专题十六 相交线与平行线专题讲义2026年中考数学一轮复习

该初中数学中考复习讲义聚焦相交线与平行线专题，覆盖对顶角、垂线性质、平行线判定与性质等中考核心考点，按“概念辨析-性质应用-综合推理”逻辑架构知识点。通过“题型分类+真题精讲+变式训练”教学环节，帮助学生突破角的识别、平行条件证明等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于真题驱动与核心素养融合，如通过“银杏叶周长”“机器狗高度”等实例培养数学眼光，借助平行线判定的逻辑推理训练数学思维。设计“例题分析-方法归纳-分层练习”三步复习法，课后练习涵盖基础到综合题，确保高效复习，助力教师把控节奏，提升学生应考能力。

专题十六 相交线与平行线专题讲义 【题型一】相交线与平行线 【例1】（2025•莲池区一模）根据语句“直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M．”画出的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M进行判断，即可得出结论． 【解答】解：A．直线l2不经过点M，故本选项不合题意； B．点M在直线l1上，故本选项不合题意； C．点M在直线l1上，故本选项不合题意； D．直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】27．（2025•高新区模拟）平面上两条直线的位置关系是　相交　 或　平行　 ． 【分析】在同一平面内不重合的两条直线，有两种位置关系：相交或平行． 【解答】解：在同一平面内不重合的两条直线，有两种位置关系：相交或平行． 故填相交、平行． 【变式2】（2023•衡水二模）如图，若线段PC与线段OA有一个公共点，则点C可以是（　　） A．点D B．点E C．点Q D．点M 【分析】把P与各点的连线段画出来即可得到答案． 【解答】解：如图， 若线段PC与线段OA有一个公共点，则点C可以是D， 故选：A． 【变式3】（2025•方城县三模）在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是 a∥c ． 【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行即可求解． 【解答】解：∵a⊥b，b⊥c， ∴a∥c． 故答案为a∥c． 【题型二】对顶角、邻补角 【例1】（2025•河南）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【分析】由量角器可知，∠1＝120°，再利用对顶角相等求解即可． 【解答】解：如图，延长BO， 由量角器可知，∠AOD＝120°， ∴∠BOC＝∠AOD＝120°， 即所量内角的度数为120°， 故选：C． 【变式1】（2025•贵州）下列图中能说明∠1＝∠2一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】比较角的大小，根据相关知识点逐一进行判断即可． 【解答】解：A、对顶角相等，故∠1＝∠2，符合题意； B、根据三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角可得：∠2＞∠1，不符合题意； C、平角的定义得到∠2＝90°，直角大于锐角，故∠2＞∠1，不符合题意； D、由图可知，∠2＜∠1，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（2024•日照）如图，直线AB，CD相交于点O．若∠1＝40°，∠2＝120°，则∠COM的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【分析】根据对顶角相等以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【解答】解：∵∠2＝∠BOC＝120°，∠1+∠COM＝∠BOC，∠1＝40°， ∴∠COM＝120°﹣40°＝80°． 故选：B． 【变式3】（2024•齐齐哈尔）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】由对顶角的性质得到∠3＝∠1＝50°，∠2＝∠4，求出∠4＝90°﹣∠3＝40°，即可得到∠2的度数． 【解答】解：∵∠3＝∠1＝50°， ∴∠4＝90°﹣∠3＝40°， ∴∠2＝∠4＝40°． 故选：B． 【题型三】垂线 【例1】（2025•陕西）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【分析】求出∠AOD＝50°，再根据平角的定义求解． 【解答】解：∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∴∠AOD＝90°﹣∠1＝50°， ∴∠2＝180°﹣AOD＝130°． 故选：B． 【变式1】（2024•北京）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（　　） A．29° B．32° C．45° D．58° 【分析】根据垂直的定义得出∠COE＝∠DOE＝90°，再由对顶角相等得出∠BOD＝∠AOC＝58°，由∠EOB＝90°﹣∠BOD进行计算即可． 【解答】解：∵OE⊥OC， ∴∠COE＝∠DOE＝90°， ∵∠BOD＝∠AOC＝58°， ∴∠EOB＝90°﹣58°＝32°． 故选：B． 【变式2】（2024•雅安）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB于O，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　） A．55° B．45° C．35° D．30° 【分析】已知OE⊥AB，∠1＝35°，可得∠AOC的度数，因为对顶角∠2＝∠AOC，即得∠2的度数． 【解答】解：∵OE⊥AB，∠1＝35°， ∴∠AOC＝55°， ∴∠2＝∠AOC＝55°， 故选：A． 【题型四】垂线段最短 【例1】（2025•广西模拟）金秋十月，小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线 【分析】由线段的性质：两点之间，线段最短，即可得到答案． 【解答】解：能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故选：B． 【变式1】（2025•朝阳区二模）如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【分析】由线段的性质：两点之间，线段最短，即可判断 【解答】解：用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故选：A． 【变式2】（2025•北京校级二模）下列各选项能用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”来解释的现象是（　　） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．两钉子固定木条 D．弯曲河道改直 【分析】根据垂线段最短、两点确定一条直线和两点之间、线段最短逐项判断即得答案． 【解答】解：A、测量跳远成绩可以用“垂线段最短”来解释，故本选项符合题意； B、木板上弹墨线可以用“两点确定一条直线”来解释，故本选项不符合题意； C、两钉子固定木条可以用“两点确定一条直线”来解释，故本选项不符合题意； D、弯曲河道改直可以用“两点之间，线段最短”来解释，故本选项不符合题意， 故选：A． 【题型五】点到直线的距离 【例1】（2025•武汉三模）如图，笔直小路DE的一侧栽种有两棵小树BM，CN，小明测得AB＝3m，AC＝5m，则点A到DE的距离可能为（　　） A．5m B．4m C．3m D．2m 【分析】先指出点A到DE的斜线段和垂线段，根据垂线的性质：垂线段最短进行解答即可． 【解答】解：∵AB，AC是点A到DE的斜线段，表示点A到DE的距离的线段是垂线段， 根据垂线性质：垂线段最短， ∴A到DE的距离小于AB， ∵AB＝3， ∴A到DE的距离可能为2， 故选：D． 【变式1】（2025•武安市二模）如图，线段BA垂直于直线AC于点A，线段AD垂直于射线BC于点D，直线AC交射线BD于点则点C．则点B到直线AC的距离为（　　） A．线段AB的长 B．线段BD的长 C．线段AD的长 D．线段AC的长 【分析】根据点到直线的距离的定义结合图形选择即可． 【解答】解：根据点到直线的距离的定义可知： 点B到直线AC的距离是线段AB的长． 故选：A． 【变式2】（2025•闽侯县校级模拟）如图，点A，D在直线m上，点B，C在直线n上，AB⊥n，AC⊥m，BD⊥m，点A到直线BD的距离是（　　） A．线段AD的长度 B．线段BC的长度 C．线段AB的长度 D．线段BD的长度 【分析】根据点到直线的距离可得结论． 【解答】解：∵BD⊥m，点A在直线m上， ∴点A到直线BD的距离是线段AD的长度． 故选：A． 【变式3】（2025•清镇市模拟）如图，点P在直线l外，点A，B，C，D在直线l上，且PA＝3.6，PB＝3.2，PC＝3，PD＝3.8，则点P到直线l的距离是（　　） A．3 B．3.2 C．3.6 D．3.8 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断． 【解答】解：∵PC⊥l， ∴P到直线l的距离是线段PC的长是3． 故选：A． 【题型六】同位角、内错角、同旁内角 【例1】（2025•攀枝花）如图，直线a截直线b、c所得的一对同位角是（　　） A．∠2与∠3 B．∠1与∠4 C．∠5与∠7 D．∠1与∠8 【分析】根据同位角的定义判断即可． 【解答】解：A、∠2与∠3是同旁内角，故此选项不符合题意； B、∠1与∠4不是同位角，故此选项不符合题意； C、∠5与∠7是同位角，故此选项符合题意； D、∠1与∠8不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】（2023•淄博）将含30°角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若∠1＝70°，则∠2等于（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【分析】由直线a∥b∥c，利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠3的度数，再利用三角形外角的性质可求出∠4的度数，结合对顶角相等即可得出∠2的度数． 【解答】解：如图， ∵直线a∥b∥c， ∴∠3＝∠1＝70°． ∴∠4＝∠3﹣30°＝70°﹣30°＝40°， ∴∠2＝∠4＝40°． 故选：C． 【变式2】（2025•慈利县一模）关于如图中各角的说法不正确的是（　　） A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠4是内错角 C．∠3与∠5是对顶角 D．∠2与∠3是邻补角 【分析】根据同位角、内错角、对顶角的定义判断即可求解． 【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意； B、∠1与∠4不是内错角，原说法错误，故此选项符合题意； C、∠3与∠5是对顶角，原说法正确，故此选项不符合题意； D、∠2与∠3是邻补角，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式3】（2025•云岩区校级模拟）如图，已知∠ABC与∠DEF，其中AB与EF相交，下列结论中错误的是（　　） A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠3与∠6是对顶角 C．∠2与∠5是内错角 D．∠3与∠5是同位角 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角；据此分别进行分析可得答案． 【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，原说法正确，不符合题意； B、∠3与∠6是对顶角，原说法正确，不符合题意； C、∠2与∠5不是内错角，原说法错误，符合题意； D、∠3与∠5是同位角，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【题型七】平行公理及推论 【例1】（2024•常州）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（　　） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据垂线段最短判断即可． 【解答】解：F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是垂线段最短． 故选：A． 【变式1】（2025•霸州市模拟）如图，平面内，画已知直线l的平行线，能画的条数有（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【分析】根据平行线的定义、平行公理及推论即可得出答案． 【解答】解：平面内，画已知直线l的平行线，能画的条数有无数条． 故选：D． 【题型八】平行线的判定 【例1】（2024•德州）已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线．下列作图痕迹不正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据所给作图痕迹，结合平行线的判定，依次进行判断即可． 【解答】解：如图所示， ∵OM平分∠AOB， ∴∠AOM＝∠BOM， 又∵PO＝PM， ∴∠AOM＝∠PMO， ∴∠PMO＝∠BOM， ∴PM∥OB． 故A选项不符合题意． 如图所示， ∵OP＝OM， ∴∠OPM＝∠OMP． 又∵PN平分∠APM， ∴∠APN＝∠MPN． 据此无法得到判定PN∥OB的条件． 故B选项符合题意． 如图所示， ∵OP＝ON＝PM＝MN， ∴四边形OPMN是菱形， ∴PM∥OB． 故C选项不符合题意． 如图所示， 根据作图步骤可知， 这里作了一个角（∠APM）等于已知角（∠O）， ∵∠APM＝∠O， ∴PM∥OB． 故D选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】（2025•唐山校级二模）如图，把AB，CD，EF三根木条钉在一起，使之可以在连接点M，N处自由旋转，若∠1＝60°，∠2＝80°，则如何旋转木条AB才能使它与木条CD平行．以下说法正确的是（　　） 小明说：把木条AB绕点M逆时针旋转20°； 小刚说：把木条AB绕点M顺时针旋转150°． A．小明的操作正确，小刚的操作错误 B．小明的操作错误，小刚的操作正确 C．小明和小刚的操作都正确 D．小明和小刚的操作都错误 【分析】根据小明的操作，能使∠1＝80°，可得AB∥CD；根据小刚的操作∠1＝90°，∠1≠∠2，故AB不平行CD． 【解答】解：小明：把木条绕点M逆时针旋转20°， 此时∠1的度数为60°+20°＝80°， 此时∠1＝∠2， ∴AB∥CD， 小刚：把木条绕点M顺时针旋转150°， 此时∠1的度数为150°﹣60°＝90°， ∵90°≠80°， ∴AB不平行CD， 故选：A． 【变式2】（2025•重庆校级三模）如图，能判断EF∥AB的条件是（　　） A．∠EFC＝∠B B．∠ADE＝∠B C．∠ADE＝∠EFC D．∠DEF＝∠EFC 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解答】解：∵∠EFC＝∠B， ∴EF∥AB， 故A符合题意； ∵∠ADE＝∠B， ∴DE∥BC， 故B不符合题意； 由∠ADE＝∠EFC，不能判定EF∥AB， 故C不符合题意； ∵∠DEF＝∠EFC， ∴DE∥BC， 故D不符合题意； 故选：A． 【变式3】（2025•德州）如图，∠DAC是△ABC的外角，射线AE在∠DAC的内部，添加一个条件 　∠DAE＝∠B（答案不唯一）　 ，使得AE∥BC．（写出一种情况即可） 【分析】当添加条件∠DAE＝∠B时，则可依据“同位角相等，两直线平行”判定AE∥BC；当添加条件∠EAC＝∠C时，则可依据“内错角相等，两直线平行”判定AE∥BC；当添加条件∠EAB+∠B＝180°时，则可依据“同旁内角互补，两直线平行”判定AE∥BC，由此即可得出答案（答案不唯一）． 【解答】解：当添加条件∠DAE＝∠B时，则AE∥BC，理由如下： ∵∠DAE＝∠B， ∴AE∥BC， 当添加条件∠EAC＝∠C时，则AE∥BC，理由如下： ∵∠EAC＝∠C， ∴AE∥BC， 当添加条件∠EAB+∠B＝180°时，则AE∥BC，理由如下： ∵∠EAB+∠B＝180°， ∴AE∥BC． 故答案为：∠DAE＝∠B（答案不唯一）． 【题型九】平行线的性质 【例1】（2025•淄博）已知：如图，AB∥CD，∠1＝36°，∠2＝60°，则∠3的度数是（　　） A．36° B．34° C．26° D．24° 【分析】由AB∥CD，根据三角形外角的性质和平行线的性质可得∠3+∠1＝∠ECB＝∠2＝60°，即可得∠3＝24°． 【解答】解：由AB∥CD，∠1＝36°，∠2＝60°， 得∠3+∠1＝∠ECB＝∠2＝60°， 得∠3＝24°． 故选：D． 【变式1】（2025•东营区）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖AB和滑雪板DE平行，滑雪杖AB与大腿BC的夹角为30°，小腿CE与滑雪板DE的夹角为80°，则大腿与小腿的夹角∠C的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【分析】过C作CM∥AB，得到CM∥DE，推出∠BCM＝∠B＝30°，∠ECM＝∠E＝80°，即可求出∠BCM+∠ECM＝110°． 【解答】解：过C作CM∥AB， ∵AB∥DE， ∴CM∥DE， ∴∠BCM＝∠B＝30°，∠ECM＝∠E＝80°， ∴∠BCM+∠ECM＝30°+80°＝110°． 故选：D． 【变式2】（2025•苏州）如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70°．若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则∠α的度数应为（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 【分析】利用平行线的性质得出∠A+∠B＝180°，进而得出答案． 【解答】解：∵使公路准确接通， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝70°， ∴∠B＝110°． 即∠α的度数应为110°． 故选：C． 【变式3】（2025•河北）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC＝70°，则∠BAD＝（　　） A．70° B．100° C．110° D．130° 【分析】由平行线的性质推出∠BAD+∠ABC＝180°，即可求出∠BAD的度数． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠ABC＝70°， ∴∠BCD＝110°． 故选：C． 【题型十】平行线的判定与性质 【例1】（2025•宁夏）如图，直线l1，l2被直线l3所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定l1∥l2，需要的条件是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3 【分析】根据同位角相等，两直线平行，结合图形，逐一判断各选项，可得到结果． 【解答】解：∠1＝∠2（对顶角相等），不符合“同位角相等，两直线平行”，故A选项错误，不符合题意； ∠1≠∠3，故B选项错误，不符合题意； ∠1＝∠4，符合“同位角相等，两直线平行”，得到l1∥l2，故C选项正确，符合题意； ∠2≠∠3，故D选项错误，不符合题意， 故选：C． 【变式1】（2025•福建）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°．当AD∥BC时，∠ADE的大小为（　　） A．5° B．15° C．25° D．35° 【分析】结合三角形外角性质，根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【解答】解：根据题意得，∠ACB＝45°， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB＝45°， ∵∠DEF＝∠DAC+∠ADE＝60°， ∴∠ADE＝15°， 故选：B． 【变式2】（2025•常州）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则AB与CD平行．这一判断过程体现的数学依据是（　　） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【解答】解：由题意得∠A＝∠D， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故选：B． 【题型十一】平行线之间的距离 【例1】（2024•邯郸二模）如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且a∥b，∠ABC是个钝角，若AB＝5，则a、b两直线的距离可以是（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 【分析】根据平行线之间的距离的定义即可得到答案． 【解答】解：根据平行线之间的距离的定义可得a、b两直线的距离应该小于5， 故选：D． 【变式1】（2025•南京模拟）在水平面内确定一条直线为基准线，规定：对该平面内不重合两点M，N，若以MN为斜边能作出直角三角形，且其中一条直角边垂直于基准线，则称两条直角边长度之和为点M，N的直角距离；若M，N两点所在的直线垂直或平行于基准线，则线段MN的长度为点M，N的直角距离．记点M，N的直角距离[MN]．如图，直线CD与基准线AB交于点O，点P在直线CD上，PQ垂直于AB，垂足为Q，且OQ＝2PQ，EF∥CD，，则[EF]的值为　3　 ． 【分析】根据题意得出EF与基准线的较小夹角的正切为，进而可得E，F的直角距离，即可求解． 【解答】解：OQ＝2PQ，EF∥CD，，如图，作点E作基准线AB的平行线EG，过点F作FG⊥EG于点G， 依题意，∠E＝∠POQ， 又∵OQ＝2PQ，PQ⊥OQ， ∴， ∴设FG＝a，则EG＝2a， 在直角三角形EFG中，由勾股定理得：， ∵， ∴a＝1， ∴[EF]＝EG+FG＝2+1＝3， 故答案为：3． 【变式2】（2025•云岩区校级模拟）如图，已知直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，若AC＝8，BC＝5，则平行线a，b之间的距离是 　3　 ． 【分析】依据直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，即可得到AB长为直线a和b之间的距离，BC长为直线b和c之间的距离，AC长为直线a和c之间的距离，再根据AC＝8，BC＝5，即可得出直线a与直线b之间的距离为3． 【解答】解：∵直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点， ∴AB长为直线a和b之间的距离，BC长为直线b和c之间的距离，AC长为直线a和c之间的距离， 又∵AC＝8，BC＝5， ∴AB＝8﹣5＝3， 即直线a与直线b之间的距离为3． 故答案为：3． 【变式3】（2025•南昌二模）近年来，中国机器狗技术发展迅速．图1是某一型号的机器狗正常站立时的实物图，图2是它的侧面示意图，机身AD，大腿AB，DE和小腿BC，EF在它们之间的连接处可以转动调节姿态，调节过程中，机身、大腿、小腿的长度都不会发生变化，但位置、及以各接口处为顶点的角的大小可能发生改变．经测量，AD＝40cm，AB＝DE＝BC＝EF＝20cm． （1）当机器狗处于正常站立时，机身AD平行于地面CF，∠ABC＝∠DEF＝120°，机器狗的高度可以看成A，C两点间的距离，求此时机器狗的高度． （2）图3是机器狗坐下时的实物图，图4是其侧面示意图，此时，小腿EF紧贴地面，AB∥DE，BC∥EF，只调节机身AD与小腿EF所在直线形成的锐角，当其超过65°时，机器狗需要重新调整其他部分参数，才能坐得稳．请你通过推理计算，判断当BC与EF之间的距离为时，要使其坐得稳，该机器狗是否需要调整其他部分参数． 【分析】（1）连接AC，过点B作BG⊥AC于点G，则AC＝2AG，∠ABG＝60°，解直角三角形求出AG的长即可得到答案； （2）连接BE，过点B作BM⊥EF于点M，可证明四边形ABED是平行四边形．则BE＝AD＝40cm，BE∥AD．解直角三角形得到∠BEM＝60°，即可得到结论． 【解答】解：（1）如图，连接AC，过点B作BG⊥AC于点G， ∵AB＝BC＝20cm，∠ABC＝120°， ∴AC＝2AG，∠ABG＝60°， ∴， ∴． 答：此时机器狗的高度为； （2）如图，连接BE，过点B作BM⊥EF于点M， ∵AB∥DE，AB＝DE， ∴四边形ABED是平行四边形． ∴BE＝AD＝40cm，BE∥AD． ∴∠BEF的度数就是直线AD与EF的夹角的度数． ∵． ∴． ∴∠BEM＝60°， ∵65°＞60°， ∴不需要调整其他部分参数． 【课后练习】 1．（2025•广州）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝36°，则∠2的度数为　144　 °． 【分析】根据邻补角的定义进行计算即可． 【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，而∠1＝36°， ∴∠2＝180°﹣36°＝144°， 故答案为：144． 2．（2024•广西）已知∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°，则∠2＝　35　 °． 【分析】根据对顶角的定义即可作答． 【解答】解：∵∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°， ∴∠2＝∠1＝35°． 故答案为：35． 3光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【分析】利用光的反射得∠BOD＝∠AOC＝35°，根据垂直的定义得∠ODB＝90°，再利用三角形内角和即可得出答案． 【解答】解：∵∠AOC＝35°， ∴∠BOD＝∠AOC＝35°， ∵PD⊥CD， ∴∠ODB＝90°， ∴∠OBD＝180°﹣90°﹣35°＝55°． 故选：C． 4．（2025•湖北模拟）如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（　　） A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释 B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释 【分析】分别根据垂线段的性质以及两点之间线段最短的性质判断即可． 【解答】解：现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释， 故选：C． 5．（2024•资阳）在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4．若△ABC是锐角三角形，则边AB长的取值范围是 　2＜AB＜8　 ． 【分析】根据垂线段最短可知当BC⊥AB时，AB最短，当BC⊥AC时，AB最长，进而确定AB的取值范围即可． 【解答】解：如图，当CB1⊥AB1时，此时AB最短，AB1AC＝2， 当B2C⊥AC时，此时AB最长，AB2＝2AC＝8， 所以边AB长的取值范围是2＜AB＜8， 故答案为：2＜AB＜8． 6．（2025•青秀区二模）如图，已知直线a，b被直线c所截，则∠1的同位角是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【分析】根据同位角的定义判断即可． 【解答】解：∠1的同位角是∠3， 故选：B． 7．（2025•溧阳市校级模拟）如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟PQ，做法如下：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】由垂线的性质：垂线段最短，即可判断． 【解答】解：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是：垂线段最短． 故选：C． 7．（2024•南通）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB． 【分析】证明△ADE≌△CFE（SAS），得出∠ADE＝∠CFE，得到CF∥AB． 【解答】证明：∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴∠ADE＝∠CFE， ∴CF∥AB． 8．（2025•甘肃）如图1，三根木条a，b，c相交成∠1＝80°，∠2＝110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 【分析】根据两直线平行同位角相等，求出旋转后∠2的度数，然后用旋转前∠2的度数减去旋转后∠2的度数即可得到木条a旋转的度数． 【解答】解：如图2所示， ∵a∥b， ∴旋转后∠2＝∠1＝80°， ∴要使木条a与b平行，木条a绕点A顺时针旋转的度数是110°﹣80°＝30°． 故选：A． 9．（2024•自贡）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C． （1）求证：∠BDF＝∠A； （2）若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状． 【分析】（1）根据DE∥BC，得到∠C＝∠AED，再根据∠EDF＝∠C，得到∠AED＝∠EDF，从而得到DF∥AC，得出∠BDF＝∠A； （2）通过（1）得出∠BDF＝45°，再根据角平分线，得出∠BDE＝90°＝∠B，由此得出△ABC是等腰直角三角形． 【解答】（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠C＝∠AED， ∵∠EDF＝∠C， ∴∠AED＝∠EDF， ∴DF∥AC， ∴∠BDF＝∠A； （2）解：∵∠A＝45°， ∴∠BDF＝45°， ∵DF平分∠BDE， ∴∠BDE＝2∠BDF＝90°， ∵DE∥BC， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形． 10．（2025•巴中）如图，已知∠1＝40°，∠B＝50°，AB⊥AC，AD＝BC． （1）求证：AD∥BC； （2）求∠D的度数． 【分析】（1）先求出∠ACB的度数，再结合平行线的判定即可解决问题； （2）根据题意，得出四边形ABCD是平行四边形，据此可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AB⊥AC，∠B＝50°， ∴∠ACB＝90°﹣50°＝40°． 又∵∠1＝40°， ∴∠1＝∠ACB， ∴AD∥BC； （2）解：∵AD＝BC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B＝50°． 11．（2025•江西）（1）计算：|﹣3|（﹣1）； （2）如图，已知点C在AE上，AB∥CD，∠1＝∠2．求证：AE∥DF． 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则求解即可； （2）根据平行线的判定定理与性质定理求证即可． 【解答】（1）解：原式＝3+1+1＝5； （2）证明：∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠1， ∵∠1＝∠2， ∴∠ACD＝∠2， ∴AE∥DF． 12．（2024•盐城）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥BF，AE＝BF． 若 　③　 ，则AB＝CD． 请从①CE∥DF；②CE＝DF；③∠E＝∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【分析】选择①，利用AAS证明△AEC≌△BFD，即可得到AC＝BD，减去公共边BC，得到AB＝CD； 选择②，无法证明； 选择③，利用ASA证明△AEC≌△BFD，即可得到AC＝BD，减去公共边BC，得到AB＝CD． 【解答】证明：选择①， ∵AE∥BF， ∴∠A＝∠FBD， ∵CE∥DF， ∴∠ACE＝∠D， 在△AEC和△BFD中， ， ∴△AEC≌△BFD（AAS）， ∴AC＝BD， ∴AB＝CD； 选择③， ∵AE∥BF， ∴∠A＝∠FBD， 在△AEC和△BFD中， ， ∴△AEC≌△BFD（ASA）， ∴AC＝BD， ∴AB＝CD． 13．（2025•永州模拟）如图，四边形BCDE中，BC∥DE，∠EBC＝120°，BE＝2，若BA平分∠EBC，则BC与DE之间的距离是　　 ． 【分析】作BF⊥DE于点F，根据平行线的性质得∠B＝60°，在Rt△BEF中，根据BE＝2，可求出BF，即可得出答案． 【解答】解：如图，作BF⊥DE于点F， ∵BC∥DE， ∴∠E+∠EBC＝180°， ∵∠EBC＝120°， ∴∠B＝60°， 在Rt△BEF中，sin∠E， ∵BE＝2， ∴sin60°， ∴BF， ∴BC与DE之间的距离是． 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十六 相交线与平行线专题讲义 【题型一】相交线与平行线 【例1】（2025•莲池区一模）根据语句“直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M．”画出的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M进行判断，即可得出结论． 【解答】解：A．直线l2不经过点M，故本选项不合题意； B．点M在直线l1上，故本选项不合题意； C．点M在直线l1上，故本选项不合题意； D．直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】27．（2025•高新区模拟）平面上两条直线的位置关系是　 　 或　 　 ． 【变式2】（2023•衡水二模）如图，若线段PC与线段OA有一个公共点，则点C可以是（　　） A．点D B．点E C．点Q D．点M 【变式3】（2025•方城县三模）在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是 ． 【题型二】对顶角、邻补角 【例1】（2025•河南）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【分析】由量角器可知，∠1＝120°，再利用对顶角相等求解即可． 【解答】解：如图，延长BO， 由量角器可知，∠AOD＝120°， ∴∠BOC＝∠AOD＝120°， 即所量内角的度数为120°， 故选：C． 【变式1】（2025•贵州）下列图中能说明∠1＝∠2一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024•日照）如图，直线AB，CD相交于点O．若∠1＝40°，∠2＝120°，则∠COM的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【变式3】（2024•齐齐哈尔）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【题型三】垂线 【例1】（2025•陕西）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【分析】求出∠AOD＝50°，再根据平角的定义求解． 【解答】解：∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∴∠AOD＝90°﹣∠1＝50°， ∴∠2＝180°﹣AOD＝130°． 故选：B． 【变式1】（2024•北京）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（　　） A．29° B．32° C．45° D．58° 【变式2】（2024•雅安）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB于O，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　） A．55° B．45° C．35° D．30° 【题型四】垂线段最短 【例1】（2025•广西模拟）金秋十月，小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线 【分析】由线段的性质：两点之间，线段最短，即可得到答案． 【解答】解：能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故选：B． 【变式1】（2025•朝阳区二模）如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【变式2】（2025•北京校级二模）下列各选项能用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”来解释的现象是（　　） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．两钉子固定木条 D．弯曲河道改直 【题型五】点到直线的距离 【例1】（2025•武汉三模）如图，笔直小路DE的一侧栽种有两棵小树BM，CN，小明测得AB＝3m，AC＝5m，则点A到DE的距离可能为（　　） A．5m B．4m C．3m D．2m 【分析】先指出点A到DE的斜线段和垂线段，根据垂线的性质：垂线段最短进行解答即可． 【解答】解：∵AB，AC是点A到DE的斜线段，表示点A到DE的距离的线段是垂线段， 根据垂线性质：垂线段最短， ∴A到DE的距离小于AB， ∵AB＝3， ∴A到DE的距离可能为2， 故选：D． 【变式1】（2025•武安市二模）如图，线段BA垂直于直线AC于点A，线段AD垂直于射线BC于点D，直线AC交射线BD于点则点C．则点B到直线AC的距离为（　　） A．线段AB的长 B．线段BD的长 C．线段AD的长 D．线段AC的长 【变式2】（2025•闽侯县校级模拟）如图，点A，D在直线m上，点B，C在直线n上，AB⊥n，AC⊥m，BD⊥m，点A到直线BD的距离是（　　） A．线段AD的长度 B．线段BC的长度 C．线段AB的长度 D．线段BD的长度 【变式3】（2025•清镇市模拟）如图，点P在直线l外，点A，B，C，D在直线l上，且PA＝3.6，PB＝3.2，PC＝3，PD＝3.8，则点P到直线l的距离是（　　） A．3 B．3.2 C．3.6 D．3.8 【题型六】同位角、内错角、同旁内角 【例1】（2025•攀枝花）如图，直线a截直线b、c所得的一对同位角是（　　） A．∠2与∠3 B．∠1与∠4 C．∠5与∠7 D．∠1与∠8 【分析】根据同位角的定义判断即可． 【解答】解：A、∠2与∠3是同旁内角，故此选项不符合题意； B、∠1与∠4不是同位角，故此选项不符合题意； C、∠5与∠7是同位角，故此选项符合题意； D、∠1与∠8不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】（2023•淄博）将含30°角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若∠1＝70°，则∠2等于（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【变式2】（2025•慈利县一模）关于如图中各角的说法不正确的是（　　） A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠4是内错角 C．∠3与∠5是对顶角 D．∠2与∠3是邻补角 【变式3】（2025•云岩区校级模拟）如图，已知∠ABC与∠DEF，其中AB与EF相交，下列结论中错误的是（　　） A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠3与∠6是对顶角 C．∠2与∠5是内错角 D．∠3与∠5是同位角 【题型七】平行公理及推论 【例1】（2024•常州）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（　　） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据垂线段最短判断即可． 【解答】解：F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是垂线段最短． 故选：A． 【变式1】（2025•霸州市模拟）如图，平面内，画已知直线l的平行线，能画的条数有（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【题型八】平行线的判定 【例1】（2024•德州）已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线．下列作图痕迹不正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据所给作图痕迹，结合平行线的判定，依次进行判断即可． 【解答】解：如图所示， ∵OM平分∠AOB， ∴∠AOM＝∠BOM， 又∵PO＝PM， ∴∠AOM＝∠PMO， ∴∠PMO＝∠BOM， ∴PM∥OB． 故A选项不符合题意． 如图所示， ∵OP＝OM， ∴∠OPM＝∠OMP． 又∵PN平分∠APM， ∴∠APN＝∠MPN． 据此无法得到判定PN∥OB的条件． 故B选项符合题意． 如图所示， ∵OP＝ON＝PM＝MN， ∴四边形OPMN是菱形， ∴PM∥OB． 故C选项不符合题意． 如图所示， 根据作图步骤可知， 这里作了一个角（∠APM）等于已知角（∠O）， ∵∠APM＝∠O， ∴PM∥OB． 故D选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】（2025•唐山校级二模）如图，把AB，CD，EF三根木条钉在一起，使之可以在连接点M，N处自由旋转，若∠1＝60°，∠2＝80°，则如何旋转木条AB才能使它与木条CD平行．以下说法正确的是（　　） 小明说：把木条AB绕点M逆时针旋转20°； 小刚说：把木条AB绕点M顺时针旋转150°． A．小明的操作正确，小刚的操作错误 B．小明的操作错误，小刚的操作正确 C．小明和小刚的操作都正确 D．小明和小刚的操作都错误 【变式2】（2025•重庆校级三模）如图，能判断EF∥AB的条件是（　　） A．∠EFC＝∠B B．∠ADE＝∠B C．∠ADE＝∠EFC D．∠DEF＝∠EFC 【变式3】（2025•德州）如图，∠DAC是△ABC的外角，射线AE在∠DAC的内部，添加一个条件 　 　 ，使得AE∥BC．（写出一种情况即可） 【题型九】平行线的性质 【例1】（2025•淄博）已知：如图，AB∥CD，∠1＝36°，∠2＝60°，则∠3的度数是（　　） A．36° B．34° C．26° D．24° 【分析】由AB∥CD，根据三角形外角的性质和平行线的性质可得∠3+∠1＝∠ECB＝∠2＝60°，即可得∠3＝24°． 【解答】解：由AB∥CD，∠1＝36°，∠2＝60°， 得∠3+∠1＝∠ECB＝∠2＝60°， 得∠3＝24°． 故选：D． 【变式1】（2025•东营区）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖AB和滑雪板DE平行，滑雪杖AB与大腿BC的夹角为30°，小腿CE与滑雪板DE的夹角为80°，则大腿与小腿的夹角∠C的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【变式2】（2025•苏州）如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70°．若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则∠α的度数应为（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 【变式3】（2025•河北）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC＝70°，则∠BAD＝（　　） A．70° B．100° C．110° D．130° 【题型十】平行线的判定与性质 【例1】（2025•宁夏）如图，直线l1，l2被直线l3所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定l1∥l2，需要的条件是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3 【分析】根据同位角相等，两直线平行，结合图形，逐一判断各选项，可得到结果． 【解答】解：∠1＝∠2（对顶角相等），不符合“同位角相等，两直线平行”，故A选项错误，不符合题意； ∠1≠∠3，故B选项错误，不符合题意； ∠1＝∠4，符合“同位角相等，两直线平行”，得到l1∥l2，故C选项正确，符合题意； ∠2≠∠3，故D选项错误，不符合题意， 故选：C． 【变式1】（2025•福建）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°．当AD∥BC时，∠ADE的大小为（　　） A．5° B．15° C．25° D．35° 【变式2】（2025•常州）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则AB与CD平行．这一判断过程体现的数学依据是（　　） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【题型十一】平行线之间的距离 【例1】（2024•邯郸二模）如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且a∥b，∠ABC是个钝角，若AB＝5，则a、b两直线的距离可以是（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 【分析】根据平行线之间的距离的定义即可得到答案． 【解答】解：根据平行线之间的距离的定义可得a、b两直线的距离应该小于5， 故选：D． 【变式1】（2025•南京模拟）在水平面内确定一条直线为基准线，规定：对该平面内不重合两点M，N，若以MN为斜边能作出直角三角形，且其中一条直角边垂直于基准线，则称两条直角边长度之和为点M，N的直角距离；若M，N两点所在的直线垂直或平行于基准线，则线段MN的长度为点M，N的直角距离．记点M，N的直角距离[MN]．如图，直线CD与基准线AB交于点O，点P在直线CD上，PQ垂直于AB，垂足为Q，且OQ＝2PQ，EF∥CD，，则[EF]的值为　3　 ． 【变式2】（2025•云岩区校级模拟）如图，已知直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，若AC＝8，BC＝5，则平行线a，b之间的距离是 　 　 ． 【变式3】（2025•南昌二模）近年来，中国机器狗技术发展迅速．图1是某一型号的机器狗正常站立时的实物图，图2是它的侧面示意图，机身AD，大腿AB，DE和小腿BC，EF在它们之间的连接处可以转动调节姿态，调节过程中，机身、大腿、小腿的长度都不会发生变化，但位置、及以各接口处为顶点的角的大小可能发生改变．经测量，AD＝40cm，AB＝DE＝BC＝EF＝20cm． （1）当机器狗处于正常站立时，机身AD平行于地面CF，∠ABC＝∠DEF＝120°，机器狗的高度可以看成A，C两点间的距离，求此时机器狗的高度． （2）图3是机器狗坐下时的实物图，图4是其侧面示意图，此时，小腿EF紧贴地面，AB∥DE，BC∥EF，只调节机身AD与小腿EF所在直线形成的锐角，当其超过65°时，机器狗需要重新调整其他部分参数，才能坐得稳．请你通过推理计算，判断当BC与EF之间的距离为时，要使其坐得稳，该机器狗是否需要调整其他部分参数． 【课后练习】 1．（2025•广州）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝36°，则∠2的度数为　144　 °． 2．（2024•广西）已知∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°，则∠2＝　 　 °． 3光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 4．（2025•湖北模拟）如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（　　） A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释 B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释 5．（2024•资阳）在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4．若△ABC是锐角三角形，则边AB长的取值范围是 　 　 ． 6．（2025•青秀区二模）如图，已知直线a，b被直线c所截，则∠1的同位角是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 7．（2025•溧阳市校级模拟）如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟PQ，做法如下：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 7．（2024•南通）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB． 8．（2025•甘肃）如图1，三根木条a，b，c相交成∠1＝80°，∠2＝110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 9．（2024•自贡）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C． （1）求证：∠BDF＝∠A； （2）若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状． 10．（2025•巴中）如图，已知∠1＝40°，∠B＝50°，AB⊥AC，AD＝BC． （1）求证：AD∥BC； （2）求∠D的度数． 11．（2025•江西）（1）计算：|﹣3|（﹣1）； （2）如图，已知点C在AE上，AB∥CD，∠1＝∠2．求证：AE∥DF． 12．（2024•盐城）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥BF，AE＝BF． 若 　 　 ，则AB＝CD． 请从①CE∥DF；②CE＝DF；③∠E＝∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 13．（2025•永州模拟）如图，四边形BCDE中，BC∥DE，∠EBC＝120°，BE＝2，若BA平分∠EBC，则BC与DE之间的距离是　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $