期末复习08等可能条件下的概率期末复习冲刺必备讲义(知识梳理+题型精析+备考压轴通关)2025-2026学年苏科版九年级数学上册

该初中数学期末复习讲义围绕“等可能条件下的概率”，通过“基础-核心-应用”三级模块构建知识体系，用表格梳理事件分类、概率计算等高频考点，结合思维导图呈现列表法与树状图法的应用场景，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“题型-方法-应用”三位一体的练习设计，涵盖随机事件枚举、几何概型计算等9类题型，通过“有放回与无放回”对比等易错警示培养推理能力，结合游戏公平性判断等实例强化模型意识。基础题夯实概念，压轴题突破难点，助力学生分层提升，为教师精准教学提供系统支持。

期末复习08等可能条件下的概率 --期末复习冲刺必备讲义 核心定位：本章是期末解答题、压轴题的高频考点区，掌握“性质应用+模型构建+计算精准”三大核心，就能拿下80%以上的相关分值！ 1基础模块：随机事件与必然事件、不可能事件的判断；概率的定义与取值范围 核心模块：等可能条件下概率的计算（列表法、树状图法）；用频率估计概率（实验概率与理论概率的关联） 应用模块：概率与实际问题结合（游戏公平性判断、决策类问题、几何图形中的概率） 高频考点 精讲 1.事件的分类与概率的基本概念 2.等可能条件下概率的计算(列表法+树状图法) 3.用频率估计概率 4.概率的实际应用(游戏公平性+决策类问题) 常考题型 精讲精炼 1.随机实验的所有可能结果枚举 2.概率的概念与意义解读 3.利用概率公式进行概率计算 4.基于概率的实际决策与判断 5已知概率反推对应数量问题 6.几何概型的应用与计算 7.用举法求解概率问题 8.列表法或树状图法的概率求解 9.游戏的公平性的概率分析与判断 期末备考 压轴通关 (15题) 【考点01.事件的分类与概率的基本概念】 1. 核心知识梳理 *必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件，概率P=1； *不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件，概率P=0； *随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，概率0<P<1； *概率的意义：表示一个随机事件发生的可能性大小的数值，取值范围是0≤P≤1。 2. 经典例题解析 例1：下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为6 B. 打开电视机，正在播放动画片 C. 在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等 D. 若a是实数，则|a|＜0 解析：选项A是随机事件（抛掷骰子点数不确定）；选项B是随机事件（电视节目不确定）；选项C是必然事件（同圆等圆中弧与圆心角的性质）；选项D是不可能事件（绝对值非负）。答案：C 3. 易错警示 易错点：混淆“随机事件”与“必然事件”！比如“明天会下雨”是随机事件，而非必然事件；“三角形内角和为180°”才是必然事件，判断时要紧扣“一定发生”“一定不发生”的定义。 【考点02.等可能条件下概率的计算(列表法+决策类问题)】 1. 核心公式与方法 核心公式：P(A) = 事件A发生的结果数 / 所有等可能结果的总数 适用场景： *列表法：适用于两步试验（如两次抛掷骰子、两次摸球），能清晰列出所有等可能结果； *树状图法：适用于两步及以上试验（如三次摸球、两次抛掷硬币+一次抽卡片），避免遗漏或重复结果。 2. 经典例题解析 例2：一个不透明的袋子中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球。求两次摸出的球都是红球的概率。 解析：本题是“两步试验（有放回）”，用列表法求解： 第一步：列出所有等可能结果（红球记为R1、R2，白球记为W1、W2、W3） 第一次\第二次 R1 R2 R1 (R1,R1) (R1,R2) R2 (R2,R1) (R2,R2) W1 (W1,R1) (W1,R2) W2 (W2,R1) (W2,R2) W3 (W3,R1) (W3,R2) 第二步：计算总数与符合条件的结果数。所有等可能结果总数为5×5=25；两次都是红球的结果有(R1,R1)、(R1,R2)、(R2,R1)、(R2,R2)，共4种。 第三步：求概率。P(两次都是红球)=4/25。 例3：在例2的条件下，若“摸出后不放回”，求两次摸出的球都是红球的概率。 解析：无放回试验，用树状图法更清晰： 第一步：画树状图（第一次：R1、R2、W1、W2、W3；第二次：若第一次摸R1，第二次有R2、W1、W2、W3，共4种） 第二步：计算结果总数。第一次5种，第二次4种，共5×4=20种等可能结果； 第三步：符合条件的结果数。两次都是红球：(R1,R2)、(R2,R1)，共2种； 第四步：概率P==。 3. 易错警示 易错点1：混淆“有放回”与“无放回”！有放回试验中，每次试验的总结果数不变；无放回试验中，总结果数逐次减少，这是计算的关键区别。 易错点2：列举结果时遗漏或重复！比如用列表法时，要确保横向和纵向的结果不重复；树状图要按“分步”清晰绘制，每一步的结果数准确。 【考点03.用频率估计概率】 1. 核心知识梳理 频率：在n次重复试验中，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值（m/n）； 规律：当试验次数很大时，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是事件A的理论概率； 应用：通过大量重复试验求频率，进而估计概率（适用于无法直接计算理论概率的场景，如投篮命中概率、产品合格率）。 2. 经典例题解析 例4：某运动员进行投篮训练，每次投篮的结果只有命中或未命中，每次投篮相互独立。下表是他多次投篮试验的结果： 试验次数n 10 50 命中次数m 7 36 命中频率m/n 0.7 0.72 （1）估计该运动员投篮一次命中的概率；（2）若该运动员投篮1000次，估计命中的次数。 解析：（1）观察表格，当试验次数逐渐增多时，命中频率稳定在0.72附近，因此估计投篮一次命中的概率为0.72； （2）命中次数≈总次数×概率=1000×0.72=720次。 3. 易错警示 易错点：用少量试验的频率代替概率！比如只做10次试验，频率为0.7，就认为概率是0.7，这是错误的。只有试验次数足够大时，频率才接近概率，估计结果才更可靠。 【考点04.概率的实际应用】 1. 核心思路 游戏公平性判断：计算双方获胜的概率，若概率相等，则游戏公平；若不相等，则不公平； 决策类问题：根据概率大小判断方案的可行性（如中奖概率、合格概率是否符合要求）。 2. 经典例题解析 *例5：甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：在一个不透明的袋子中装有分别标有数字1、2、3的三个小球，这些球除数字外完全相同，先由甲随机摸出一个球，记下数字后放回，再由乙随机摸出一个球，记下数字。若两人摸出的数字之和为偶数，则甲获胜；若和为奇数，则乙获胜。判断这个游戏是否公平，并说明理由。 *解析：第一步：用列表法列出所有等可能结果： 甲\乙 1 2 3 1 (1,1)和2 (1,2)和3 (1,3)和4 2 (2,1)和3 (2,2)和4 (2,3)和5 3 (3,1)和4 (3,2)和5 (3,3)和6 第二步：计算总结果数和双方获胜的结果数。总结果数=3×3=9； 甲获胜（和为偶数）的结果：(1,1)、(1,3)、(2,2)、(3,1)、(3,3)，共5种； 乙获胜（和为奇数）的结果：(1,2)、(2,1)、(2,3)、(3,2)，共4种； 第三步：计算概率。P(甲获胜)=5/9，P(乙获胜)=4/9； 第四步：判断公平性。因为5/9≠4/9，所以游戏不公平。 【题型1.随机实验的所有可能结果枚举】 【典例】班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】本题考查列举法，通过列举法，进行求解即可． 【详解】解：由题意，他的选法有：文学类、历史类；文学类、哲学类；文学类，自然类；历史类、哲学类；历史类、自然类；哲学类、自然类，共6种； 故选：C． 【跟踪专练1】第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为 ． 【答案】12 【分析】本题考查列举法所有等可能情况，把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为，共有六种站法，再利用插空法即可求解，掌握例举法是解题的关键． 【详解】解：把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为， 则将三个吉祥物进行排列，有： ，，，，，， 共种站法， 再将甲乙进行插空，因为甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则有： ，，，，， 共有种不同的站法， 故答案为：12． 【跟踪专练2】众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查事件发生可能性的数量，解题的关键是根据八纲的意义可知每纲为二元对立且每纲独立，利用乘法即可得出病症的种类． 【详解】解：∵八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，即每组包含两种对立状态， ∴每纲有种可能， ∴病症的种类共有：（种）， 即共有种病症． 故选：B． 【题型2.概率的概念与意义解读】 【典例】在研究随机事件的概率中，有的是等可能事件，可以算出理论概率，有的理论概率计算复杂，还有的是非等可能事件，这两种事件的概率选择用实验的方法，通过增加实验的频次，用频率估计概率，下面是利用计算机模拟实验估计50个人中有两人生日相同的概率曲线图，通过图中数据可知40个人中两人生日相同的概率接近 ．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查了从图像获取信息． 根据概率曲线图作答即可． 【详解】解：由概率曲线图可知，40人时对应的概率为． 故答案为：． 【跟踪专练1】学完《概率初步》这章后，老师让同学结合实例说说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（　　） A．甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件 B．乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是不可能事件 C．丙说某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 D．丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 【答案】A 【分析】本题考查了概率的意义，随机事件，根据随机事件、必然事件、不可能事件及概率的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件，正确，故A符合题意； B、乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是必然事件，原说法错误，故B不符合题意； C、丙说某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，原说法错误，故C不符合题意； D、丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是，是不正确的，因为试验次数太少，不能确定钉尖朝上的概率，故D不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a、b．那么方程有解的概率是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，事件发生的概率，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据题意得出恒成立，即可解答． 【详解】解：∵方程有解， ∴， ∵向上一面的点数a、b都是正数， ∴恒成立， ∴有解的概率是1． 故答案为：1． 【题型3.利用概率公式进行概率计算】 【典例】一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径则它获得食物的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它有9种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径， ∴它有9种路径， ∵获得食物的有2种路径， ∴获得食物的概率是：， 故选：B． 【跟踪专练1】一张圆桌旁设有4个座位，甲先坐在如图所示的座位上，乙、丙、丁3人等可能地坐到其他3个座位上，记乙与甲不相邻而坐的概率为、丙与丁相邻而坐的概率为，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．根据题意列出所有可能出现的情况，找出乙与甲不相邻而坐和丙与丁相邻而坐的情况数，接下来利用概率公式求解即可． 【详解】解：由于甲的位置已经确定，乙、丙、丁有以下几种情况：      乙与甲不相邻而坐有2种情况，概率为， 丙与丁相邻而坐有4种情况，概率为， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C．从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D．同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率计算公式，用树状图法计算概率，掌握相关知识是解决问题的关键．大量反复试验下频率稳定值即概率．先由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为，再分别计算四个选项中事件发生的概率即可求解． 【详解】解：由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为， A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故不符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为，故不符合题意； C、从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃的概率为，故符合题意； D、同时掷两枚质地均匀的硬币， 共有四种等可能性的结果，其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有两种，则一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为，故不符合题意； 故选：C 【题型4.基于概率的实际决策与判断】 【典例】用12个球设计一个摸球游戏，下面设计的四种方案中，不恰当的设计是（   ） A．摸到红球、白球、黄球的概率均为 B．摸到红球的概率，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是 C．摸到红球的概率是，摸到白球、黄球的概率都是 D．摸到红球的概率是，摸到黄球的概率也是 【答案】C 【分析】本题考查的是随机事件的概率的含义，根据概率之和必须为1及各颜色球的数量必须为整数且总和为12，逐一验证各选项的合理性即可． 【详解】解：选项A：红、白、黄球的概率均为．总概率为，符合要求．对应球数为个（每种颜色），总和为，设计合理． 选项B：红球概率，白球，黄球．总概率为，符合要求．对应球数为红球个，白球个，黄球个，总和为，设计合理． 选项C：红球概率，白球和黄球概率均为．总概率为，超过1，不符合概率的基本性质，设计不恰当． 选项D：红球和黄球概率均为．总概率为，符合要求．对应球数为红球个，黄球6个，总和为12，设计合理． 综上，选项C的设计不恰当． 故选：C 【跟踪专练1】一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从到的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于则密码的位数至少需要 位． 【答案】四/4 【分析】本题考查了概率，分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可求解，掌握概率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为； 取两位数时一次就拨对密码的概率为； 取三位数时一次就拨对密码的概率为； 取四位数时一次就拨对密码的概率为； 所以密码的位数至少需要四位， 故答案为：四． 【跟踪专练2】一个袋中装有偶数个球，其中红球个数恰好是黑球的2倍，甲、乙、丙是三个空盒．小邱每次从袋中任意取出两个球，先将一个球放入甲盒，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒：如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是 ； （2）若乙盒中最终有5个红球，3个黑球，则袋中原来最少有 个球． 【答案】 红色 24 【分析】（1）根据放球规则，可知若取出的球都没有放入丙盒，则放入了乙盒，由此得出先放入甲盒的球的颜色是红色； （2）由题意可知取两个球共有四种情况：①红红，②黑黑，③红黑，④黑红．那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒最少得到1个红球，以及红球数黑球数的2倍，且球的个数为偶数，即可求解． 【详解】（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒， 放入了乙盒， 先放入甲盒的球的颜色是红色． 故答案为：红色； （2）由题意，可知取两个球共有四种情况： ①红红，则乙盒中红球数加1， ②黑黑，则丙盒中黑球数加1， ③红黑（红球放入甲盒），则乙盒中黑球数加1， ④黑红（黑球放入甲盒），则丙盒中红球数加1． 那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒最少得到1个红球， 乙盒中最终有5个红球时，甲盒最少有5个红球， 乙盒中得到1个黑球，甲盒中最少得到1个红球 乙盒中最终有3个黑球时，甲盒最少有3个红球， 甲盒中至少有8个红球，乙盒中有5个红球和3个黑球， 至少有13个红球和3个黑球， 红球数是黑球数的2倍，且球的个数为偶数， 此时明显不满足条件， 红球至少16个，黑球至少有8个， 袋中原来最少有个球． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了推理与论证，训练了学生的逻辑思维能力，有一定难度．根据题意得出取两个球共有四种情况，进而分析得到结论是解题的关键． 【题型5.已知概率反推对应数量问题】 【典例】一只不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则黄球的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查概率公式的应用，设黄球个数为x，根据摸到红球的概率列方程求解． 【详解】解：设黄球有x个，则总球数为个． ∵ 摸到红球的概率为， ∴ ； 解得． 故黄球的个数为2个； 故选B． 【跟踪专练1】在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在30%，则可估计口袋中白球的个数是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了频率与概率的关系，根据频率与概率的关系，白球的个数等于总球数乘以摸到白球的频率，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵总球数为60，摸到白球的频率稳定在， ∴白球个数为（个）， ∴估计口袋中白球的个数是个， 故答案为：． 【跟踪专练2】在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在左右，则m的值大约为（   ） A．20 B．40 C．60 D．100 【答案】C 【分析】本题考查了利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，在同样条件下，大量重复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到黄球的频率稳定在左右得到比例关系，列出方程求解即可，解题的关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， 故选：C． 【题型6.几何概型的应用与计算】 【典例】如图是一个六等分圆盘，向圆盘中随机投掷飞镖，落在阴影部分的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了几何概率，某事件的概率等于这个事件所占的面积与总面积之比． 算阴影部分的面积在圆的面积中的占比即可． 【详解】解：∵图中6个扇形的面积相等， ∴随机投掷飞镖落在阴影部分的概率 故答案为： 【跟踪专练1】如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，根据图形的对称性求出黑色图形的面积，利用几何概型的计算方法计算可得． 【详解】解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半， 设圆的半径为1，则正方形的面积为4， 所以黑色部分的面积为， 则所求的概率， 故选：B 【跟踪专练2】篮球板的长为，宽为，篮板上在圆形球框的上方有一个长 ，宽的投球框．一般情况下，投篮板球时，只要篮球磕到这个投球框内，就能投中．某班学生学习投篮板球，试求事件“投球一次，恰好投中”的概率为 ．（以上数据均属假设，并且，每次投篮时，篮球都能与篮球板接触） 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，由题意可得“投球一次，恰好投中”的概率为，然后化简即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：“投球一次，恰好投中”的概率为， 故答案为：． 【题型7.用列举法求解概率问题】 【典例】经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列举法求概率，熟练列出所有可能结果是解题的关键． 计算两辆车所有可能的方向组合和驶向相同方向的组合，然后求概率即可． 【详解】解：每辆车有3种方向选择：直行、左转、右转，且选择独立， 则可能的情况组合为： （直行，直行）、（直行，左转）、（直行，右转）、（左转，直行）、（左转，左转）、（左转，右转）、（右转，直行）、（右转，左转）、（右转，右转）， 总可能结果数为9种，其中两辆车驶向相同方向的情况有3种：都直行、都左转、都右转， 因此驶向相同方向的概率是， 故选：A． 【跟踪专练1】一张圆桌旁有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个座位上，则与不相邻而坐的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，正确列举出所有情况是解题的关键． 先列举出所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由于A的位置已经确定，B、C、D随机而坐的情况共有6种（如图所示）：6种情况出现的可能性相同．其中A与B不相邻而坐的情况共有2种，所以所求概率是： ． 故答案为：． 【跟踪专练2】在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氧化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列举法求概率，正确列举出所有的可能组合数，利用概率公式求概率是解题的关键． 根据题意列出所有的可能组合数，其中两瓶都是酸性溶液的只有一种组合，从而计算概率即可． 【详解】解：从四瓶溶液中随机抽取两瓶，可能的组合为： （稀硫酸，氧化钠）、（稀硫酸，稀盐酸）、（稀硫酸，碳酸钠）、（氧化钠，稀盐酸）、（氧化钠，碳酸钠）、（稀盐酸，碳酸钠）， 则总共可能组合数有6种，其中，两瓶都是酸性溶液的只有一种组合， 因此这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是， 故选：A． 【题型8.列表法与树状图法的概率求解】 【典例】有三张硬纸片，背面相同，正面分别涂成两红一绿，现把三张硬纸片背面朝上，放在一起，洗匀后，从中任意抽取两张，其中抽到一张是红牌和一张是绿牌的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片一张是红牌和一张是绿牌的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 红 绿 红 （红，红） （红，绿） 红 （红，红） （红，绿） 绿 （绿，红） （绿，红） 共有6种等可能的结果，其中抽取的两张卡片一张是红牌和一张是绿牌的结果有4种， ∴一张是红牌和一张是绿牌的概率是． 故答案为：． 【跟踪专练1】某校举行“激情十月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，若不设并列奖，则甲、乙同学获得前两名的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了古典概型的概率计算，熟练掌握列表法列举所有可能结果并结合概率公式计算是解题的关键．用5行5列表格呈现四名同学获前两名的所有排列情况，统计总结果数与甲、乙获前两名的结果数，再通过概率公式计算． 【详解】解：列表如下： 第一名\第二名 甲 乙 丙 丁 甲 — （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） — （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） — （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） — 总结果数： 甲、乙获前两名的结果数：2种（即“（甲，乙）” “（乙，甲）”）， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】已知有四张正面分别标有数字，0，，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 0 4 0 4 由表格可得，共有16种等可能的结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为负数的情况有4种， 两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率． 故答案为：． 【题型9.游戏公平性的概率分析与判断】 【典例】小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的应用．通过列举掷两枚硬币的所有可能结果，计算三人获胜的概率，比较概率大小判断游戏对谁有利． 【详解】解：掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能结果为：正正、正反、反正、反反，共4种． ∵ 小明获胜需两枚正面朝上，有1种情况， ∴ P（小明获胜）． ∵ 小颖获胜需两枚反面朝上，有1种情况， ∴ P（小颖获胜）． ∵ 小凡获胜需一枚正面一枚反面，有2种情况， ∴ P（小凡获胜）． ∵， ∴游戏对小凡有利． 故选：C 【跟踪专练1】甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是 的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．先求出他们任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数的所有等可能的结果，再分别找出掷出的点数是奇数、掷出的点数是偶数的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意可知，甲、乙两人任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数共有6种等可能的结果，其中，掷出的点数是奇数的结果有三种，掷出的点数是偶数的结果有三种， 则甲赢的概率为，乙赢的概率为， 所以甲赢的概率和乙赢的概率相等， 所以这个游戏对甲、乙来说是公平的， 故答案为：公平． 【跟踪专练2】小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（    ） A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测 【答案】A 【分析】本题考查列表饭计算概率，游戏公平性判断，掌握概率计算方法是解决问题的关键．先用列表法列出两个转盘转动的所有等可能结果，再分别计算小颖（配成紫色）和小亮（未配成紫色）对应的概率，比较概率大小判断规则是否公平． 【详解】解： 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 共有六种等可能性结果，其中能配成紫色的有三种，不能配成紫色的有三种， ∴， ∴规则公平． 故选：A． 1．小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表：下列说法正确的是（　　） 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次 B．若抛掷图钉100次，则一定有64次“钉尖不着地” C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”概率为0.8 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用频率估计概率逐项判断即可解答． 【详解】解：A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次，正确，符合题意； B．若抛掷图钉100次，则可能有64次“钉尖不着地”，错误，不符合题意； C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”可能性不相等，错误，不符合题意； D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，次数较少，不能用来估计“钉尖不着地”概率，错误，不符合题意； 故选：A． 2．一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是 ． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有 个球． 【答案】 黑 【分析】本题主要考查了推理与论证，训练了学生的逻辑思维能力，有一定难度．根据题意得出取两个球共有四种情况，进而分析得到结论是解题的关键． （1）由题意可知若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是黑球，由此可得答案； （2）根据题意列出所有取两个球往盒子中放入的情况，然后对每种情况分析即可． 【详解】解：（1）依题意得，若先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．但取出的球都没有放入丙盒，因此先放入甲盒的球不能是白球，只能是黑球． 故答案为黑． （2）由题意得，可知取两个球共有四种情况： ①黑+黑，则乙盒中黑球数加1， ②白+白，则丙盒中白球数加1， ③黑+白（黑球放入甲盒），则乙盒中白球数加1， ④白+黑（白球放入甲盒），则丙盒中黑球数加1． 分析可知，只有当从袋中取出的两个球都是黑球时，乙盒中才会增加一个黑球． 因此，乙盒中最终有6个黑球，说明取出两个黑球的操作发生了6次． 该操作共用去黑球(个)． 因为袋中黑球、白球各占一半， 所以袋中原来最少有个黑球和个白球． 故袋中原来最少有(个)球． 故答案为：． 3．有五张正面分别标有数字，，，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，先将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将抽取到的卡片上的数字记作，则使直线与轴交于正半轴的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质及概率的求法．直线与轴交于正半轴的条件是，从卡片中找出满足的数字，计算其数量与总卡片数的比值即可求解． 【详解】∵直线与x轴的交点满足， 即， 解得． 若交点在正半轴时，则， 即， ∴． ∵卡片上的数字中，大于的有、、，共个， 又∵总卡片数为，因此概率为． 故答案为：． 4．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【点睛】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键， 5．甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查树状图法与列表法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过两次传球后，球回到甲、乙、丙、丁手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．解题的关键是掌握知识点：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图得：    ∵共有种等可能的结果，经过次传球后，球回到甲手中的有种情况，回到乙手中的有种情况，回到丙手中的有种情况，回到丁手中的有种情况， ∴经过次传球后，球回到甲手中的概率是， 球回到乙手中的概率是， 球回到丙手中的概率是， 球回到丁手中的概率是， ∵， ∴第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是甲． 故选：A． 6.有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 【答案】A 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握“概率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键． 画树状图，共有16种可能的结果，分别求出各个选项中甲、乙获胜的概率，再分别判断即可． 【详解】解：画树状图如下： A、由树状图可知，共有16可能的结果，其中在直线上的点有、、、，在直线上的点有、、， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 而，故选项A符合题意； B、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积不大于15的结果有8种，乘积大于15的结果有8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项B不符合题意； C、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积大于等于20时甲得5分的结果有6种，乙得3分的结果有10种，， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项C不符合题意； D、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中得到的和为奇数的结果8种，得到的和为偶数的结果8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项D不符合题意； 故选：A． 7．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】A 【分析】本题主要考查了列举法求随机事件所有出现的结果等知识点，利用已知条件，通过分类求解即可，熟练掌握用列举法求随机事件所有出现的结果是解决此题的关键． 【详解】解：设无人机三种颜色为A，B，C， 由题意知，编号1至5号的无人机颜色和编号7、8号的无人机颜色之间可以相同，但编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同， ∴可画树状图如下， ∴共有12种． 故选：A． 8．如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】取中点，设与以为直径的半圆的切点为，设正方形的边长为2，，结合题意易知切半圆于点，切半圆于点，切半圆于点，由切线长定理可知，，进而可得，，在中，利用勾股定理解得的值，再计算阴影部分的面积，然后结合简单概率计算公式求解即可． 【详解】解：如下图，取中点，设与以为直径的半圆的切点为， 设正方形的边长为2，， 则有，半圆的半径，， ∵为直径， ∴切半圆于点，切半圆于点， ∵切半圆于点， ∴，， ∴，， ∴在中，可有， 即，解得， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴正方形的面积， 阴影部分的面积， ∴在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形面积、勾股定理、切线长定理、简单概率计算等知识，正确求得阴影部分面积是解题关键． 9．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 10．某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为 ． 【答案】126 【分析】此题考查了排列组合的实际应用，理解题意，转化思路是解题的关键． 根据题意转化为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间，得到共有9个位置，进而求解即可． 【详解】解：∵路上有12盏路灯，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭， ∴可以理解为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间 ∴共有9个位置 ∴（盏）． ∴不同的关灯方案种数为126盏． 故答案为：126． 11．小明家客厅里装有一种开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况． (1)若小明任意按下一个开关，小明打开走廊灯的概率是______； (2)若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，刚好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了概率的计算，解题的关键分清是简单概率计算还是需要用树状图或者列表求概率； （1）根据简单的概率公式求出概率即可； （2）运用树状图法求出概率即可； 【详解】（1）解：按下一个开关这个事件一共有3种结果，其中走廊灯亮的结果一共有1种， ∴小明打开走廊灯的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： ∵共有6种等可能的结果，其中客厅灯和走廊灯同时亮的结果有2种； ∴客厅灯和走廊灯同时亮的概率是． 12．“一岁一端午，一年一安康．”端午节期间，某商场的打折销售活动规定：凡在本商场购物满180元，可转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘），并根据所转结果付账，转盘如图所示． (1)分别求出打七五折，打五折的概率； (2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付账300元，求他俩获得优惠的所有情况． 【答案】(1)打七五折的概率为，打五折的概率为 (2)见解析 【分析】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率的计算方法，可得答案； （2）根据已知条件他俩获得优惠的情况分为两种情况，于是得到结论． 【详解】（1）解：打七五折的概率为，打五折的概率为； （2）解：第一种情况：小红和小明都按七五折付账：（元）． 第二种情况：小红按五折付账，小明按不打折付账：（元） （或小红按不打折付账，小明按打五折付账） 13．某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 【答案】(1)、 (2)， (3) 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：、； （2）解：若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是； 故答案为：，； （3）解：，，， ． 14．甲、乙两名同学玩一个游戏：将正面分别写着数字，0，1，2的四张卡片（注：这四张卡片的形状、大小质地、颜色等其它方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这四张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，甲从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为；再把剩下的三张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，乙从这三张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，若，则甲获胜；否则乙获胜． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1)所有可能出现的结果有12种 (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查了用列举法求等可能事件的概率，掌握用列表法或画树状图法求等可能事件的概率是解题的关键． （1）用用列表法或画树状图法，即可求出答案； （2）分别求出甲、乙获胜的概率，即得答案． 【详解】（1）（1）方法一：由题意可列表如下，      0 1 2 0 1 2 由表可知，可能出现的等可能结果共有12种； 方法二，画树状图如下： 可能出现的等可能结果共有12种； （2）这个游戏公平，理由如下： 由列表（或树状图）可知，共用12种等可能的结果， 的情况有6种， P（甲获胜） ∵的情况有6种， P（乙获胜）， 这个游戏对双方公平． 15．如图为一个的正方形格子，现在给其中的三个小正方形染色，求被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率．熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 由题意知，给其中任意三个小正方形染色共有种情况，其中三个小正方形不同行也不同列的共有种情况，然后求概率即可． 【详解】解：由题意知，给其中任意三个小正方形染色共有种情况，其中三个小正方形不同行也不同列的共有种情况， ∵， ∴被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习08等可能条件下的概率 --期末复习冲刺必备讲义 核心定位：本章是期末解答题、压轴题的高频考点区，掌握“性质应用+模型构建+计算精准”三大核心，就能拿下80%以上的相关分值！ 1基础模块：随机事件与必然事件、不可能事件的判断；概率的定义与取值范围 核心模块：等可能条件下概率的计算（列表法、树状图法）；用频率估计概率（实验概率与理论概率的关联） 应用模块：概率与实际问题结合（游戏公平性判断、决策类问题、几何图形中的概率） 高频考点 精讲 1.事件的分类与概率的基本概念 2.等可能条件下概率的计算(列表法+树状图法) 3.用频率估计概率 4.概率的实际应用(游戏公平性+决策类问题) 常考题型 精讲精炼 1.随机实验的所有可能结果枚举 2.概率的概念与意义解读 3.利用概率公式进行概率计算 4.基于概率的实际决策与判断 5已知概率反推对应数量问题 6.几何概型的应用与计算 7.用举法求解概率问题 8.列表法或树状图法的概率求解 9.游戏的公平性的概率分析与判断 期末备考 压轴通关 (15题) 【考点01.事件的分类与概率的基本概念】 1. 核心知识梳理 *必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件，概率P=1； *不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件，概率P=0； *随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，概率0<P<1； *概率的意义：表示一个随机事件发生的可能性大小的数值，取值范围是0≤P≤1。 2. 经典例题解析 例1：下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为6 B. 打开电视机，正在播放动画片 C. 在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等 D. 若a是实数，则|a|＜0 解析：选项A是随机事件（抛掷骰子点数不确定）；选项B是随机事件（电视节目不确定）；选项C是必然事件（同圆等圆中弧与圆心角的性质）；选项D是不可能事件（绝对值非负）。答案：C 3. 易错警示 易错点：混淆“随机事件”与“必然事件”！比如“明天会下雨”是随机事件，而非必然事件；“三角形内角和为180°”才是必然事件，判断时要紧扣“一定发生”“一定不发生”的定义。 【考点02.等可能条件下概率的计算(列表法+决策类问题)】 1. 核心公式与方法 核心公式：P(A) = 事件A发生的结果数 / 所有等可能结果的总数 适用场景： *列表法：适用于两步试验（如两次抛掷骰子、两次摸球），能清晰列出所有等可能结果； *树状图法：适用于两步及以上试验（如三次摸球、两次抛掷硬币+一次抽卡片），避免遗漏或重复结果。 2. 经典例题解析 例2：一个不透明的袋子中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球。求两次摸出的球都是红球的概率。 解析：本题是“两步试验（有放回）”，用列表法求解： 第一步：列出所有等可能结果（红球记为R1、R2，白球记为W1、W2、W3） 第一次\第二次 R1 R2 R1 (R1,R1) (R1,R2) R2 (R2,R1) (R2,R2) W1 (W1,R1) (W1,R2) W2 (W2,R1) (W2,R2) W3 (W3,R1) (W3,R2) 第二步：计算总数与符合条件的结果数。所有等可能结果总数为5×5=25；两次都是红球的结果有(R1,R1)、(R1,R2)、(R2,R1)、(R2,R2)，共4种。 第三步：求概率。P(两次都是红球)=4/25。 例3：在例2的条件下，若“摸出后不放回”，求两次摸出的球都是红球的概率。 解析：无放回试验，用树状图法更清晰： 第一步：画树状图（第一次：R1、R2、W1、W2、W3；第二次：若第一次摸R1，第二次有R2、W1、W2、W3，共4种） 第二步：计算结果总数。第一次5种，第二次4种，共5×4=20种等可能结果； 第三步：符合条件的结果数。两次都是红球：(R1,R2)、(R2,R1)，共2种； 第四步：概率P==。 3. 易错警示 易错点1：混淆“有放回”与“无放回”！有放回试验中，每次试验的总结果数不变；无放回试验中，总结果数逐次减少，这是计算的关键区别。 易错点2：列举结果时遗漏或重复！比如用列表法时，要确保横向和纵向的结果不重复；树状图要按“分步”清晰绘制，每一步的结果数准确。 【考点03.用频率估计概率】 1. 核心知识梳理 频率：在n次重复试验中，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值（m/n）； 规律：当试验次数很大时，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是事件A的理论概率； 应用：通过大量重复试验求频率，进而估计概率（适用于无法直接计算理论概率的场景，如投篮命中概率、产品合格率）。 2. 经典例题解析 例4：某运动员进行投篮训练，每次投篮的结果只有命中或未命中，每次投篮相互独立。下表是他多次投篮试验的结果： 试验次数n 10 50 命中次数m 7 36 命中频率m/n 0.7 0.72 （1）估计该运动员投篮一次命中的概率；（2）若该运动员投篮1000次，估计命中的次数。 解析：（1）观察表格，当试验次数逐渐增多时，命中频率稳定在0.72附近，因此估计投篮一次命中的概率为0.72； （2）命中次数≈总次数×概率=1000×0.72=720次。 3. 易错警示 易错点：用少量试验的频率代替概率！比如只做10次试验，频率为0.7，就认为概率是0.7，这是错误的。只有试验次数足够大时，频率才接近概率，估计结果才更可靠。 【考点04.概率的实际应用】 1. 核心思路 游戏公平性判断：计算双方获胜的概率，若概率相等，则游戏公平；若不相等，则不公平； 决策类问题：根据概率大小判断方案的可行性（如中奖概率、合格概率是否符合要求）。 2. 经典例题解析 *例5：甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：在一个不透明的袋子中装有分别标有数字1、2、3的三个小球，这些球除数字外完全相同，先由甲随机摸出一个球，记下数字后放回，再由乙随机摸出一个球，记下数字。若两人摸出的数字之和为偶数，则甲获胜；若和为奇数，则乙获胜。判断这个游戏是否公平，并说明理由。 *解析：第一步：用列表法列出所有等可能结果： 甲\乙 1 2 3 1 (1,1)和2 (1,2)和3 (1,3)和4 2 (2,1)和3 (2,2)和4 (2,3)和5 3 (3,1)和4 (3,2)和5 (3,3)和6 第二步：计算总结果数和双方获胜的结果数。总结果数=3×3=9； 甲获胜（和为偶数）的结果：(1,1)、(1,3)、(2,2)、(3,1)、(3,3)，共5种； 乙获胜（和为奇数）的结果：(1,2)、(2,1)、(2,3)、(3,2)，共4种； 第三步：计算概率。P(甲获胜)=5/9，P(乙获胜)=4/9； 第四步：判断公平性。因为5/9≠4/9，所以游戏不公平。 【题型1.随机实验的所有可能结果枚举】 【典例】班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【跟踪专练1】第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为 ． 【跟踪专练2】众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A． B． C． D． 【题型2.概率的概念与意义解读】 【典例】在研究随机事件的概率中，有的是等可能事件，可以算出理论概率，有的理论概率计算复杂，还有的是非等可能事件，这两种事件的概率选择用实验的方法，通过增加实验的频次，用频率估计概率，下面是利用计算机模拟实验估计50个人中有两人生日相同的概率曲线图，通过图中数据可知40个人中两人生日相同的概率接近 ．（精确到） 【跟踪专练1】学完《概率初步》这章后，老师让同学结合实例说说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（　　） A．甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件 B．乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是不可能事件 C．丙说某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 D．丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 【跟踪专练2】投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a、b．那么方程有解的概率是 ． 【题型3.利用概率公式进行概率计算】 【典例】一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径则它获得食物的概率是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一张圆桌旁设有4个座位，甲先坐在如图所示的座位上，乙、丙、丁3人等可能地坐到其他3个座位上，记乙与甲不相邻而坐的概率为、丙与丁相邻而坐的概率为，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【跟踪专练2】某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C．从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D．同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 【题型4.基于概率的实际决策与判断】 【典例】用12个球设计一个摸球游戏，下面设计的四种方案中，不恰当的设计是（   ） A．摸到红球、白球、黄球的概率均为 B．摸到红球的概率，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是 C．摸到红球的概率是，摸到白球、黄球的概率都是 D．摸到红球的概率是，摸到黄球的概率也是 【跟踪专练1】一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从到的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于则密码的位数至少需要 位． 【跟踪专练2】一个袋中装有偶数个球，其中红球个数恰好是黑球的2倍，甲、乙、丙是三个空盒．小邱每次从袋中任意取出两个球，先将一个球放入甲盒，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒：如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是 ； （2）若乙盒中最终有5个红球，3个黑球，则袋中原来最少有 个球． 【题型5.已知概率反推对应数量问题】 【典例】一只不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则黄球的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【跟踪专练1】在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在30%，则可估计口袋中白球的个数是 ． 【跟踪专练2】在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在左右，则m的值大约为（   ） A．20 B．40 C．60 D．100 【题型6.几何概型的应用与计算】 【典例】如图是一个六等分圆盘，向圆盘中随机投掷飞镖，落在阴影部分的概率是 ． 【跟踪专练1】如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】篮球板的长为，宽为，篮板上在圆形球框的上方有一个长 ，宽的投球框．一般情况下，投篮板球时，只要篮球磕到这个投球框内，就能投中．某班学生学习投篮板球，试求事件“投球一次，恰好投中”的概率为 ．（以上数据均属假设，并且，每次投篮时，篮球都能与篮球板接触） 【题型7.用列举法求解概率问题】 【典例】经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一张圆桌旁有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个座位上，则与不相邻而坐的概率为 ． 【跟踪专练2】在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氧化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（    ） A． B． C． D． 【题型8.列表法与树状图法的概率求解】 【典例】有三张硬纸片，背面相同，正面分别涂成两红一绿，现把三张硬纸片背面朝上，放在一起，洗匀后，从中任意抽取两张，其中抽到一张是红牌和一张是绿牌的概率是 ． 【跟踪专练1】某校举行“激情十月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，若不设并列奖，则甲、乙同学获得前两名的概率是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知有四张正面分别标有数字，0，，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ． 【题型9.游戏公平性的概率分析与判断】 【典例】小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 【跟踪专练1】甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是 的．（填“公平”或“不公平”） 【跟踪专练2】小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（    ） A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测 1．小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表：下列说法正确的是（　　） 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次 B．若抛掷图钉100次，则一定有64次“钉尖不着地” C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”概率为0.8 2．一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是 ． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有 个球． 3．有五张正面分别标有数字，，，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，先将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将抽取到的卡片上的数字记作，则使直线与轴交于正半轴的概率为 ． 4．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 5．甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6.有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 7．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 8．如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 9．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 10．某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为 ． 11．小明家客厅里装有一种开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况． (1)若小明任意按下一个开关，小明打开走廊灯的概率是______； (2)若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，刚好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明． 12．“一岁一端午，一年一安康．”端午节期间，某商场的打折销售活动规定：凡在本商场购物满180元，可转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘），并根据所转结果付账，转盘如图所示． (1)分别求出打七五折，打五折的概率； (2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付账300元，求他俩获得优惠的所有情况． 13．某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 14．甲、乙两名同学玩一个游戏：将正面分别写着数字，0，1，2的四张卡片（注：这四张卡片的形状、大小质地、颜色等其它方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这四张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，甲从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为；再把剩下的三张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，乙从这三张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，若，则甲获胜；否则乙获胜． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 15．如图为一个的正方形格子，现在给其中的三个小正方形染色，求被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $