精品解析：辽宁省锦州市渤海大学附属高级中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题

2025～2026学年第一学期高二期中考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教B版选择性必修第一册第一章～第二章第5节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用直线倾斜角概念即可. 【详解】直线垂直于轴，所以其倾斜角为. 故选：B. 2. 已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求得正确答案. 【详解】根据椭圆的定义可知， 所以. 故选：C 3. 若方程表示圆，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二元二次方程表示圆的条件求解即可. 【详解】由题意，得， 解得. 故选：D. 4. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行可得，即可根据平行线间距离公式求解. 【详解】由于与平行，故，解得， 故两直线为，， 故距离为， 故选：C 5. 已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，应用向量法求点到平面的距离即可. 【详解】由题意得，所以点到平面的距离. 故选：B 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理可求得结果. 【详解】由椭圆方程知，，，，则， 由椭圆的定义知，，又， 所以 ， 故选：A. 7. 已知正方体的棱长为2，点是正方体外接球的球面上一点，为正方体内切球的球面上的两点，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】正方体的中心为，由正方体的棱长求出外接球和内切球的半径，由得到是正方体内切球的直径，从而得到，利用向量的三角形加法法则得到和，求解即可. 【详解】设正方体外接球半径为，内切球半径为，正方体的中心为，则， 所以，所以，即， 因为，所以是正方体内切球的直径，所以， 所以 . 故选：B. 8. 已知圆和点，若点在圆上，且，则实数最小值是（ ） A. B. 6 C. -6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据得到方程，分，，三种情况，结合两圆有公共点，从而由圆心距和半径之间的关系得到不等式，求出答案. 【详解】设，由，得， 化简得， 若，此时不存在，舍去， 若，此时点坐标为，但不满足， 故不合要求，舍去， 若，即点在圆上， 圆心为，半径. 圆的圆心为，半径，又点在圆上，故圆与圆有公共点， 所以，解得596， 所以或，即的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若为椭圆的方程，则的值可以为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 1 【答案】AC 【解析】 【分析】将方程化为标准式，依题意可得，即可求出的取值范围，即可判断. 【详解】方程，即， 依题意可得，解得且， 即的取值范围为，结合选项可知A、C符合题意. 故选：AC 10. 设，直线方程为，则（ ） A. 直线过定点 B. 若直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为 C. 直线与圆相交 D. 点到直线的最大距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，将直线方程转化为，由解方程组即可；对于B，令，，得，进一步即可得y轴上的截距；对于C，判断由A的定点在圆内，从而直线与圆相交；对于D，当点与点的连线与垂直时距离最大，利用两点距离公式即可. 【详解】解：对于A项，直线的方程为化为， 由，解得，所以直线恒过定点，A错误； 对于B项，当直线在x轴上的截距为时，令，则，解得， 此时直线l的方程为，则在轴上的截距为，B正确； 对于C项，由A项可知直线过点，因为， 所以点在圆的内部，故直线与圆相交，C正确； 对于D项，当点与点的连线与垂直时，点到直线的距离最大， 且该最大距离为，D正确. 故选：BCD. 11. 如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角的余弦值为 C. D. 若四点共面，则点是线段的中点 【答案】BCD 【解析】 【分析】用基底表示，再结合数量积计算即可求解判断A；由基底法和向量夹角余弦公式计算，再结合异面直线所成角定义即可求解判断B；由基底法计算即可判断C；用基底表示，由共面定理求出即可得解. 【详解】因为， 所以， 取FC中点为M，因为点是三角形的重心， 所以， 所以 ， 所以， 所以 ，所以，故A错误； 因为，所以异面直线所成角即为所成角， 因为， 所以， 所以所成角即异面直线所成角的余弦值为，故B正确； 因为 ， 所以，即，故C正确； ， 因为四点共面，所以， 所以，所以点是线段的中点，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设向量，，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列出方程，解出即可. 【详解】因为，所以，即，故． 故答案为： 13. 过点与圆相切的直线方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】直接分两类：一类切线斜率存在时待定系数法可得，二类斜率不存在时验证直线是不是切线即可. 【详解】易知圆心，半径，且点在圆外， 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，即，解得，故切线方程为. 当直线斜率不存在时，且过，此时直线为，圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相切. 故所求切线方程为或. 故答案为：或. 14. 已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率. 【详解】设椭圆的焦距为，设，所以，因为，所以，即，即， 因为点在椭圆上，所以，所以，所以的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线及点. （1）若与垂直的直线过点，求与的值； （2）若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）由垂直关系及点在线上列出等式求解即可； （2）由点到线的距离公式列出等式，求解即可. 【小问1详解】 因为直线过点， 所以，解得， 因为与垂直， 所以. 【小问2详解】 因为点与点到直线距离相等， 由点到直线的距离公式得. 解得， 当时，的斜截式方程为， 当时，的斜截式方程为. 16. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，M是中点 （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得. （2）由已知证明两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，利用面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 在四棱锥中，由，是的中点，得， 而，，平面，则平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 在直角梯形中，，，又，， 平面，则平面，又平面，于是， 由，得，则，即，，两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， ，，，，则，， 设是平面的法向量，则，令，得. 由（1）知平面，即平面的一个法向量为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 在平面直角坐标系中，点、，动点满足，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）过的两条互相垂直的直线与曲线分别相交于、两点和、两点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由结合平面内两点间的距离公式化简可得出曲线的方程； （2）易知曲线是以点为圆心，半径为的圆，分别取、的中点、，连接、，则，，由勾股定理可得出，利用基本不等式可求得四边形面积的最大值. 【小问1详解】 设，由，得， 化简，得. 所以，曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆， 分别取、的中点、，连接、，则，， 因为，则四边形为矩形，所以，， 由勾股定理可得， 由勾股定理可得，， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，四边形面积的最大值为. 18. 已知椭圆经过点与点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于异于的，两点，且. ①证明：直线过定点； ②求的面积的最大值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可； （2）①设直线方程，联立方程组，利用条件，结合韦达定理，表示出直线方程即可得到结果；②由①的结论，设直线方程为，联立方程组，结合韦达定理，表示出的面积，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 设椭圆为， 因为椭圆经过点与点， 所以，解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①由（1）知，椭圆的方程为， 设，不妨令在轴上方， 则， 假设直线斜率不存在，设直线方程为， 联立方程，可得， 所以解得或（舍去）， 所以直线方程为； 假设斜率存在，设直线方程为， 联立方程，得， 所以，， 由， 可得， 解得或， 所以直线方程为或， 所以直线恒过或（舍去）， 综上，直线恒过定点. ②由上述可知，当直线斜率不存在时，， 设定点为点，则， 所以； 当直线斜率存在时，，则设方程为， 联立得， 则，， 所以， 设，则， 所以， 由函数在上单调递增知， 所以，当且仅当，即时取等， 故的面积的最大值为. 19. 在三棱台中，平面，，D，E分别为CA，CB的中点. （1）证明：平面； （2）已知，F为线段AB上的动点（包括端点）. ①求三棱台的体积； ②求与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据中位线可得线线平行，再由线面平行的判定定理得解； （2）①证明四边形为菱形，从而可得出棱台的高，再由棱台体积公式求解； ②建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法，结合二次函数最值得解. 【小问1详解】 证明：设交于点G，连接EG，如图， 在三棱台中，，， 又D为AC的中点， 所以，，四边形是平行四边形，G为的中点. 又E为BC的中点，所以，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 ①连接BD， 因为平面，且平面，所以平面平面， 因为，D为CA的中点，所以， 又平面平面，平面，所以平面， 由平面，所以， 又，，，平面，所以平面， 由平面，所以，故四边形为菱形，， 所以三棱台的体积为. ②如图所示建立平面直角坐标系，则，，，， 不妨设，则，， 设平面的一个法向量为， 则，得，令，可得， 设与平面所成角为， 则，当且仅当时，等号成立， 所以与平面所成角的正弦值的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第一学期高二期中考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教B版选择性必修第一册第一章～第二章第5节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知是椭圆左､右焦点，是上一点，若，则（ ） A 6 B. 8 C. 10 D. 12 3. 若方程表示圆，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为2，点是正方体外接球的球面上一点，为正方体内切球的球面上的两点，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知圆和点，若点在圆上，且，则实数的最小值是（ ） A. B. 6 C. -6 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若为椭圆的方程，则的值可以为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 1 10. 设，直线的方程为，则（ ） A 直线过定点 B. 若直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为 C. 直线与圆相交 D. 点到直线的最大距离为 11. 如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角的余弦值为 C. D. 若四点共面，则点是线段的中点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设向量，，若，则______． 13. 过点与圆相切的直线方程为__________. 14. 已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线及点. （1）若与垂直的直线过点，求与的值； （2）若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 16. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，M是的中点 （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 在平面直角坐标系中，点、，动点满足，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）过的两条互相垂直的直线与曲线分别相交于、两点和、两点，求四边形面积的最大值. 18. 已知椭圆经过点与点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于异于的，两点，且. ①证明：直线过定点； ②求的面积的最大值. 19. 在三棱台中，平面，，D，E分别为CA，CB中点. （1）证明：平面； （2）已知，F为线段AB上的动点（包括端点）. ①求三棱台的体积； ②求与平面所成角的正弦值的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $