第4章相似三角形单元练习2025-2026学年浙教版九年级数学 上册

浙教版九年级上册数学第4章相似三角形单元练习 一、单选题 1．下列各组图形不一定相似的是（    ） A．两个等腰直角三角形 B．两个含有内角的等腰三角形 C．两个含有内角的等腰三角形 D．两个含有内角的直角三角形 2．下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，它们的相似比是，已知，则的长是（   ） A．20 B． C．25 D． 4．如图，在菱形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接．若，则的长是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如果，那么的值是（   ） A． B．5 C． D． 6．已知C是线段上黄金分割点，，，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 7．若，且对应高线比为，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 8．如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点D，G，H，C在同一条直线上，点D，F，B在同一条直线上），则的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，有一块三角形木料，，，，工人师傅准备将其加工成如图所示的矩形，且点在上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，这是一架人字梯及其部分侧面示意图．已知，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．△ABC与的位似比为2，原点O为它们的位似中心．若点的坐标为，则对应点A的坐标可以为 ． 12．已知四边形四边形，且四边形与四边形的面积比为，若，则的长为 ． 13．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为 ． 14．如图，在△ABC中，平分交于点，过点作于点，则的长为 ． 15．如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 cm． 三、解答题 16．在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为个单位，是格点三角形（顶点在网格交点处）． (1)作出△ABC的中心对称图形，点为对称中心； (2)作出△ABC关于点的位似，且位似比为． 17．如图，，，，求的长度． 18．如图，是矩形的边上的一点，于点．证明，并计算点至直线的距离． 19．如图，在矩形中，，，在边上取点E，连接，作交边于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．某学校兴趣小组想要测量学校旗杆的高度，如图，一名同学直立站在点处，手持一块直角三角板，，，斜边与地面平行，延长交于点，旗杆的顶端恰好与在同一条直线上，该同学的身高米，点到旗杆底部之间的水平距离为米，已知，，图中所有点均在同一平面内，求旗杆的高度． 21．根据背景素材，探究解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决1：如图2，小雅同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，距离地面的高度，到平面镜的水平距离，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，墙到木板的水平距离为，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上． 任务1：求灯光反射到墙面上的高度． 问题解决2：某学校要测量校园中旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜． 任务2：假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用、、…表示，在示意图上标注），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含、、…的式子表示）． 22．【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_______，数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，如图3，点与点关于对称，连接，，，已知， ①求四边形的面积的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《浙教版九年级上册数学第4章相似三角形单元练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B C A C A C A 11．或 12．8 13．/ 14．/ 15． 16．（1）如图所示：即为所求； （2）如图所示：即为所求． 17．解：，， ， ， ∵，，， ∴， 解得：． 18．解：在矩形中，，， ， ， ， ，， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得， ，解得， 即点至直线的距离为． 19（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为1． 20．解：依题意，四边形是矩形， 米，米，， ∴， 又， ∴， ， ， ，即， 米， （米）， 答：旗杆的高度为米． 21．任务1：∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， ， ， ， ， 解得， 由题意，得， ，， ， ，即， 解得． 答：灯光反射到墙面上的高度为． 任务2：如图， ①将平面镜放在处， ②人走到适当的地方：刚好能从平面镜中看到旗杆的顶部， ③测出人的高度，人到平面镜的距离，平面镜到旗杆底部的距离， ④计算出旗杆的高度： ， ， 所以旗杆的高度． 22．解：（1）当时，， ∴，， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：，． （2），，证明如下： ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． （3）①当时，， ∴，， ∵， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形． 如图，过点作于点，则， 设，四边形的面积为． 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，， 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为． 即四边形的面积的最小值为 ②如图，连接交于点，连接，则正方形是的内接正方形，对角线是的两条直径， 由上已证：，即， ∴点在上， 由圆周角定理得：， 过点作于点，过点作于点， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴直径， ∴正方形的面积， 由（3）①已得：， ∴， 解得或，均符合题意， 所以的长度为或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $