期末复习01一元二次方程的解法期末冲刺必备讲义(知识梳理+题型精析+备考压轴通关)2025-2026学年苏科版数学九年级上册

该初中数学讲义以“解法核心篇”为定位，通过分类梳理直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及根的判别式，结合对比表格呈现四种解法的优势与适用场景，构建清晰知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于口诀化记忆（如“平方套括号，右边非负数”）和分层题型设计，含9类常考题型及压轴题，通过“换元法解复杂方程”等典例培养抽象能力与推理意识，典例配跟踪训练适配不同学生，助力教师精准教学与学生自主复习提升。

期末复习01一元二次方程的解法期末冲刺必备讲义 核心定位：一元二次方程的激发是一元二次方程的“解法核心篇”，也是期末解答题、应用题的高频考点，掌握4种解法+根的判别式，就能拿下这一模块80%的分值！ 复习目标： 1. 熟练选择合适方法解一元二次方程； 2. 能用根的判别式判断根的情况； 3. 避开常见易错点，提升解题正确率。 期末必备 知识点梳理 1.直接开平方法-“最省事”解法 2.配方法 3.公式法 4.因式分解法 5.根的判别式 6.四种解法对比 常考题型 精讲精炼 1.一元二次方程的解法:直接开平方 2.一元二次方程的解法:配方法 3.配方法的实际应用 4.一元二次方程的解法:公式法 5.一元二次方程的解法:因式分解法 6.一元二次方程的解法:换元法 7.利用判别式判断一元二次方程根的情况 8.根据一元二次方程根的特征求参数 9.分式方程的解法 期末备考 压轴通关 压轴题(16) 【知识点01.直接开平方法--“最省事”解法】 1.核心口诀：平方套括号，右边非负数，开方分正负，一次方程解出来！ 2.适用形式：专门针对形如x2=p或(nx+m)2=p（p≥0）的一元二次方程。当p<0时，由于任何实数的平方都非负，方程无实数根。 3.求解逻辑：依据平方根的定义降次，把二次方程转化为两个一元一次方程求解。 4.具体解法：若方程是x2=p，则解为x=±；若方程是(nx+m)2=p，则先开平方得nx+m=±，再解这个一元一次方程，求出x的值。 5.示例：解方程4x2=49，先整理为x2=，开平方得x=±，最终解得x1=，x2=−。 【知识点02.配方法--“万能变形术”】 1.核心定义：通过恒等变形将一元二次方程化为(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，该方法是推导公式法的基础 2.核心口诀：二次系数先化1，常数移到右边去，一次系数一半方，两边加上凑平方！ 3.通用解题步骤 (1)化一般式：先将方程整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的标准形式。 (2)二次项系数化 1：方程两边同时除以二次项系数a，使二次项系数变为 1，并把常数项移到等号右边。 (3)配方：在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左边配成完全平方式。 (4)求解判断：若配方后右边n≥0，用直接开平方法求解；若n<0，方程无实数根。 4.示例：解方程x2−4x+2=0，移项得x2−4x=−2，配方时加()2=4，得(x−2)2=2，开平方解得x1=2+，x2=2− 【知识点03.公式法--“万能兜底法”】 1.核心口诀：一般形式定a、b、c，先算判别式Δ，Δ非负代入公式，Δ为负无实根！ 2.核心公式：对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），其求根公式为x=，其中b2−4ac是根的判别式，记为Δ。 3.适用场景：是解一元二次方程的通用方法，尤其适用于无法用直接开平方法、因式分解法简便求解的复杂方程。 4.解题步骤 (1)定系数：将方程化为一般式，确定a、b、c的值，注意符号不能出错，比如方程−x2+2x−1=0中，a=−1，b=2，c=−1。 (2)算判别式：计算Δ=b2−4ac的值，判断方程根的情况。 (3)代入求解：若Δ≥0，将a、b、c及Δ的值代入公式，计算得出方程的根；若Δ<0，方程无实数根。 【知识点04.因式分解法--“最块准狠”】 1.核心口诀：右边先归零，左边分解型，因式各为零，一次方程解分明！ 2.核心原理：利用 “若两个因式的积为 0，则至少其中一个因式的值为 0” 的乘法性质，将二次方程转化为两个一元一次方程求解。 3.适用形式：适合方程右边化为 0 后，左边能分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。 4.解题步骤 (1)移项：把方程所有项移到等号左边，使等号右边为 0。 (2)因式分解：将等号左边的二次多项式分解为两个一次因式相乘的形式。 (3)求解：令每个一次因式分别等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个方程，结果即为原方程的根。 5.示例：解方程x2−3x+2=0，先因式分解得(x−1)(x−2)=0，令x−1=0和x−2=0，解得x1=1，x2=2。 【知识点05.根的判别式】 1.作用：用于快速判断一元二次方程ax2+bx+c=0（a=0）的实数根的情况，是配方和公式法的重要延伸知识点。 2.三种情况 *当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根； *当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； *当Δ<0时，方程没有实数根。 【知识点06.四种解法的对比与使用场景】 解法 核心优势 适用场景 直接开平方法 步骤最简，无需复杂变形 方程能化为平方等于常数的形式 配方法 思维连贯，衔接开平方法与公式法 适合二次项系数较小、便于配方的方程，也用于求代数式最值等拓展问题 公式法 通用性强，无需技巧 所有一元二次方程，尤其复杂系数方程 因式分解法 求解快捷，计算量小 左边能因式分解、右边为 0 的方程 【题型1.一元二次方程的解法:直接开平方法】 【典例】若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】关于x的一元二次方程的解为 ． 【跟踪训练2】若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（） A．0 B． C． D．或 【题型2.一元二次方程的解法:配方法】 【典例】把方程化成形式，则 ． 【跟踪训练1】老师设计了接力游戏，以合作的方式完成配方法求解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示．接力中，自己负责的计算出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁 【跟踪训练2】定义：如果存在一个数i，使时，有，从而是方程的两个根．据此可知的两根为 ． 【题型3.配方法的实际应用】 【典例】若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】材料阅读：∵，由，得；∴代数式的最小值是4．仿照上述方法求代数式的最小值为 ． 【跟踪训练2】用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 【题型4.一元二次方程的解法:公式法】 【典例】已知代数式：与的值互为相反数，则整数x的值为 【跟踪训练1】用公式法解一元二次方程时，的值为（   ） A． B．8 C．16 D．17 【跟踪训练2】在欧几里得的《原本》中，记载了形如的一元二次方程的图解法．如图，以和b为直角边作，以点B为圆心，的长为半径作弧，与斜边所在的直线交于点D，．已知该方程的正根等于线段的长，而它的负根的绝对值也等于图中某条线段的长，则该线段是 ． 【题型5.一元二次方程的解法:因式分解法】 【典例】已知2是关于的方程的根，则的值是（    ） A．1 B． C．1或2 D．或 【跟踪训练1】新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则 ． 【跟踪训练2】若是关于的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（   ） A．5 B．3 C．1 D． 【题型6.一元二次方程的解法:换元法】 【典例】我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是 ． 【跟踪训练1】关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练2】已知非零常数满足等式，则关于的一元二次方程的根是 ． 【题型7.利用判别式判断一元二次方程根的情况】 【典例】一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【跟踪训练1】实数满足，则的值是 ． 【跟踪训练2】直线不经过第一象限，则关于的方程实数解的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【题型8.根据一元二次方程根的特征求参数】 【典例】若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 【跟踪训练1】已知等腰的一条边长为7，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（    ） A．4 B．4或1 C．2 D．2或4或10 【跟踪训练2】已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【题型9.分式方程的解法】 【典例】用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练1】解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是 ． 【跟踪训练2】解方程时，若设，则原方程可化为关于y的整式方程是（   ） A． B． C． D． 1．方程的解为 ． 2．若分式不论取何值总有意义，则的取值范围是 ． 3．定义表示不超过实数的最大整数，如：，，．则方程的解为（    ） A．或或0 B．或或0 C．或或0 D．或或0 4．已知实数，满足，，且，则的值是（    ） A．4 B．12 C．0 D．4或12 5．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（   ）． A． B． C． D． 6．对于多项式记为，即；若令，，即；下面几个结论正确的有 ． ①存在实数使成立，则的取值范围是；②若，则；③若且，，则或；④存在整数、，使成立 7．对于二次三项式（且为常数），，下列说法： ①当时，若，则； ②无论取任何实数，若等式恒成立，则； ③当时，若，，则． 其中说法正确的个数是（   ） A． B． C． D． 8．已知整式M：，其中为正整数，且．下列说法：①满足条件的所有整式M中没有单项式；②当时，满足条件的整式M只有；③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．其中正确的个数是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 9．已知，若关于的方程与都有解，且两个方程的解完全相同，则实数的取值范围是 ． 10．这是一道婚礼上的方程，新郎需要在现场把这个方程解出来，才能迎接新娘．请根据你解方程的过程完成填空：这个方程是 （类型）方程，需要 ，就像检验新郎是否是真心一样．其中的第一个根 代表着一生不辜负爱妻，第二个根 代表着否则你将一无所有． 11．若时，代数式的值为，则称是这个代数式的“自反值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和是的“自反值”． (1)代数式的“自反值”是_____； (2)若代数式（a为常数）只有一个“自反值”，求的值； (3)若代数式（，为常数，）对于任意常数恒有两个“自反值”，则的取值范围是_____． 12．如图，在平面直角坐标系中,、的长是一元二次方程的两个根． (1)求A、B两点的坐标； (2)的平分线与的外角平分线交于点C，求的度数； (3)在平面内是否存在点P，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点．已知函数，，且是的相切函数，点为切点． (1)试写出切点的坐标（____，____），及与的关系式_____． (2)当时，试判断以下两组值①，；②，能否使成立？并说明理由． (3)若函数的图象经过点，函数的图象经过点，且，求的值． 14．如图，直线与轴交于点A，与y轴交于点B，直线与轴交于点C，与直线交于点D，． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)点为直线上一动点，若有，请求出点的坐标； (3)若分段函数的图象与一次函数的图象有交点，直接写出的取值范围． 15．如图1，在正方形中，点是边上一动点，将正方形沿折叠，点落在正方形内部的点处，连接并延长，交于点． (1)判断与的数量关系为______； (2)【应用】如图1，延长交于点． ①证明：； ②若，，，求的长度； (3)【拓展】如图2，将正方形沿折叠，使点落在点处（正方形内部），连接并延长，交于点，延长交直线于点．若，，直接写出的值． 16．． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习01一元二次方程的解法期末冲刺必备讲义 核心定位：一元二次方程的激发是一元二次方程的“解法核心篇”，也是期末解答题、应用题的高频考点，掌握4种解法+根的判别式，就能拿下这一模块80%的分值！ 复习目标： 1. 熟练选择合适方法解一元二次方程； 2. 能用根的判别式判断根的情况； 3. 避开常见易错点，提升解题正确率。 期末必备 知识点梳理 1.直接开平方法-“最省事”解法 2.配方法 3.公式法 4.因式分解法 5.根的判别式 6.四种解法对比 常考题型 精讲精炼 1.一元二次方程的解法:直接开平方 2.一元二次方程的解法:配方法 3.配方法的实际应用 4.一元二次方程的解法:公式法 5.一元二次方程的解法:因式分解法 6.一元二次方程的解法:换元法 7.利用判别式判断一元二次方程根的情况 8.根据一元二次方程根的特征求参数 9.分式方程的解法 期末备考 压轴通关 压轴题(16) 【知识点01.直接开平方法--“最省事”解法】 1.核心口诀：平方套括号，右边非负数，开方分正负，一次方程解出来！ 2.适用形式：专门针对形如x2=p或(nx+m)2=p（p≥0）的一元二次方程。当p<0时，由于任何实数的平方都非负，方程无实数根。 3.求解逻辑：依据平方根的定义降次，把二次方程转化为两个一元一次方程求解。 4.具体解法：若方程是x2=p，则解为x=±；若方程是(nx+m)2=p，则先开平方得nx+m=±，再解这个一元一次方程，求出x的值。 5.示例：解方程4x2=49，先整理为x2=，开平方得x=±，最终解得x1=，x2=−。 【知识点02.配方法--“万能变形术”】 1.核心定义：通过恒等变形将一元二次方程化为(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，该方法是推导公式法的基础 2.核心口诀：二次系数先化1，常数移到右边去，一次系数一半方，两边加上凑平方！ 3.通用解题步骤 (1)化一般式：先将方程整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的标准形式。 (2)二次项系数化 1：方程两边同时除以二次项系数a，使二次项系数变为 1，并把常数项移到等号右边。 (3)配方：在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左边配成完全平方式。 (4)求解判断：若配方后右边n≥0，用直接开平方法求解；若n<0，方程无实数根。 4.示例：解方程x2−4x+2=0，移项得x2−4x=−2，配方时加()2=4，得(x−2)2=2，开平方解得x1=2+，x2=2− 【知识点03.公式法--“万能兜底法”】 1.核心口诀：一般形式定a、b、c，先算判别式Δ，Δ非负代入公式，Δ为负无实根！ 2.核心公式：对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），其求根公式为x=，其中b2−4ac是根的判别式，记为Δ。 3.适用场景：是解一元二次方程的通用方法，尤其适用于无法用直接开平方法、因式分解法简便求解的复杂方程。 4.解题步骤 (1)定系数：将方程化为一般式，确定a、b、c的值，注意符号不能出错，比如方程−x2+2x−1=0中，a=−1，b=2，c=−1。 (2)算判别式：计算Δ=b2−4ac的值，判断方程根的情况。 (3)代入求解：若Δ≥0，将a、b、c及Δ的值代入公式，计算得出方程的根；若Δ<0，方程无实数根。 【知识点04.因式分解法--“最块准狠”】 1.核心口诀：右边先归零，左边分解型，因式各为零，一次方程解分明！ 2.核心原理：利用 “若两个因式的积为 0，则至少其中一个因式的值为 0” 的乘法性质，将二次方程转化为两个一元一次方程求解。 3.适用形式：适合方程右边化为 0 后，左边能分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。 4.解题步骤 (1)移项：把方程所有项移到等号左边，使等号右边为 0。 (2)因式分解：将等号左边的二次多项式分解为两个一次因式相乘的形式。 (3)求解：令每个一次因式分别等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个方程，结果即为原方程的根。 5.示例：解方程x2−3x+2=0，先因式分解得(x−1)(x−2)=0，令x−1=0和x−2=0，解得x1=1，x2=2。 【知识点05.根的判别式】 1.作用：用于快速判断一元二次方程ax2+bx+c=0（a=0）的实数根的情况，是配方和公式法的重要延伸知识点。 2.三种情况 *当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根； *当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； *当Δ<0时，方程没有实数根。 【知识点06.四种解法的对比与使用场景】 解法 核心优势 适用场景 直接开平方法 步骤最简，无需复杂变形 方程能化为平方等于常数的形式 配方法 思维连贯，衔接开平方法与公式法 适合二次项系数较小、便于配方的方程，也用于求代数式最值等拓展问题 公式法 通用性强，无需技巧 所有一元二次方程，尤其复杂系数方程 因式分解法 求解快捷，计算量小 左边能因式分解、右边为 0 的方程 【题型1.一元二次方程的解法:直接开平方法】 【典例】若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键． 方程左边为平方项，始终非负，因此右边也必须非负，方程才有实数根． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 解得 ． 故选：D． 【跟踪训练1】关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义和求解一元二次方程，先根据一元二次方程的定义求出参数 m 的值，再代入方程求利用开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得 ． 当 时，原方程为： 化简得：， 即：， 解得 ． 故答案为． 【跟踪训练2】若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（） A．0 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义和解法，根据方程的常数项为0列出方程求解，并验证一元二次方程二次项系数不为0的条件． 【详解】解：∵的常数项为0， ∴，即， ∴或． 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数． 当时，，不符合一元二次方程定义； 当时，，符合题意． ∴． 故选：B． 【题型2.一元二次方程的解法:配方法】 【典例】把方程化成形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将一元二次方程化为平方形式，然后比较常数项即可． 【详解】解：对于方程， 移项得， 两边加上一次项系数一半的平方（即9）得， 即， ∴， 与形式比较，得． 故答案为：． 【跟踪训练1】老师设计了接力游戏，以合作的方式完成配方法求解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示．接力中，自己负责的计算出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 根据配方法解一元二次方程判断作答即可． 【详解】解：甲：应化为，甲错误； 乙：应化为，乙正确； 丙：应化为，丙错误； 丁：应化为，丁正确； 可知，接力中，自己负责的计算出现错误的是甲和丙． 故选：C． 【跟踪训练2】定义：如果存在一个数i，使时，有，从而是方程的两个根．据此可知的两根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将方程转化为完全平方形式，再利用定义中i的性质求解． 【详解】解：方程移项得， 配方得， 即， ∵是方程的两个根， ∴， 即， 则将开平方得， 解得，． 故答案为：，． 【题型3.配方法的实际应用】 【典例】若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由 得 ，代入 得到 ，利用配方法可得，即得，据此即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 可能取值为， 故选：． 【跟踪训练1】材料阅读：∵，由，得；∴代数式的最小值是4．仿照上述方法求代数式的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用．理解题意，并掌握配方法是解题关键． 仿照上述方法将所求式子变形为，从而即得出，即代数式的最小值为． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 【跟踪训练2】用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 先整理方程，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：， ， ， 所以． 故选C． 【题型4.一元二次方程的解法:公式法】 【典例】已知代数式：与的值互为相反数，则整数x的值为 【答案】 【分析】本题考查相反数的意义，解一元二次方程，根据相反数的定义，两个代数式的和为零，列出方程并化简为一元二次方程，利用求根公式求解，并筛选整数解． 【详解】解：∵与的值互为相反数， ∴， 化简得 ， 解得，， 所以，整数的值为． 故答案为：． 【跟踪训练1】用公式法解一元二次方程时，的值为（   ） A． B．8 C．16 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根的判别式，先将方程化为标准形式，再计算判别式的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∴， ∴，，， ∴ ， 故选：C． 【跟踪训练2】在欧几里得的《原本》中，记载了形如的一元二次方程的图解法．如图，以和b为直角边作，以点B为圆心，的长为半径作弧，与斜边所在的直线交于点D，．已知该方程的正根等于线段的长，而它的负根的绝对值也等于图中某条线段的长，则该线段是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，熟练掌握勾股定理和一元二次方程的应用是解题的关键． 解方程，得，则，，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：， ， 解得：， 方程的正根等于线段的长， ， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由题意可知，， ， 该方程的负根的绝对值等于图中线段的长， 故答案为：． 【题型5.一元二次方程的解法:因式分解法】 【典例】已知2是关于的方程的根，则的值是（    ） A．1 B． C．1或2 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，即一元二次方程的解．解该题时，采用了因式分解法解一元二次方程． 将代入方程，得到关于的方程，解一元二次方程即可． 【详解】解：∵2是方程 的根， ∴， 化简得： ， ∴，解得或． 故选：C． 【跟踪训练1】新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查一元二次方程的根以及新定义“倍根方程”的意义，熟练掌握“倍根方程”的意义是解决问题的关键. 通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可． 【详解】解：解方程，可得， ∵是“倍根方程”， ∴当是6 的2倍时，即有即； 当6是的 2 倍时，即有； 故答案为：或． 【跟踪训练2】若是关于的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（   ） A．5 B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查由一元二次方程根的定义求参数，涉及解一元一次方程、解一元二次方程，熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 将已知根代入一元二次方程，得到关于参数的一元一次方程，求解即可得到参数，再将值代入一元二次方程求解即可得到另一个根． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个根， ， 解得， ∴关于的一元二次方程为， 则， 解得或， 则方程的另一个根是， 故选：C． 【题型6.一元二次方程的解法:换元法】 【典例】我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程及一元二次方程的解，熟知换元法解一元二次方程的步骤是解题的关键．根据已知方程的解，通过整体代换求解新方程． 【详解】∵方程的解是，， ∴方程中，或， 解得或． 故答案为，． 【跟踪训练1】关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查换元法解方程，根据题意，得到方程的解为或，进行求解即可． 【详解】解：关于的方程的解是，， 方程的解是或， 解得，； 故选A． 【跟踪训练2】已知非零常数满足等式，则关于的一元二次方程的根是 ． 【答案】，． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，利用换元法求解是解题关键．通过设，将原方程化为关于y的一元二次方程，再利用已知条件求出系数关系，进而求解方程． 【详解】解：设，则原方程化为， 由，得， 代入得， 代入方程得， 因，两边除以得， 因式分解得，解得或， 由，得或， 解得：，， 故答案为：，． 【题型7.利用判别式判断一元二次方程根的情况】 【典例】一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义；先将方程化为一般形式，再计算判别式，根据判别式的值判断根的情况． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 即， ∴，，， 判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【跟踪训练1】实数满足，则的值是 ． 【答案】3 【分析】设，将原方程转化为关于的二次方程，求解后根据实数条件确定答案即可． 本题考查了换元法解方程，根的判别式，熟练掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：设， 则原方程化为 ， 因式分解得 ， 解得或； 当时，，即， 判别式，无实数解； 当时，，即， 判别式，有实数解； 故的值为3， 故答案为：3． 【跟踪训练2】直线不经过第一象限，则关于的方程实数解的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，一元二次方程根的判别式，关键是由直线不经过第一象限确定a的取值范围，再分类讨论方程解的情况． 由直线不经过第一象限得出，再分和两种情况讨论方程的实数解个数． 【详解】解：∵直线不经过第一象限， ∴． 当时，方程为，解得，有一个实数解； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴方程实数解的个数为1个或2个． 故选：D． 【题型8.根据一元二次方程根的特征求参数】 【典例】若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式非负时，方程有实数根． 【详解】解：方程的判别式为， 由题意得，即， 解得． 故答案为：． 【跟踪训练1】已知等腰的一条边长为7，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（    ） A．4 B．4或1 C．2 D．2或4或10 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程的根及三角形三边关系，注意分类讨论和检验．分7为底边或腰两种情况讨论是解题的关键． 当7为底边时，方程有相等实根，但需满足三角形不等式；当7为腰时，代入求解，并检验三角形边长是否有效． 【详解】等腰一边长为7，其余两边为方程的两根， 分两种情况： ①当7为底边时，方程有两相等实根， ， 解得． 当时，方程化为，根为， 此时三边为3，3，7， ，不满足三角形三边关系， 舍去． ②当7为腰，则是方程的一个根， 代入得：， 即， 整理得， 解得或． 当时，方程化为， 根为或， 三边为7，7，15， ，不满足， 舍去． 当时，方程化为， 根为或， 三边为3，7，7， ，，，均成立， 有效． 综上，的值为4． 故选A． 【跟踪训练2】已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程有实数根的条件，掌握根的判别式是解决本题的关键． 根据方程为一元二次方程得到，再根据方程有实数根结合根的判别式即可求解． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得， 综上所述，且． 故答案为：且． 【题型9.分式方程的解法】 【典例】用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程． 由题意可得，再去分母可得，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为： ， ， ， 故选：A． 【跟踪训练1】解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，首先将分式方程中的分母因式分解，然后找到公分母合并分式，接着利用等式的性质去分母，得到整式方程，最后整理成一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ， 去分母得： 移项、合并得：， 故答案为：． 【跟踪训练2】解方程时，若设，则原方程可化为关于y的整式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了换元法解分式方程，设，将原方程中的分式项用表示，通过代数变形消去分母，转化为整式方程． 【详解】解：设，则， 因为， 所以， 两边同乘，消去分母：， 移项整理得：． 故选：B． 1．方程的解为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查高次方程的解法，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键．观察到方程系数对称，通过除以 （）进行代换，设 ，将原方程转化为关于 的二次方程，求解后再解关于 的方程． 【详解】解：原方程为 ， 由于 ，两边除以 ，得：， 整理得：． 设 ，则 ， 代入得：， 化简得：． 解该二次方程：判别式 ， ， 所以 ，． 当 时，即，两边乘以 得：， 即 ，判别式 ， ， 所以 或 ； 当 时，即，得：， 即 ，所以 ， 综上，原方程的解为 ，，． 2．若分式不论取何值总有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的意义，配方法的应用，对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．当分母是个二项式时，分式有意义的条件时分母能整理成的形式，即一个完全平方式与一个正数的和的形式．只有这样不论未知数取何值，式子都不可能等于0． 【详解】解：分式不论取何值总有意义，则其分母必不等于0， 即把分母整理成的形式为 ， 不等于0， ，即， 故答案为：． 3．定义表示不超过实数的最大整数，如：，，．则方程的解为（    ） A．或或0 B．或或0 C．或或0 D．或或0 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解新定义运算法则，并利用分类讨论思想解答是解本题的关键． 首先根据非负性得到，则，再分类讨论，利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ①当时，符合题意； ②时，， 则化为：，解得：，均不在内，舍； ②时，， 则化为：，解得：，均不在内，舍； ③时，， 则化为：，解得：或（舍）； ④时，， 则化为：，解得：或（舍）； ⑤当时，均不成立， ∴方程的解为或或， 故选：A． 4．已知实数，满足，，且，则的值是（    ） A．4 B．12 C．0 D．4或12 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程． 通过求解两个二次方程得到p和q的可能值，排除的组合后，计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或； ∵， ∴， ∴或； 又∵， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 若，则， 若，则， ∴． 故选：C． 5．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程，掌握一元二次方程的解法，读懂题意、理解“邻根方程”是解决本题的关键．先解出一元二次方程的两个根，再根据两个根的差是否为“1”得结论． 【详解】解：A. ， ∴， ∴，， ∴方程不是“邻根方程”，选项A不符合题意； B.  ， ， 方程无实数根，选项B不符合题意； C. ， ∴， ∴， ∴，，， ∴方程不是“邻根方程”，选项C不符合题意； D. ， ， ∴， ∴，，， ∴方程是“邻根方程”，选项D符合题意； 故选：D． 6．对于多项式记为，即；若令，，即；下面几个结论正确的有 ． ①存在实数使成立，则的取值范围是；②若，则；③若且，，则或；④存在整数、，使成立 【答案】①③/③① 【分析】本题考查不等式的解集，涉及一元二次方程根的判别式，不等式，代数式的值等知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式及代数式的变形．由，得，根据，得，可判断①正确；由，得与同号，可判断②错误；由，则可得或，当时，，当时，，可判断③正确；若，可得或，由y为整数，知x不是整数，可判断④错误． 【详解】解：若，则，即， ∵存在实数x使成立， ∴有实数根，即， ∴， 解得，故①正确，符合题意； 若，则， ∴， ∴与同号， ∴或，故②错误，不符合题意； 若，则； ∴， ∴或， 当时，， 当时，， ∴③正确，符合题意； 若，则， ∴， ∴， ∴， 即或， 若y为整数，则x不是整数， ∴不存在整数x、y，使成立，故④错误，不符合题意； ∴正确的有①③， 故答案为：①③． 7．对于二次三项式（且为常数），，下列说法： ①当时，若，则； ②无论取任何实数，若等式恒成立，则； ③当时，若，，则． 其中说法正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，因式分解的应用，完全平方公式，解一元二次方程，掌握以上运算法则以及完全平方公式是解题的关键．将代入，因式分解后结合可得；由恒成立得，进而；当时，计算得，解方程得。 【详解】解：当时，， 且， ， 即， 故正确； 恒成立， ， 即， ， ， ， 故错误。 当时， ，， ， 设，则， 即， ， 即， 故正确。 综上，正确的个数是个. 故选：C． 8．已知整式M：，其中为正整数，且．下列说法：①满足条件的所有整式M中没有单项式；②当时，满足条件的整式M只有；③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．其中正确的个数是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题综合考查了整式与配方法，理解题意、分类讨论、找出规律是解题的关键． 根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，， ∵为正整数， ∴整式M一定含有常数项和一次项，即整式M不可能是单项式， ∴满足条件的所有整式M中没有单项式，即①正确； 当时，， ∵为正整数， ∴当时，满足条件的整式M只有，即②正确； ∵多项式为二次三项式， ， ∴， ∵多项式为三项式，为正整数， ∴当时，，则有两种， ，， ∴两种都满足条件， 当时，，则有一种， ， ∴满足条件， 当时，，与为正整数矛盾， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 综上，正确的个数是3个． 故选：D． 9．已知，若关于的方程与都有解，且两个方程的解完全相同，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根的判别式的应用，正确理解根的判别式和方程的解的关系是解题的关键． 由得，进而可得，根据两个方程的解完全相同，可得有实数根，此时要么没有实根，要么实根是方程的根，由此求出实数的取值范围． 【详解】解：， ， ， ，即， ∴ ， 由题意可知有实根， ①当时，有，即， 令，即，符合要求； ②当时，有解，则， 解得， 要满足题意，此时要么没有实根，要么实根是方程的根， 若没有实根， 则，解得； 若有实根且实根是方程的根， 则由方程，得， 代入，有， 解得，再代入得，， 综上所述，的取值范围是： 故答案为：． 10．这是一道婚礼上的方程，新郎需要在现场把这个方程解出来，才能迎接新娘．请根据你解方程的过程完成填空：这个方程是 （类型）方程，需要 ，就像检验新郎是否是真心一样．其中的第一个根 代表着一生不辜负爱妻，第二个根 代表着否则你将一无所有． 【答案】 分式 验根 【分析】本题主要考查了解分式方程，高次方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， 即， 解得：， 检验：当时，， 当时，， 所以原方程的解为； 这个方程是分式方程，需要验根，就像检验新郎是否是真心一样．其中的第一个根代表着一生不辜负爱妻，第二个根代表着否则你将一无所有． 故答案为：分式；验根；； 11．若时，代数式的值为，则称是这个代数式的“自反值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和是的“自反值”． (1)代数式的“自反值”是_____； (2)若代数式（a为常数）只有一个“自反值”，求的值； (3)若代数式（，为常数，）对于任意常数恒有两个“自反值”，则的取值范围是_____． 【答案】(1)， (2)0，4， (3) 【分析】本题主要考查了新定义、解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、解不等式等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据“自反值”的定义列出关于x的方程求解即可； （2）根据“自反值”的定义可得，然后分和，分别根据列出关于a的方程求解即可； （3）根据“自反值”的定义列出关于x的方程，然后根据根的判别式列出关于b的不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， ， ， ． 所以代数式的“自反值”是，． （2）解：由题意可得：，整理得：， ∵方程只有一个解， ∴当时，可得一元一次方程，有1个解（符合题意）； 当时，可得一元二次方程，有1个解， ∴，整理得：，解得：或． 综上，a的值为0，4，． （3）解：由题意可得：，整理得：， ∵方程对于任意常数恒有两个解， ∴，即；， ∴对于任意常数恒成立， ∵， ∴要使对于任意常数恒成立，则，解得：． 综上，a的取值范围为． 12．如图，在平面直角坐标系中,、的长是一元二次方程的两个根． (1)求A、B两点的坐标； (2)的平分线与的外角平分线交于点C，求的度数； (3)在平面内是否存在点P，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 或或或 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）利用角平分线的性质，结合三角形外角的性质进行计算即可； （3）点A和点B都有可能是直角顶点，因此要分类讨论，根据等腰直角三角形的性质，构建“一线三等角”模型来计算坐标． 【详解】（1）解：， 因式分解得，， ∴，， ∵， ∴，； （2）∵平分， ∴， ∵平分的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴； （3）当点A为直角顶点，且P在x轴上方时，如图： ， 作轴于点E， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点P坐标为， 同理，当点P位于x轴下方时，其与关于点A对称，此时点P坐标为， 当点B为直角顶点，且P在y轴右侧时，如图： 作轴于点F， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点P坐标为， 同理，当点P位于y轴左侧时，其与关于点B对称，此时点P坐标为， 综上所述，点P坐标为或或或． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质和三角形外角的性质，运用“一线三等角”模型解决等腰直角三角形问题是解题关键． 13．在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点．已知函数，，且是的相切函数，点为切点． (1)试写出切点的坐标（____，____），及与的关系式_____． (2)当时，试判断以下两组值①，；②，能否使成立？并说明理由． (3)若函数的图象经过点，函数的图象经过点，且，求的值． 【答案】(1)，， (2)①不成立，②成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）联立与，得，整理得，由题意得，于是可得，即，将代入方程，得，解方程即可求出的值，进而可求出相对应的值，于是可得切点的坐标； （2）由（1）得，则，，要使成立，则，整理得，由可得，进而可得，据此对、的两组值进行验证，即可得出答案； （3）由“函数的图象经过点，函数的图象经过点”可得，，再结合，可得，由（1）得，将代入并整理，得，由可得，进而可得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：联立与，得： ， 整理，得：， 由题意得：， 即： ， ， ， 将代入方程，得： ， 整理，得：， ， ， ，即：， 将代入，得： ， 切点的坐标为， 故答案为：，，； （2）解：①不成立，②成立，理由如下： 由（1）得：， ， ， 要使成立，则： ， 整理，得：， ， ， ， ， ①当，时， ，不满足， 不成立； ②当，时， ，满足， 成立； （3）解：函数的图象经过点，函数的图象经过点， ，， ， ， 即：， 由（1）得：， 将代入，得：， 整理，得：， ， ， ， 解得：或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况（逆用），一元二次方程的解法（直接开平方法，因式分解法），不等式的性质，完全平方公式等知识点，根据相切函数的定义推出是解题的关键． 14．如图，直线与轴交于点A，与y轴交于点B，直线与轴交于点C，与直线交于点D，． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)点为直线上一动点，若有，请求出点的坐标； (3)若分段函数的图象与一次函数的图象有交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，D点坐标 (2)或 (3)且t≠0或 【分析】本题考查了一次函数的几何综合，求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，结合，求得，然后代入，得，结合两条直线交点的坐标即为它们的解析式组成的方程组的解，进行列式计算，即可作答． （2）因为点为直线上一动点，则，因为，故，根据两点的距离公式求出，同理得，整理得，再求出的值，即可作答． （3）先理解题意，得出分段函数的图象，结合两直线平行不能有交点，求出临界状态的值，以及求出一次函数必经过点，运用待定系数法求出直线的解析式，再结合图象性质作答即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点A， ∴令则， 解得， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 把代入， ∴， 解得， ∴ 依题意，， 解得， ∴D点坐标 （2）解：过点C作，如图所示： ∵点为直线上一动点，， 则设点P的坐标为，， ∵， ∴， 故， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴ 整理得， 解得， 则， 即点的坐标为或． （3）解：依题意，分段函数的图象如图所示： ∵分段函数的图象与一次函数的图象有交点，且， ∴当一次函数与平行时，则 ∴当分段函数的图象与一次函数的图象有交点时，则； ∴把代入，得 解得， ∵， 当时，则， 即必经过，且记该点为， 设直线的解析式为， ∵，， ∴ 解得 则， ∴当分段函数的图象与一次函数的图象有交点时，则且t≠0； 综上：满足题意的的 取值范围为或且t≠0． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，一次函数的几何综合，求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 15．如图1，在正方形中，点是边上一动点，将正方形沿折叠，点落在正方形内部的点处，连接并延长，交于点． (1)判断与的数量关系为______； (2)【应用】如图1，延长交于点． ①证明：； ②若，，，求的长度； (3)【拓展】如图2，将正方形沿折叠，使点落在点处（正方形内部），连接并延长，交于点，延长交直线于点．若，，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3)的值为或 【分析】（1）利用证明即可； （2）①由折叠知，则，再由平行得，由，则有； ②由（1）得；由①知，而，进而得，求得a的值；设正方形的边长为m，则在中，利用勾股定理建立方程求得m，从而求得； （3）分点H在延长线上及点H在线段上两种情况进行，设，正方形的边长为m，与（2）②同理可求得，进而求得结果． 【详解】（1）解：由折叠知，， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①证明：由折叠知，则； ∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∵， ∴； ②解：由（1）得； 由①知， ∴； 又； ∴， 解得：； ∴； 设正方形的边长为m，则， ∴， 在中，由勾股定理有， 即， 解得：（舍去）， 则； （3）解：设，正方形的边长为m； 当点H在线段上时， 与（2）②同理得：， 解得：， 同理在中，由勾股定理有， 即， 解得：（舍去）， 则， ∴； 当点H在线段延长线上时，如图； 则， 与（2）①同理，， 则； ∴， ∴； ∵，， 在中，由勾股定理有， 即， 解得：（舍去）， 则， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，解一元二次方程等知识，掌握这些知识并灵活运用是解题的关键． 16．． 【答案】 ，，， ． 【分析】本题主要考查了用换元法解方程，首先把方程整理成：，设，则原方程可以转化为：，解一元二次方程求出的值，根据的值得到关于的分式方程，继续解分式方程即可求出原方程的解． 【详解】解：， 分组可得：， 方程两边同时乘以可得：， 整理得：， 可得：， 设， 可得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时， 可得：， 整理可得：， 其中， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，， 经检验：，均为原分式方程的解； 当时， 可得：， 整理可得：， 其中， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ， 经检验：， 均为原分式方程的解； 综上所述，原分式方程的解为：，，， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $