2.2.3 两条直线的位置关系（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2.2.3　两条直线的位置关系 基础过关练 题组一　直线的交点坐标及其应用 1.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1),则m+n的值为(　　) A.12　　　　B.10　　　　C.-8　　　　D.-6 2.直线kx-y+2k+1=0与x+2y-4=0的交点在第四象限,则实数k的取值范围为(　　) A.(-6,2)　　　　 B. C. 3.直线y=2x+10,y=x+1,y=ax-2交于一点,则实数a的值为(　　) A. 4.直线l1:3x-y+12=0和l2:3x+2y-6=0及y轴所围成的三角形的面积为　　　　.  题组二　两条直线的平行、重合 5.若直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6),则直线l1与l2的位置关系是(　　) A.垂直　　　　B.平行 C.重合　　　　D.平行或重合 6.已知过A(m,1),B(-1,m)(m≠-1)两点的直线与过P(1,2),Q(-5,0)两点的直线互相平行,则m=(　　) A.　　　　D.2 7.已知直线l过点(0,3),且与直线x+y+1=0平行,则l的方程是(　　) A.x+y-2=0　　　　B.x-y+2=0 C.x+y-3=0　　　　D.x-y+3=0 8.设a∈R,则“a=”是“直线l1:x+2ay-1=0和直线l2:(a-1)x+ay+1=0平行”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为(　　) A.(3,4)　　　　B.(1,3)　　　　 C.(3,1)　　　　D.(3,8) 题组三　两条直线的垂直 10.过点(0,1)且与直线2x-y+1=0垂直的直线方程是(　　) A.x-2y+1=0　　　　B.x+2y-2=0 C.2x+y-2=0　　　　D.x-2y-1=0 11.已知△ABC的三个顶点是A(-3,0),B(6, 2),C(0,-6),则边AC上的高所在直线的方程为(　　) A.x+2y-2=0　　　　B.x-2y-2=0 C.x-2y-4=0　　　　D.2x+y-14=0 12.已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,且交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,O,A,B,C四点共圆,则y的值是(　　) A.19　　　　B.　　　　C.5　　　　D.4 13.点A(1,2)关于直线l:x+2y-1=0对称的点的坐标为　　　　.  14.已知l1,l2不重合,直线l1过点 A(-2,m)和点B(m,4),直线l2的斜率为-2,直线l3的斜率为-,若l1∥l2,l2⊥l3,则m+n的值为　　　　.  能力提升练 题组　两直线的位置关系及其应用 1.将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相等)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,点(2 021,2 022)与点(m,n)重合,则m+n=(　　) A.1　　　　 B.2 023　　　　 C.4 043　　　　D.4 046 2.若直线2mx+y-2=0与直线x+(3-m2)y+2= 0互相垂直,且交点位于第三象限,则实数m的值为(　　) A.1　　　　B.3　　　　C.-1　　　　D.-3 3.已知△ABC的两个顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则顶点A的坐标为(　　) A.(-19,-62)　　　　B.(19,-62) C.(-19,62)　　　　D.(19,62) 4.若直线l1:x+(m+1)y-2m-2=0与直线l2:(m+1)x-y-2m-2=0相交于点P,对任意实数m,直线l1,l2分别恒过点A,B,则|PA|+|PB|的最大值为(　　) A.4　　　　B.8　　　　C.2 5.(多选题)已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0能构成三角形,则实数m的值可能为(　　) A.2　　　　B.- 6.已知点A(0,1),点B在直线l:x+y=0上运动,则当线段AB最短时,直线AB的一般式方程为　　　　　.  7.直线l经过直线l1:2x+3y+2=0与l2:3x-4y-2=0的交点,且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,则直线l的方程为　 　　.  8.某县相邻两镇在同一平面直角坐标系中的坐标分别为A(-3,-4),B(6,3),交通枢纽的坐标为C(0,-1),计划经过C修建一条马路l(l看成一条直线,l的斜率为k),若A,B两个镇到马路l的距离相等,则k=　　　　.  9.已知点A(-1,0),B(1,0), C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则实数b的取值范围是　　　　　.  10.已知直线l1经过A(-m,1),B(-4,-m+3),直线l2经过C(-1,2), D(-4,m+2). (1)若l1∥l2,求实数m的值; (2)若l1⊥l2,求实数m的值. 11.已知两直线l1:x+y-1=0和l2:2x-y=0,定点A(1,1). (1)若直线l1恰好为△ABC的角平分线BD所在的直线,直线l2是边AB上的中线CM所在的直线,求△ABC的边BC所在直线的方程; (2)若直线l过点A,与直线l2在第一象限内交于点P,与x轴正半轴交于点Q,求△POQ(O为坐标原点)的面积最小时,直线l的方程. 答案与分层梯度式解析 2.2.3　两条直线的位置关系 基础过关练 1.B 2.C 3.C 5.D 6.A 7.C 8.C 9.A 10.B 11.B 12.B 1.B　将(2,-1)代入3x+my-1=0可得m=5,将(2,-1)代入4x+3y-n=0可得n=5,所以m+n=10. 2.C　解方程组 由两直线的交点在第四象限可得解得-,故实数k的取值范围为.故选C. 3.C　解方程组 ∴直线y=2x+10与y=x+1的交点坐标为(-9,-8). 将其代入y=ax-2中,得-8=a·(-9)-2,∴a=.故选C. 4.答案　9 解析　易知直线l1,l2与y轴的交点坐标分别为(0,12),(0,3). 由 故所求三角形的面积S=×(12-3)×|-2|=9. 5.D　由题意得,直线l1的斜率为tan 135°=-1,直线l2的斜率为=-1,∴直线l1与l2平行或重合. 易错警示　当两直线的斜率都存在时,由两直线平行可以推出两直线 的斜率相等;但由两直线的斜率相等推不出两直线平行,此时还有可能重合,解题时要注意验证. 6.A　由题意得kAB=kPQ,又kPQ=,所以,解得m=.故选A. 7.C　设直线l的方程为x+y+t=0(t≠1).由点(0,3)在直线x+y+t=0上,得0+3+t=0,解得t=-3,因此直线l的方程为x+y-3=0.故选C. 方法点拨　与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0(A2+B2≠0,m≠C). 8.C　若l1∥l2,则1×a=2a(a-1),所以a=0或a=. 当a=0时,l1:x-1=0,l2:-x+1=0,此时l1,l2重合,与题意不符; 当a=时,l1:x+3y-1=0,l2:y+1=0,l1∥l2,满足题意. 所以“a=”是“l1∥l2”的充要条件.故选C. 9.A　设顶点D的坐标为(m,n), 由题意得AB∥DC,AD∥BC,则有kAB=kDC,kAD=kBC, 所以所以顶点D的坐标为(3,4). 10.B　与直线2x-y+1=0垂直的直线方程可设为x+2y+C=0,将(0,1)代入可得2+C=0,解得C=-2, 故所求直线的方程为x+2y-2=0.故选B. 方法点拨　与直线Ax+By+C=0垂直的直线可设为Bx-Ay+m=0(A2+B2≠0). 11.B　易得直线AC的斜率为=-2, ∴边AC上的高所在直线的斜率为, 又B(6,2),∴边AC上的高所在直线的方程为y-2=(x-6),即x-2y-2=0.故选B. 12.B　由O,A,B,C四点共圆可得四边形OABC的对角互补.又由题意得∠COA=90°,所以∠CBA=90°,所以AB⊥BC,所以kAB·kBC=-1,即=-1,解得y=.故选B. 13.答案　 解析　设对称点的坐标为(a,b), 则 所以对称点的坐标为. 14.答案　-10 解析　由题意得=-2,解得m=-8,-2×=-1,解得n=-2,所以m+n=-10. 能力提升练 1.C 2.C 3.A 4.A 5.AD 1.C　记A(2,0),B(-2,4),则kAB==-1. 由题知过点(2 021,2 022)与点(m,n)的直线与直线AB平行,所以=-1,所以m+n=4 043.故选C. 2.C　因为直线2mx+y-2=0与直线x+(3-m2)y+2=0互相垂直,所以2m+3-m2=0,解得m=3或m=-1. 当m=3时,由,不符合题意; 当m=-1时,由,满足题意.故选C. 3.A　设点A的坐标为(x,y). 由已知得AH⊥BC,BH⊥AC,且直线AH,BH的斜率存在, 所以 解得故顶点A的坐标为(-19,-62). 4.A　由x+(m+1)y-2m-2=0,得x+y-2+m(y-2)=0,令所以A(0,2). 同理,得B(2,0). 因为1×(m+1)+(m+1)×(-1)=0,所以l1⊥l2,即PA⊥PB,故|PA|2+|PB|2=|AB|2=8,所以|PA|+|PB|≤=4,当且仅当|PA|=|PB|=2时,等号成立,所以|PA|+|PB|的最大值为4.故选A. 5.AD　因为三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0能构成三角形,所以直线mx-y-1=0与2x-3y+1=0,4x+3y+5=0都不平行,且直线mx-y-1=0不过2x-3y+1=0与4x+3y+5=0的交点. 当直线mx-y-1=0与2x-3y+1=0,4x+3y+5=0都不平行时,m≠且m≠-.由所以直线2x-3y+1=0与4x+3y+5=0的交点坐标为,将其代入mx-y-1=0中,得m=-,所以实数m的取值范围为m≠-且m≠±.结合选项可知,实数m的值可能为2和.故选AD. 6.答案　x-y+1=0 解析　当线段AB最短时,AB⊥l,所以kAB=1.所以直线AB的方程为y=x+1,化为一般式为x-y+1=0. 7.答案　17x+17y+12=0或17x-17y-8=0 解析　设直线l的方程为2x+3y+2+m(3x-4y-2)=0,即(2+3m)x+(3-4m)y+2-2m=0. ∵直线l与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,∴直线l的斜率为±1, ∴2+3m=±(3-4m),解得m=或m=5. ∴直线l的方程为17x+17y+12=0或17x-17y-8=0. 方法点拨　经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线可设为(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2,其中≠0,≠0). 8.答案　 解析　若A,B两个镇到马路l的距离相等,则有两种情况:当l与直线AB平行时,k=;当l与直线AB相交时,直线l过AB的中点,又AB的中点为,所以k=.故k=或k=. 9.答案　 解析　易得S△ABC=×2×1=1. 设直线y=ax+b(a>0)与x轴的交点为M,则M. 由直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,得b>0,所以-<0,故点M在射线OA上. 易得BC所在直线的方程为x+y=1. 设直线y=ax+b(a>0)和BC所在直线的交点为N, 由所以N. ①如图1,当点M和点A重合时,要满足直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则点N为线段BC的中点,故N, 将A(-1,0),N代入直线y=ax+b(a>0)中,得a=b=. ②如图2,当点M在点O和点A之间时,b>. 由题意得,三角形NMB的面积为,则,即,所以a=>0,解得b<,故. ③如图3,当点M在点A的左侧时,b<<-1,则b>a. 易得AC所在直线的方程为y=x+1. 设直线y=ax+b(a>0)和AC所在直线的交点为P, 由所以P. 由题意得,三角形CPN的面积为,则·(1-b)·|xN-xP|=,即(1-b)·,所以2(1-b)2=|a2-1|. 因为0<a<1,所以2(1-b)2=|a2-1|=1-a2,两边开方,得<1,所以1-b<,即b>1-,故1-. 综上,实数b的取值范围是. 10.解析　(1)由题意得直线l2的斜率存在且,所以直线l1的斜率也存在且,即m2-7m+6=0,解得m=1或m=6. 经检验,均满足题意. (2)当=0时,m=0,此时,不符合题意. 当≠0时,需满足-=-1,即m2+m-12=0,解得m=3或m=-4. 11.解析　(1)设B(a,b),则M. 易知点B,M分别在直线l1,l2上, 所以故B(0,1). 设点A(1,1)关于直线l1的对称点为A'(x,y),则线段AA'的中点在直线l1上,且直线AA'与直线l1垂直,所以故A'(0,0). 因为l1是∠ABC的平分线所在直线,所以点A'在直线BC上,所以直线BC的方程为x=0. (2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,则P(1,2),Q(1,0),所以S△POQ=1. ②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-1)(k≠0,且k≠2). 由故P. 对于y-1=k(x-1),令y=0,得x=1-,故Q. 因为点P在第一象限内、点Q在x轴的正半轴上, 所以解得k>2或k<0. 故S△POQ=>1. 综上,S△POQ的最小值为1,此时直线l的方程为x=1. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$