精品解析：河北省张家口市第十九中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年第一学期第二次学情诊断测试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共14个小题，每题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ） A. y=+x B. y=ax2+bx+c C. y=x2-(x+7)2 D. y=(x+1)(2x-1) 2. 若抛物线的开口下，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 4. 在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线y=x2－8x+c的顶点在x轴上，则c的值是（ ） A. 16 B. -4 C. 4 D. 8 6. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象与轴只有一个交点，则“□”中的数可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A. y=（x﹣4）2+7 B. y=（x+4）2+7 C. y=（x﹣4）2﹣25 D. y=（x+4）2﹣25 9. 二次函数（，为常数）的图象如图，有实数根的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 11. 如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12. 已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下， 甲：若，则点的个数为0； 乙：若，则点的个数为1； 丙：若，则点的个数为1. 下列判断正确的是（ ） A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对，丙错 D. 甲错，丙对 14. 如图，是等边三角形，，，垂足为点D，点P从点B出发，沿的路径运动，运动到点A停止，过点P作交边于点E，过点P作交边于点F，设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，则能正确反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 15. 已知二次函数的图象过点，则的值为_____． 16. 如图，一块矩形土地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开．已知篱笆的总长为（篱笆的厚度忽略不计），当______m时，矩形土地的面积最大． 17. 已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 18. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后滑行______才能停下来． 19. 如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是_______． 20. 某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，成本与销售月份之间的关系如图（2)所示（图（1）的图像是线段，图（2）的图像是抛物线）_______月出售这种蔬菜，每千克的收益最大．（收益=售价一成本） 三、解答题（本大题共4个小题，共34分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 已知二次函数，当时，求函数y的取值范围． 小胡同学的解答如下： 解：当时，则； 当时，则： 所以函数y的取值范围为． 小胡的解答正确吗？如果正确，请在方框内打“√”：如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程． 22. 抛物线经过点和点，且这个抛物线顶点为C． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，求的面积． 23. 课本中有一道作业题：有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．问加工成的正方形零件的边长是多少？ 小颖解得此题的答案为，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 24. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分． （1）写出的最高点坐标，并求a，c的值； （2）若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期第二次学情诊断测试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共14个小题，每题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ） A. y=+x B. y=ax2+bx+c C. y=x2-(x+7)2 D. y=(x+1)(2x-1) 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．未知数的最高次数不是2，故本选项错误； B．二次项系数时，不是二次函数，故本选项错误； C．∵，即，没有二次项，故本选项错误； D．由原方程得：，符合二次函数的定义，故本选项正确． 故选D． 2. 若抛物线的开口下，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质得出，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 故选项A符合题意， 故选：A ． 3. 二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式求出a=1或a=-1，然后根据二次函数的定义确定a的值． 【详解】把（0，0）代入y=（a+1）x2+3x+a2-1得a2-1=0，解得a=1或a=-1， 而a+1≠0， 所以a的值为1． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．注意不要掉了a+1≠0． 4. 在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数y=a（x-h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答． 【详解】二次函数（）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上， 故选D． 5. 已知抛物线y=x2－8x+c的顶点在x轴上，则c的值是（ ） A. 16 B. -4 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．据此作答． 【详解】∵二次函数y=-8x+c的顶点的横坐标为x=-=-=4， ∵顶点在x轴上， ∴顶点的坐标是(4，0)， 把(4，0)代入y=-8x+c中，得：16-32+c=0， 解得：c=16， 故选：A． 【点睛】本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式，比较简单． 6. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】2 本题主要考查二次函数的图象与性质，将化为顶点式即可解答． 【详解】解： ∴抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 7. 二次函数的图象与轴只有一个交点，则“□”中的数可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．二次函数的图象与轴只有一个交点，则其对应的一元二次方程有两个相等的实数根，根据得到关于的方程，解之即可． 【详解】解：设“□”中的数为， 二次函数的图象与轴只有一个交点， 方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故选：C． 8. 用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A. y=（x﹣4）2+7 B. y=（x+4）2+7 C. y=（x﹣4）2﹣25 D. y=（x+4）2﹣25 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案． 【详解】y=x2-8x-9 =x2-8x+16-25 =（x-4）2-25． 故选C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键． 9. 二次函数（，为常数）的图象如图，有实数根的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用图象直接得出的取值范围即可． 【详解】解：一元二次方程有实数根，可以理解为和有交点， 由图可得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了利用图象观察方程的解，正确利用数形结合是解此题的关键． 10. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解． 【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b， 所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a＞0， 所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限， 所以，A选项错误，C选项正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关系是解题的关键． 11. 如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； ②当时，解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 12. 已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵，， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离， ∴； 故选：A． 13. 如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下， 甲：若，则点的个数为0； 乙：若，则点的个数为1； 丙：若，则点的个数为1. 下列判断正确的是（ ） A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对，丙错 D. 甲错，丙对 【答案】C 【解析】 【分析】分别令x（4－x）的值为5，4，3，得到一元二次方程后，利用根的判别式确定方程的根有几个，即可得到点P的个数． 【详解】当b＝5时，令x（4－x）＝5，整理得：x2－4x＋5＝0，△＝（－4）2－4×5＝－6＜0，因此点P的个数为0，甲的说法正确； 当b＝4时，令x（4－x）＝4，整理得：x2－4x＋4＝0，△＝（－4）2－4×4＝0，因此点P有1个，乙的说法正确； 当b＝3时，令x（4－x）＝3，整理得：x2－4x＋3＝0，△＝（－4）2－4×3＝4＞0，因此点P有2个，丙的说法不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程，解题的关键是将二次函数与直线交点个数，转化成一元二次方程根的判别式． 14. 如图，是等边三角形，，，垂足为点D，点P从点B出发，沿的路径运动，运动到点A停止，过点P作交边于点E，过点P作交边于点F，设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，则能正确反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，证明四边形是平行四边形，①当点从点B出发，沿路径运动时，即时，根据四边形的面积，可得；②当点从点出发，沿路径运动时，连接交于点Q，即时， 先证明平行四边形是菱形，即有菱形的面积，结合菱形的性质，解直角三角形的知识可得；问题随之得解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴,， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ①如图，当点从点B出发，沿路径运动时，即时， ∵，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，即是等边三角形， ∴， 同理可得：， ∴四边形的面积， 整理得：， ②如图，当点从点出发，沿路径运动时，连接交于点Q，即时， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴平分， ∴平行四边形是菱形， ∴菱形的面积， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：； 综上： 即能反映与之间函数关系的图象是B， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，二次函数的图象的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 15. 已知二次函数的图象过点，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 将点代入函数解析式，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】∵二次函数的图象过点， ∴代入解析式，得， 即， 移项得， 解得． 故答案为：1． 16. 如图，一块矩形土地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开．已知篱笆的总长为（篱笆的厚度忽略不计），当______m时，矩形土地的面积最大． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数函数的实际应用，设，求出的长度关系，然后求出四边形的面积关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设，则， ∴矩形的面积为， ∵，开口向下， ∴当时， S取得最大值为平方米， 故答案为． 17. 已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 18. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后滑行______才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．飞机落地后滑行最远的距离才能停下来，所以需要时间，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，． ∵飞机落地后滑行最远的距离才能停下来， ∴需要时间 故答案为：． 19. 如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，根据二次函数和一次函数的性质和图象即可求解，解决本题的关键是采用图象法解决问题． 【详解】解：∵ ∴ ∵如图；与关于y轴对称，抛物线与直线交于两点， ∴抛物线与直线交于两点， ∴，即 ∴ 故答案为：. 20. 某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，成本与销售月份之间的关系如图（2)所示（图（1）的图像是线段，图（2）的图像是抛物线）_______月出售这种蔬菜，每千克的收益最大．（收益=售价一成本） 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题关键，掌握配方法是求二次函数最大值常用的方法． 观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出和的解析式，由收益列出W与x的函数关系式，利用配方求出二次函数的最大值． 【详解】解：设，将和代入得， ， 解得． ∴ ． 由图象知抛物线的顶点坐标为， 设，把代入得， ， 解得． ∴，即； ∴设收益 ， ∵， ∴当时，收益最大为， 故答案为：5． 三、解答题（本大题共4个小题，共34分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 已知二次函数，当时，求函数y的取值范围． 小胡同学的解答如下： 解：当时，则； 当时，则： 所以函数y的取值范围为． 小胡的解答正确吗？如果正确，请在方框内打“√”：如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程． 【答案】 解：小胡的解答不正确，正确的解答过程如下： ∵，， ∴当时，该二次函数有最小值2， ∵当时，则； 当时，则： ∴当时，函数y的取值范围为． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，先将该二次函数解析式化为顶点式，根据开口方向向上，求出最小值为2，再求出当时和当时的函数值，即可解答． 【详解】略 22. 抛物线经过点和点，且这个抛物线顶点为C． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设抛物线对称轴与x轴交于D，先求出点C的坐标，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：把和点B代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：设抛物线对称轴与x轴交于D， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数解析式，正确利用割补法表示出所求的面积是解题的关键． 23. 课本中有一道作业题：有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．问加工成的正方形零件的边长是多少？ 小颖解得此题的答案为，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 【答案】达到这个最大值时矩形零件的两条边长， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，矩形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）设正方形的边长为，则，，通过证明，得到，求解即可得出答案； （2）设，用含的代数式表示出的长度，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答即可． 【详解】解：如图1，设正方形的边长为，则， ， ， ， ，即， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是； 如图2，设，矩形的面积为， 由条件可得， ，即， 解得：， ∴， ∴的最大值为，此时，， ∴达到这个最大值时矩形零件的两条边长，． 24. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分． （1）写出的最高点坐标，并求a，c的值； （2）若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 【答案】（1）的最高点坐标为，，； （2）符合条件的n的整数值为4和5． 【解析】 【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值； （2）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴的最高点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为，令，则； 【小问2详解】 解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴点A的坐标范围为， 当经过时，， 解得； 当经过时，， 解得； ∴ ∴符合条件的n的整数值为4和5． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $