2.2.3 两条直线的位置关系（六大题型）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.2.3 两条直线的位置关系 题型一 两条直线的到（夹）角公式 1．已知等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线方程为，则斜边所在直线的斜率为（    ） A．或2 B．或3 C．或4 D．或5 【答案】C 【分析】设直角边AC所在直线的倾斜角是，则斜边的倾斜角是或，利用三角函数求倾斜角的正切值，即可求得直线的斜率. 【详解】解：因为等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线方程为，所以AC所在直线的斜率为，即， 设直线AC的倾斜角为，则， 因为斜边与直角边的倾斜角相差45°，则斜边的倾斜角为或， 所以， ， 所以斜边所在直线的斜率为或4． 故选：C． 2．（多选）下列结论中正确的有（    ） A．两条相交直线所成的角的范围是 B．若两条相交直线所成的角为，其法向量的夹角为，则或 C．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为 D．若直线与直线的夹角为，则 【答案】ABD 【分析】根据两直线相交时其夹角，其斜率间的关系，逐一判断可得选项. 【详解】解：对于A：两条相交直线时，其所成的角的范围是，故A正确； 对于B：若两条相交直线所成的角为，其法向量的夹角为，则或，故B正确； 对于C：若两条直线相互垂直，则这两直线中可能其中一条直线的斜率不存在，故C不正确； 对于D：设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，所以，故D正确， 故答案为：ABD. 3．已知两条直线的方程分别是；，；，则两条直线的夹角 ． 【答案】/ 【分析】求出两条直线的方向向量，利用向量夹角公式可得答案. 【详解】；的方向向量为， ；的方向向量为， 则， 因为，所以. 故答案为：. 4．根据下列条件，求直线的一般方程： (1)过点且与直线平行的直线方程； (2)若，的角平分线所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设与直线平行的直线方程为，把点代入，能求出所求直线方程. （2）求出直线和直线的斜率，从而得到的角平分线所在直线的斜率，由此能求出的角平分线所在直线方程. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 把点代入，得，解得， ∴所求直线方程为. （2）∵， ∴，， 设的角平分线所在直线的斜率为，则， 解得或，由图可知，所以. ∵的角平分线所在直线过点， ∴直线方程为，即， ∴的角平分线所在直线方程为. 题型二 由斜率判断两条直线平行 5．已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 6．（多选）的三个顶点坐标分别为，，，下列说法中正确的是（   ） A．边与直线平行 B．边上的高所在的直线的方程为 C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．过点A且平行于的直线方程为 【答案】BD 【分析】由直线斜率判断A，求出相应的直线方程判断BCD． 【详解】直线的斜率为， 而直线的斜率为，两直线不平行，A错； 边上高所在直线斜率为， 直线方程为，即，B正确； 过且在两坐标轴上的截距相等的直线过原点时方程为，C错； 因为，直线的斜率为， 所以过点A且平行于的直线方程为, 即，D正确. 故选:BD． 7．若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是 ． 【答案】平行或重合 【分析】求得直线与的斜率，进而可得结论. 【详解】直线的倾斜角为135°，故斜率． 由经过点，，得， 所以，所以直线与平行或重合． 故答案为：平行或重合． 8．已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 【答案】(1) (2)四边形为直角梯形 【分析】（1）求出可得两直线线关系； （2）求出且可得四边形形状； 【详解】（1）由题意可得， 则，， 所以两条直线平行，即， （2）因为，， 所以，即与不平行， 又，所以， 所以四边形为直角梯形. 题型三 由斜率判断两条直线垂直 9．以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果. 【详解】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 10．（多选）已知直线的斜率是-2，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的一个方向向量为 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．在轴上的截距等于 【答案】BCD 【分析】由斜率可确定方向向量判断A，由平行垂直的斜率关系可判断BC，由直线方程可判断D. 【详解】解：因为直线的斜率，因此不是直线的一个方向向量，A错误； 直线的斜率，且经过点，故直线方程为，即，它与直线平行，B正确； 直线的斜率为，，垂直，C正确； 在直线方程中，令得，故在轴上的截距等于，D正确； 故选：BCD 11．设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为 . 【答案】 【分析】求解直线经过的定点，根据两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解. 【详解】由于经过的定点为，所以， 直线变形为， 所以经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图， 因此为直角三角形，所以. 故答案为： 12．已知的三个顶点是． (1)试判定的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2) 【分析】（1）由顶点坐标，得和，由得出；再根据两点之间距离公式求出和，得出，即可证明； （2）由点的坐标求出边中点的坐标，再求出，即可写出直线的点斜式方程． 【详解】（1）由题可知，， 因为， 所以， 所以是直角三角形， 又因为， 所以， 所以是等腰三角形 综上可知，是等腰直角三角形． （2）的中点坐标为，又， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为：，即， 所以边上的中线所在直线的方程为：． 题型四 已知直线平行求参数 13．若直线与平行，则实数的值为（    ） A．3 B． C．或3 D．0 【答案】B 【分析】根据直线一般方程平行的关系得，进而解方程并检验即可. 【详解】直线与平行， 则，解得或， 经检验，当时，，，重合，舍去， 当，，，满足题意. 所以实数的值为 故选：B. 14．（多选）设，已知两条直线和，则（   ） A．直线过定点 B．当时，或 C．当时， D．当时，的交点坐标为 【答案】ACD 【分析】根据两条直线平行，两条直线垂直和求两条直线的交点等逐项分析即可. 【详解】直线进行变形， 令，解得，直线过定点，正确. 当时，，解得或， 当时，直线和，两条直线重合，不符合题意， 当时，直线，，即和，两条直线平行，因此仅当时，，错误 . 当时，直线和，此时， 当时，，正确. 当时，直线和，联立方程组，解得， 当时，的交点坐标为，正确. 故选：ACD. 15．已知直线与直线平行，则等于 ． 【答案】3 【分析】由两条直线平行求解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 故答案为：3 16．已知直线：，直线：. (1)若与平行，求的值； (2)若与的交点位于第一象限，求的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行斜率相等即可求解； （2）联立方程求得交点坐标，然后利用第一象限点的坐标特征列不等式求得，然后结合角的范围，利用正切函数的性质求解角的范围. 【详解】（1）直线：即，故直线的斜率为. 因为直线：与平行，所以. （2）由，解得， 因为与的交点在第一象限，所以，解得， 即，又，所以， 即的倾斜角的取值范围为. 题型五 已知直线垂直求参数 17．已知直线与直线垂直，则实数（ ） A．或0 B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据两直线垂直列出方程，求解即可. 【详解】若直线与直线垂直， 则，即，解得或0． 故选：A． 18．（多选）下列说法正确的有（    ） A．若两条直线与互相垂直，则实数的值为 B．若点在第二象限，则直线不经过第三象限 C．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则或 【答案】ABD 【分析】对于选项A，利用两直线垂直的充要条件建立方程求值即可；对于选项B，结合题意得到，再利用一次函数性质判断即可；对于选项C，举出直线，判断即可；对于选项D，先判断直线过定点，再利用斜率公式结合图象求实数k的范围即可. 【详解】对于A，若两条直线与互相垂直， 则，解得或， 可得实数a的值为，故A正确； 对于B，若点在第二象限，则， 由一次函数性质得直线不经过第三象限，故B正确； 对于C，当直线过原点时，直线经过点， 即直线也满足题意，选项C错误； 对于D，将直线化为， 所以直线恒过定点，且直线的斜率为， 其中，， 如图，作出符合题意的图象， 结合图象，若直线与线段相交， 可得或，故D正确． 故选：ABD. 19．若直线：与直线：互相垂直，则的值为 . 【答案】0或1 【分析】根据两直线垂直系数的关系，列式计算，即可得答案. 【详解】依题意，所以，解得或. 故答案为：0或1 20．已知直线经过、两点． (1)求直线的方程； (2)设直线，若，求实数的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程； （2）根据直线垂直满足的关系式得到方程，求出实数的值. 【详解】（1）直线经过、两点， ， 直线，即：． （2）由，直线，， 得，解得， 即实数的值为． 题型六 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 21．将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移个单位长度，所得到的直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线绕原点逆时针旋转，得到直线，再根据平移公式即可求解． 【详解】将直线绕原点逆时针旋转，则斜率为，得到直线， 再向右平移个单位长度，所得到的直线为，即， 故选：B 22．（多选）已知直线，其中，则（    ） A．直线过定点 B．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 C．当时，直线与直线垂直 D．若与平行，则这两条平行直线之间的距离为1 【答案】AC 【分析】根据直线的性质以及直线间的位置关系判断每一个选项即可. 【详解】由直线方程，若，即直线过定点，所以选项A正确； 时，，令则，令则，显然截距不相等，故选项错误； 时，斜率为1，而斜率为，显然斜率乘积为，所以直线与直线垂直，故选项正确； 若直线与直线平行，即，则两条平行直线之间的距离，所以选项D错误. 故选： 23．已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线斜率的定义，运用数形结合思想、分类讨论进行求解即可. 【详解】当为直角三角形时，或，此时的斜率或0．如图，设时，与交于点； 时，与交于点． 当从直线开始，绕点顺时针旋转到轴之间时，为钝角三角形，此时；记过点且与平行的直线为， 当从直线开始，绕点逆时针旋转到直线之间时，为钝角三角形，此时1．综上，． 故答案为：    24．如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出线段中点坐标，再利用平行四边形的性质得为线段中点，从而利用中点坐标公式列方程组求解即可； （2）通过直线垂直求出高线的斜率，代入点斜式直线公式求解即可. 【详解】（1）设线段中点为，则点坐标为， 设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有， 解得，所以；    （2）因为直线的斜率为， 所以边上的高线所在直线的斜率为， 又，故边上的高线所在直线的方程为， 即为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3 两条直线的位置关系 题型一 两条直线的到（夹）角公式 1．已知等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线方程为，则斜边所在直线的斜率为（    ） A．或2 B．或3 C．或4 D．或5 2．（多选）下列结论中正确的有（    ） A．两条相交直线所成的角的范围是 B．若两条相交直线所成的角为，其法向量的夹角为，则或 C．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为 D．若直线与直线的夹角为，则 3．已知两条直线的方程分别是；，；，则两条直线的夹角 ． 4．根据下列条件，求直线的一般方程： (1)过点且与直线平行的直线方程； (2)若，的角平分线所在直线方程. 题型二 由斜率判断两条直线平行 5．已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 6．（多选）的三个顶点坐标分别为，，，下列说法中正确的是（   ） A．边与直线平行 B．边上的高所在的直线的方程为 C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．过点A且平行于的直线方程为 7．若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是 ． 8．已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 题型三 由斜率判断两条直线垂直 9．以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 10．（多选）已知直线的斜率是-2，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的一个方向向量为 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．在轴上的截距等于 11．设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为 . 12．已知的三个顶点是． (1)试判定的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程． 题型四 已知直线平行求参数 13．若直线与平行，则实数的值为（    ） A．3 B． C．或3 D．0 14．（多选）设，已知两条直线和，则（   ） A．直线过定点 B．当时，或 C．当时， D．当时，的交点坐标为 15．已知直线与直线平行，则等于 ． 16．已知直线：，直线：. (1)若与平行，求的值； (2)若与的交点位于第一象限，求的倾斜角的取值范围. 题型五 已知直线垂直求参数 17．已知直线与直线垂直，则实数（ ） A．或0 B． C．0 D．1 18．（多选）下列说法正确的有（    ） A．若两条直线与互相垂直，则实数的值为 B．若点在第二象限，则直线不经过第三象限 C．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则或 19．若直线：与直线：互相垂直，则的值为 . 20．已知直线经过、两点． (1)求直线的方程； (2)设直线，若，求实数的值． 题型六 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 21．将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移个单位长度，所得到的直线为（    ） A． B． C． D． 22．（多选）已知直线，其中，则（    ） A．直线过定点 B．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 C．当时，直线与直线垂直 D．若与平行，则这两条平行直线之间的距离为1 23．已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是 ． 24．如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $