4.3.1 等比数列的概念(2)（等比数列的性质）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列的性质、判断证明及应用，通过对比等差数列复习概念、公式与性质，搭建旧知迁移支架，帮助学生梳理知识脉络，自然过渡到新知学习。 其亮点在于结合数学思维与应用意识，通过易错辨析强化逻辑推理，例题与分层练习提升解题能力，系统小结整合核心内容。例如“下标和”性质应用及新数列构造证明，助力学生形成数学眼光，教师可高效开展教学，学生深化知识理解与应用。

4.3.1 等比数列的 概念（2） 等比数列 名称 等差数列 概念 常数 通项 公式 中项 性质1 an=am+(n-m)d 从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数 公差(d ) d 可正、可负、可零 从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数 公比(q ) q可正、可负、不可零 an=amqn-m an＝a1qn－1 (q≠0，n∈N* ) an＝a1+(n－1)d (n∈N* ) 等比中项 等差中项 复习回顾 新知获得 等比数列的性质： 1. 性质1： 等比数列通项公式的推广 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 ①an＝a1qn－1 (n∈N*)， ②an＝amqn－m (m，n∈N*)， 其中， ②可以用来利用任一项及公比直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等比数列任两项求公比. 新知获得 2. 性质2：等比数列的 “下标和”性质 在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)， 则aman＝ . 特别地，若 m＋n＝2t (m，n，t∈N*)，则有aman＝ . apaq at2 应用举例 迁移(2) 在等比数列{an}中，an＞0,已知a1a9=64, a3+a7=20,求a11. 解：由题意得： a1a9=a3a7=64 a3+a7=20 a3=4 a7=16 解得： a3=16 a7=4 或 a3=4 a7=16 当 时，q4=4 ∴a11=a7q4=16×4=64 a3=16 a7=4 当 时，q4= ∴a11=a7q4=4× =1 ∴a11=64或a11=1 练P36 等比数列性质的应用 小试牛刀 1. 在等比数列{an}中，a4a8=9，则a2a10= ，a6= ， a2a3a9a10= . 4. 在正项等比数列{an}中，a5a6=9，则log3a1+log3a2+log3a3+...+log3a10 的值是 ( ) A. 5 B. 10 C. 20 D. 2 3. 在等比数列{an}中，an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5= ( ) A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 9 ±3 81 B A 2. 在等比数列{an}中，a2a4= ，则a1a32a5= . 练P36 思考 1：已知数列{an}是等比数列， 由 apaq＝asat 能推出 p＋q＝s＋t 吗？ 不能 易错辨析 思考 2：已知数列{an}是等差数列， 由 m+n=p能推出aman＝ap吗？ 不能 注意： “若p＋q ＝s＋t ,则apaq＝asat” 此性质可推广到三项，四项等， 但等式两边乘积的项数必须一样多. 如:常数列 思考：如何判断一个数列为等比数列？ 1. (q≠0，n≥2)或 (q≠0，n∈N*) {an}为等比数列. 2. an 2 = an-1an+1 （n≥2，an≠0） {an}为等比数列. 3. an=kan ，an为n的指数型函数 {an}为等比数列. 方法总结 例题分析 例5 证明： 等比数列的判断与证明 书P32 例题分析 例5 等比数列的判断与证明 书P32 证明： 小试牛刀 1. 若2a，2b，2c成等比数列，则a，b，c成 数列. 2. 若lga，lgb，lgc 成等差数列，则a，b，c成 数列. 等差 等比 2. 设数列{an}, {bn}都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列， 若是，证明结论；若不是，请说明理由. 证明：设{an}的公比为p，{bn}的公比为q，则 ∵ pq是一个与n无关的常数, ∴ {cn}是以pq为公比的等比数列. 练习 等比数列的判断与证明 书P34 2. 设数列{an}, {bn}都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列， 若是，证明结论；若不是，请说明理由. 证明：设{an}的公比为p，{bn}的公比为q，则 ∵ 是一个与n无关的常数, ∴ {dn}是以为公比的等比数列. 练习 等比数列的判断与证明 书P34 新知获得 3. 性质3： 等差数列构造的 “新数列” 的性质 若是等比数列，公比为，则 数列，，，，都是等比数列； 在等比数列中{an}每隔相同的项选出一项，按原顺序排成一列，仍然是一个等比数列. 即数列ak，ak+m，ak+2m，ak+3m，…成等比数列，公比为 qm (m,k∈N*). 应用举例 9. 解：由题可设插入这三个数为 练P33 等比数列的设项问题 插入这三个数的乘积为a3=216 方法总结 等差数列的设项技巧： (1) 三个数成等差数列，可设为a－d, a, a+d (2) 四个数成等差数列，可设为a－3d, a－d, a+d, a+3d 等比数列的设项技巧： (1)三个数成等比数列，可设为, a, aq (2)四个数成等比数列，可设为, , aq, aq3 (四数同号 ) 或a, aq, aq2, aq3 1. 求满足下列条件的数： (1)在9和243之间插入2个数，使这四个数成等比数列； (2)在160和-5之间插入4个数，使这六个数成等比数列. 解：(1) 9 ，27，81，243； (2)160， -80 ，40，-20，10，-5. 练习 书P34 5. 已知数列{an}的通项公式为 , 求使an取得最大值时n的值. 练习 书P34 求an的最值 方法： 判断{an}的单调性 5. 已知{an}的通项公式为 , 求前n项和Sn取得最小值时 n的值. 练习 书P24 求一般数列的Sn的最值 方法： 利用an的符号 课堂小结 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 ①an＝a1qn－1 (n∈N*)， ②an＝amqn－m (m，n∈N*)， 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)， 则aman＝ . 特别地，若m＋n＝2t (m，n，t∈N*)，则有aman＝ . apaq at2 下课! $