期末复习03圆期末冲刺通关必备讲义(知识梳理+题型精析+备考压轴通关)2025-2026学年苏科版九年级数学上册

该初中数学圆单元复习讲义通过知识框架图和对比表格系统梳理核心知识，涵盖定义、相关概念、位置关系、垂径定理、圆心角-弧-弦关系等要点。用表格归纳弦与直径、优弧与劣弧的区别联系，用思维导图呈现垂径定理“知二推三”的逻辑关系，突出易错点辨析和解题方法提炼。 讲义亮点在于分层设计10类常考题型，从基础概念辨析到实际场景应用。如“排水管水位计算”题培养用数学眼光观察现实世界的能力，“弧弦圆心角关系证明”题发展推理思维。提供“作弦心距构造直角三角形”等技巧，步骤规范，帮助基础生掌握方法，优秀生突破压轴题，助力教师精准教学。

期末复习03圆期末冲刺通关必备讲义 1.掌握圆的核心概念（定义、弦、弧、圆心角等），能准确辨析； 2.会用 d 与 r 的关系判断点与圆的位置； 3.掌握垂径定理、圆心角 - 弧 - 弦关系定理，能运用定理计算（弦长、半径等）和证明； 4.规避易错点，形成规范解题思路。 期末必备 知识点梳理 1.圆的定义 2.圆的相关概念 3.点与圆的位置关系 4.园的对称性特征 5.垂径定理及推论 6.圆心角.弧.弦的关系定理 7.易错点总结 8.解题方法及技巧 常考题型 精讲精炼 1.圆的核心基本概念 2,圆的周长和面积计算 3.点与圆的位置关系判定 4.由点圆位置关系反推半径 5.点到圆上点的最值分析 6.垂径定理的数值计算应用 7.垂径定理的推论拓展 8.垂径定理的实际场景应用 9.弧.弦.圆心角的关系计算 10.弧.弦.圆心角的关系证明 期末备考 强化通关 压轴(18) 【知识点01.圆的定义】 圆的定义（两种表述） 1.描述性定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。 2.集合性定义：圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。 *强调：圆指的是 “圆周”（曲线），而非 “圆面”；定点为圆心，定长为半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 【知识点02.圆的相关概念】 概念 定义 注意事项 弦 连接圆上任意两点的线段 直径是最长的弦（直径过圆心）；弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦 直径 = 2× 半径（d = 2r） 弧 圆上任意两点间的部分 弧用符号 “⌒” 表示，如弧 AB 记作 劣弧 小于半圆的弧 用两个字母表示（如) 优弧 大于半圆的弧 用三个字母表示（如，C 为弧上任意一点） 半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成的两条弧 半圆既不是劣弧也不是优弧 圆心角 顶点在圆心，两边都与圆相交的角 圆心角的度数等于它所对弧的度数 同心圆 圆心相同，半径不同的两个圆 位置相同，大小不同 等圆 能够重合的两个圆（半径相等） 半径相等的圆是等圆，等圆的半径相等 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧 等弧的长度相等且所对圆心角相等；长度相等的弧不一定是等弧（需同圆 / 等圆） 【知识点03.点与圆的位置关系】 设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则： *点 P 在圆内 ⇔ d < r *点 P 在圆上 ⇔ d = r *点 P 在圆外 ⇔ d > r 【知识点04.垂径定理及推论】 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 符号语言：在⊙O 中，直径 CD ⊥ 弦 AB 于点 E， 则：① AE = BE（平分弦）； ②=（平分劣弧）； ③=（平分优弧）。 条件拆解：① 直径（过圆心的直线 / 线段）；② 垂直于弦 → 结论：平分弦、平分弦所对的两条弧。 （2）垂径定理的推论（“知二推三”） 在圆中，对于一条直线和一条弦，若满足以下五个条件中的任意两个，即可推出另外三个： 1 过圆心（直线为直径 / 半径所在直线）； 2 垂直于弦； 3 平分弦（非直径的弦）； 4 平分弦所对的劣弧； 5 平分弦所对的优弧。 注意：若条件③为 “平分弦”，则弦不能是直径（因为任意两条直径互相平分，但不一定垂直）。 （3）垂径定理的应用技巧 *辅助线：过圆心作弦的垂线（构造直角三角形），垂足为弦的中点； *公式：设圆的半径为 r，弦长为 l，弦心距（圆心到弦的距离）为 d，则 ()2+d2=r2（勾股定理的应用，核心公式）。 【知识点05.圆心角.弧.弦的关系定理】 （1）基本定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 符号语言：在⊙O 中，若∠AOB = ∠COD，则 =，AB = CD。 （2）推论（“知一推二”） 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中只要有一组量相等，其余各组量都分别相等。 *即：① ∠AOB = ∠COD ⇔ ② =⇔ ③ AB = CD（同圆 / 等圆中）。 *注意：必须强调 “同圆或等圆”，否则结论不成立（如大圆的小圆心角可能对应弧长大于小圆的大圆心角对应弧长）。 【知识点06.易错点总结】 1.混淆 “圆”（圆周）与 “圆面” 的概念，误认为圆包括内部区域； 2.垂径定理推论中忽略 “弦非直径” 的条件，认为 “平分弦的直径垂直于弦” 恒成立； 3.应用圆心角、弧、弦的关系时，忘记 “同圆或等圆” 的前提； 4.计算弦长时，未作弦心距辅助线，不会利用勾股定理； 5.优弧的表示方法错误（仅用两个字母）。 【知识点07.解题方法与及技巧】 1.概念类题目：紧扣定义，逐一排除错误选项（重点关注 “同圆 / 等圆”“非直径弦” 等限定条件）； 2.计算类题目（弦长、半径、弦心距）： *核心步骤：作弦心距→利用垂径定理得弦的一半→结合勾股定理计算； *公式：()2+弦心距2=半径2； 3.证明类题目（弧、弦、圆心角相等）： *先确认 “同圆 / 等圆” 前提→找到已知相等的量→利用 “知一推二” 结论证明。 【题型1.圆的核心基本概念】 【典例】已知是半径为4的圆内的一条弦，则的长不可能是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解题的关键．根据圆内弦的性质，弦的长度不超过直径，直径为8，因此的长度不能大于8． 【详解】解：由题意知，该圆的直径为8， 圆中最长的弦为直径， ， 选项A中，故的长不可能为9，符合题意， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，是的直径，点，在上，且点，在的异侧，连接，，．若，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，同圆半径相等，等边对等角，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关性质和定理．由平行线的性质，可得的度数，从而可得的度数，根据三角形的内角和定理计算可得的度数，再根据平角的定义即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， 故答案为： 【跟踪专练2】下列说法正确的是（    ） A．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本概念，包括直径、弦、半圆和等弧的定义和性质，利用圆的有关性质分别判断后及可确定正确的选项． 【详解】解：A、过圆心的点可作无数条直径，过非圆心的点不能作直径，故A错误； B、 直径是经过圆心的弦，但弦不一定是直径，故B错误； C、半圆是轴对称图形，其对称轴是垂直于其直径的半径所在的直线，是轴对称图形，故C正确； D、 等弧需在同圆或等圆中长度相等且重合，仅长度相等不一定等弧，故D错误； 故选：C． 【题型2.圆的周长和面积计算】 【典例】一个圆的周长是，另一个圆半径是这个圆的半径的一半，则另一个圆的面积是 （取）． 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长和圆的面积，先根据一个圆的周长是，求出另一个圆的半径，再结合圆面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵另一个圆半径是这个圆的半径的一半， ∴， ∴另一个圆的面积是， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，弦的长为3，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆的面积公式，证明为等边三角形得出，再由圆的面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：D． 【跟踪专练2】如图是由10个半径相同的圆组合而成的烟花横截面，点A、B、C分别是三个角上的圆的圆心，且三角形为等边三角形，若圆的半径为，组合烟花的高为，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计） ．（取3） 【答案】960 【分析】本题考查了圆的周长、等边三角形的性质，先根据圆和等边三角形的相关知识点求出烟花的截面周长，结合组合烟花的高为，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可得：等边三角形的边长， ∴等边的周长是， ∵圆的周长， ∴烟花的截面周长， ∴组合烟花侧面包装纸的面积． 故答案为：960． 【题型3.点与圆的位置关系判定】 【典例】的半径为，点M到圆心O的距离，则点M与的位置关系为（　　） A．点M在圆上 B．点M在圆外 C．点M在圆内 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系，掌握知识点是解题的关键． 根据点与圆的位置关系，比较点到圆心的距离与半径的大小即可判断． 【详解】解：的半径为，点M到圆心O的距离， ∴， ∴点M在圆外． 故选B． 【跟踪专练1】已知的直径是6，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在的 （填“内部”、“外部”、“上”） 【答案】外部 【分析】本题考查了解一元二次方程，点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆的半径为，点到圆心的距离是，①当时，点在内，②当时，点在上，③当时，点在外．先解一元二次方程，根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解： 解得或（舍）， ∵点到圆心的距离为方程的一个根 ∴， ∵的直径是6， ∴半径为， ∴， ∴点在的外部， 故答案为：外部． 【跟踪专练2】如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么点D与这条圆弧所在圆的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 【答案】A 【分析】因为圆心到A，B，C三点距离相等，所以圆心在的垂直平分线上，根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，比较半径和的长度即可得出结论． 【详解】解：∵圆心到A，B，C三点距离相等， ∴圆心在的垂直平分线上， 故如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点． 即为圆心， 则， ， ∵， ， 点在这条圆弧所在圆的圆内． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂直平分线，点和圆的位置关系，实数的比较大小，勾股定理，数形结合是解答此题的关键． 【题型4.由点圆位置关系反推半径】 【典例】已知的半径为5，点P在上，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了半径的定义，根据“圆上的点到圆心的距离等于半径”，即可解答． 【详解】解：∵的半径为5，点P在上， ∴， 故答案为：5． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置的关系． 根据题意，则只有B点在圆内才满足条件，根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：连接， 在中，， 若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D三点，只有一点在圆内， 则只有B点在圆内才满足条件， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】一个点到圆上的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部和外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径， 半径为； ②当点在圆外时，如图2， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径， 半径为， 综上所述，圆的半径为或， 故答案为：或． 【题型5.点到圆上点的最值分析】 【典例】已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内还是圆外分类讨论是解题关键． 设这个点到圆心距离为，圆的半径为．当这个点在圆外时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为；当这个点在圆内时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为，分别计算出结果即可． 【详解】设圆的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ． ∵ 点 到圆上点的最大距离为 ，最小距离为 ． 情况一：点 在圆外时， 有 ，， ∴ 两式相加：，， 代入 ，得 ； 情况二：点 在圆内时， 有 ，， ∴ 两式相加：，． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，为半径为8的的弦，沿弦折叠经过圆心，点P为上一动点，连接，过点F作的垂线，垂足为H，连接，则最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．取的中点，连接，，当点共线时，有最小值，最小值为的长，，是等腰直角三角形，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接，， ∵为的弦， ∴， ∵沿弦折叠经过圆心， ∴是半径的一半， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为直径的上， ∴当点共线时，有最小值，最小值为的长， 此时，是等腰直角三角形， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，连接交延长，交于点，过点作，利用勾股定理可以求出 ，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可知，当点、、共线时有最大值，最大值是，所以的最大值是． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，过点作， 点的坐标为， ，， ， 点，点关于原点对称， ， ， ， ， 当最大时最大， 当点、、共线时有最大值， 的半径为， 的最大值是， 的最大值是． 故选：B． 【题型6.垂径定理的数值计算应用】 【典例】如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出的长是解此题的关键．由垂径定理求出，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴，， ∵的直径为5， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【跟踪专练1】半径为圆内的两条平行弦分别为和长，则两条平行弦之间距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意可得两条平行弦的位置关系分为当和在的两旁时，当和在的同旁时两种情况，分别画出图形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：如图，当和在的两旁时，过作于，交于N，连接，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴； 如图，当和在的同旁时， 同理可得：； 故答案为：或． 【跟踪专练2】如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键． 过点O作，连接，根据已知条件求得，，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得，根据勾股定理即可求得，根据垂径定理即可得出答案． 【详解】解：过点O作，连接， ∵是的直径，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在中 ， ∵， ∴， 故选：C． 【题型7.垂径定理的推论拓展】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，是的直径，点在上，，垂足为，，点是上的动点（不与重合），点为的中点，若在运动过程中的最大值为4，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了四点共圆，垂径定理的推论，勾股定理，由垂径定理的推论可得，则可证明点，，，在以为直径的圆上，则的最大值为的长，据此求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 连接，， 点是的中点， ， ， ， ， ， 点，，，在以为直径的圆上， ， ∵， ∴, 在中，根据勾股定理得， 故选A． 【跟踪专练2】如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，根据题意可知，，从而得到，，得，得到，得，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，计算的值即可． 【详解】解：点D是弧的中点， ， 为的直径，， ， ，， ， ， ， 设圆的半径为R，连接， 根据勾股定理，得到， 解得， 故答案为：15． 【题型8.垂径定理的实际场景应用】 【典例】一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径，截面圆圆心为，当水面宽时，水位高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是掌握垂径定理．由垂径定理可得，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 水位高为， 故选：B． 【跟踪专练1】数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为 ． 【答案】10 【分析】本题考查垂径定理，找出正确的圆心是解决本题的关键． 连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意得，圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为， ∴，，， 在中，， 解得， 圆形工件的半径为． 故答案为：． 【跟踪专练2】图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的平面示意图，过顶点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点A，B在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩截面所在圆的半径为（    ） A．15.5cm B．15.6cm C．15.7cm D．15.8cm 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接交于点，设灯罩截面所在圆的圆心为，连接，设灯罩截面所在圆的半径为,则由勾股定理可得，，据此即可求出答案． 【详解】解：连接交于点， ∵都垂直于．， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴于点M， ∴， ∴， 设灯罩截面所在圆的圆心为，连接， 设灯罩截面所在圆的半径为,则 由勾股定理可得，， 即 解得 即灯罩截面所在圆的半径为 故选：B 【题型9.弧.弦.圆心角的关系计算】 【典例】如图，在中，，，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题主要考查了弧与弦的关系，等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握同加油或等圆中，等弧所对弦相等解题的关键．由题意得出，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练1】下列说法中正确的是（   ） 直径是弦；长度相等的两条弧是等弧； 相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的基本概念，弦、弧、圆心角等关系，垂径定理推论，根据圆的基本概念，弦、弧、圆心角等关系，垂径定理推论逐一分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直径是经过圆心的弦， ∴正确，符合题意； ∵等弧需在同一个圆或等圆中长度相等才成立， ∴错误，不符合题意； ∵相等的圆心角所对的弧相等需在同一个圆或等圆中， ∴错误，不符合题意； ∵平分弦的直径垂直于弦，但弦不能是直径（否则可能不垂直）， ∴错误，不符合题意； 故选：． 【跟踪专练2】如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 如图，取弧的中点，利用得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用三角形三边的关系得，于是有． 【详解】解：如图，取弧的中点，则， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型10.弧.弦.圆心角的关系证明】 【典例】如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦心距的关系，根据“在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等”进行判断即可 ． 【详解】解：∵在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等． ∴①若，则，所以，此说法正确； ②若，则，所以，此说法正确； ③若，则，所以，此说法正确； ④若，则O点到弦的距离相等，所以，此说法正确； ∴说法正确的是①②③④，共4个， 故选：D． 【跟踪专练1】已知，是同圆的两段弧，且，则弦与之间的数量关系为 ．（填“>”，“=”，“<”） 【答案】< 【分析】本题主要考查了圆弧与弦的关系，三角形三边的关系．熟练掌握同圆中等弧对等弦，三角形任意两边的和大于第三边，是解决问题的关键． 画图，取的中点E，连接，，根据，，得到，得到，根据，即得． 【详解】如图，取的中点E，连接，， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：<． 【跟踪专练2】观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的圆心角、弧、弦的相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．根据圆的圆心角、弧、弦的相关知识逐一分析即可解答． 【详解】解：A、由于两条弧不在同圆或等圆中，则，故A选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，两条弧相等，所对弦相等，故B选项正确，符合题意； C、弧的度数等于它所对圆心角的度数，则，故C选项错误，不符合题意； D、因为不是圆心角，则，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 1．下列说法：①长度相等的弧是等弧：②直径是圆中最大的弦；③相等的圆心角所对的弦相等，④平分弦的直径垂直于弦，你认为正确的共有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，解题的关键是掌握圆的相关性质． 本题考查圆的基本性质，包括等弧、弦、圆心角等概念，需要根据圆的性质逐一判断每个说法的正确性． 【详解】解： ① 长度相等的弧必须是同圆或等圆中才称为等弧，故错误； ② 直径是圆中最大的弦，正确； ③ 相等的圆心角所对的弦相等必须在同圆或等圆中才成立，故错误； ④ 平分弦的直径垂直于弦，必须弦不是直径才成立，故错误。 ∴ 正确的只有②，共1个， 故选：B． 2．如图，的半径为4，以圆外一点为圆心，半径为画弧，将截成弧长相等的两部分，已知两点之间的距离为，则的值为（   ） A． B．16 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的有关概念，垂直平分线的定义，勾股定理．由将截成弧长相等的两部分得为直径，根据题意可得，，，则垂直平分，然后根据勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵将截成弧长相等的两部分， ∴为直径， ∴，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，⊙O中，弦，若于点P，且，则的半径为（    ） A．cm B．cm C．5cm D．6cm 【答案】C 【分析】本题考查了圆的弦长性质与勾股定理的应用，解题关键是通过作弦的垂线构造矩形和直角三角形，利用弦长、距离与半径的关系列方程求解． 过圆心作的垂线，利用垂径定理得弦的一半为，结合知四边形为矩形，再通过勾股定理先求弦心距的平方，最终求出圆的半径即可． 【详解】如图：过点O作，连接， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 设，，半径， 在中，由勾股定理得 即 ①， 在中，由勾股定理得 即 ②， 由①②可知 ， 在中，，由勾股定理得 即， ， ， 解得， ， ， ． 故选C． 4．以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆环，根据圆环的面积公式计算即可求解，关键是熟练掌握圆环的面积公式． 【详解】解： ． 故亚运会标志的水纹的面积为． 故答案为：． 5．如图，在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的定义，三角形的面积，含30度角的直角三角形的性质，过点作于点，以为圆心作为半径的圆，当在的延长线上时，的面积的最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，以为圆心作为半径的圆， ∵， ∴当在的延长线上时，的高取得最大值，则的面积最大， ∵， ∴， ∴， ∴的面积的最大值为， 故选：D． 6．如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，取的中点，连接，，根据三角形的中位线定理可得，推出点的运动路径是以为圆心半径为的圆． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，，， ∵是 的中点，半径为， ∴是的中位线， ∴， ∴点的运动路径是以为圆心半径为的圆， ∵，， ∴， ∴， ∵为上任意一点， ∴，当点、、共线时取等号， 此时取得最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理，两点间距离，三角形三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点的运动路径． 7．在中，，，，点是以点为圆心，为半径的圆上一点，连接，点为中点，线段长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取的中点，连接，，，由勾股定理得，然后通过直角三角形性质可得，又是的中点，是的中点，则，通过即可求出线段长度的最大值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ∵，，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴最大值为， 故答案为：． 8．如图，在四边形中，，，，，点为的中点，连接、，则的面积的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，点和圆的位置关系，勾股定理等，延长相交于点，连接，可得，即得，得到点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，过E点作于，当与圆弧的交点和点重合时，的边上的高最短，此时的面积的最小，再利用直角三角形的性质和勾股定理可求得，即得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线并找出点的运动轨迹是解题的关键． 【详解】解：如图，延长相交于点，连接， ∵，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，如图所示， 过点作于，当与圆弧的交点和点重合时，的边上的高最短，此时的面积的最小，如图， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴， ∴的面积的最小值为， 故答案为：． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知，，经过点，是上的一动点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，，由旋转可得，，，再证明，得到，从而得到点C在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，当点C运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为，当点C运动至与的交点处时，取得最小值为，再根据勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，， ∵，经过点， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得：，，， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∴点C在以点E为圆心，1为半径的圆上运动， ∴当点C运动至的延长线与的交点处时， 取得最大值为， 当点C运动至与的交点处时， 取得最小值为， 在中，， 的取值范围是． 【点睛】本题考查了平面直角坐标，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆的知识，掌握相关知识是解题的关键． 10．如图1，已知是中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，设弦，，y关于x的函数图象如图2所示，当时，求的长（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查动点的函数图象，垂径定理，勾股定理，连接，作，则，证明，得到，进而得到，根据函数图象得到圆的半径为1，设，得到，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接，作，则：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由图象可知，当时，，此时为直径， ∴圆的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理，得， ∴， ∴； 故选D． 11．在平面直角坐标系中，的半径为1，若平移d个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称d的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图，，则对线段的“最近覆盖距离”为3． (1)对点的“最近覆盖距离”为________________； (2)点P是函数图象上一点，且对点P的“最近覆盖距离”为2，则点P的坐标为________； (3)若一次函数的图象上存在点C，使对点C的“最近覆盖距离”为，求k的取值范围； (4)，且，将对线段的“最近覆盖距离”记为d，直接写出d的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4) 【分析】（1）求出原点到点的距离，再将距离减1即为对该点的“最近覆盖距离”； （2）设点P的坐标为，根据对点P的“最近覆盖距离”为2可列方程求解； （3）根据题意可得，一次函数与x轴的交点为，对和的临界状态进行分类讨论； （4）根据题意可得倾斜角度为，长度为，，对m的取值范围进行分类讨论，列不等式求出d的取值范围． 【详解】（1）解：原点到点的距离为，的半径为1， “最近覆盖距离”为， 答：． （2）解：设点， 原点到点的距离为，对点P的“最近覆盖距离”为2， ， ， 解得，，分别代入， 可得点的坐标为或， 答：或． （3）解：如下图，一次函数分别交x、y轴于E、D点，过O做于点C，考虑临界状态，一次函数上存在点C，使对点C的“最近覆盖距离”为， 时， 中，时，，时，， ， ，， 当时， ，， ， ， ， 设，， 由勾股定理得， 解得，（舍去）， ，， 此时，， 经过分析可知，一次函数图像比临界状态更靠近轴时，则存在点C，即． 同理得，当时，， 答：的取值范围为或． （4）解：根据题意可得，且倾斜角度为， 可在圆上找到两条与之平行且相等的弦，， 当在上或在上，有， 当时，， 即； 当时，， 即； 综上，． 答：的取值范围为． 【点睛】本题主要考查“最近覆盖距离”问题，掌握圆的基本知识，两点间距离公式，一次函数的图像性质，三角形的相似与判定．找到临界状态并分类讨论是解题关键． 12．【概念】在初中数学中，我们学习了“两点间的距离”、“点到直线的距离”、“平行线之间的距离”．距离的本质是“最短”． 给出新定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“距离”，记作．特别地，若图形M、N有公共点，规定． 【理解】 (1)如图1，过A、B作垂线段分别交直线于点C、D、E、F，则是 的长度． A．垂线段   B．垂线段  C．垂线段   D．垂线段 (2)如图2，已知线段，请画出同时满足下列2个条件的所有线段． ①线段长为； ②． 注：标注必要的数据；若满足条件的线段是有限的，请画出；若满足条件的线段是无限的，请用阴影表示所在区域． (3)如图3，已知的圆心为，半径为1．若，请直接写出的取值范围 ． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)或或 【分析】本题属于圆综合题，考查了垂线段最短，直线与圆的位置关系，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据图形M、N间的“距离”的定义以及垂线段的性质即可解决问题． （2）满足条件的线段是无限的，所形成的图形为椭圆环． （3）当到直线的距离为2时，，当到的距离为2时，或，观察图象即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， 根据垂线段最短可知：的长度， 故选：C． （2）解：满足条件的线段是无限的，如图2中阴影部分． （3）解：如图3中， 设直线表达式为，直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，把代入， ， 解得：， 则直线表达式为， 当时，，当时，， ， ， ， 当点M在左侧时，作于H， 当的圆心M到直线的距离为2时，即， ， ， 同理，当点M在右侧时， 当到的距离为2时，或． 观察图形可知当或或时，． 故答案为：或或． 13．弦把分成，连接、，过的中点A作，交于B，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，垂直平分线的性质，借助辅助线构造等边三角形是解题关键． 连接、、，延长交于点C，利用弦把分成1:3，可计算出，由于，所以，由于点A为的中点，可得垂直平分，根据垂直平分线的性质可判断为等边三角形，则，根据，可求的度数． 【详解】解：如图，连接、、， ∵弦把分成， ∴， ∵， ∴， ∵点A为的中点， ∴点C为的中点， 即垂直平分， ∴， 而， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的度数为． 答：的度数为． 14．【新知引入】定义：如图（1），点M，N把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． （1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，则___________． 【探究证明】 （2）如图（2），在中，，M，N在线段上，且．求证：点M，N是线段的勾股分割点． 【拓展应用】 （3）如图（3），在中，圆心角，P是上一动点，连接，分别作的垂直平分线，分别交直线于点C，D，已知，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出线段的长．    【答案】（1）或；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）分是直角三角形的斜边和直角边两种情况，分运用由勾股分割点的求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，证明，得到，在中，，即，即可得到点，是线段的勾股分割点； （3）分点P在上方和下方两种情况讨论，连接，当点P在上方，根据题意易得都是等腰三角形，同理（2）可证点C，D是线段的勾股分割点，得到，证明，推出，设，则，利用勾股定理即可建立一元二次方程求解即可，点P在下方，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵点，是线段的勾股分割点， ∴分两种情况： 当为斜边时，． 当为斜边时，． ∴或； 故答案为：或； （2）证明：， ， 将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，，．    ∵，， ∴，即， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴在中，，即， ∴点，是线段的勾股分割点． （3）解：如图，当点P在上方时，连接，    ∵点在上， ∴是的内接三角形， ∴分别在的垂直平分线上， ∵， ∴都是等腰三角形， ∴， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵圆心角， ∴， 由（2）同理可证点C，D是线段的勾股分割点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则． ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 当点P在下方时，如图，    ∵， ∴， 同理得点A，B是线段的勾股分割点， ∴， 同理上一种情况得， 设，则， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，正确添加辅助线、构造全等三角形解决问题是解题的关键． 15．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为______； (2)是否存在一个时刻，使得点Q在的垂直平分线上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值． 【答案】(1)28； (2)存在，； (3)当或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，由题意得出，，，，由矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可得出答案； （2）由得出，解方程可得出答案； （3）证出A、P、D三点在以为直径的圆上，由圆周角定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ，，， 由题意得：，， ，， 当时，，，，， 的面积， 故答案为：28； （2）解：存在； 当时，Q在DP的垂直平分线上， ， 解得，舍去，； （3）解：， 、P、D三点在以DP为直径的圆上， 若点Q也在圆上，则， ，，，， ； 解得，， 当或时，A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质、三角形面积、勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键． 16．如图①、②，点分别在圆外、在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】 (1)已知点到圆上的点的最短距离为3，最长距离为7．则圆的半径为_____． (2)如图③点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，求线段的最值． (3)如图④，正方形中，点分别为上的动点，且，、交于，点为的中点，点为上一个动点，连接．若，求的最小值． 【答案】(1)2或5 (2)线段的最大值为，最小值为； (3) 【分析】（1）分两种情况：若点在圆外，若点P在圆内，即可求解； （2）取点，连接，可得是的中位线，从而得到当线段取得最大值时，线段也取得最大值；当线段取得最小值时，线段也取得最小值，连接，并延长交圆P于点、，当点B位于点时，线段有最大值；当点B位于点时，线段有最小值，根据点P，点D的坐标与圆P的半径即可求出的长，进而即可解答； （3）证明，可得，从而得到，进而得到点E在以为直径的圆上运动；取的中点O，作点F关于的对称点H，连接，可得到当E，P，H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，当O，P，E三点共线时，有最小值，即此时有最小值，再求出的长，从而得到的长，进而得到的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，若点在圆外，此时，， ∴， ∴圆的半径为2； 如图②，若点P在圆内，此时，， ∴， ∴圆的半径为5； 综上所述，圆的半径为2或5； 故答案为：2或5； （2）解：取点，连接， ∵点， ∴点A为线段的中点， ∵点C为线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值；当线段取得最小值时，线段也取得最小值， 连接，并延长交圆P于点、， ∴当点B位于点时，线段有最大值；当点B位于点时，线段有最小值， ∵， ∴， ∵圆P的半径为，即， ∴， ∴线段的最大值为，最小值为 ∴线段的最大值为，最小值为； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上运动； 如图，取的中点O，作点F关于的对称点H，连接， ∴， ∴， ∴当E，P，H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴当O，P，E三点共线时，有最小值，即此时有最小值， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，坐标与图形，三角形中位线定理，正确理解一点到圆上一点的距离取值最值的情形是解题的关键． 17．已知内接于，，E是弧的中点，连结，交于点D，射线交的延长线于点F． (1)如图1， ①求证：； ②若，，求的长； (2)若直线与直线交于点G，且，求的度数． 【答案】(1)①见解析② (2)或 【分析】（1）①由垂径定理知，，，则，，因为，所以，则题目可证； ②设与交于点，连接，设，则，根据勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）利用分类讨论的思想方法分两种情况同理解答：①点在线段上时，连接，设，则，利用线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可；②点在线段的延长线上时，连接，类比①的方法解答即可． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， 是弧的中点， ， ， ， ， ， ； ②解：设与交于点，连接，如图， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ． （2）解：①点在线段上时，连接，如图， ， ， 设， ， 是弧的中点， ，， 为的垂直平分线， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②点在线段的延长线上时，连接，如图， ， ， 设， ， 是弧的中点， ，， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 综上，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理及其推论，线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，添加适当的辅助线构造等腰三角形与直角三角形是解题的关键． 18．请用直尺与圆规按要求完成下列作图． (1)如图：已知两个半径不同的圆，请用不同的方法分别画出两个圆的直径． (2)请再画出一个圆使得它的面积等于已知两个圆面积的和 (3)请再画出一个圆使得它的周长等于已知两个圆周长和的倍． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（）方法一：画圆的一条弦，作弦的垂直平分线，与圆的交点构成的线段即为圆的直径；方法二：作圆周角，连接，则线段即为所求； （）分别作出两个圆的圆心，确定出两个圆的半径，再以为直角边作直角三角形，最后以斜边为半径画，可知的面积为，即等于已知两个圆面积的和； （）以为边长作等边，再作直角，与的延长线相交于点，最后以半径，点为圆心画，由三角形函数可知，可得的周长为，即的周长等于已知两个圆周长和的倍； 本题考查了作圆及圆的直径，掌握圆的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：方法一：如图所示，线段即为所求； 方法二：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习03圆期末冲刺通关必备讲义 1.掌握圆的核心概念（定义、弦、弧、圆心角等），能准确辨析； 2.会用 d 与 r 的关系判断点与圆的位置； 3.掌握垂径定理、圆心角 - 弧 - 弦关系定理，能运用定理计算（弦长、半径等）和证明； 4.规避易错点，形成规范解题思路。 期末必备 知识点梳理 1.圆的定义 2.圆的相关概念 3.点与圆的位置关系 4.园的对称性特征 5.垂径定理及推论 6.圆心角.弧.弦的关系定理 7.易错点总结 8.解题方法及技巧 常考题型 精讲精炼 1.圆的核心基本概念 2,圆的周长和面积计算 3.点与圆的位置关系判定 4.由点圆位置关系反推半径 5.点到圆上点的最值分析 6.垂径定理的数值计算应用 7.垂径定理的推论拓展 8.垂径定理的实际场景应用 9.弧.弦.圆心角的关系计算 10.弧.弦.圆心角的关系证明 期末备考 强化通关 压轴(18) 【知识点01.圆的定义】 圆的定义（两种表述） 1.描述性定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。 2.集合性定义：圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。 *强调：圆指的是 “圆周”（曲线），而非 “圆面”；定点为圆心，定长为半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 【知识点02.圆的相关概念】 概念 定义 注意事项 弦 连接圆上任意两点的线段 直径是最长的弦（直径过圆心）；弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦 直径 = 2× 半径（d = 2r） 弧 圆上任意两点间的部分 弧用符号 “⌒” 表示，如弧 AB 记作 劣弧 小于半圆的弧 用两个字母表示（如) 优弧 大于半圆的弧 用三个字母表示（如，C 为弧上任意一点） 半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成的两条弧 半圆既不是劣弧也不是优弧 圆心角 顶点在圆心，两边都与圆相交的角 圆心角的度数等于它所对弧的度数 同心圆 圆心相同，半径不同的两个圆 位置相同，大小不同 等圆 能够重合的两个圆（半径相等） 半径相等的圆是等圆，等圆的半径相等 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧 等弧的长度相等且所对圆心角相等；长度相等的弧不一定是等弧（需同圆 / 等圆） 【知识点03.点与圆的位置关系】 设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则： *点 P 在圆内 ⇔ d < r *点 P 在圆上 ⇔ d = r *点 P 在圆外 ⇔ d > r 【知识点04.垂径定理及推论】 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 符号语言：在⊙O 中，直径 CD ⊥ 弦 AB 于点 E， 则：① AE = BE（平分弦）； ②=（平分劣弧）； ③=（平分优弧）。 条件拆解：① 直径（过圆心的直线 / 线段）；② 垂直于弦 → 结论：平分弦、平分弦所对的两条弧。 （2）垂径定理的推论（“知二推三”） 在圆中，对于一条直线和一条弦，若满足以下五个条件中的任意两个，即可推出另外三个： 1 过圆心（直线为直径 / 半径所在直线）； 2 垂直于弦； 3 平分弦（非直径的弦）； 4 平分弦所对的劣弧； 5 平分弦所对的优弧。 注意：若条件③为 “平分弦”，则弦不能是直径（因为任意两条直径互相平分，但不一定垂直）。 （3）垂径定理的应用技巧 *辅助线：过圆心作弦的垂线（构造直角三角形），垂足为弦的中点； *公式：设圆的半径为 r，弦长为 l，弦心距（圆心到弦的距离）为 d，则 ()2+d2=r2（勾股定理的应用，核心公式）。 【知识点05.圆心角.弧.弦的关系定理】 （1）基本定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 符号语言：在⊙O 中，若∠AOB = ∠COD，则 =，AB = CD。 （2）推论（“知一推二”） 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中只要有一组量相等，其余各组量都分别相等。 *即：① ∠AOB = ∠COD ⇔ ② =⇔ ③ AB = CD（同圆 / 等圆中）。 *注意：必须强调 “同圆或等圆”，否则结论不成立（如大圆的小圆心角可能对应弧长大于小圆的大圆心角对应弧长）。 【知识点06.易错点总结】 1.混淆 “圆”（圆周）与 “圆面” 的概念，误认为圆包括内部区域； 2.垂径定理推论中忽略 “弦非直径” 的条件，认为 “平分弦的直径垂直于弦” 恒成立； 3.应用圆心角、弧、弦的关系时，忘记 “同圆或等圆” 的前提； 4.计算弦长时，未作弦心距辅助线，不会利用勾股定理； 5.优弧的表示方法错误（仅用两个字母）。 【知识点07.解题方法与及技巧】 1.概念类题目：紧扣定义，逐一排除错误选项（重点关注 “同圆 / 等圆”“非直径弦” 等限定条件）； 2.计算类题目（弦长、半径、弦心距）： *核心步骤：作弦心距→利用垂径定理得弦的一半→结合勾股定理计算； *公式：()2+弦心距2=半径2； 3.证明类题目（弧、弦、圆心角相等）： *先确认 “同圆 / 等圆” 前提→找到已知相等的量→利用 “知一推二” 结论证明。 【题型1.圆的核心基本概念】 【典例】已知是半径为4的圆内的一条弦，则的长不可能是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【跟踪专练1】如图，是的直径，点，在上，且点，在的异侧，连接，，．若，且，则的度数为 ． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（    ） A．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 【题型2.圆的周长和面积计算】 【典例】一个圆的周长是，另一个圆半径是这个圆的半径的一半，则另一个圆的面积是 （取）． 【跟踪专练1】如图，在中，，弦的长为3，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是由10个半径相同的圆组合而成的烟花横截面，点A、B、C分别是三个角上的圆的圆心，且三角形为等边三角形，若圆的半径为，组合烟花的高为，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计） ．（取3） 【题型3.点与圆的位置关系判定】 【典例】的半径为，点M到圆心O的距离，则点M与的位置关系为（　　） A．点M在圆上 B．点M在圆外 C．点M在圆内 D．无法确定 【跟踪专练1】已知的直径是6，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在的 （填“内部”、“外部”、“上”） 【跟踪专练2】如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么点D与这条圆弧所在圆的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 【题型4.由点圆位置关系反推半径】 【典例】已知的半径为5，点P在上，则的长为 ． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一个点到圆上的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为 ． 【题型5.点到圆上点的最值分析】 【典例】已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 【跟踪专练1】如图，为半径为8的的弦，沿弦折叠经过圆心，点P为上一动点，连接，过点F作的垂线，垂足为H，连接，则最小值为 ． 【跟踪专练2】如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【题型6.垂径定理的数值计算应用】 【典例】如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 【跟踪专练1】半径为圆内的两条平行弦分别为和长，则两条平行弦之间距离是 ． 【跟踪专练2】如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型7.垂径定理的推论拓展】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是 ． 【跟踪专练1】如图，是的直径，点在上，，垂足为，，点是上的动点（不与重合），点为的中点，若在运动过程中的最大值为4，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ． 【题型8.垂径定理的实际场景应用】 【典例】一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径，截面圆圆心为，当水面宽时，水位高为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为 ． 【跟踪专练2】图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的平面示意图，过顶点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点A，B在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩截面所在圆的半径为（    ） A．15.5cm B．15.6cm C．15.7cm D．15.8cm 【题型9.弧.弦.圆心角的关系计算】 【典例】如图，在中，，，则的度数为 ． 【跟踪专练1】下列说法中正确的是（   ） 直径是弦；长度相等的两条弧是等弧； 相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦 A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述为 ． 【题型10.弧.弦.圆心角的关系证明】 【典例】如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】已知，是同圆的两段弧，且，则弦与之间的数量关系为 ．（填“>”，“=”，“<”） 【跟踪专练2】观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 1．下列说法：①长度相等的弧是等弧：②直径是圆中最大的弦；③相等的圆心角所对的弦相等，④平分弦的直径垂直于弦，你认为正确的共有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，的半径为4，以圆外一点为圆心，半径为画弧，将截成弧长相等的两部分，已知两点之间的距离为，则的值为（   ） A． B．16 C．8 D． 3．如图，⊙O中，弦，若于点P，且，则的半径为（    ） A．cm B．cm C．5cm D．6cm 4．以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为 ． 5．如图，在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 7．在中，，，，点是以点为圆心，为半径的圆上一点，连接，点为中点，线段长度的最大值为 ． 8．如图，在四边形中，，，，，点为的中点，连接、，则的面积的最小值是 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知，，经过点，是上的一动点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的取值范围是 ． 10．如图1，已知是中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，设弦，，y关于x的函数图象如图2所示，当时，求的长（   ） A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系中，的半径为1，若平移d个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称d的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图，，则对线段的“最近覆盖距离”为3． (1)对点的“最近覆盖距离”为________________； (2)点P是函数图象上一点，且对点P的“最近覆盖距离”为2，则点P的坐标为________； (3)若一次函数的图象上存在点C，使对点C的“最近覆盖距离”为，求k的取值范围； (4)，且，将对线段的“最近覆盖距离”记为d，直接写出d的取值范围． 12．【概念】在初中数学中，我们学习了“两点间的距离”、“点到直线的距离”、“平行线之间的距离”．距离的本质是“最短”． 给出新定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“距离”，记作．特别地，若图形M、N有公共点，规定． 【理解】 (1)如图1，过A、B作垂线段分别交直线于点C、D、E、F，则是 的长度． A．垂线段   B．垂线段  C．垂线段   D．垂线段 (2)如图2，已知线段，请画出同时满足下列2个条件的所有线段． ①线段长为； ②． 注：标注必要的数据；若满足条件的线段是有限的，请画出；若满足条件的线段是无限的，请用阴影表示所在区域． (3)如图3，已知的圆心为，半径为1．若，请直接写出的取值范围 ． 13．弦把分成，连接、，过的中点A作，交于B，求的度数． 14．【新知引入】定义：如图（1），点M，N把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． （1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，则___________． 【探究证明】 （2）如图（2），在中，，M，N在线段上，且．求证：点M，N是线段的勾股分割点． 【拓展应用】 （3）如图（3），在中，圆心角，P是上一动点，连接，分别作的垂直平分线，分别交直线于点C，D，已知，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出线段的长．    15．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为______； (2)是否存在一个时刻，使得点Q在的垂直平分线上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值． 16．如图①、②，点分别在圆外、在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】 (1)已知点到圆上的点的最短距离为3，最长距离为7．则圆的半径为_____． (2)如图③点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，求线段的最值． (3)如图④，正方形中，点分别为上的动点，且，、交于，点为的中点，点为上一个动点，连接．若，求的最小值． 17．已知内接于，，E是弧的中点，连结，交于点D，射线交的延长线于点F． (1)如图1， ①求证：； ②若，，求的长； (2)若直线与直线交于点G，且，求的度数． 18．请用直尺与圆规按要求完成下列作图． (1)如图：已知两个半径不同的圆，请用不同的方法分别画出两个圆的直径． (2)请再画出一个圆使得它的面积等于已知两个圆面积的和 (3)请再画出一个圆使得它的周长等于已知两个圆周长和的倍． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $