第4章 相似三角形（高效培优单元测试·提升卷）数学浙教版九年级上册

第四章 相似三角形（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若，则的值是（   ） A． B． C． D．2 2．矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（   ） A．5 B．5 C．10 D．5 3．如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，E是的中点，连接交于点F．若，则的长是（   ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 5．如图，经过的重心，点E是的中点，过点E作交于点G，若，则线段的长为（   ） A．6 B．4 C．5 D．3 6．小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（   ） A．蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形 B． C．蜡烛火焰长 D．线段中点与线段中点的连线不一定经过点O 7．如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是（   ） A．2 B．5 C．10 D．20 8．如图，当驾驶员的眼睛点与地面的距离为米时，是驾驶员的视觉盲区，车头近似的看成是矩形，且，若的长度为米，则车宽的长度大约是（） A．米 B．米 C．米 D．米 9．如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连结并延长交于点，交于点，正方形的面积为，正方形的面积为，若时，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．如图，在中，是边上的高，，，矩形的边与重合，点G、H分别在上运动，当矩形的面积最大时，的长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 12．如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰好落在线段上的点处，以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2、 填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图，已知直线，若，，，则线段的长为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，与位似，点是位似中心，且．若点的坐标是，则点的坐标是 ． 15．如图，在中，，分别是，的中点，是的中点，连结，交于点若，则 ． 16．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，若，则海岛的高为 ． 17．如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点F在上，与交于点P，与交于点Q．若，，则四边形的面积是 ． 18．如图，点是边长为4的菱形内一点，，点，分别在，上，且，分别连结，并延长交，于点，．记四边形，的面积分别为，，与的面积之比为．当的值达到最大时，的值为 ． 三、解答题（本题共8小题，（本题共8小题，第19-第22题每题8分，第23-第26题每题10分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 20．如图，和的顶点A重合，，． (1)若，，求的长； (2)连接，求证：． 21．如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别是． (1)画出，使与关于点中心对称； (2)以点为位似中心将放大，得到，使与的相似比为，在第三象限内画出一个满足条件的． 22．如图，在四边形中，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 23．四边形中，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 24．如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 25．如图1，四边形是圆的内接四边形，交的延长线于点，平分，是的中点． (1)若，求的度数． (2)如图2，连结．求证： ①； ②． 26．如图，正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点． (1)如图，求证：； (2)如图，当经过点时，求证：点是的中点； (3)当时，求的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 相似三角形（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查比例的性质，根据已知条件设，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故选：C． 2．矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（   ） A．5 B．5 C．10 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形的性质以及矩形的性质，结合比例关系建立方程求解是解决本题的关键． 可得到小矩形的短边长，根据每一个小矩形均与原矩形相似，可建立方程，代入数值求解即可． 【详解】解：∵大矩形的长边为25， 则切割后的小矩形的短边长为5， 又∵大矩形的短边与小矩形的长边都为x， ∴由相似可得， 即，且， 解得 故选：B ． 3．如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：， ，，， ，故D选项正确； ， ，，，故A、C选项正确， ，故B选项结论错误， 故选：B． 4．如图，在矩形中，E是的中点，连接交于点F．若，则的长是（   ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，先根据矩形的性质得，再证明，结合E是的中点，得，故，再根据，，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，经过的重心，点E是的中点，过点E作交于点G，若，则线段的长为（   ） A．6 B．4 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键． 根据重心的概念得到点D为中点，求出的长，再根据平行证明，结合点E是中点，得到，从而求出． 【详解】解：∵经过的重心， ∴点D是中点， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵点E是中点， ∴，即， 解得： 故选：B． 6．小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（   ） A．蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形 B． C．蜡烛火焰长 D．线段中点与线段中点的连线不一定经过点O 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、位似变换，根据相似三角形的判定与性质以及位似图象的定义判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴，故B正确； ∴，故蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形，故A正确； ∴， ∴，即蜡烛火焰长，故C正确； 线段中点与线段中点的连线一定经过点O，故D错误， 故选：D． 7．如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是（   ） A．2 B．5 C．10 D．20 【答案】C 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质求解即可．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：与位似，点为位似中心，相似比为， 的周长的周长， ∵的周长为5， 的周长， 故选：C． 8．如图，当驾驶员的眼睛点与地面的距离为米时，是驾驶员的视觉盲区，车头近似的看成是矩形，且，若的长度为米，则车宽的长度大约是（） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键； 通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】如图，过点作，垂足为，交于点， 则米， 设米，由得， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 即， ， ， ， 解得，， ∴米 故选：D． 9．如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方式是解题关键．先根据位似图形的概念求出相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方，即可解题． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵与位似，位似中心为点O， ∴， ∴， ∴的面积与积之比． 故选：C． 10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连结并延长交于点，交于点，正方形的面积为，正方形的面积为，若时，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了弦图的计算，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设，则，过点作，可得得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴． 故选：B． 11．如图，在中，是边上的高，，，矩形的边与重合，点G、H分别在上运动，当矩形的面积最大时，的长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及二次函数的最值问题．注意根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，求出矩形的长与宽的关系是解题的关键． 分析题意，设，根据矩形的对边平行可得，然后得到与相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，用x表示出y，然后根据矩形的面积公式求解并整理，再利用二次函数的最值的求法进行求解即可 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， 解得：， ∴矩形的面积为：， 当，即时，内接矩形有最大面积，最大面积是， ． 故选：B． 12．如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰好落在线段上的点处，以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】由矩形的性质得，由折叠得，则，可判断①正确；由，得 ，则，可判断②正确；因为，所以 ，则，由 ，求得，则，由，求得，则，所以，可判断③错误；因为 ，所以，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ，， ∴由折叠得 ， ，故①正确； ∵，点在上，点在上， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， 解得， ， ， 故③错误； ， ， 故④正确， 故选：B． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定、三角形的面积公式等知识，求得及是解题的关键． 2、 填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图，已知直线，若，，，则线段的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定与性质，解题关键是根据平行线和相似三角形，写出比例式，利用比例式求解； 过点作，交于点，交于点，根据平行线列出比例式求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 因为， ∴四边形、是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：9． 14．如图，在平面直角坐标系中，与位似，点是位似中心，且．若点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键． 直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长． 【详解】解：设 ∵与位似，原点是位似中心，且．点的坐标是， ∴位似比为， ∴， 解得，， ∴ 故答案为： 15．如图，在中，，分别是，的中点，是的中点，连结，交于点若，则 ． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理得，根据相似三角形的判定和性质得 ，可得，则，根据线段的和差计算即可． 本题考查的是相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定和性质定理以及三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：分别是边的中点， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，若，则海岛的高为 ． 【答案】28 【分析】通过相似三角形的性质，构建比例关系，设出海岛高和相关水平距离，列方程求解．本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键． 【详解】解：设海岛高， ． ∵，， ∴, ∴， ∴，即 ①． 又∵，， ∴, ∴， ∴，即 ②． ∴①，得； ∴②，得 ． ∴，解得 ． 即海岛的高为 ， 故答案为：28． 17．如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点F在上，与交于点P，与交于点Q．若，，则四边形的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，证明，得出，证明，得出，求出，，，，则可得出答案． 【详解】解：∵四边形、四边形、四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，，，， ∴，，， ∴． 故答案为：6． 18．如图，点是边长为4的菱形内一点，，点，分别在，上，且，分别连结，并延长交，于点，．记四边形，的面积分别为，，与的面积之比为．当的值达到最大时，的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质，连接，过点作于，延长交于，由菱形的性质可得，，，设，则，证明，求出，表示出，再由二次函数的性质可得当时，即时，的值最大为，证明，得出，由菱形的对称性可得，，，由此计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作于，延长交于， ， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点在上， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，即时，的值最大为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴由菱形的对称性可得，，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，（本题共8小题，第19-第22题每题8分，第23-第26题每题10分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)线段的长为12，线段的长为3 (2)线段的长为6 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵， 设，， ∵， ∴， ， ，， 线段的长为12，线段的长为3． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为6． 20．如图，和的顶点A重合，，． (1)若，，求的长； (2)连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据两角相等证明，再由对应边成比例即可求解； （2）由，得到，变形为，再由夹角相等，即可证明相似． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴; （2）证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别是． (1)画出，使与关于点中心对称； (2)以点为位似中心将放大，得到，使与的相似比为，在第三象限内画出一个满足条件的． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查作位似图形、中心对称图形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）根据中心对称的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）根据与的相似比为，且在第三象限内画出点，再依次连接，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 22．如图，在四边形中，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理； （1）由，可得出，由同角的余角相等可得出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可求出的长度，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，，， ∴，即， ∴， 在中， 在中， 在中，． 23．四边形中，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理求出的值，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵，， ∴． （2）解：在中，， ∵， ∴， 即， ∴． 24．如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 【答案】(1)当的值为时，； (2)当的值为或时，与相似． 【分析】本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长度，，，再根据题意列出代数式求解即可； （2）利用相似三角形的性质，分和两种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点，， ∴，， ； 由题意，，则， 由题意则有：， 解得， 当时，； （2）解：∵是公共角， ∴①当时，， ∴， 即， 解得； ②当时，， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似． 25．如图1，四边形是圆的内接四边形，交的延长线于点，平分，是的中点． (1)若，求的度数． (2)如图2，连结．求证： ①； ②． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析． 【分析】（1）根据，结合得到继而得到，根据圆的内接四边形的性质，平角的定义，三角形内角和定理解答即可． （2）①根据圆的内接四边形的性质，角的平分线证明即可； ②． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的中点． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）①证明：∵平分， ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②证明：延长到点G，使得，连接， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的中点． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 26．如图，正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点． (1)如图，求证：； (2)如图，当经过点时，求证：点是的中点； (3)当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的值为或． 【分析】（）由旋转性质可知，则，又四边形是正方形，则，故有，然后通过同角的余角相等即可求证； （）作交的延长线于点，证明，则有，，又四边形是正方形，所以，，然后有，故，最后由线段和差即可求证； （）过点作分别交，的延长线于点，，则，证明四边形是矩形，则，同理可得，则，故有，设，则，，，，在中，，，解得，，作于点，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转性质可知， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：作交的延长线于点， 由（）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （3）解：如图，过点作分别交，的延长线于点，，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， 在中，，，解得，， 作于点， 当时，，则， ∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 当时，，则， 同理， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴的值为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $