辽宁省七校协作体2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题

2025-2026学年度（上）七校协作体高二联考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题校：丹东四中 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求. 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）. A．9 B．10 C．11 D．12 4．圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的方程为，且离心率与双曲线的离心率互为倒数，则下列椭圆方程不满足上述条件的为（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 7．是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9．下列四个命题中正确的是（    ） A．向量是直线的一个方向向量 B．直线在坐标轴上的截距之和为 C．直线与直线之间的距离为 D．直线的倾斜角的取值范围是 10．在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A．直线平面 B．三棱锥的体积不是定值 C．若正方体的棱长为2，点M在线段BC上运动，则点M到平面的距离最小值为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 11．已知椭圆的左焦点为，半焦距长为，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．椭圆的短轴长可能为2 C．椭圆的离心率的取值范围为 D．若，则椭圆的长轴长为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知直线与直线，若，则m = . 13．已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为 ． 14．已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则 . 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在平面直角坐标系中，已知三点. (1)若直线过点C且与直线AB垂直，求直线的方程； (2)若直线经过点A，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16．（15分）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; 17．（15分）如图，在四棱锥中，为正三角形，，，平面，与平面所成角为45°. (1)若为的中点，求证：平面； (2)若，求点到平面的距离. 18．（17分）已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． (1)求圆的标准方程； (2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； (3)判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 19．（17分）如图，在三棱锥中，平面平面，且，，点在线段上，点在线段上. (1)求证：； (2)若平面，求的值； (3)在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值. 高二数学 共 4 页 第 1 页 高二数学 共 4 页 第 2 页 高二数学 共 4 页 第 1 页 高二数学 共 4 页 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）七校协作体高二联考数学答案及评分标准 1．D 【解析】求出直线的斜率，即可求得直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，因此，直线的倾斜角为. 故选：D. 【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，求出直线的斜率是关键，考查计算能力，属于基础题. 2．B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据方程表示焦点在坐标轴上的椭圆求出的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可． 【详解】因为是焦点在坐标轴上的椭圆， 所以，解得：且， 所以“”是“曲线是焦点在坐标轴上的椭圆”的必要不充分条件． 故选：B． 3．B 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据向量共面的性质来求解的值.若三个向量，，共面，则存在实数，使得，然后根据向量相等的性质列出方程组，进而求解. 【详解】因为向量，，共面，所以存在实数，使得. 则可得. 由，可列出方程组. 由可得，将其代入中，得到. 去括号得，移项合并同类项得，解得. 将代入，可得. 将，代入，可得. 故选：B. 4．D 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】由题意分析可知，圆心在轴上，且在轴的正半轴上，设半径为，圆心坐标为，求出圆的方程，将点代入圆的方程，求出即可求解. 【详解】由题意分析可知，圆心在轴上，且在轴的正半轴上， 设半径为，圆心坐标为，， 则，解得， 其圆心坐标为， 则圆的方程为，即. 故选：D 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，需熟记圆的标准方程的形式，属于基础题. 5．B 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题可得双曲线离心率为，则椭圆离心率，进而得到，然后逐一判断即可. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以椭圆的离心率为， 椭圆的方程为， 则该椭圆的长、短半轴长分别为， 离心率，解得， 对于A，，符合； 对于B，，不符合； 对于C，，符合； 对于D，，符合. 故选：B. 6．A 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】根据四面体的性质，结合向量加减法求向量的数量积． 【详解】四面体的棱长都是4， 四面体的4个面均为边长是4的等边三角形， 点M为棱的中点， ， ， 故选：A． 7．C 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】判断圆与直线的位置关系为相离，可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与该圆相离， 所以的最小值为. 故选：C. 8．C 【知识点】求二面角、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量、面面角的向量求法 【分析】设，则二面角的大小为，根据，展开计算可得，即可求解. 【详解】设，则二面角的大小为， 由题意，，则， 所以， 即，得，所以， 即二面角的大小为. 故选：C. 9．BC 【知识点】直线的倾斜角、直线截距式方程及辨析、求平行线间的距离、求直线的方向向量（平面中） 【分析】根据直线方向向量的定义，可判断A错误；求得直线在坐标轴上的截距，可判定B正确，根据两平行直线间的距离公式，可判定C正确，根据直线倾斜角的定义，可判定D错误. 【详解】对于A，由直线，可得直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量为， 因为与不共线，所以不是直线的一个方向向量，所以A错误； 对于B，当时，；当时，， 可得直线在坐标轴上的截距之和为，所以B正确； 对于C，由直线可化为， 两平行直线间的距离为，所以C正确； 对于D，直线的斜率为， 因为，所以， 故直线倾斜角的取值范围是，所以D错误. 故选：BC. 10．ACD 【知识点】锥体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法证明线面垂直即可判断A，利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可判断B，利用点面距离的向量公式求解距离，然后利用一次函数性质求解最值判断C，利用向量法可求线面角的正弦值，再利用二次函数性质求解最值判断D. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨取正方体的棱长为2， ，，，， ，，，， 对于A：，， ， 所以，，且， 所以是平面的一个法向量，即直线平面，故A正确； 对于B：因为，平面，平面， 所以平面，因为点在线段上运动， 所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故由等体积法可知三棱锥的体积为定值，故B错误； 对于C：设，则， 由A选项可知平面的一个法向量为， 故点M到平面的距离为， 因为，所以． 即点M到平面的距离最小值为，故C正确； 对于D：设，则，， 由A选项可知平面的一个法向量为， 所以直线与平面所成角的正弦值为： ， 当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值， 且最大值为，故D正确. 故选：ACD 11．CD 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意可得轴，利用椭圆的定义得，当，，三点共线时取到最小值可判断A；因为在椭圆内可得可判断B；由在椭圆内可得长轴长，结合离心率公式可判断C；由已知条件求出点的坐标，再由两点间的距离求出长轴长的值可判断D. 【详解】 因为半焦距长为，可得左焦点为，右焦点为， 因为，所以轴， 对于A：， 当且仅当，，三点共线时取到最小值为，故A错误； 对于B：因为在椭圆内所以，所以短轴长，故B不正确； 对于C：因为在椭圆内，所以长轴长， 所以离心率，所以，故C正确； 对于D：因为，所以为的中点，而，，， 所以，所以长轴长，故D正确； 故选：CD. 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出，，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)． 12．－5 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行列出关于的方程，求解出结果后再检验是否重合，由此作出判断. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，化简可得，所以重合，不合题意，舍去，故答案为－5。 13． 【知识点】切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】确定圆心为，半径，将四边形的面积转化为，计算点到直线的距离得到答案. 【详解】，即，圆心为，半径， ，即最小时，面积最小. ，故四边形面积的最小值为. 故答案为： 14．6 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】利用求出，然后将转化为求解即可. 【详解】 设，由于， 而，则， 所以， ． 故答案为：6 15．(1)； (2)或. 【知识点】已知两点求斜率、已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）求出直线的斜率，利用垂直关系求出直线的斜率及方程. （2）按截距是否为0分类，再结合直线的截距式方程求解. 【详解】（1）由，得直线的斜率为，······2分 由，得直线的斜率为，······4分 所以直线的方程为，即······6分 （2）设直线在上的截距为， 当时，直线过原点及点，方程为，即；······8分 当时，直线的方程为，而直线过点，则，直线的方程为，······12分 所以直线的方程为或.······13分 16．(1)； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、轨迹问题——椭圆、椭圆中的定直线 【分析】（1）应用斜率两点式及，求轨迹方程； （2）根据椭圆的定义有求最值； （3）设直线l的方程为，、，联立轨迹方程，得到韦达公式，写出直线AC、BD的方程，进而整理化简得到，即可证结论. 【详解】（1）设，则，，······2分 由，得，整理得， 故点P的轨迹方程E为.······6分 （2）由（1）知，点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，，， 故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为， 因为，所以点N在椭圆内， 由椭圆的定义得， 当P，N，三点共线(在线段PN上)时取等号， 所以的最大值为；······15分 17．(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）由线面角得到，故，证明出，得到⊥平面，，从而平面； （2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离向量公式求出答案. 【详解】（1）平面，与平面所成角为45°， ，， 又为中点，.······2分 平面，平面，. ，，平面， 平面，······4分 ∵平面，，······6分 又，平面， 平面，······8分 ∵平面，， ，，，平面， 平面，∵平面， ，，平面， 平面. （2）平面，平面， . 又，故两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵，为等边三角形， ∴，∵，∴，，······10分 则，，，， ，， 设平面的法向量为， ，即 取，则，， ，······12分 ，点到平面的距离.······15分 18．(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、过圆上一点的圆的切线方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）设出圆心，由得到方程，求出，得到圆心，进而求出半径，得到圆的标准方程； （2）设，则，设出切线方程，由到切线的距离为1得到方程，又，化简得到，解得，代入切线方程，化简得到，根据到的距离得到或，联立，求出，舍去不合要求的解，求出，故的斜率为； （3）设的方程为，由直线与两圆的位置关系得到不等式，求出，由垂径定理和，解得或，均不满足要求，故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. 【详解】（1）设圆的圆心为，由得 ，解得， 故圆心为，半径为， 故圆的标准方程为；······5分 （2）设，则， 显然过点的切线斜率存在， 过点的切线方程设为， 圆心到切线的距离为1，即， 即， 又，故，即，解得， 故，即，即， 圆心到的距离为2，即， 故或，解得或， 若，联立，解得，与矛盾，舍去， 若，联立，解得或0（舍去）， 故，所以， 故的斜率为；·······10分 （3）不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，理由如下： 设的方程为， 由题意得，圆心到的距离，解得，······12分 圆心到的距离，解得， 故， 由垂径定理得，解得或，均不满足要求， 故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且.······17分 【点睛】过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）根据三角形全等，可证明线线垂直，进而可得线面垂直，进而可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用向量即可求解.或者利用空间垂直关系的转化即可结合三角形的边角关系求解. （3）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解. 【详解】（1）证明：过作直线于，连接. 由题知， ，即， 又平面,平面，······4分 又平面， ，即······6分 （2）方法一：平面平面，平面平面， 平面平面.······8分 以为原点，以的长度为单位长度，以的方向分别为轴，轴，的正 方向建立空间直角坐标系，如图，则. 平面. 为中点，由题知 设， ， ， 又在中，， 所以.······12分 方法二：平面.设，由知，. 平面平面，平面平面平面， 平面，······8分 又平面，又， 平面. ······12分 （3）由（2）知，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则令则，······14分 ，······16分 平面与平面所成角的余弦值为.······17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $