可得出，最后利用切线的判定即可得证； （2）先求出，然后代入计算即可． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵点E是的内心， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵为半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，四边形为的内接四边形，为的直径，且与互余． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角、勾股定理、垂径定理： （1）利用圆周角定理及角的等量代换即可求证结论； （2）连，延长交于点，由垂径定理得：，，在中、在中和在中，利用勾股定理即可求解； 熟练掌握基础知识是解题的关键． 【小问1详解】 证明：是的直径 ， ， ， ， 【小问2详解】 解：连，连接并延长交于点，如图： 由垂径定理得： ，， 在中，根据勾股定理得： ， 设半径为， 在中，由得： ， ， 为直径， ， 在中，根据勾股定理得： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西壮族自治区崇左市扶绥县东门镇2025-2026学年九年级上学期数学12月月考试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 2024年中国山地自行车联赛第一站暨巴黎奥运会选拔赛上，青海省体工二大队多名运动员获得佳绩．自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的直径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，以点（﹣2，3）为圆心，半径为3的圆一定（ ） A. 与x轴相切，与y轴相切 B. 与x轴相切，与y轴相交 C. 与x轴相交，与y轴相切 D. 与x轴相交，与y轴相交 3. 如图，已知的半径为，弦直径，，则的长为（　） A. B. π C. D. 3π 4. 如图， A， B， C为上三点， 若， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 6. 云南十八怪，草帽当锅盖．使用草编锅盖蒸米饭，不传热、不吸水、透气性好，搭配攀枝花木甑子，蒸出的米饭香气浓郁，满是家的味道．某同学发现家里的草帽锅盖可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为，高度为，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为直径，C为圆上一点，I为内心，交于D，于I，若，则为（ ） A. B. C. D. 5 8. 如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为轴对称图形．满足这样条件的白色小方格个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知的半径为2，点O到直线l的距离是4，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 以上情况都有可能 10. 如图，已知中，，点P在弦上，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 11. 某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来米长的围栏，准备围成两边靠墙（两墙垂直且足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰直角三角形（两直角边靠墙）、扇形这三种方案，如图所示．最佳方案是（　　） A 方案1 B. 方案2 C. 方案1或方案2 D. 方案3 12. 如图，在中，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点E逆时针旋转后得线段，分别以为圆心，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分．） 13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是，，是的外接圆，则点M的坐标为___________． 14. 如图，点在正六边形的边上运动．若，写出的范围 ____________． 15. 如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为_____． 16. 如图，是某正多边形相邻的三条边，延长交于点，若，则该正多边形的边数为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF． 18. 下列图形是中心对称图形吗？如是中心对称图形，指出其对称中心． 19. 如图，是直径，点F、C是半圆弧上的三等份点，连接，，过点作交延长线于点，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若半径为4，求的长． 20. 当，，三点可以确定一个圆，求n的取值范围． 21. 已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称． （1）求点A、B、C、D的坐标； （2）顺次连接点A、D、B、C，求所得图形的面积． 22. 如图，点E是的内心，的延长线交于点F，交的外接圆于点D，连接，过点D作直线，使； （1）求证：直线是的切线； （2）若，，且，求长． 23. 如图，四边形为的内接四边形，为的直径，且与互余． （1）求证：； （2）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $