2.2.3 第1课时 两条直线的相交、平行与重合-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 2．2．3　两条直线的位置关系 第1课时　两条直线的相交、平行与重合 知识点一　两条直线的相交、平行与重合 1．(2023·广东东莞中学校考期末)已知过A(1，a)，B(－a，－4)两点的直线与直线y＝2x＋1平行，则a＝(　　) A．－7 B．－3 C．－2 D．2 答案　D 解析　因为过A(1，a)，B(－a，－4)两点的直线与直线y＝2x＋1平行，所以直线AB的斜率为kAB＝＝2，解得a＝2．故选D． 2．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 答案　A 解析　过点(1，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0．故选A． 3．[多选]下列说法正确的是(　　) A．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 B．若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等或都不存在 C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交 D．若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行 答案　BC 解析　若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，所以A不正确；若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等或都不存在，所以B正确；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，所以C正确；若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行或重合，所以D不正确．故选BC． 4．经过原点，且经过直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点的直线l的方程为________． 答案　2x－y＝0 解析　解法一：解方程组得∴直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)．又直线l经过原点，∴直线l的方程为＝，即2x－y＝0． 解法二：设直线l的方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，∵直线l过原点(0，0)，∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴直线l的方程为2x＋3y＋8＋8x－8y－8＝0，即2x－y＝0． 5．已知直线px＋10y＝2与3x＋(q－1)y＝－1重合，则p＝________，q＝________． 答案　－6　－4 解析　因为直线px＋10y＝2与3x＋(q－1)y＝－1重合，所以有＝＝⇒p＝－6，q＝－4． 6．已知直线l1：mx＋3y＋m＋3＝0，直线l2：x＋(m－2)y＋2＝0，求：当m为何值时，直线l1与l2分别有如下位置关系：相交、平行、重合． 解　当m＝2时，l1：2x＋3y＋5＝0，l2：x＋2＝0，l1与l2相交； 当m≠2时，两直线的斜截式方程为l1：y＝－x－，l2：y＝－x－． ①当－≠－，即m≠3，m≠－1且m≠2时，两直线相交； ②当－＝－，且－≠－，即m＝－1时，两直线平行； ③当－＝－，且－＝－，即m＝3时，两直线重合． 综上，当m≠3，m≠－1时，两直线相交； 当m＝－1时，两直线平行； 当m＝3时，两直线重合． 7．直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第四象限，求m的取值范围． 解　由方程组 解得 ∴两条直线的交点坐标为． ∵交点在第四象限，∴解得－<m<2． 故m的取值范围是． 知识点二　过定点的直线系 8．不论a为何实数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　直线(a－3)x＋2ay＋6＝0可化为a(x＋2y)－3x＋6＝0，由解得因为点(2，－1)在第四象限，所以直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过第四象限．故选D． 9．(2023·江苏无锡第一中学校考期末)已知直线l1：y＝kx＋3k＋2，直线l2：y＝x＋＋2，其中k>1，若直线l1，l2与两坐标轴围成一个凸四边形，求此四边形面积的取值范围． 解　直线l1：k(x＋3)＋(2－y)＝0过定点P(－3，2)，与x轴、y轴的交点分别为A，B(0，3k＋2)， 直线l2：(x＋3)＋(2－y)＝0过定点P(－3，2)，与x轴、y轴的交点分别为C(－3－2k2，0)，D． 当k>1时，A在C的右侧，B在D的上方，直线l1，l2与两坐标轴围成的四边形是四边形OAPD，如图所示， S△OAP＝|AO|·|yP|＝××2＝＋3， S△ODP＝|OD|·|xP|＝××3＝＋3， 则四边形OAPD的面积为S＝S△OAP＋S△ODP＝＋＋6＝＋， 因为k>1，所以∈(0，1)，则S∈． 综上，直线l1，l2与两坐标轴围成的四边形面积的取值范围为． 一、选择题 1．两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是(　　) A．－24 B．6 C．±6 D．以上都不对 答案　C 解析　联立两条直线的方程，得解得x＝．∵两直线的交点在y轴上，∴＝0，∴k＝±6(经检验知符合题意)．故选C． 2．平行于直线4x＋3y－3＝0，且不过第一象限的直线的方程是(　　) A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0 C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0 答案　B 解析　平行于直线4x＋3y－3＝0的直线具有形式4x＋3y＋C＝0，故排除A，D．但选项C中直线在x轴、y轴上的截距均为正，直线过第一象限，不符合条件．故选B． 3．直线ax－2y－1＝0与直线2y－3x＋b＝0平行，则直线y＝ax＋b与直线y＝3x＋1的位置关系是(　　) A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交 答案　B 解析　因为直线ax－2y－1＝0和直线2y－3x＋b＝0平行，所以a＝3，b≠1，故直线y＝ax＋b即y＝3x＋b(b≠1)，与直线y＝3x＋1平行．故选B． 4．[多选]满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是(　　) A．l1的斜率为2，l2过点A(1，2)，B(4，8)，且l1不经过点A B．l1经过点C(3，3)，D(－5，3)，l2平行于x轴，但不经过点C C．l1经过点M(－1，0)，N(－5，－2)，l2经过点R(－4，3)，S(0，5) D．若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6) 答案　ABC 解析　由斜率公式，对于A，直线l2的斜率也为2，且l1与l2不重合，故l1∥l2；对于B，直线l1的斜率也为0，且l1与l2不重合，故l1∥l2；对于C，两条直线的斜率均为，且l1与l2不重合，故l1∥l2；对于D，直线l1的斜率为tan135°＝－1，直线l2的斜率为＝－1，所以直线l1与l2平行或重合．故选ABC． 5．已知两点A(1，3)，B(4，2)，直线l：kx＋y－3k－1＝0与线段AB相交，则k的取值范围是(　　) A．[－1，1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 答案　B 解析　如图所示，直线l：kx＋y－3k－1＝0即k(x－3)＋y－1＝0，恒过C(3，1)，而kAC＝＝－1，kBC＝＝1，因为直线l与线段AB相交，结合图形，得k的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．故选B． 二、填空题 6．已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0平行，则实数a＝________． 答案　3 解析　由直线l1与l2平行，得2×3－a(a－1)＝0，且a×1－2×(－1)≠0，解得a＝3． 7．过直线l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于直线l3：x＋2y－5＝0的直线的方程为______________． 答案　8x＋16y＋21＝0 解析　由得交点坐标为．又直线l3的斜率为－，所以所求直线的方程为y＋＝－，即8x＋16y＋21＝0． 8．不论m取何值，直线(2＋m)x－(1＋2m)y＋(1＋5m)＝0恒过定点________． 答案　(1，3) 解析　原方程变形为(2x－y＋1)＋m(x－2y＋5)＝0， 由得∴无论m取何值，该直线恒过定点(1，3)． 三、解答题 9．已知在平行四边形ABCD中，A(1，1)，B(7，1)，D(4，6)，M是边AB的中点，CM与BD交于点P． (1)求直线CM的方程； (2)求点P的坐标． 解　(1)设点C的坐标为(x，y)． 因为在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC， 所以线段AB，DC所在直线的斜率相等，线段AD，BC所在直线的斜率相等， 则解得即C(10，6)． 又M是边AB的中点，所以M(4，1)， 所以直线CM的方程为＝， 即5x－6y－14＝0． (2)因为B(7，1)，D(4，6)， 所以直线BD的方程为＝， 即5x＋3y－38＝0． 由得 即点P的坐标为． 10．已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0． (1)若直线l1，l2，l3交于一点，求实数m的值； (2)若直线l1，l2，l3不能围成三角形，求实数m的值． 解　(1)因为直线l1，l2，l3交于一点，所以l1与l2不平行．所以m≠4， 联立解得 所以l1与l2的交点为， 将该点代入直线l3的方程有2·－3m·－4＝0， 整理得3m2＋m－2＝0，解得m＝或－1． (2)因为l1，l2，l3不能围成三角形， ①当l1，l2，l3交于一点时， 由(1)知m＝或－1． ②当l1∥l2时，4－m＝0，解得m＝4． ③当l1∥l3时，由题意得，－12m－2＝0，解得m＝－． ④当l2∥l3时，由题意得，－3m2－2＝0，无解． 综上，实数m的值为－1，－，，4． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$