2025-2026学年九年级上学期数学期末自编模拟卷01（福建厦门专用）

九年级数学上学期期末模拟卷01（练习卷） （福建厦门专用，九年级上册全册） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考试时间：90分钟；命题人：学科网 冬鞠制作 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．测试范围：九年级上册全册（一元二次方程-概率） 4．注：本卷以去年质检卷为母题，利用各地真题重组而成，难度系数0.6，贴合去年质检真题 一、单选题 1．一元二次方程的根的情况是(   ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，、是的直径，，交于点，，则的度数为（ ） A．20° B．40° C．60° D．70° 4．如图，是由绕着点顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．党的二十大报告指出：从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2022年我国约为121万亿元，如果每年按相同的增长率增长，2024年我国约为135万亿元，若设每年增长率为x，则方程可列为（    ） A． B． C． D． 6．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段的长度以及从转动到的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即或或等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（　　） A． B． C． D． 7．下列事件中，是必然事件的是（   ） A．买一张电影票，座位号是3的倍数 B．掷一枚骰子，掷出点数是奇数 C．367人中有两人的生日相同 D．一名射击运动员每次射击的命中环数 8．如图，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子滑车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．下图记录了原子滑车在该路段运行的与的三组数据、、，根据上述函数模型和数据，可推断出，此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离满足（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．书架上有2本英语书，3本数学书，4本语文书，从中任意取出一本是数学书的概率是 ． 10．已知是方程的解，则的值为 ． 11．在中，，，，D是AB中点，点F在射线AC上，连接DF，将沿DF翻折，点A对应点为点G，当时，线段AG的长为 ． 12．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为 m2． 13．抛物线的顶点坐标是 ． 14．如图，已知、是⊙O的直径，，，则的度数为 度． 15．已若，则k= ． 16．如图，抛物线的顶点为P(－2，2)与y轴交于点A(0，3)，若平移该抛物线使其顶P沿直线移动到点，点A的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为 三、解答题 17．关于的方程有实根． 求的取值范围； 设、是方程的两个实数根，且满足，求实数的值． 18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F (1)求证：CF = AD； (2)若AD = 3，AB = 5，当BC的长为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上？为什么？ 19．（1）计算：； （2）先化简，再代入求值：，其中． 20．如图，在中，，点D为边上一点． (1)尺规作图：在边上找一点E，使得． (2)在（1）的条件下以点E为圆心，为半径的圆分别与，交于M，N点，且．求证：与相切． 21．某公司对应聘者A、B进行面试，并按三个方面给应聘者打分，每方面满分为20分，打分结果如下表：（单位：分） 应聘者 专业知识 工作经验 仪表形象 A 15 18 12 B 18 16 14 (1)如果按三项得分的平均成绩在A、B两人中录用一人，通过计算说明谁将被录用？ (2)如果公司将专业知识、工作经验和仪表形象三项成绩得分按3∶6∶1的比例确定两人的成绩，通过计算说明谁将被录用？ 22．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： (1)若设每件降价x元，则每件商品利润___________元，每星期可售出___________件；（用含x的代数式表示） (2)若每星期售出商品的利润为y元，则y与x的函数关系式___________； (3)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 23．综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探究活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． (1)【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图1放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①的度数等于______； ②线段，，之间的数量关系为______． (2)【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图2中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明． (3)【拓展应用】如图3，已知，，．小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出以、、为三边构成的三角形的面积． 24．如图，为的外接圆，点B为的中点，点M为上一点，连接，且，连接交于D点，过M点作的切线交延长线于E点． (1)判断的形状； (2)求证：； (3)已知的半径为，且平分； ①求； ②是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．（结果用表示） 25．【问题提出】如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有多少种不同的选择方法？ 【问题探究】为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论. 探究一：如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，会有多少种不同的选择方法？ 当，时，显然有种不同的选择方法； 当，时，有，；，；，这种不同的选择方法； 当，时，有________种不同的选择方法； 由上可知：从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法. 探究二：如果从，个连续的自然数中选择个，个……个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？ 我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空. ... 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法； 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法； 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法； 由上可知：如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有______种不同的选择方法. 【问题解决】如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法. 【实际应用】我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题. （1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上，他共有______种不同的选择. （2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排号到号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则一共有______种不同的选择方法. 【拓展延伸】如图，将一个的图案放置在的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形，共有______种不同的放置方法. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期末模拟卷01（练习卷） （福建厦门专用，九年级上册全册） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考试时间：90分钟；命题人：学科网 冬鞠制作 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．测试范围：九年级上册全册（一元二次方程-概率） 4．注：本卷以去年质检卷为母题，利用各地真题重组而成，难度系数0.6，贴合去年质检真题 一、单选题 1．一元二次方程的根的情况是(   ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系求解即可． 【详解】解：由可得， 则方程有两个不相等的实数根， 故选：A 【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，解题的关键是掌握相关基础知识，一元二次方程的判别式，当时有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根，当时，无实数根． 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质：若二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选A． 3．如图，、是的直径，，交于点，，则的度数为（ ） A．20° B．40° C．60° D．70° 【答案】C 【分析】先根据圆周角定理可得∠EOD＝2∠A＝40°，再根据平行线的性质可得∠ADB＝∠A＝20°，由三角形外角定理即可得出答案． 【详解】解：∵∠A＝20°， ∴∠EOD＝2∠A＝40°， 又∵， ∴∠ADB＝∠A＝20°， ∴∠AFC＝∠EOD＋∠ADB＝40°＋20°＝60°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练应用圆周角定理进行求解是解决本题的关键． 4．如图，是由绕着点顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键．根据旋转的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵是由绕着点旋转得到的， ∴，，，， 由已知条件无法得到， 故选： D． 5．党的二十大报告指出：从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2022年我国约为121万亿元，如果每年按相同的增长率增长，2024年我国约为135万亿元，若设每年增长率为x，则方程可列为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查关于一元二次方程增长率的实际应用，设每年增长率为x，根据2022年我国约为121万亿元， 2024年我国约为135万亿元，列出方程即可． 【详解】解：设每年增长率为x，根据题意可列方程为： ， 故选：C． 6．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段的长度以及从转动到的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即或或等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称的性质解答即可． 【详解】解：∵或或， ∴由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为或或， 故选：C． 【点睛】此题考查中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答． 7．下列事件中，是必然事件的是（   ） A．买一张电影票，座位号是3的倍数 B．掷一枚骰子，掷出点数是奇数 C．367人中有两人的生日相同 D．一名射击运动员每次射击的命中环数 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，根据随机事件与必然事件的定义逐项分析即可得解，熟练掌握相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、买一张电影票，座位号是3的倍数，是随机事件，不符合题意； B、掷一枚骰子，掷出点数是奇数，是随机事件，不符合题意； C、367人中有两人的生日相同，是必然事件，符合题意； D、一名射击运动员每次射击的命中环数，是随机事件，不符合题意； 故选：C． 8．如图，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子滑车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．下图记录了原子滑车在该路段运行的与的三组数据、、，根据上述函数模型和数据，可推断出，此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图得A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式，再根据对称轴或者顶点可求出答案． 【详解】由图得A（0，2）、B（2，1）、C（4，4），代入解析式： ，解得，则， 当时，滑车运行到最低点，所以，即， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 二、填空题 9．书架上有2本英语书，3本数学书，4本语文书，从中任意取出一本是数学书的概率是 ． 【答案】 【分析】直接根据概率公式，计算即可得出答案． 【详解】解：从中任意取出一本是数学书的概率． 故答案为： 【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解本题的关键．概率公式=所求情况数与总情况数之比． 10．已知是方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，根据题意得出关于的一元一次方程是解此题的关键． 将代入方程中，通过计算求解的值． 【详解】解：是方程的解， ， ， ， ； 故答案为：． 11．在中，，，，D是AB中点，点F在射线AC上，连接DF，将沿DF翻折，点A对应点为点G，当时，线段AG的长为 ． 【答案】 【分析】由勾股定理求得AB的长，延长GD交AC于E，则DE∥BC，DE是△ABC的中位线，可得AE、DE、DG的长，再由勾股定理解Rt△AGE即可解答； 【详解】解：由题意作图如下，延长GD交AC于E， · Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=， ∵GE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC， ∵D是AB中点，∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC=3，AE=AC=4， 由折叠性质可得：DG=AD=AB=5， Rt△AGE中，EG=ED+DG=8，由勾股定理得：AG=， 故答案为：； 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的中位线，折叠的性质，正确作出辅助线是解题关键． 12．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为 m2． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可． 【详解】解：把正六边形分成6个全等的正三角形，易得每个正三角形的边长为，高为， ∴正六边形的面积为， 故答案为：. 13．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标为是解题的关键． 14．如图，已知、是⊙O的直径，，，则的度数为 度． 【答案】 【分析】根据对顶角的性质，再结合等弧所对的圆心角相等，即可求解． 【详解】 故答案为：64 【点睛】本题考查了对顶角的性质，以及圆心角，弧，弦的关系，解题关键是熟练掌握等弧所对的圆心角相等． 15．已若，则k= ． 【答案】-2 【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件即可求出k的值． 【详解】解：x2+kx﹣15＝（x+3）（x+m）＝x2+（m+3）x+3m， ∴k＝m+3，3m＝﹣15， 解得：m＝﹣5，k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．如图，抛物线的顶点为P(－2，2)与y轴交于点A(0，3)，若平移该抛物线使其顶P沿直线移动到点，点A的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为 【答案】12． 【分析】连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD，PP′的长，求出面积即可． 【详解】解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D， 由题意可得出：AP∥A′P′，AP＝A′P′， ∴四边形APP′A′是平行四边形， ∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2）， ∴PO2，∠AOP＝45°， 又∵AD⊥OP， ∴△ADO是等腰直角三角形， ∴PP′＝22＝4， ∴AD＝DO＝sin45°•OA3， ∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：412． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法和勾股定理等知识，根据已知得出AB， 是解题关键． 三、解答题 17．关于的方程有实根． 求的取值范围； 设、是方程的两个实数根，且满足，求实数的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用根的判别式得到，然后解不等式即可． （2）利用根与系数的关系得到，，再由，得到，然后解关于a的一次方程即可． 【详解】根据题意得， 解得；根据题意得，， 而， 即， 所以， 解得． 【点睛】考查一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系, 熟记公式是解决本题的关键. 18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F (1)求证：CF = AD； (2)若AD = 3，AB = 5，当BC的长为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2)2，理由见解析 【分析】（1）根据证明与全等即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，由（1）可知，即可求解． 【详解】（1）， ，， 为的中点， ， 在与中， ， ， ； （2）当点B在线段AF的垂直平分线上时，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 19．（1）计算：； （2）先化简，再代入求值：，其中． 【答案】（1）8；（2）， 【分析】本题考查有理数的混合运算，分式的化简求值： （1）利用有理数的混合运算的法则进行计算即可； （2）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，再代值计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 20．如图，在中，，点D为边上一点． (1)尺规作图：在边上找一点E，使得． (2)在（1）的条件下以点E为圆心，为半径的圆分别与，交于M，N点，且．求证：与相切． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，，可知，进而可知点在线段的垂直平分线上，因此线段的垂直平分线与的交点即为点； （2）连接，由垂直平分，可得，利用圆周角定理可得， 结合可得，进而依次推出，，即可证明与相切． 【详解】（1）解：如图，连接，作的垂直平分，交于点E，点E即为所求； （2）证明：如图，连接，， 由的作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∵是半径， ∴也是的半径， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵也是的半径， ∴与相切． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，圆周角定理，切线的判定等．解第一问的关键是作出的垂直平分线，解第二问的关键是设法证明． 21．某公司对应聘者A、B进行面试，并按三个方面给应聘者打分，每方面满分为20分，打分结果如下表：（单位：分） 应聘者 专业知识 工作经验 仪表形象 A 15 18 12 B 18 16 14 (1)如果按三项得分的平均成绩在A、B两人中录用一人，通过计算说明谁将被录用？ (2)如果公司将专业知识、工作经验和仪表形象三项成绩得分按3∶6∶1的比例确定两人的成绩，通过计算说明谁将被录用？ 【答案】(1)应录用B (2)应录用A 【分析】（1）分别计算出两人的平均分，再比较，看谁的分数高，分数高的就录用； （2）根据加权平均数计算A，B应聘者的最后得分，再比较，看谁的分数高，分数高的就录用． 【详解】（1）解：A的得分：（15+18+12）÷3=15 B的得分：（18+16+14）÷3=16， ∵15<16 ∴应录用B． （2）解：A的最后得分：=16.5， B的最后得分：=16.4 ∵16.5>16.4， ∴应录用A． 【点睛】本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 22．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： (1)若设每件降价x元，则每件商品利润___________元，每星期可售出___________件；（用含x的代数式表示） (2)若每星期售出商品的利润为y元，则y与x的函数关系式___________； (3)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2) (3)降价元时，利润最大且为6125元 【分析】本题主要考查了列代数式、二次函数的应用等知识点，正确列出函数解析式成为解题的关键． （1）根据“每件商品利润为售价降价进价”即可确定每件商品的利润，每星期售出为300加上多卖出件数即可确定每星期的售量； （2）根据“利润单件利润售出的总件数”列出函数表达式； （3）先求出（2）所得解析式的对称轴，然后求出最大值即可． 【详解】（1）解：设每件降价x元，则每件商品利润为：（元），每星期可售出：件． 故答案为：；． （2）解：． 因为降价要确保盈利，所以，解得：． 故答案为：． （3）解：∵， ∴当元时，y有最大值， 元， ∴当降价元时，利润最大且为6125元． 23．综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探究活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． (1)【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图1放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①的度数等于______； ②线段，，之间的数量关系为______． (2)【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图2中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明． (3)【拓展应用】如图3，已知，，．小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出以、、为三边构成的三角形的面积． 【答案】(1)①45；② (2)仍然成立，见解析 (3)或24 【分析】（1）①根据旋转的性质得到，然后证明出，然后根据全等三角形的性质得到； ②根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，然后根据线段的和差求解即可； （2）将绕点旋转顺时针得，与重合，根据题意证明出，得到，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论：和，首先根据旋转的性质构造全等三角形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 故答案为：45； ②绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：仍然成立 ， 如图所示，将绕点旋转顺时针得，与重合， ，，， 又， ，即，，三点在一条直线上， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ， ； （3）解：如图所示，当时， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ，， 由题意可得，， ，， ， 由（1）得， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ∴，即以、、为三边构成的三角形的面积为6； 如图所示，当时， 将绕点顺时针旋转得到， ， ，， ， ， ， ， ，则， 由（1）得， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ∴， ∴，即以、、为三边构成的三角形的面积为24． 综上所述，以、、为三边构成的三角形的面积为24或6． 【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 24．如图，为的外接圆，点B为的中点，点M为上一点，连接，且，连接交于D点，过M点作的切线交延长线于E点． (1)判断的形状； (2)求证：； (3)已知的半径为，且平分； ①求； ②是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．（结果用表示） 【答案】(1)等边三角形 (2)见解析 (3)①见解析；②为定值 【分析】（1）根据圆周角定理即可求解； （2）连接并延长交于N，根据切线的性质及等边三角形的性质即可证明； （3）①连接，由等边三角形的性质及切线的性质易证，利用相似三角形的性质即可求解；②设，则，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵点B为优弧的中点， ， ， 又， 为等边三角形； （2）证明：连接并延长交于N， 为外接圆， ∴O在的中垂线上， 为等边三角形， ∴B、O、N三点共线，即， ， 又∵与相切 ， ， ， ， ； （3）解：①连接， ∵的半径为， ， 平分， ，且， ， ， ∴，即， ②设， ∴， ∴即， 化简得：，即， ∴为定值． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，切线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 25．【问题提出】如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有多少种不同的选择方法？ 【问题探究】为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论. 探究一：如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，会有多少种不同的选择方法？ 当，时，显然有种不同的选择方法； 当，时，有，；，；，这种不同的选择方法； 当，时，有________种不同的选择方法； …… 由上可知：从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法. 探究二：如果从，个连续的自然数中选择个，个……个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？ 我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空. ... 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法； 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法； …… 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法； …… 由上可知：如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有______种不同的选择方法. 【问题解决】如果从，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_______种不同的选择方法. 【实际应用】我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题. （1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上，他共有______种不同的选择. （2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排号到号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则一共有______种不同的选择方法. 【拓展延伸】如图，将一个的图案放置在的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形，共有______种不同的放置方法. 【答案】探究一：；；探究二：；；；；【问题解决】【实际应用】（1）；（2）； 【拓展延伸】35. 【分析】探究一: 观察规律可知，选择方法的数量比数的个数少1，由此可得结果； 探究二：选择个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少2，选择4个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少3，以此类推，选择8个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少7，选择n个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少n-1 [问题解决]将探究二结论中的100换成m即可； [实际应用]（1）将m=7，n=2，代入之前的结论即可; （2）号到号总共13张电影票，将m=13，n=3，代入结论即可； [拓展延伸] 图案向右移动，每次一格，可得横向的放置方法数，图案向下移动，每次一格，可得纵向的放置方法数，两者相乘即为总数. 【详解】探究一: 当，时，由图可知有4种不同的选择方法，根据规律可知，从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有种不同的选择方法； 探究二：选择个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少2, 选择4个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少3， 以此类推，选择8个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少7， 选择n个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少n-1， 故从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有100-2=98种不同的选择方法； 故从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有100-3=97种不同的选择方法； 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有100-7=93种不同的选择方法； …… 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有（100-n+1）种不同的选择方法. [问题解决] 由规律可知，从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有种不同的选择方法. [实际应用]（1）从连续7天选择连续2天，则m=7，n=2，总共有种选择； （2）号到号总共13张电影票，选择3连号，则m=13，n=3，总共有种不同选择； [拓展延伸] 图案向右移动，每次一格，可看作8选2，可得7种放置方法，图案向下移动，每次一格，可看作6选2，可得5种放置方法，故总共7×5=35种放置方法. 【点睛】本题考查探究规律问题，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论是解决此类问题的关键. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $