25.5相似三角形的性质（基础篇）练习2025-2026学年冀教版数学九年级上册

25.5相似三角形的性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 对应角相等 若，则，，。 2. 对应边成比例 若，相似比为 (k)，则。 3. 对应高的比等于相似比 若，相似比为 (k)，(AD) 和 (A'D') 分别为对应边 (BC) 和 (B'C') 上的高，则。 4. 对应中线的比等于相似比 若，相似比为 (k)，(AE) 和 (A'E') 分别为对应边 (BC) 和 (B'C') 上的中线，则。 5. 对应角平分线的比等于相似比 若，相似比为 (k)，(AF) 和 (A'F') 分别为和的角平分线，则。 6. 周长的比等于相似比 若，相似比为 (k)，则，其中 (C) 表示三角形的周长。 7. 面积的比等于相似比的平方 若，相似比为 (k)，则，其中 (S) 表示三角形的面积。 型 习 练 题 证明三角形的对应线段成比例 1．如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 4．在直角坐标平面内，一点光源位于处，线段垂直于x轴，D为垂足，，则的长为（    ）． A． B．3 C．4 D． 5．如图， ∽ ，且 ，则 与 的相似比为（    ） A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2 重心的有关性质 6．下列说法正确的是（   ） A．三角形只有一条角平分线 B．三角形的一个外角等于两个内角的和 C．三角形的重心一定在三角形内部 D．直角三角形只有一条高 7．如图，在中，点O是三角形的重心，则（　　） A． B． C． D． 8．如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 9．如图，G是的重心，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A．15 B．25 C．20 D．10 10．在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（　　） A．2 B．3 C．6 D．12 利用相似三角形性质求解 11．如图，，点在上，已知，．则的长为 ． 12．已知两个相似三角形的对应中线比为，较大的三角形的周长为，则较小的三角形的周长为 ． 13．已知与相似，且，如果，，，，那么 ． 14．两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是 ． 15．若，，若的面积是5，则的面积是 ． 相似三角形的综合问题 16．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标．    17．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且于F． （1）求证：△BEF∽△CFG； （2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长． 18．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC． （1）求证：AB=GD； （2）当CG=EG时，且AB=2，求CE． 19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．    (1)在图①中，画的高线． (2)在图②中，画的中线． (3)在图③中，画的角平分线． 20．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF． （1）求证：△AFE∽△ADC． （2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.5相似三角形的性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 对应角相等 若，则，，。 2. 对应边成比例 若，相似比为 (k)，则。 3. 对应高的比等于相似比 若，相似比为 (k)，(AD) 和 (A'D') 分别为对应边 (BC) 和 (B'C') 上的高，则。 4. 对应中线的比等于相似比 若，相似比为 (k)，(AE) 和 (A'E') 分别为对应边 (BC) 和 (B'C') 上的中线，则。 5. 对应角平分线的比等于相似比 若，相似比为 (k)，(AF) 和 (A'F') 分别为和的角平分线，则。 6. 周长的比等于相似比 若，相似比为 (k)，则，其中 (C) 表示三角形的周长。 7. 面积的比等于相似比的平方 若，相似比为 (k)，则，其中 (S) 表示三角形的面积。 型 习 练 题 证明三角形的对应线段成比例 1．如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：B． 2．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可． 【详解】解：， ， ， A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 3．如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断选项A和B，根据相似三角形的性质即可判断选项C和D． 【详解】A．∵， ∴， 故A符合题意； B．∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴. ， ∴， 故C不符合题意； D．∵， ∴， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键． 4．在直角坐标平面内，一点光源位于处，线段垂直于x轴，D为垂足，，则的长为（    ）． A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合图形，利用相似三角形△的性质解答． 【详解】∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， C点坐标为， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】此题考查了平面直角坐标系的知识，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 5．如图， ∽ ，且 ，则 与 的相似比为（    ） A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2 【答案】A 【分析】根据题意，三角形ΔADE ∽ ΔABC，由AD：DB=2：1，可得到AD：AB=2：3，再根据相似三角形的对应边的比就是相似比，可得答案. 【详解】解：∵AD：DB=2：1 ∴AD：AB=2：3 ∵△ADE∽△ABC, ∴AD：AB=2：3 ∴△ADE与△ABC的相似比为2:3. 故答案为：A. 【点睛】此题考查相似三角形的相似比，熟练掌握相似三角形性质是解题关键. 重心的有关性质 6．下列说法正确的是（   ） A．三角形只有一条角平分线 B．三角形的一个外角等于两个内角的和 C．三角形的重心一定在三角形内部 D．直角三角形只有一条高 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、外角、重心和高的概念，熟练掌握基本概念是解题关键；结合三角形的基本性质逐一分析各选项即可． 【详解】解： 三角形每个角都有一条角平分线，共有三条，故 A错误； 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，而非任意两个内角的和，故 B错误； 三角形的重心是三条中线的交点，中线均在三角形内部，故重心一定在内部，故C正确； 直角三角形有三条高（两条直角边和斜边上的高），故 D错误． 故选：C． 7．如图，在中，点O是三角形的重心，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，重心的概念，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． 延长到G，使，连接推出是的中位线，利用三角形中位线定理，求得，，再证明，推出，据此即可得出结论． 【详解】解：延长到G，使，连接 点O是三角形的重心， 点D是的中点， 是的中位线， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：A． 8．如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】本题主要考查了重心的概念，掌握重心是三角形中线的交点是关键． 根据三角形的重心是三角形中线的交点即可判断重心的位置． 【详解】解：∵， ∴是的中线， ∵三角形的重心是三角形中线的交点， ∴它的重心在线段上． 故选：B． 9．如图，G是的重心，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A．15 B．25 C．20 D．10 【答案】A 【分析】本题考查三角形重心定理，三角形的中线平分面积，三角形的重心到中点的距离等于到顶点距离的一半，据此求解即可． 【详解】∵G是的重心， ∴，， ∵， ∴，． 故选：A． 10．在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（　　） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】此题考查了重心的性质．根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果． 【详解】解：三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍， ． 故选：B． 利用相似三角形性质求解 11．如图，，点在上，已知，．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，由相似三角形的性质，得到，代入有关数据即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 12．已知两个相似三角形的对应中线比为，较大的三角形的周长为，则较小的三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．利用相似三角形对应中线的比等于相似比，周长的比也等于相似比，根据较大的三角形的周长求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线比为， ∴相似比为， ∴周长的比也为， 设较小的三角形的周长为， 则， 解得． 故较小的三角形的周长为． 故答案为：． 13．已知与相似，且，如果，，，，那么 ． 【答案】18或24 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解决本题的关键． 根据题意分为和进行求解即可． 【详解】解：当时，则， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∴， 故答案为：18或24． 14．两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，两个相似三角形的周长比等于相似比，由最长边之比得出相似比，再根据周长之和求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的最长边分别是和， ∴这两个相似三角形的相似比为， ∴这两个相似三角形的周长比为， ∵这两个相似三角形的周长之和为， ∴较小三角形的周长是， 故答案为：． 15．若，，若的面积是5，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质得到，再由，即可得到的面积． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 相似三角形的综合问题 16．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标．    【答案】作图见解析，C点坐标为：（2，0）或（4，1）或（2.5，0）． 【分析】由于点不确定，故分，，三种情况进行讨论． 【详解】解：点的坐标为， ，，，． 如图，当时， ，即， ，， ； 当时， ，即，解得， ， ； 当时， ，即，解得， ； 综上所述，点坐标为：或或．    【点评】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 17．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且于F． （1）求证：△BEF∽△CFG； （2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长． 【答案】（1）见解析  （2） 【分析】（1）证明∠BEF=∠CFG，结合∠B=∠C=可证得△BEF∽△CFG； （2）由△BEF∽△CFG，可得，代入数据可得CG． 【详解】解：(1)∵ABCD是正方形，于F ∴∠B=∠C=∠EFG= ∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG= ∴∠BEF=∠CFG ∴△BEF∽△CFG (2)解: ∵△BEF∽△CFG ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了在正方形中进行一线三角形相似的证明，并利用相似进行线段长度的计算，熟知以上模型是解题的关键． 18．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC． （1）求证：AB=GD； （2）当CG=EG时，且AB=2，求CE． 【答案】（1）见解析；（2）CE=. 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE∥AB，AB=2DE，根据平行线的性质得到∠ABF=∠DGF，证明△ABF≌△DGF，根据全等三角形的性质证明结论； （2）证明△GEC∽△CBA，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵D，E是AC，BC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AB，AB=2DE， ∴∠ABF=∠DGF， ∵F为AD中点， ∴AF=DF， 在△ABF和△DGF中， ∴△ABF≌△DGF（AAS）， ∴AB=GD； （2）∵AB=2， ∴CD=2，DE=1， ∴GE=3， ∵CA=CB， ∴∠CAB=∠CBA， ∵CG=EG， ∴∠GEC=∠GCE， ∵DE∥AB， ∴∠GEC=∠CBA， ∴△GEC∽△CBA， 设CE=x， 则BC=2x， ∴，即， 解得：，（负值舍去） ∴CE=. 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理相似三角形的考查，熟练掌握中位线及相似三角形的性质定理是解决本题的关键． 19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．    (1)在图①中，画的高线． (2)在图②中，画的中线． (3)在图③中，画的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据三角形的高的定义，结合正方形或矩形相邻两条边垂直的性质，即可求得答案． （2）根据全等三角形的判定及性质，可求得的边的中点． （3）根据相似三角形的判定及性质，结合角平分线的定义即可求得答案． 【详解】（1）如图所示，根据图形可知，结合三角形的高的定义，可知即为的高线．        （2）图所示．      在和中 ∴． ∴为的中线．    （3）如图所示，根据勾股定理可求得，，．    ∵， ∴． ∴． ∴为的角平分线．    【点睛】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理，以及三角形的高、中线、角平分线的定义，牢记矩形的性质、全等三角形的判定方法及性质、相似三角形的判定方法及性质是解题的关键． 20．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF． （1）求证：△AFE∽△ADC． （2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）EB=2FD． 【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAD=∠DAC，再根据∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，进而根据两角分别相等的三角形相似可证； （2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，进而根据等角对等边得出AE=AF，再根据及△AFE∽△ADC得出，再由，得出，即可得到结果． 【详解】解：（1）∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠DAC， ∵∠EFD=∠BDF， ∴180°-∠EFD=180°-∠BDF， ∴∠AFE=∠ADC， 又∵∠BAD=∠DAC， ∴△AFE∽△ADC； （2）由（1）得，△AFE∽△ADC， ∴∠AEF=∠C， ∵∠AFE=∠C， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴EB=2FD． 【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定．第（1）问能根据角的等量代换得出角相等及熟练掌握相似三角形的判定是解题关键；第（2）问根据相似得出比例式及根据比例式得出线段的关系是解的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $