25.7相似多边形和图形的位似（基础篇）练习2025-2026学年冀教版数学九年级上册

25.7相似多边形和图形的位似 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、相似多边形 1. 定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 2. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。 3. 性质： · 相似多边形的对应角相等。 · 相似多边形的对应边成比例。 · 相似多边形周长的比等于相似比。 · 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 4. 判定：如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似。（对于三角形，有更简便的判定方法，如SSS, SAS, AA等） 二、图形的位似 1. 定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2. 位似图形的性质： · 位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 · 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上。 · 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 · 位似图形的对应边平行（或在同一条直线上）。 3. 利用位似变换作图： · 确定位似中心。 · 分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长（或反向延长）。 · 根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点。 · 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形。 4. 以坐标原点为位似中心的位似变换： · 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 ( k )，那么位似图形对应点的坐标的比等于 ( k ) 或 ( -k )。即若原图形的某一点坐标为 ((x, y))，则其位似图形对应点的坐标为 ((kx, ky)) 或 。 型 习 练 题 相似多边形 1．将以下多边形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的图形，变化前后的两个图形不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似多边形的判定，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键． 利用相似多边形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的两个图形相似，进而判断即可． 【详解】解：∵矩形对应边向外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等， ∴变化前后的两个矩形不相似， ∵三角形、菱形、正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等， ∴变化前后的两个三角形、菱形、正方形相似， 故选：C． 2．已知，如图，四边形四边形，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质． 根据相似图形的性质得到，根据多边形内角和计算即可． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为36，则四边形的周长为（ ） A．16 B．24 C．54 D．81 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，位似图形的周长比等于位似比，理解位似的性质是解题的关键．根据位似比等于相似比，其对应的周长比等于相似比回答即可． 【详解】解：∵四边形和四边形是位似图形，位似比为， ∴四边形和四边形的周长比为， ∵四边形的周长为36， ∴四边形的周长为． 故选：C． 4．如图，五边形五边形，若，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 根据相似多边形的性质，即相似多边形的对应角相等，对应边成比例来进行判断． 【详解】解： 五边形五边形， ，，． 已知，，则． 选项A：，错误，该选项不符合题意； 选项B：，错误，该选项不符合题意； 选项C： ，即正确，符合题意； 选项D：，，而不是，选项不符合题意； 故选C． 5．若两个相似六边形的面积比为，则它们的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵两个相似六边形的面积比为， ∴相似比的平方为， ∴相似比为． 故选：B 位似图形相关概念 6．如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质可得，则可证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵与是位似图形，是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，下列说法中，错误的是（    ） A． B． C． D．C、O、三点在同一条直线上 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质．根据位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵把放大为原图形的2倍得到， ∴，，C、O、三点在同一条直线上，故A，C，D正确，不符合题意； ∴，， ∴， ∴，故B错误，符合题意； 故选：B 8．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长是2，则四边形的周长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握位似图形的周长比等于相似比是解题的关键．根据位似图形的性质可得，然后推出，得到，那么四边形的周长与四边形的周长的比等于，即可求解． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，且， ， ， ， ∴四边形的周长与四边形的周长的比为， ∵四边形的周长是2， ∴四边形的周长为6． 故选：B． 9．下列说法不正确的是（   ） A．两个相似形的周长比等于它们的相似比 B．任意两个矩形都相似 C．所有的正方形都是形状相同的图形 D．成位似关系的两个图形是相似形 【答案】B 【分析】此题主要考查了相似图形的判定，熟练应用判定方法是解题关键．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A、两个相似形的周长比等于它们的相似比，说法正确，不符合题意； B、矩形的相似需满足对应边成比例且对应角相等．虽然所有矩形角均为直角，但若长宽比不同（如与的矩形），对应边不成比例，故不相似．因此“任意两个矩形都相似”错误，故此选项符合题意； C、所有正方形边长相等且角均为直角，形状完全相同，仅大小不同，故均为相似图形．此说法正确，故此选项不符合题意； D、位似图形通过缩放和平移得到，必为相似形．此说法正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 10．如图，与是位似图形，点是位似中心，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方，位似图形是相似图形的一种特殊情况，根据与是位似图形，且位似比是，可知，再根据即可求出． 【详解】解：与是位似图形， ， ， ， ， ， ． 故选： C． 求两个位似图形的相似比 11．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形的性质，相似图形的性质，把握相似图形的周长比等于其相似比是解题关键． 由位似比推出相似比，进而得出周长比． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，， ， 与的相似比为， 与的周长比为． 故选：A． 12．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形的周长之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似的概念、位似多边形的性质等知识点，先根据题意求出两个相似多边形的相似比，再根据相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形位似，位似中心为点O，且， ∴即四边形与四边形位似比为， ∴四边形与四边形的周长之比是． 故选：A． 13．如图，在平面直角坐标系中，若与是位似图形，位似中心是原点O．若，，，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出位似比，再利用位似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵与是位似图形，位似中心是原点O， ∴， ∴， ∵， ∴点B的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简，用勾股定理解三角形，利用相似求坐标，求两个位似图形的相似比等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 14．如图，与位似，点为位似中心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．根据位似图形的概念得到，进而求出，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵与位似，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 15．如图，与位似，点是它们的位似中心，且，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，由题意得：，且，推出，即可判断； 【详解】解：由题意得：，且， ∴相似比为， ∴，故②正确，③错误； ∴，故④错误； ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 故选：B 判断位似中心 16．如图，在的方格纸中，点A，B，C，D均在格点上，线段与线段位似，则下面四点中，可能是它们的位似中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了找位似中心，连接、并延长，则交点即为它们的位似中心，结合图形即可得解． 【详解】解：连接、并延长，如图：交点即为它们的位似中心， ∴它们的位似中心为， 故选：D． 17．如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的位似中心，结合与是位似图形，故连接，它们都经过点，即可作答． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴连接，它们都经过点，如图所示： 即位似中心为点， 故选：A． 18．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【答案】D 【分析】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键．根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【详解】解：连接，交于点O， ∴点O是位似中心， 故选：D． 19．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与的延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与的延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：D． 20．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，是由经过位似变换得到的，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知坐标得出位似比，进而求出位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接并延长，交轴于点， ， 是由经过位似变换得到的， 相似比为， 则，即， 解得． 故位似中心P的坐标为． 故选：A. 【点睛】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键． 画位似图形 21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请以原点为位似中心，在轴上方画出的位似（点、、的对应点分别为点、、），使得与的相似比为． 【答案】见解析 【分析】本题考查画位似图形，根据位似图形的性质找到对应点，然后顺次连接即可画出图形． 【详解】解：如图，即为所求 22．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均为格点（网格线的交点）． (1)以O为位似中心，在网格中画出的异侧位似图形，且满足与的位似比为； (2)若的面积为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了位似的作图和相似三角形的性质，正确作图是关键． （1）根据位似的作图方法作图即可； （2）根据位似图形的相似比进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：与的位似比为， 与的面积比为． 的面积为， 的面积为． 23．如图，的顶点都在网格点上，点B的坐标． (1)以点O为位似中心，把按放大在y轴的左侧，画出放大后的； (2)点A的对应点D的坐标是 ； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作图-位似变换，掌握位似的定义和性质是解题的关键． （1）位似中心为点O，根据位似比，连接，，并反向延长一倍，在y轴的左侧，即可求解； （2）根据题意求出点A的坐标，再根据位似比，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵点A的坐标为， ∴点A的对应点D的坐标是， 故答案为：． 24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在轴右侧，以原点为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为（点，，的对应点分别为点）； (2)在（1）的条件下，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查了作位似图形，相似三角形的性质， 对于（1），连接，并延长至，使，同理得到点，再依次连接可得答案； 对于（2），先求出，再根据相似比可得面积比，进而得出答案. 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：，，， ， ∵与的相似比为， ∴与的面积比为， ∴面积． 25．如图，在平面直角坐标系中，方格图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上． (1)画出关于x轴对称的； (2)以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出一个，使它与位似，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图和位似作图，熟练掌握轴对称的性质和位似的性质，是解题的关键． （1）先作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）先作出点、、的对应点、、，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.7相似多边形和图形的位似 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、相似多边形 1. 定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 2. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。 3. 性质： · 相似多边形的对应角相等。 · 相似多边形的对应边成比例。 · 相似多边形周长的比等于相似比。 · 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 4. 判定：如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似。（对于三角形，有更简便的判定方法，如SSS, SAS, AA等） 二、图形的位似 1. 定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2. 位似图形的性质： · 位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 · 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上。 · 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 · 位似图形的对应边平行（或在同一条直线上）。 3. 利用位似变换作图： · 确定位似中心。 · 分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长（或反向延长）。 · 根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点。 · 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形。 4. 以坐标原点为位似中心的位似变换： · 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 ( k )，那么位似图形对应点的坐标的比等于 ( k ) 或 ( -k )。即若原图形的某一点坐标为 ((x, y))，则其位似图形对应点的坐标为 ((kx, ky)) 或 。 型 习 练 题 相似多边形 1．将以下多边形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的图形，变化前后的两个图形不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，如图，四边形四边形，，，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为36，则四边形的周长为（ ） A．16 B．24 C．54 D．81 4．如图，五边形五边形，若，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若两个相似六边形的面积比为，则它们的相似比为（    ） A． B． C． D． 位似图形相关概念 6．如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，下列说法中，错误的是（    ） A． B． C． D．C、O、三点在同一条直线上 8．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长是2，则四边形的周长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 9．下列说法不正确的是（   ） A．两个相似形的周长比等于它们的相似比 B．任意两个矩形都相似 C．所有的正方形都是形状相同的图形 D．成位似关系的两个图形是相似形 10．如图，与是位似图形，点是位似中心，，则（   ） A． B． C． D． 求两个位似图形的相似比 11．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（ ） A． B． C． D． 12．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形的周长之比是（   ） A． B． C． D． 13．如图，在平面直角坐标系中，若与是位似图形，位似中心是原点O．若，，，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 14．如图，与位似，点为位似中心，若，则（    ） A． B． C． D． 15．如图，与位似，点是它们的位似中心，且，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 判断位似中心 16．如图，在的方格纸中，点A，B，C，D均在格点上，线段与线段位似，则下面四点中，可能是它们的位似中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 17．如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 18．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 19．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 20．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，是由经过位似变换得到的，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 画位似图形 21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请以原点为位似中心，在轴上方画出的位似（点、、的对应点分别为点、、），使得与的相似比为． 22．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均为格点（网格线的交点）． (1)以O为位似中心，在网格中画出的异侧位似图形，且满足与的位似比为； (2)若的面积为，求的面积． 23．如图，的顶点都在网格点上，点B的坐标． (1)以点O为位似中心，把按放大在y轴的左侧，画出放大后的； (2)点A的对应点D的坐标是 ； 24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在轴右侧，以原点为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为（点，，的对应点分别为点）； (2)在（1）的条件下，求的面积． 25．如图，在平面直角坐标系中，方格图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上． (1)画出关于x轴对称的； (2)以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出一个，使它与位似，且相似比为． 学科网（北京）股份有限公司 $