精品解析：海南省海口市义龙中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025—2026学年度第一学期九年级数学科（第15周）练习题 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 计算的结果是（ ） A. －3 B. 9 C. 3 D. －9 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是( ) A. x≤5 B. x＞5 C. x＞-5 D. x≥5 3. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 当时，代数式的值为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 6. 将一元二次方程化成的形式，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 某药品经过两次降价，每瓶零售价比原来降低了36%，则平均每次降价的百分率是（ ） A. 18% B. 20% C. 30% D. 40% 8. 如图，，若，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，D是的边上的一点，连接．若，，，则等于（ ）． A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 10. 如图，在中，，D是的中点，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将边长为6的等边沿直线折叠，使点与边上的点重合，点、分别在、边上，若，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 12. 平行四边形中，，，，点O为对角线交点，点E为延长线上一动点，连接交于点F，当时，则的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 已知，化简：______． 14. 关于的一元二次方程的两个根分别为和，则的值为______． 15. 如图，在中，对角线，相交于点，是边中点，交于点，则的值为_____． 16. 如图，在中，，高，线段所在的直线向上平移，与、所在直线分别相交于点、，要使得，则直线平移的距离为_____． 三、解答题（共72分） 17. 计算 (1) (2). (3)(tan60°-1)2+. 18. 小林准备进行如下操作实验：把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于，小林该怎么剪？ （2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于．”他的说法对吗？请说明理由． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，是的边上一点． （1）画出，使与关于点成中心对称，并写出点的对应点的坐标； （2）以原点为位似中心，在轴左侧，画出将放大为原来的2倍后的，并分别写出点的对应点的坐标． 20. 王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 0.250 （1）根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_____（保留2位小数）； （2）估计袋中白球的个数； （3）若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 21. 【研学实践】 “五一”节期间，许多露营爱好者在我市某研学基地露营，为了遮阳和防雨，会搭建一种“天幕”，同学们想借此机会利用解直角三角形知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响． 【数据采集】 “天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，，． 【数据应用】 （1）天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到）； （2）下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点E下降的高度（结果精确到）． （参考数据：，，，） 22. 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角顶点放在点P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF(如图1). (1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2). ①求证：△APB∽△DCP； ②求PC、BC的长. (2)探究：将直角尺从图2中位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中(图1是该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答： ① tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由. ② 设AE=x，当△PBF是等腰三角形时，请直接写出x的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期九年级数学科（第15周）练习题 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 计算的结果是（ ） A. －3 B. 9 C. 3 D. －9 【答案】C 【解析】 【分析】直接计算平方即可. 【详解】 故选C. 【点睛】本题考查了二次根号的平方，比较简单. 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是( ) A. x≤5 B. x＞5 C. x＞-5 D. x≥5 【答案】A 【解析】 分析】根据被开方数大于等于0列式求解即可． 【详解】解：根据题意得，5-x≥0， 解得x≤5． 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0列式是解题的关键． 3. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、与是同类二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 当时，代数式的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键．先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 故选：C． 5. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．通过移项将方程化为标准形式后因式分解，再求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 故选：C． 6. 将一元二次方程化成的形式，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将常数项移到右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即加上9，计算即可． 【详解】解：∵ x2-6x=-5 x2-6x+9=-5+9 (x-3)2=4 ∴k=4， 故选：B． 【点睛】本题考查配方法，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 7. 某药品经过两次降价，每瓶零售价比原来降低了36%，则平均每次降价的百分率是（ ） A. 18% B. 20% C. 30% D. 40% 【答案】B 【解析】 【详解】解：设平均每次降低的百分率是x，根据题意得： （1﹣x）2=1﹣36%． 解得：x=0.2=20%或x=1.8=180%（舍去）． 故平均每次降低的百分率是20%． 故选B． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的应用，这是个增长率问题，经过了两次变化，且结果知道，从而可列方程求解． 8. 如图，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，根据题意，，进而求解． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用平行线分线段成比例定理是解本题的关键． 9. 如图，D是的边上的一点，连接．若，，，则等于（ ）． A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用相似三角形的判定得到，从而，结合题意代值求解即可得到，从而由图可知即可得到答案． 【详解】解： D是的边上的一点，，， ， ， ，， ，解得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查利用相似三角形的判定与性质求线段长，熟练掌握字形三角形相似的识别、判定与性质是解决问题的关键． 10. 如图，在中，，D是的中点，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直角三角形斜边中线的性质求出，再根据勾股定理求出，最后利用正弦函数的定义即可求出． 【详解】解：在中，，D是的中点， 是斜边上的中线， ， ， ， ． 故选A． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，锐角三角函数等，解题的关键是根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出的长度． 11. 如图，将边长为6的等边沿直线折叠，使点与边上的点重合，点、分别在、边上，若，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】首先由等边三角形的性质得到，，然后由求出，，由折叠得，，证明出，得到，进而求解即可． 此题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】∵等边的边长为6 ∴， ∴ ∵ ∴， 由折叠得， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴． 故选：C． 12. 平行四边形中，，，，点O为对角线交点，点E为延长线上一动点，连接交于点F，当时，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数、平行四边形的性质等知识． 作于H， ，由，令，，勾股定理得，则，得到，由四边形是平行四边形得到，，，则，得到是等腰直角三角形，则，可得，由得到，即可求得． 【详解】解：作于H，， ∵， ∴令，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 已知，化简：______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，判断是解题的关键．先根据x的范围得出，再化简二次根式和绝对值即可． 【详解】解：∵， ∴， 则原式． 故答案为：2． 14. 关于的一元二次方程的两个根分别为和，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由两根之和求出，由两根之积求出，再计算的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根分别为和， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，对角线，相交于点，是边的中点，交于点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，由四边形是平行四边形可得，，，所以，得，又是边的中点，所以，从而可得，设，，则，，，求得，然后代入即可求解，熟练掌握相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∴， 设，，则，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，高，线段所在的直线向上平移，与、所在直线分别相交于点、，要使得，则直线平移的距离为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平移的性质，设交直线于，如图，利用平移的性质得，则，利用相似三角形的性质可求出，然后进行讨论，当点在线段上时，；当点在线段的延长线上时，，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设交直线于，线段所在的直线向上平移，与、所在直线分别相交于点、，如图， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， 当点在线段上时，如上图， ∴， 即直线平移的距离为； 当点在线段的延长线上时，如图， ∴， 即直线平移的距离为； 综上所述，直线平移的距离为或， 故答案为：或． 三、解答题（共72分） 17. 计算 (1). (2). (3)(tan60°-1)2+. 【答案】(1)；(2)；(3)4. 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的性质化简得出答案； （3）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案． 【详解】解：(1)原式= = = (2)原式= = (3)原式= = =4 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 18. 小林准备进行如下操作实验：把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于，小林该怎么剪？ （2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于．”他的说法对吗？请说明理由． 【答案】（1）较短的这段为，较长的这段就为 （2）小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，能找出等量关系式并列出方程式解题的关键． （1）利用正方形的性质表示出边长进而得出等式求出即可； （2）利用正方形的性质表示出边长进而得出等式，进而利用根的判别式求出即可． 【小问1详解】 解：设剪成的较短的这段为，较长的这段就为， 由题意，得， 解得：， ， 当时，较长的为，当时，较长的为（舍去）， ∴较短的这段为，较长的这段就为； 【小问2详解】 解：小峰的说法正确，理由如下： 设剪成的较短的这段为，较长的这段就为， 由题意得：， 整理得：， ， ∴原方程无解， ∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，是的边上一点． （1）画出，使与关于点成中心对称，并写出点的对应点的坐标； （2）以原点为位似中心，在轴的左侧，画出将放大为原来的2倍后的，并分别写出点的对应点的坐标． 【答案】（1）图见解析，， （2）图见解析，）， 【解析】 【分析】本题考查了作图—位似变换、旋转变换，坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据成中心对称的图形的性质得出，再顺次连接即可，由图即可得出坐标； （2）根据位似变换的性质得出，再顺次连接即可，由图即可得出坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所作， 由图可得：， 【小问2详解】 解：如图，即所作， 由图可得：，． 20. 王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 0.250 （1）根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_____（保留2位小数）； （2）估计袋中白球的个数； （3）若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【答案】（1）0.25 （2）3 （3） 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率以及树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用频数总数频率求出答案，根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.25左右，即为摸出黑球的概率； （2）首先求出球的总数，进一步求解即可得出答案； （3）先画树状图得出所有等可能结果，从中找到他两次都摸出白球结果数，根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解： 观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球频率稳定在0.25左右， 估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 故答案为：0.25； 【小问2详解】 解：∵从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25 ∴球的总数为 ∴袋中白球的个数为； 【小问3详解】 解：画树状图得： 共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况， 两次都摸出白球的概率为． 21. 【研学实践】 “五一”节期间，许多露营爱好者在我市某研学基地露营，为了遮阳和防雨，会搭建一种“天幕”，同学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响． 【数据采集】 “天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，，． 【数据应用】 （1）天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到）； （2）下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点E下降的高度（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由对称的性质可得，，，解直角三角形得出，即可得解； （2）作于，四边形为矩形，得出，解直角三角形得出，分别求出和时的值，作差即可得解． 小问1详解】 解：由对称的性质可得，，， 在中，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作于， ， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， 当时，， 当时，， ∴下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点E下降的高度为． 22. 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角顶点放在点P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF(如图1). (1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2). ①求证：△APB∽△DCP； ②求PC、BC的长. (2)探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中(图1是该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答： ① tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由. ② 设AE=x，当△PBF是等腰三角形时，请直接写出x的值. 【答案】(1)①证明见解析；②PC=2，BC=5；(2)①tan∠PEF的值不变；②x=或x=或x=. 【解析】 【分析】（1）①由勾股定理求BP，利用互余关系证明△APB∽△DCP；②利用相似比求PC，DP, 再根据BC=AD=AP+DP即可求得BC的长； （2）①tan∠PEF的值不变．理由为：过F作FG⊥AD，垂足为点G. 则四边形ABFG是矩形，同（1）的方法证明△APE∽△GFP，得相似比，再利用锐角三角函数的定义求值；②利用相似比求GP，再矩形性质求出BF，△PBF是等腰三角形，分三种情况讨论：(Ⅰ) 当PB=PF时，根据BF=2AP求值；当BF=BP时，(Ⅱ)根据BP=求值；(Ⅲ) 当BF=PF时，根据PF=即可求出x值. 【详解】解：(1)①如图2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°，CD=AB=2， ∴在Rt△ABC中， ∠1+∠2=90°，BP=. 又∵∠BPC=90°, ∴∠3+∠2=90°， ∴∠1=∠3. ∴△APB∽△DCP. ②由△APB∽△DCP. ∴，即. ∴PC=2，DP=4. ∴BC=AD=AP+DP=5. (2)①tan∠PEF的值不变. 理由如下： 如图1，过F作FG⊥AD，垂足为点G. 则四边形ABFG是矩形. ∴∠A=∠PGF=90°，FG=AB=2， ∴在Rt△APE中，∠1+∠2=90°， 又∵∠EPF=90°,∴∠3+∠2=90°， ∴∠1=∠3. ∴△APE∽△GFP， ∴. ∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=2. ∴tan∠PEF的值不变. ②由△APE∽△GFP. ∴. ∴GP=2AE=2x， ∵四边形ABFG是矩形. ∴BF=AG=AP+GP=2x+1. △PBF是等腰三角形，分三种情况讨论： (Ⅰ)当PB=PF时，点P在BF的垂直平分线上. ∴ BF=2AP. 即2x+1=2， ∴x=. (Ⅱ)当BF=BP时， BP=BP= ∴2x+1=. ∴x=. (Ⅲ)当BF=PF时， ∵PF=， ∴(2x)2+22=(2x+1)2， ∴x=. 【点睛】本题是综合题：熟练掌握线段垂直平分线的判定、矩形的性质和相似三角形的判定方法和性质；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系和计算线段的长；合理作平行线构建相似三角形是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $