2.2.3 第1课时 两条直线的相交、平行与重合-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

2．2．3　两条直线的位置关系

第1课时　两条直线的相交、平行与重合

 

知识点一　两条直线的相交、平行与重合

1．(2023·广东东莞中学校考期末)已知过A(1，a)，B(－a，－4)两点的直线与直线y＝2x＋1平行，则a＝(　　)

A．－7 B．－3

C．－2 D．2

答案　D

解析　因为过A(1，a)，B(－a，－4)两点的直线与直线y＝2x＋1平行，所以直线AB的斜率为kAB＝＝2，解得a＝2．故选D．

2．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)

A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0

C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0

答案　A

解析　过点(1，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0．故选A．

3．[多选]下列说法正确的是(　　)

A．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行

B．若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等或都不存在

C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交

D．若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行

答案　BC

解析　若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，所以A不正确；若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等或都不存在，所以B正确；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，所以C正确；若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行或重合，所以D不正确．故选BC．

4．经过原点，且经过直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点的直线l的方程为________．

答案　2x－y＝0

解析　解法一：解方程组得∴直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)．又直线l经过原点，∴直线l的方程为＝，即2x－y＝0．

解法二：设直线l的方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，∵直线l过原点(0，0)，∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴直线l的方程为2x＋3y＋8＋8x－8y－8＝0，即2x－y＝0．

5．已知直线px＋10y＝2与3x＋(q－1)y＝－1重合，则p＝________，q＝________．

答案　－6　－4

解析　因为直线px＋10y＝2与3x＋(q－1)y＝－1重合，所以有＝＝⇒p＝－6，q＝－4．

6．已知直线l1：mx＋3y＋m＋3＝0，直线l2：x＋(m－2)y＋2＝0，求：当m为何值时，直线l1与l2分别有如下位置关系：相交、平行、重合．

解　当m＝2时，l1：2x＋3y＋5＝0，l2：x＋2＝0，l1与l2相交；

当m≠2时，两直线的斜截式方程为l1：y＝－x－，l2：y＝－x－．

①当－≠－，即m≠3，m≠－1且m≠2时，两直线相交；

②当－＝－，且－≠－，即m＝－1时，两直线平行；

③当－＝－，且－＝－，即m＝3时，两直线重合．

综上，当m≠3，m≠－1时，两直线相交；

当m＝－1时，两直线平行；

当m＝3时，两直线重合．

7．直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第四象限，求m的取值范围．

解　由方程组

解得

∴两条直线的交点坐标为．

∵交点在第四象限，∴解得－<m<2．

故m的取值范围是．

知识点二　过定点的直线系

8．不论a为何实数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

答案　D

解析　直线(a－3)x＋2ay＋6＝0可化为a(x＋2y)－3x＋6＝0，由解得因为点(2，－1)在第四象限，所以直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过第四象限．故选D．

9．(2023·江苏无锡第一中学校考期末)已知直线l1：y＝kx＋3k＋2，直线l2：y＝x＋＋2，其中k>1，若直线l1，l2与两坐标轴围成一个凸四边形，求此四边形面积的取值范围．

解　直线l1：k(x＋3)＋(2－y)＝0过定点P(－3，2)，与x轴、y轴的交点分别为A，B(0，3k＋2)，

直线l2：(x＋3)＋(2－y)＝0过定点P(－3，2)，与x轴、y轴的交点分别为C(－3－2k2，0)，D．

当k>1时，A在C的右侧，B在D的上方，直线l1，l2与两坐标轴围成的四边形是四边形OAPD，如图所示，

S△OAP＝|AO|·|yP|＝××2＝＋3，

S△ODP＝|OD|·|xP|＝××3＝＋3，

则四边形OAPD的面积为S＝S△OAP＋S△ODP＝＋＋6＝＋，

因为k>1，所以∈(0，1)，则S∈．